模态分析及其损伤诊断

模态分析及其损伤诊断

XX

（武汉理工大学土建学院）

摘要：随着振动理论及其相关学科的发展，人们已经不再仅仅依靠强度理论进行结构设计，而是越来越重视振动特性分析在结构设计和评价中的重要地位。本文在总结近年来国内外文献的基础上，根据笔者自己的研究，较系统地介绍了线性位移实模态、复模态分析，以及其在损伤诊断上的应用。

关键词：模态分析；位移模态；损伤诊断

Title Modal Analysis and Damage Diagnosis

XX

（College of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology ）

Abstract: With the development of vibration theory and its related disciplines, we are no longer rely solely on the strength of the structural design theory. We pay more and more attention to vibration analysis of an important position in structural design and evaluation. This paper is based on the recent literature. According to the author's own research, I will give a concise introduction of the linear displacement of the real mode, complex modal analysis and damage diagnosis.

模态分析技术源于20世纪30年代提出的将机电进行比拟的机械阻抗技术【1】。由于当时测试技术及计算机技术的限制，它在很长时期内发展非常缓慢。至20世纪50年代，该技术仅限于离散稳态正弦激振方法。20世纪60年代初，跟踪滤波器的问世使得频响函数的测试大大节约了时间，四相测试仪的出现并利用模态正交性，将相邻较近的模态加以分离成为可能。与此同时，开始利用计算机对模态参数进行识别，先将跟踪滤波器输出的模拟量经模数转换输入计算机，并应用数值计算方法进行参数识别。模态分析涉及的内容【2】有3方面：模态理论，动态测试技术，参数估计。模态理论是模态分析的基础。本文主要就模态理论的发展以及其在损伤诊断上的应用进行综述。

1 模态理论

1.1位移场线性实模态理论

传统模态理论包括实模态理论和复模态理论，它研究和描述系统的固有振动特性。其实质是一种坐标变换过程【3】，即利用模态作为Ritz基，将结构的动力学方程解耦成为一系列单自由度动力学方程的总和，从而为理论分析或实验研究带来极大的方便。

绝大数振动结构可离散成为有限个自由度的多自由度系统。对一个有n个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标描述其物理参数模型。在线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为n 个主振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态的自由振动，振动频率即系统的主频率，振动形态即系统的主振型，对应每个阻尼系统的主振动有相应的模态阻尼。

实模态理论历史悠久，它的理论基础是正交条件Rayleigh 最早提出可以得到正交实模态的阻尼条件。而后Caughey【4】提出更一般的阻尼对角化条件为：

最一般的阻尼对角化条件也是由Caughey提出的：

实模态方法可用于解决流固耦合振动问题。离散化后的流固耦合自由振动方程为：

其中，质量矩阵M和刚度矩阵K正定对称，G为反对称耦合矩阵，它们可以表成以下分块形式：

其中，下标s代表固体，f代表流体，位移u为固体基本变量，流函数为流体基本变量。离散化后的流固耦合自由振动方程事实上是一种保守陀螺系统的自由振动方程。它的正交条件为：

其中

1.2位移场线性复模态理论

对于线性非保守非经典阻尼多自由度系统已有许多研究。主要的方法有两种，一种是状态空间法，其优点是可以解祸，不足是人为增加求解未知量；另一种是位形空间法，这是习惯方法，其不足是不能利用正交条件解耦。Meirovitch【5】1967年论述了非比例阻尼的复模态理论。Fawzy和Bish op1976年在位形空间论述了一般复模态理论，建立了复杂的新的正交关系，然后再把响应按复特征矢量展开求解。1987年Newland【6】又在状态空间对复模态作了进一步的论述。国内倪金福和张阿舟【7】，张阿舟和朱德愁【8】，李德葆等都详细研究过对称系统的复模态理论。郑兆昌、谭明一用摄动法研究了复模态理论，用级数渐进展开法使实模态修正成复模态。近年来国内学者还在继续复模态的讨论和完善工作。

引入状态矢量Y，线性振动系统复模态情况的自由振动方程的等价特征方程为

其中

由于A矩阵不是Hermitian矩阵或实对称，其左右特征矢量不再相同，故需研究原方程的伴随方程

相应的特征方程为

其中

由特征方程可解得复特征值及对应的特征矢量，并以共扼对出现。复模态的双正交条件，写成矩阵的形式为

显然当未出现重特征值时，这一正交关系是成立的，但当出现重特征值（）时，则需要采用正交化处理的方法构造出一组相互正交的特征矢量，以满足双正交条件。此间隐含一个假定：系统存在一组完备的线性独立的特征矢量，这是复模态理论的不足。

1.3位移场线性广义模态理论

一般情况下线性结构振动系统的运动方程的等价特征值状态方程在形式上仍可用线性振动系统复模态情况的自由振动方程的等价特征方程表示。这种亏损系统不具有张满整个空间的完备解耦特征矢量。为保证响应模态叠加结果的正确性和收敛性，需寻找并补充一些新的独立矢量，组成州个完备的独立矢量基以张满整个空间，使系统的运动能在该组基下得到正确的描述并在最大程度上解耦。该组矢量系为系统的广义模态或广义特征矢量。Newland对亏损系统进行了讨论，但未给出求解方法。目前国内外关于广名模态理论的文献不多，广义模态理论还在发展中。

2模态理论在损伤诊断上的应用

目前提出的损伤诊断方法如下：①损伤指标法，主要指标有坐标模态确认准则、改进的坐标模态确认准则、模态应变能指标、模态曲率指标、模态柔度指标、模态刚度指标等，王柏生等【9】就青马大桥、汀九大桥分别对多个损伤指标进行了数值模拟分析研究，2003年Kim等引入误差指标，提出基于频率、位移模态的梁式结构损伤识别法；②模型修正法，这是研究得较为成熟的一种方法；③灵敏度分析法，周先雁等用“残余向量”识别了混凝土杆系结构的损伤部位，再进行加权灵敏度分析，以确定损伤程度，Kim和Bartkouicz两步法的第二步也是用设计灵敏技术识别具体损伤构件的位置和程度；④反分析法，该类方法实际上是最优化问题，有两种误差函数—方程误差型、输出误差型，Liu 【10】等利用最优化方法进行了桁架结构的损伤诊断，易伟建等利用遗传算法仿真模拟了悬臂梁、连续梁、框架等结构任意构件发生损伤的情况；⑤人工神经网络法，国内外学者应用神经网络对结构损伤诊断进行了大量研究，2003年Sahin、Shenoi将频率和曲率模态相结合，应用人工神经网络法诊断悬臂梁式结构损伤。

上述方法对于大型复杂结构都有其不足：目前的损伤指标法只能识别出损伤的大概区域；模型修正法一般需要比较完备的测试数据，否则也只能找到损伤的大概区域；灵敏度分析法和反分析法的设计变量不能太多，否则难以实现；人工神经网络法的网络结构不能太庞大，否则难以收敛。

现有的损伤指标法是结合有限元模型分析结果，根据实测模态数据，利用结构损伤前后动态参数的变化构造合适的损伤指标，用以判别损伤的存在、位置或程度。目前常用的结构损伤识别指标主要有两类【10】:①相关弱化型，是以结构损伤前后相关系数弱化为度量的损伤识别指标，包括位移模态坐标保障准则和应变模态坐标保障准则；②极差型，包括结构损伤前后的固有频率差、模态阻尼差、位移模态差、应变模态差、模态应变能差、刚度矩阵差和柔度矩阵差等。

李德葆等研究得到六种损伤识别指标灵敏度由低到高次序为：结构位移模态振型、固有频率、位移频响函数、曲率模态振型、应变模态振型、应变频响函数【11】，应变型指标比位移型指标对损伤具有更好的识别能力。

2.1 位移类损伤指标

位移类损伤指标法包括坐标模态确认准则、模态曲率准则、模态柔度指标、模态应变能指标。一些学者亦称“模态曲率”为“曲率模态”。该方法基本思想认为结构作弯曲振动时，对于每一个弯曲位移模态，必有一个对应的曲率模态。和应变模态推导相似，曲率模态也具有正交性。

模态曲率指标一般适用于面型结构或梁型结构。模态曲率与弯曲刚度有关，如果结构出现破损，则破损处刚度降低，而位移模态曲率便会增大。模态曲率的变化随着损伤量的增大而增大。因此，可根据模态曲率的变化确定损伤发生的位置，这种方法以模态曲率作为定位参数。1991年，Pandey 等通过计算研究了简支梁、悬臂梁模态曲率变化与损伤的关系。1999年，清华大学邓焱、严普强做过类似计算，并通过位移模态的差分运算求取模态曲率。

2002年，昆明理工大学李功宇和郑华文对悬臂梁进行了数值仿真模拟，利用曲率模态进行了损伤识别，定义了曲率模态振型幅值突变系数，利用该系数诊断结构损伤程度。

该方法不足之处是需要非常邻近的测点，以便利用中心差分法求取模态曲率。这就要求有足够密的测点，或精度非常好的插值扩阶模态，否则将增大模态曲率的误差。

近年来，一些研究者应用模态柔度的改变量对结构进行损伤识别，发现模态柔度比固有频率或位移模态对局部损伤敏感。Raghavendrachar和Aktan通过对一个三跨混凝土挢的数值分析和实验研究证明了该特点；Pandey和Biswas采用柔度改变量作为损伤识别指标，他们对简支梁结构进行仿真计算和实验，结果表明柔度差方法对单位置损伤有很好的识别能力，但对多位置损伤识别效果不好；Zhao和De Wolf将固有频率和模态振型与模态柔度进行了灵敏度分析对比，也证明了模态柔度比固有频率和模态振型对损伤敏感。

基于模态应变能变化的无损检测方法是由Stubbs和Kim等1995年提出的，模态应变能方法同时利用模态参数和有限元信息，其基本原理是利用结构早期损伤前后应变能发生变化的差值或离散单元模态应变能变化率作为无损检测指标，假定结构振动变形以弯曲变形为主。Cornwell等将梁式结构应变能理论推广到板式结构，采用数值仿真和模型试验进行了验证，该方法无需对模态进行质量归一。应变能方法已应用于桥、板和悬臂结构的损伤识别。

有人又提出了结构单元模态应变能的概念，给出了基于单元模态应变能变化率的结构早期损伤位置的识别方法，在定性分析基础上进一步确定损伤程度。虽然该方法灵敏度稍高，但不足之处是需要结构有限元模型。

2.2 应变类损伤指标

结构构件局部损伤会导致损伤区域附近应变发生显著变化，应变模态从而也发生显著变化，因此可根据应变模态进行损伤诊断。基于应变模态的损伤指标识别法有：绝对变化量指标、相对变化量指标、应变模态差的变化率指标、坐标应变模态确认准则、弯矩指标、广义应变比能指标。

周先雁等应用应变模态方法对钢筋混凝土结构的损伤识别进行了初步尝试，针对两种工况，通过应变频谱曲线，直接获取前二阶共振频率处的应变幅值。根据钢筋混凝土损伤状态下的动应变相对完整状态下的变化量进行损伤定位。

应变模态差的变化率指标意义是某一位置发生损伤时，应变模态改变量一阶导数在该位置有突变。任权采用该法对压力管道进行了损伤识别。

2003年，刘文峰、柳春图提出广义应变比能概念，利用广义应变比能定位损伤，在测试数据充分的情况下可大致判断损伤程度。

刘文峰、柳春图认为：若结构是完好的，则广义应变比能趋势和理想振型趋势相近；如果结构有损伤，则在损伤截面及其附近，由于抗弯刚度减少，相应的广义应变比能要增大。当某处广义应变比能突然增大时，即可认为此处存在损伤，极大值处即为损伤部位。该方法不适用于损伤位置或程度未知的实际结构。

3结构损伤直接指标法

目前所涉及的损伤指标法大多数是基于位移类模态，基于应变模态的损伤指标法虽然克服了敏感性低的缺点，但就当前的理论基础及技术而言，应变类损指标法大多数只能用于损伤定位，且普遍存在一个致命的弱点，即需同时利用结构损伤前后的模态数据。模态数据的获得只能通过试验或计算两种方法，对于既有结构物，由于当时技术、资金等因素所限，往往缺少损伤前的试验数据。此外，存在设计资料不全、施工离散性、材料及边界条件等问题，计算假定也难以与实际结构相符，计算误差通常掩盖了损伤对模态参数的影响，得到损伤前的精确状态非常困难。所以，以上方法大多局限于实验室或数值模型中，难以在实际工程中推广应用。针对上述不足，提出无原始模态数据下（直接根据损伤状态）基于损伤应变模态差分(Strain Mode Shape Difference)原理的损伤位置直接指标法。

损伤位置、程度直接指标法尤其适用于未安装健康监测系统的结构。对于突发事情造成的结构损伤，诸如交通事故、超载以及地震泥石流等地质灾害等，无法得到损伤前或相对健康状态下的模态数据，而应用无健康状态下的损伤位置程度直接指标法能进行损伤诊断。

由于混凝土结构在成型过程中会留下细观缺陷，同时抗拉性能差，承载后拉应力区会形成连续分布的细观裂纹并扩展。当应力超过某一数值后，材料的刚度下降，弹性模量降低，即抵抗变形的能力下降。根据X射线(或超声波)测试结果可知，一般当应力超过材料强度值的50%后，材料损伤随应力(或应变)的增加而迅速增大。及时检测并发现破坏前的刚度降低或小裂纹位置，是防止事故发生

的有效措施之一。其包含基于应变模态差分原理的损伤位置直接指标法和基于局域应变模态面积的损伤程度直接指标法。

4应用现状及原因分析

振动模态分析技术在发达国家已被广泛应用于航空、航天、精密机床等领域的故障诊断、荷载识别和动力学修改等问题中，在我国，该方法在机械故障诊断和桩基检测中的应用也较多。近年来，国内外学者做了大量的研究工作，证明了用环境激励法对结构进行动力测试的可行性，为结构损伤敏感参数的选择积累了理论知识和实验基础，开发了各种基于频率、振型、曲率振型、应变振型等模态参数的损伤检测和定位技术。在处理方法上，探寻了MAC 法、COMAC 法、柔度矩阵法、矩阵摄动修正法、非线性迭代法及神经网络法等，这些方法各具特色，在局部的范围内均取得了积极的效果。

这种方法在建筑结构检测应用还比较少，距离系统的目标尚有一定距离，主要原因有: 建筑结构的不确定性和复杂的工作环境对结构模态反应造成了不利的影响。建筑本身是一个由多种材料、不同结构组合而成的大型综合系统。系统各个成分应力状态、易损性不一，刚度动力特性相差甚大，如果直接从振动模态分析技术出发，笼统地用某种单一的动力特性变化指标去考察整体结构的状态和损伤情况，显然是难以得到预期效果的。在振动实验中缺乏有效的传感器优化布设方法，难以利用较少的传感器来获取全面、精确的结构参数信息，而且布设的测点不一定对模态参数的变化特别敏感，这对早期界构的整体探伤造成困难。环境因素对结构的影响很大。另外，结构基础沉降以及构件预应力损失所引起的应力重分布都不可避免的对振动模态分析产生消极的影响，使损伤导致的结构模态参数的变化淹没在其中，这也是当前振动测试中响应量值对感兴趣的结构参数不敏感的原因。

振动模态分析技术在建筑结构损伤识别领域具有广泛的前景，虽然前人已经做了大量的研究工作，但这些研究在建筑结构状态评估的研究开发中尚处于基础性的探索，为实现建筑结构损伤的准确检测，还需做进一步的研究。基于振动模态分析方法的研究现状和建筑结构本身的特性，为提高建筑结构损伤检测的准确性，应具体做以下几方面的工作: 开发传感器的最优布设技术，使得所布测点对结构损伤的变化最为敏感；使得在含噪声的环境中能够利用尽可能少的传感器，获取全面、精确的结构模态参数信息，以便对结构损伤的准确识别。努力提高各种实验测量机械的精度、信号处理器的除噪技术和实验人员的整体素质。

5 结语

本文对近年来国内外在线性位移实模态、复模态、广义模态理论等方面的研究进行了简要的综合分析和介绍。由于笔者能力有限，所以介绍的还不怎么清晰。本文还介绍了模态理论在损伤诊断上的广泛应用，虽然前人已经做了大量的研究工作，但这些研究在建筑结构状态评估的研究开发中尚处于基础性的探索阶段。

参考文献

[1] 管迪华.模态分析技术[M].北京：清华大学出版社，1996

[2]Allemang R J,Brown D L. Experimental modal analysis[J]. Structural Dynamics Research Laboratory, University of Cincinnati, Ohio, 1983.

[3] Close C M, Frederick D K, Newell J C. Modeling and analysis of dynamic systems[M]. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1978.

[4] C aughey T K, O’kelly M E J. Classical normal modes in damped linear dynamic systems[J]. Journal of Applied Mechanics, 1965, 32(3): 583-588.

[5] Meirovitch L. Analytical methods in vibrations[J]. 1967.

[6] Newland D E. On the modal analysis of non-conservative linear systems. J. Sound and Vibration.112, 1(1987):69-96

[7] 倪金福,张阿舟. 关于复模态理论的几个间题. 南京航空学院学报, 3 (1982)

[8] 张阿舟,朱德懋. 阻尼系统的振动分析. 航空学报, 5,3(1984): 321-331

[9] Wang B S,Liang X B,Ni Y Q,et al. Comparative study of damage indices in application to a long-span suspension bridge[A].Elsevier Science Ltd,2000:1085-1092

[10] 顾培英,陈厚群,李同春等. 应变模态技术诊断梁结构损伤[J].地震工程与工程振动,2005,25(4):50-53

[11] 李德葆,陆秋海.实验模态分析及其应用[M].北京：科学出版社,1999