【与名师对话】2021高考数学课时作业44 文（含解析）北师大版(1)

课时作业(四十四)

一、选择题

1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是

( )

A ．x －2y －1＝0

B ．x －2y ＋1＝0

C ．2x ＋y －2＝0

D ．x ＋2y －1＝0

解析：设所求直线为x －2y ＋c ＝0， 将(1,0)代入得c ＝－1. 答案：A

2．(2021年济南二模)直线l 1：kx ＋(1－k )－3＝0和l 2：(k －1)α＋(2k ＋3)－2＝0相互垂直，那么k ＝ A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1

D ．－1或3

解析：l 1⊥l 2⇔k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0⇔(1－k )(k ＋3)＝0⇔k ＝1或k ＝－3. 答案：C

3．(2021年广州二模)设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝4}，知足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数为

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：∵直线2x ＋y ＝6与3x ＋2y ＝4的斜率不等，∴两直线相交，∴集合A ∩B 中只有一个元素，∴A ∩B 共有两个子集．故正确选项为B.

答案：B

4．当0

2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：解方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

kx －y ＝k －1，

ky －x ＝2k .得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k k －1，2k －1k －1，因为0

k －1

>0，因此交点在第二象限．

答案：B

5．(2021年广州模拟)已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，那么直线l 2的斜率为

( )

B ．－1

2

C ．2

D ．－2

解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋3

2，

∴l 2的斜率为1

2.

答案：A

6．(2021年德州模拟)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，那么直线l 的方程为

( )

A ．2x ＋3y －18＝0

B ．2x －y －2＝0

C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0

D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 解析：设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，

由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |

1＋k 2，

∴k ＝2或k ＝－2

3

.

∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.

答案：D

二、填空题

7．(2021年长春一模)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y

－6＝0平行，那么直线l 1的方程是________________．

解析：∵l 1∥l 2，∴可设直线l 1：3x ＋4y ＋b ＝0.∵l 1与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，∴|b －4|

5＝

1，∴b ＝9或b ＝－1，

∴l 1的方程为3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0. 答案：3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0

8．(2021年临沂模拟)已知A (3,1)、B (－1,2)，假设∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，那么AC 所在直线方程是________．

解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)，

则⎩

⎪⎨⎪⎧

y 0－1

x 0－3＝－1，y 0

＋12＝x 0

＋3

2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝0，

y 0＝4，

即A ′(0,4)．

∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.

由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－3，

y ＝－2，

得C (－3，－2)．

∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝0

9．(2021年青岛质检)点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，那么P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．

解析：如图，平移直线y ＝x －2，使之与曲线相切，并设切点为(x 0，y 0)．

∵y ′＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1(舍去x 0＝－1

2

)，∴y 0＝x 20－ln x 0＝1，∴切线的方程

为y＝x.

∵两平行线间的距离为2

2

＝2，

∴曲线上点到直线y＝x－2的距离的最小值为 2.

答案：2

三、解答题

10．(2021年合肥一中月考)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b

＝0，求知足以下条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；

(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.

又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.

(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a

b

＝1－a .

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4

b

＝b .

故a ＝2，b ＝－2或a ＝2

3

，b ＝2.

11．过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝

2，求直线l 的方程．

解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，

由⎩

⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，

4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋2－k ，

4x ＋3y ＋6＝0，

解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4. ∵|AB |＝2，

∴

⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2－48k －7＝0，

解得k 1＝7或k 2＝－1

7

.

因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.

12．(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．

图甲

解：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，现在的P 知足|PA |－|PB |的值最大．

设B ′的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k l ＝－1， 即

b －4a

·3＝－1.

∴a ＋3b －12＝0.

①

又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 2，

b ＋42，且在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋4

2－1＝0，即3a －b －6＝0.

②

①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －4

3－4，

即2x ＋y －9＝0.

解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，

y ＝5，

即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．

(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C ′，连接AC ′交l 于点Q ，现在的Q 知足|QA |＋|QC |的值最小．

设C ′的坐标为(x ′，y ′)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

y ′－4

x ′－3·3＝－1，

3·x ′＋32－y ′＋42－1＝0.

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝35

，

y ′＝24

5.

∴C ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫35，245.

由两点式得直线AC ′的方程为y －1245－1＝x －4

35－4，

即19x ＋17y －93＝0.

解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

19x ＋17y －93＝0，

3x －y －1＝0，

得

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝

11

7

，y ＝267.

∴所求点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

117，267.

[热点预测]

13．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值是

( )

A ．1或3

B ．1或5

C ．3或5

D ．1或2

解析：由k －3

2k －3＝4－k －2≠1

3或k －3＝0，得k ＝3或k ＝5.

答案：C

14．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，那么反射光线所在的直线方程为________．

解析：由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝1

2，因此直线的方程

为y －3＝1

2(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，因

此反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知反射光线所在的直线方程为y －23－2＝x －0

－2－0

，即

x ＋2y －4＝0.

答案：x ＋2y －4＝0

15．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，

Q 两点．

(1)假设OP →·OQ →

＝－12

，求直线l 的方程；

(2)假设△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率． 解：(1)依题意，直线l 的斜率存在，那么可设直线l 的斜率为k . 因为直线l 过点M (－2,0)，可设直线l ：y ＝k (x ＋2)． 因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，因此|OP →|＝|OQ →

|＝1.

又因为OP →·OQ →＝－12

， 因此OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos ∠POQ ＝－12

.

因此∠POQ ＝120°，因此O 到直线l 的距离等于12， 因此|2k |k 2＋1

＝12，得k ＝±1515. 因此直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋

15y ＋2＝0. (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，因此MQ →＝2MP →，

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

因此MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →

＝(x 1＋2，y 1)． 因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＝2x 1＋2，y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＝2x 1＋1，y 2＝2y 1.(*) 因为P ，Q 两点在圆上，因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 2

1＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.

把(*)代入得⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

1＋y 21＝1，4x 1＋12＋4y 21＝1. 因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－78

，y 1＝±158.

故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159，即k ＝±159.