假设检验习题及答案.doc

_950-1000 _

100/V25 = —

2.5

0.34

19

第三章假设检验

3.2 一种元件，要求其使用寿命不低于1000 （小时），现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950 （小时）。已知这种元件寿命服从标准差

6 = 100（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

提出假设：H o-.ju> 1000, H]：〃<1000

构造统计量：此问题情形属于u检验，故用统计量:

u=^ —

此题中= 950 cr0 =100 n=25 用=1000

代入上式得：

拒绝域:

V={|u| > "胡

本题中：a = 0.05 u 0 95 = 1.64

即，|u|>"°.95拒绝原假设％

认为在置信水平0.05下这批元件不合格。

3.4某批矿砂的五个样品中镣含量经测定为（％）:

3.25 3.27 3.24 3.26 3.24

设测定值服从正态分布，问在a = 0.01下能否接受假设，这批矿砂的镣含量为提出假设：气：〃]=为=3.25

构造统计量：本题属于W未知的情形，可用t检验，即取检验统计量为：t= X"）

本题中二= 3.252, S=0.0117, n=5

代入上式得：

_ 3.252-3.25

—0.0117/7^1

否定域为：

V=< t>t >

本题中,a = 0.01 角.995（4） = 4.6041

••• V «

1--

2

接受丑0,认为这批矿砂的镣含量为3.25。

0.035%,

= -4.1143

10

*(0.035% 尸

=

7.6563 否定域

v={z 2

>zL(»-i)}

本题中，

%”1)=就5 ⑼= 16.919

接受也

3.9

设总体X N(〃,4),X I ，...,X]6为样本，考虑如下检验

问题:

3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值X = 0.452%,S

设总体为正态分布试在水平5%检验假设:

(z)

H 。：〃 20.5%

H|：〃<0.5% (z7) H () :cr>0.04%

H, :cr<0.0.4%

①构造统计量：本文中b 未知，可用f 检验。取检验统计量为

t

_ x

~Ao

本题中，歹=0.452% S=0.035%

代入上式得：

0. 452%-0, 5%

t= ------- / I --

0. 035%/面互

拒绝域为:

V={|t|>t[_a(〃 —1)}

本题中，a = 0.05

n=10

t 095(9) = 1.8331 <|t| = 4.1143

拒绝％ (刃构造统计量：〃未知，可选择统计量

,nS 2

本题中，S =0.035% n=10 cr 0 =0.04%

代入上式得：

H 。: // = 0 H]: —1 (i) 试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为«=0.05

V 1=(2X<-1.645} V 2= {1.50 <2X< 2.125}

V3={2X < —1.96或2文>1.96}

(ii)通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？解：

(0

a = P(xe V|H()} = 0.05

即，P |U|=4>u u°」= 0.05

° ?

这里丑0：〃=0

.•.P{冈>2*1.96} = 0.05

Vi ={2X <-1.645}

P{2X < —1.645} = P< < -1.645 > = 0(-1.645) = 1-0(1.645)

=1-0.95=0.05

V2 = {1.50 < 2X <2.125} = < 1.50 <^^<2.120 >

P{V2\H O] = 0(2.215)-0(1.50) = 0.98-0.93 = 0.05

匕={2X < -1.96^2% > 1.96} = {|2X | > 1.96} = < >1.96 >

4~n

P(V3|H O)=1-P{|2X| <1.96} = 2(1-0(1.96)) = 0.05

(ii)

犯第二类错误的概率

”=p{x-v|M}

%: 左1.645|〃 = -1}

X +1

=P 〈 — 2 0.355 } = 1 — 0(0.355) = 0.36 V 2 :^2 = 1 -P{1.5O < 2X < 2.125|// = -1} V I 1

= 1-P^3. 50 < — <4.125^

(J = 1-0(4. 125)+0(3. 50) =1

% "=啡可 V1.96〃 = -1} X +1

=P^0.04< ——< 3.96 (J

=0(3. 96)-0(0. 04)

=0. 99996092-0. 516=0.48396092

.••K 出现第二类错误的概率最小，艮吗最好。 3.10 一骰子投掷了 120次，得到下列结果: 问这个骰子是否均匀？ 0 = 0.05) 解: 本题原假设为： H 。：£ = — i 二1, 2,...，6

这里n=120, nP T = 20

本题采用的统计量为Pearson 石2统计量 L

M

nPi

即,

代入数据为：

2

白(七一阻)2 (23-20)2+ (26-20)2 +••• + (15-20下 /一 =

£ _L L L_ = ------------------------------------ - ----------------------- =4. 8 nPi

20

2 = 0.1353

2*< 厂2 = 0.2707 ：2* e~2 - :0.2707 1

.5 */ =

0.2030 2* - * 3 / -

=0.0902

4 . _ : =0.0361 15

4 *0

2 =0.0120

'4

鸟=P{X 2 7} = 1-P{X <6} = 0

2 _ y S-npy _ (8 — 60*0.1353)2 (16 — 60*0.2707)2

(1 — 60*0.0120)2

* 乙 An*n 60*0 0120 nPi =0.6145

60*0.13

53

60*0.27

07

zL

（（7=0.05）

解: 检验问题为:

H°:P(x = A) =些： 参数为2 k\ 已知人的最大似然估计 A — A 8 16 1 0

4 = X = np = 0* --- 1* ----- 1 -- 6* ----- 7* ----- 1— = 2

60 60 60 60

2°/

4=P{x=0} = -^- 2亳一2 尊 P{X=1} = 〒 ?2

e -2

E=P{X=2} =亍 ?3

e -2

R=P{X=3}= 丁 ?4

e -2

，=P{X=4} = 〒 2七一② g=P{X=5} = ^- ?6

e -2

g=P{X=6} = -^-

由于；I 乙（k-1）=力"

（5） =11.071 接受Ho,即分布可以

看作为泊松分布。

3.13从一批滚珠中随机

抽取了 50个，测得他们的直径为（单

位：mm ）:

.0

J 龙. 9J

5. 5..83

.O

龙.0

5.5

.5.

.2.

O3.

O3

5.5

.5.

5.5

J.6

.6.

9.7

5.5

.5.

.9.

7J.

8.5

5.5

.5.

.7.

8.9

.5.

5

4.4

.8.

5龙

J.0

4.4

.4.

.5

龙.

6.5

J

5.4

.4.

.6.

9.8

.5.

6

5.4

3.9

龙

J.2

5.

4.

5.

.

2

是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？0 = 0.05）

解：

设X为滚球的直径，其分布函数为F(x),则检验问题为

H°:F(x)2(l)

(J

在H°成立的条件下，参数S的最大似然估计为^=15. 078, 3=0.1833 *,14. 6T5. 078、_ . . . . ci”、

Pi = 0( ------------- ) = C>(-1.1163) = 0.1321

10.4282

1 A Q _1 C Q7R

p2 =

p3 = 04282?8)一中(-°・6492) = 0(0.0514)-0(-0.6492) = 0.2624

p4= °(15'Q428278)一中(-Q6492) = 0(0.7520) - 0(0.0514) = 0.2535

P5 = 1 - /a - p2 - p3 -p4 = 0.2260

zL(k-m-l)=兄.95(2) =5. 991

••• Z2 < Z〕a(k-m-l) =5. 991

接受认为滚珠直径服从正态分布。

3-13 表

0.5059

"

j -

1)

=300 (

582382322282442452 + + + + + 109*128 100*128 91*128 109*117 100*117 91*117

+工+工+上

109*55 100*55 91*55 -1)

3.15下列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。

疗效年龄儿童成年老年

E

显著583832128

一般284445117

较差23181455

10910091300

试问疗效与年龄是否有关0 = 0.05) ?

解:

设X为年龄乂]=儿童乂2=成年乂3=老年

Y为疗效Y]=显著丫2=一般丫3=较差

H o： Pi」= p,..*e i=l,2,3 j=l,2,3 艮昨与Y独立

本题选择的统计量为

_ A A p % n j

n：—n p. p . n i；----- 2

r s ij Xi L J r s〃尸s 〃匕

一」=£ J」

i=1 j=i n Pj p j i=i j=i n i n j i=i j=i n i n j

代入数据得：

=13.5862

Z：a((r-l)(s-1))=无.95 ⑷= 9488 ••• Z2 > Z12« ((r - l)(s -1)) = Zo.95(4) 拒绝H(p认为疗效与年龄有关。

3.16自动机床加工轴，从成品中抽取11根，并测得它们直径(单位: mm）如下：10.52 10.41 10.32 10.18 10.64 10.77 10.82 10.67 10.59 10.38 10.49

=

0.9834

试检验这批零件的直径是否服从正态分布? （a = 0.05,用W 检验） 解：为了便于计算，列表如下：这里n=ll 。表3-16

H 。：总体服从正态分布 闿：总体不服从正态分布

将观察值按非降次序排列成：

X⑴ V X （2）< • < X （n ）

本题采用的统计量为：

c

、2

［

!］

< £aJW）［X （n+T ）-X （k ）［ > k=l

w = ----- - ------------- L

£（X （Q 一歹）2

k=l

II

_

Z （X （局一X ）2 =0.3821

i=l

X =10.5264 5

ZaJW ）［X （5—X 拦

i=i

=0.5601*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1 =0.6130

所以

、、，0.61302 W=

0.3821 W°.°、=0.85 接受H°,认为这批零件的直径服从正态分布。

3.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结 果如

下：

甲(小时)：1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 乙(小时)：1580 1600 1640 1640 1700 试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异(« = 0.05) ? 解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边 标有横线。

设两个总体的分布函数分别为FQ)与它们都是连续函数，但均为未知。

我们要检验的原假设为：

H。：耳3)=场⑴

表3-18

这里1700两组都有，排在第8,第9位置上，它的秩取平均数

(8+9)/2=8.5 这里

勺=7>〃2 =5,7取发,即

T=[ =1 + 2 + 4 + 5 + 8.5 = 20.5

从附表13查得*)= C = 22* = T® = 43

T〈T?)= 22 ,

拒绝认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异。

3.21对20台电子设备进行3000小时寿命试验，共发生12次故障，故障时间为340 430 560 920 1380 1520

1660 1770 2100 2320 2350 1650

试问在显著水平[ = 0.10下，故障事件是否服从指数分布？

解：

原假设为：H0:F(x) = F0(x;^) = l-e-^, x>0

求未知参数制极大似然估计值

A 1 12 1

6> = —^X; =—(340 + 430 + --- + 1650)=1416.67

12 i=i 12

A xu>

按公式如X“); 6) = 1 —e MB

计算X(,)点的分布函数值，在列表计算《值。

S； =2.2108, a = 0.10,9S；2（）1（） =1.65 . • q*、q*

・％ /厂12,0.10

拒绝"o,既不认为故障时间服从指数分布。