基于ARM的倒立摆系统毕业设计

摘要

倒立摆控制问题公认为控制理论中典型的控制问题。在现实生活中，可以形象的看做是杂技顶杆表演，其物理机制与控制系统的稳定性密切相关，它深刻地揭示了自然界一种基本现象，即一个自然不稳定的被控对象，通过人的直觉的、定性的控制手段．就可以具有良好的稳定性[1]。倒立摆的控制问题的研究和实现不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。因此，倒立摆能够为验证其控制策略和方法的可行性提供有效的装置，以检验控制律实现的有效性和实时性。它是一种广泛应用的物理模型，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。

本文针对单级倒立摆系统(Simple Inverted Pendulum System)提出了基于ARM的控制方案，单级倒立摆及其载体的运动模型是一种复杂的非线性模型。本课题利用牛顿—欧拉法对直线一级倒立摆的小车和摆杆部分进行理论建模，并对直流电机及其驱动电路、红外线检测、限位开关等机械部分进行分析。我们将能量控制理论运用其中，倒立摆平衡控制部分应用PID算法实现。设计了一套具有较低复杂度和较短响应时间的控制系统，然后使用matlab软件中的Simulink 工具对得到的模型进行计算机仿真。最后在基于ARM2131完成了整个系统的设计和调试。

最后对该平台的研究工作进行展望。

关键词:倒立摆系统、能量反馈、ARM2131控制、直流电机、编码器

ABSTRACT

The control problem of inverted pendulum is recognized the typical control issues in the control theory. In real life, it can be seen as the image that Acrobatics performances, and the physical mechanism is closely related to the stability of control system, it profoundly reveals a basic phenomenon of the nature, that is a natural instability of the object through The intuitive, qualitative that means of control and then it Can have good stability. The study and realization of Inverted pendulum control not only have profound theoretical significance but also have important engineering background. Therefore, the inverted pendulum be able to provide an effective device to validate its control strategy and the feasibility and to test the effectiveness of control law and real-time. It is a widely used physical model. The control methods and techniques of inverted pendulum will have broad prospects for the development and utilization in semiconductor processing and precision instruments, robot technology, the control system of intercept missiles, aircraft and other aspects of docking control technology.

This topic for Simple Inverted Pendulum System raise the ARM-based control scheme, simple inverted pendulum and its vector of movement model is a complex non-linear model. This subject obtains the theory model of the car and the swing link part of inverted pendulum by using the Newton - Euler method, and analysis the servo motor and its drive circuit, infrared detection, limit switches and other mechanical parts. it use PID algorithm and the energy control theory, inverted pendulum balance control, and design a set of low complexity and shorter response time of the control system, then use the Simulink tools of matlab software to computer simulation for the model.

Finally, the topic carried out prospects the research work for the platform.

Key words：Inverted pendulum system, energy feedback, the control of ARM2131, the DC motor, the encoder

目录

第一章倒立摆系统概述 (1)

1.1倒立摆系统的基本概念 (1)

1.2倒立摆控制模型及其原理简介 (1)

1.3倒立摆系统的应用和稳定性研究的意义 (3)

1.4国内外研究现状和新趋势 (3)

1.4.1倒立摆控制的现状和新趋势 (3)

1.4.2 实时仿真的研究现状 (4)

1.5本课题的研究内容 (5)

第二章单级倒立摆控制系统硬件设计 (6)

2.1 系统总体设计方案 (14)

2.1.1 系统的总体结构 (6)

2.1.2 控制系统机械结构设计 (7)

2.2 倒立摆的控制要求 (12)

2.3 倒立摆系统中通讯控制系统的选型 (13)

2.4 ARM最小系统 (15)

2.5 直流电机及其驱动电路 (17)

2.5.1 直流电机的结构及原理 (17)

2.5.2 电机驱动电路的设计 (18)

2.6 传感器的选择 (21)

2.6.1 旋转编码器的选型 (22)

2.7 红外线检测反馈 (24)

2.8 小车限位开关 (25)

第三章直线一级倒立摆的建模分析 (15)

3.1 一阶倒立摆总体分析 (8)

3.1.1 模型参数说明 (8)

3.1.2 模型牛顿定律受力分析 (9)

3.2 模型受力传递函数 (10)

3.3 模型的状态空间方程 (11)

3.4 系统分析 (12)

第四章倒立摆控制系统的算法研究比较 (27)

4.1 倒立摆系统的PID控制算法设计 (27)

4.1.1 理论分析 (27)

4.1.2 仿真实验 (30)

4.2 倒立摆系统控制算法的状态空间法设计 (31)

4.2.1 LQR控制器设计与调节 ................ 错误！未定义书签。

4.3 分阶段起摆的控制实现 (35)

4.3.1 分阶段起摆及其稳摆控制器的设计 (35)

4.3.2 小车位置跟踪 (38)

第五章单级倒立摆控制系统的软件设计 (40)

5.1 开发软件系统介绍 (40)

5.1.1 ADS集成开发环境及EasyJTAG仿真器的使用 (40)

5.1.2 ADS1.2集成开发环境的组成 (41)

5.1.3 EasyJTAG仿真器简介 (42)

5.2 ARM总体设计及流程图 (43)

5.2.1 系统初始化模块 (43)

5.2.2 数据采集及滤波模块 (44)

5.2.3 串口通信模块 (45)

5.2.4 倒立摆倒立平衡控制控制计算实现 (46)

5.3 控制倒立摆起摆的程序 (46)

5.3 安全检测 (47)

5.4 采样周期选择 (48)

5.5 仿真结果和实际控制情况比较 (49)

第六章总结和展望 (51)

6.1 研究总结 (51)

6.2 研究展望 (51)

参考文献 (52)

致谢 (54)

附录一L298芯片 (55)

附录二外围电路 (55)

附录三ARM2131开发板及其倒立摆实物图 (57)

附录四程序清单 (59)

第一章倒立摆系统概述

1.1倒立摆系统的基本概念

倒立摆是典型的非线性控制系统，它的控制原理是步行机器人的研究基础，也是典型机器人手臂的模型。由于它的严重非线性和高阶次，它可以用来研究各种控制算法。现实生活中有很多现象都是一个倒立摆的模型，比如说搬运火箭的发射车、行驶的自行车甚至直立的人。

既然实际生活中存在着如此多的倒立摆现象，研究倒立摆的控制算法也就有着广泛的应用。倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。

倒立摆按照运动方式分为直线运动的小车式倒立摆和旋转式倒立摆。小车式倒立摆通过控制小车的运动速度，改变小车和小车上的倒立摆之间的相对速度，使倒立摆维持在平衡状态。本文研究的便是直线运动的小车式倒立摆。旋转式倒立摆通过控制电机的旋转速度控制旋臂的角度位置和速度，从而控制摆杆的平衡。倒立摆按照摆臂的级数分为单级倒立摆、二级倒立摆、多级倒立摆。随着级数的增长，倒立摆的模型也越来越复杂，非线性程度越来越大，其控制也越来越困难。单级倒立摆是研究多级倒立摆的基础。倒立摆还可以根据摆杆的刚性程度分为刚性摆杆的倒立摆和柔性摆杆的倒立摆。刚性杆的倒立摆可以根据牛顿力学方程和能量守恒定律建立系统的模型，而柔性杆的倒立摆则随着杆的柔性系数的变化而成为变结构的倒立摆，其精确模型的建立比较困难。卫星的太阳能电池的接收翼便是柔性杆的例子。

倒立摆控制算法的研究包括：变结构控制、拟人的智能控制算法、模糊遗传控制算法以及预测控制等。这些算法都有一个共同点：不需要精确的数学模型。这是由于多级倒立摆模型的非线性，对它建立精确的模型是不可能的，也是没有意义的，在这种模型上的控制就更加不确定。而对倒立摆所作的硬件应用研究并不是很多，大部分是PC机控制的倒立摆，算法大多在MATLAB中实现。

倒立摆作为一种实验装置，具有直观、形象、简单的特点，而且其形状和参数都易于改变。但是作为一个被控对象，它同时又是一个相当复杂的、高阶次、多变量、非线性、强耦合、不确定的绝对不稳定系统，必须施加十分经典而具有挑战性的问题，许多新的实时控制理论都通过倒立摆控制试验来加以验证。

从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各种重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火箭的垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控制有很大的相似性。因此，倒立摆成为控制领域中经久不衰的研究课题，有人将它喻为“任何一个自动控制部门追求的皇冠上的明珠”。简单的一级倒立摆可以用于自动控制的教学实验，而复杂的两级、三级倒立摆则可以用于更为复杂而有效的实时控制算法研究的验证手段。

1.2倒立摆控制模型及其原理简介

倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。在控制过程中能反映控制中的许多关键的问题，如镇定问题[2]、非线性问

题[3]、鲁捧性问题[4]、随动问题[5]以及跟踪问题[6]等。各国专家学者在这一领域进行了长期不懈的研究和探索。倒立摆的智能控制方法有模糊控制[7]，神经网络控制[1]，云理论[8]，仿人智能控制[1]等等。

倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级…；倒立摆的运动轨道可以是水平或倾斜；控制电机可以是单电机或多电机。常用的水平导轨的、单电机的、单级或多级倒立摆系统。

本文介绍的一级倒立摆系统所采用的基本结构是，在一条轨道上控制驱动一个小车和一个与小车自由连接的摆杆组成的车一摆系统。小车可以在有限长的导轨上自由移动，同时摆杆在垂直的平面内自由转动，如图1-1所示。我们知道倒立的机械摆是一个不稳定的系统，很难竖立而不到。但我们可以通过电机控制驱动小车的在导轨上运动，就有可能使摆杆稳定在垂直向上的平衡位置。

图1-1一级倒立摆的结构原理图

图1-2 一级倒立摆闭环控制系统

如图1-2所示，该系统由计算机、运动控制卡、驱动电机、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统，传感器如光电码盘将小车的位移信号、摆速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度信号、速度信号由光电码盘也反馈回运动控制卡。计算机从运动制卡中读取实时数据，确定控制决策(小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等)，并实现该控制决策，产生相应的控制量，即基于这些信息和控制算法得到电机的电压控制量，使电机带动小车运动保持各级摆杆平衡。本设计的控制卡采用的就是ARM2131微控制器，检测仪器采用红外线检测小车运动的位移信号，反馈到控制器中。控制器经过计算得到控制力驱动电机来控制倒立摆的起摆和稳摆。

1.3倒立摆系统的应用和稳定性研究的意义

在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一种控制装置，它结构简单、价格低廉、便于模拟和实现多种不同的控制方法。作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，因此只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制模糊控制及人工神经元网络[8]等都能在倒立摆系统控制上得以实现而且当一种新的控

制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。

倒立摆系统在控制系统研究中受到普遍重视，“倒立摆系统”已被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论在教学和研究中不可多得的典型物理模型。通过对倒立摆系统的研究不仅可以解决控制中的理论问题还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和控制理论(含计算机)有机的结合起来,

在倒立摆系统中进行综合应用[9]。

在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这样一个被控对象。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题。倒立摆的典型性在于：作为一个受控装置，成本低廉，结构简单，形象直观，便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制；作为一个被控对象，又相当复杂，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性。其它如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳、定控制火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等都属于这类问题。因此对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义。

1.4国内外研究现状和新趋势

1.4.1倒立摆控制的现状和新趋势

多年来，人们对倒立摆的研究越来越感兴趣，倒立摆的种类也由简单的单级倒立摆发展随着科学技术的迅速发展，新的控制方法不断出现，多年来，人们对倒立摆的研究越来越感兴趣，倒立摆的种类也由简单的单级倒立摆发展为多种形式的倒置系统，原因不仅在于倒置系统在高科技领域的广泛应用，而且在于新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，对倒置系统的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。

古典控制理论和现代控制理论的主要特征是基于模型的控制。古典控制理论主要采用传递函数、频率特性、根轨迹为基础的频域分析方法，能够很好地解决单输入单输出问题。古典控制理论所研究的系统多半是线性定常系统，对非线性系统，分析时采用的相平面法一般也不超过两个变量。现代控制理论采用状态反馈法，把经典控制理论中的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组，用以描述系

统的动态过程。这种方法可以解决多输入多输出系统的问题，系统既可以是线性的、定常的，也可以是非线性的、时变的。

经典控制理论提供了解决单输入单输出系统的控制方法。根据对系统的力学分析，应用牛顿第二定律，建立小车在水平方向运动和摆杆旋转运动的方程，并进行线性化，拉氏变换，得出传递函数，从而得到零、极点分布情况。根据使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器，需引入适当的反馈，使闭环系统特征方程的根都位于左平面上。用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的对象数学模型。因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量，就能获得系统参数在很宽范围内的稳定性。

现代控制理论与经典控制理论相比有较强的系统性，从分析、设计到综合都有比较完整的理论和方法。据目前国内外已有资料来看，已有用现代控制理论方法解决倒立摆平衡问题的记载[10-13]，本文就是用现代控制的状态反馈法设计稳定控制器的。

随着科学技术的发展，被控对象日趋复杂，对控制性能的要求不断提高，使传统控制理论面临新的挑战。众所周知，被控对象愈复杂，数学模型愈难精确。加上系统本身的非线性以及某些不确定性，针对线性化模型进行控制系统设计的各种理论对解决这些复杂系统无能为力。在这样复杂对象的控制问题面前，人们把人工智能的方法引入控制系统，得到控制上的新突破。相应的模糊控制和神经网络控制是智能控制的重要方面，它们对倒立摆系统控制上起到了很大的作用。

模糊逻辑控制通过确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。由于模糊控制理论目前尚无简单、实用的方法处理多变量问题，故用合适的方法处理摆多变量之间的关系，仍是其要解决的中心问题。神经网络控制是指利用工程技术手段模拟人脑神经网络的结构和功能的一种技术系统，它是一种大规模并行的非线性动力学系统。神经网络具有信息的分布存储、并行处理以及自学习能力等优点。用强化学习方法来实现倒立摆的平衡控制，至今己经取得了不少成果。突加干扰时倒立摆的自恢复能力和大偏差的稳定性处理，是一个很实用的研究方向，另外，用新的控制方法如基于Back-Stepping[14-15]的方法及RBF-ARX[16-17]

模型的控制，仍是检验新的控制方法是否有较强的处理非线性、绝对不稳定系统的有力例证。

1.4.2 实时仿真的研究现状

仿真是对现实系统的某一层次抽象属性的模仿。人们利用这样的模型进行试验，从中得到所需的信息，然后帮助人们对现实世界的某一层次的问题做出决策。仿真是一个相对概念，任何逼真的仿真都只能是对真实系统某些属性的逼近。仿真是有层次的，既要针对所欲处理的客观系统的问题，又要针对提出处理者的需求层次，否则很难评价一个仿真系统的优劣。

仿真是检测控制算法对倒立摆系统影响的一个非常重要的手段，在以往的倒立摆系统的仿真研究中应用的仿真方式多为半物理仿真[18]。即将各种控制方法编写成控制程序，通过运动控制卡对倒立摆实体进行控制，观察其控制效果，然后根据控制效果再来调整控制器的参数，如此反复，直至达到所要求的性能指标为止。显然，这种用被控对象实体进行仿真所得到的控制器在控制效果上可以得到保证，但是其仿真调试时间必然会比较长。也有研究者利用MATLAB提供的V-Realm Builder[19]虚拟现实工具箱建立倒立摆三维虚拟场景，将倒立摆三维虚拟

场景和Simulink中倒立摆仿真模型连接起来，实现了虚拟倒立摆的仿真，其界面的“沉浸性”和“交互性”很强，但是却无法满足“实时性”的要求。为了达到实时仿真的目的，有些学者将第三方软件DSPACE[20]与MATLAB/Simulink结合起来，或者用多台PC机分别建立基于Matlab/Simulink RTW Target实时仿真环境的控制平台和基于Matlab/Simulink Xpc Target实时仿真环境的仿真平台[21]，然后通过PC机间的数据通讯来达到实时仿真的目的。其仿真方案虽然可行，但是显然过于复杂，实现起来比较困难。因此，本研究拟采用易于硬件读写的C 语言设计一个基于ARM的单级倒立摆的实时仿真平台。

1.5本课题的研究内容

本论文的主要工作是使用ARM2131实现一级倒立摆的控制问题，具体内容如下：

(l) 介绍了倒立摆系统的概念、研究意义和发展状况，单级倒立摆的物理结构、工作原理、数学模型的建立，并分析了倒立摆系统的能控性、能观性；

(2) 单级倒立摆起摆控制算法的研究，PID控制方法、LQR控制方法和分阶段控制方法，用Matlab和Simulink实现了各种控制系统的仿真，得到了倒立摆各状态变量及控制量的响应曲线，通过仿真，说明所设计控制器的有效性；

(3) 单级倒立摆控制系统设计，即设计相应的切换控制策略，使摆杆从自然平衡状态经摆起过程最终切换至竖直平衡状态；

(4) 基于ARM2131的直线一级倒立摆的软件系统开发，利用计算机实现单级倒立摆系统的控制，并研究可行性；

(5) 对倒立摆的发展进行展望，提出更广阔、更有效的控制方法进行讨论。

第二章系统总体设计

2.1系统的总体结构

倒立摆的硬件控制系统包含：

1.倒立摆本体部分：这部分包括直流电机、旋转编码器，其中旋转编码器将随小车一起移动，其中的连线由小车拖曳。

2.测量部分：包括旋转编码器，倒立摆的角度偏移信号通过编码器送到ARM2131控制器作为系统输入。

3.控制部分：由ARM2131控制器和上位机组成，经过采样得到的输入信号按控制规律由控制程序计算得出控制量，以脉冲PWM波的形式传给直流电机驱动电路。

4.执行部分：包括直流电机驱动电路、直流电机及其电源。其中直流电机驱动电路接受来自ARM关于电机前转数的脉冲信号和步进电机的换向信号，确定转向及转数后再进行运转。

图2-1倒立摆系统的结构图

一级倒立摆的结构简图如图所示。主要由计算机、EasyARM2131实验开发板、电机、检测传感器、驱动电路以及一些机械部件组成。计算机作为串行通信的上位机实现对系统运行情况的显示，同时也为操作者提供人机界面，完成系统的监督管理功能；EasyARM2131开发板作为系统的主要控制部件实现整个系统的算法控制、采样、发送脉冲、完成模/数、数/模转换等工作；电机驱动电路用来驱动电机运转；力矩电机是系统的执行元件；检测传感器是系统的测量元件，它分别检测小车相对于轨道中心点的位移，摆和铅垂线的角度偏移。系统的整套机械部件分别安装在一块架体上，上面固定着导轨支架、电机底座和传动装置等。通过导轨支架安装好导轨，小车靠直线轴承与导轨配合通过拉线钢丝传递电机动力实现运动，小车连着旋转编码检测器，轨道中点下方装有红外线检测传感器，小车运动时经过检测器。

由以上的分析可以得到倒立摆控制系统的控制原理图。如图2所示的是一级倒立摆系统的原理图。在该系统的硬件电路设计好了之后，整个系统控制的关键就很容易看出来，即是摆杆角度信号和小车位移的采集和输出控制驱动力的ARM2131程序控制算法的实现。

图2-2 倒立摆控制系统的原理图

2.2控制系统机械结构设计

单级倒立摆的机械系统设计很重要。因为与仿真不同的是：仿真可以忽略许多实际存在的要素，实际的机械系统需要尽可能减少其他因素，以利控制。

考虑到实际控制难度的问题，结构设计主要涉及到两个方面，一是固定轨道问题；二是电机安装位置问题。

关于固定轨道问题，是指轨道是否给小车以约束。我们所讨论的倒立摆平衡，摆本身是有铰链约束的，它只能在平面内以铰链为中心自由转动，因此小车的运动也只是在某一竖直平面内。在此前提下，如果轨道和小车在结构上不是一体的，则小车的运动依赖于其车轮与轨道之间的摩擦力F，并且小车的动力源(电机)必

须安装在小车上。此时，由于摩擦系数f总是小于1，所以小车能够达到的最大加速度2

a ；相反当倒立摆偏角较大时，其在水平方向的加速度分量却可

m

/

1s

大于2

m，为了使倒立摆平衡而要求小车提供一个较大的加速度时，尽管小车1s

/

的动力足够，却有可能小车的车轮打滑，从而使控制失效。解决的方法是限制小车的最大偏角，但同时也降低了倒立摆的工程价值。

关于电机(小车采用电机驱动)的安装位置问题，是指小车的动力源是否随小车一起移动。如果小车与轨道设计成为一体，电机安装在小车上。车轮采用圆弧齿轮，轨道以角铝为支架，其上粘贴剪开的齿形带(如用齿轮齿条，则加工费用较大，并且不易加工较长齿条，如使用多齿连接，则其结合部容易使小车跳动)。当小车的加速度较大时，小车容易从齿形带上跳起，因此在结构上，将电机固定在轨道的一端，不随小车一起运动，此时需要在电机与小车之间用齿形带传动。这样做虽然负载增加了齿形带，但电机不用拖动自身，好处是可以不用考虑电机的功率问题，因为可以尽可能用一个大功率的电机作为动力源。

2.3 一阶倒立摆总体分析

2.3.1 模型参数说明

假设条件：

(1) 摆杆和小车都是刚体；

(2) 皮带轮与皮带之间无相对滑动，传动皮带没有伸长的现象；

(3) 小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后，忽略电极电枢

绕组中的电感；

(4) 实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有的摩擦力足够小，在建模过程

中可忽略不计（小车运动是所受的摩擦力正比于小车的速度）；

系统参数说明：

(1) 滑动小车的质量M；

(2) 摆的质量m；

(3)小车摩擦系数b，小车摩擦力f；

(4) 重力加速度g；

(5) 质心距节点的距离L；

(6) 转动惯量J=

32

mL

;

(7) 摆杆与垂直线的夹角θ；

(8) 小车在轨道中点往左右移动的位移x；

(9) 电动机控制小车的外力F。

摆杆和小车的受力分解图：

v

x

图2-3 一阶倒立摆摆杆受力图图2-4 小车受力图单级倒立摆由摆杆、小车、皮带，电机、滑轨组成。长度为L，质量为m 的单摆用铰链固定在质量为M的小车上，通过铰链可以在一个平面内自由摆动，小车受电机的操纵。电机通过皮带拖动小车在轨道上左右运动，以保持摆杆不倒。规定外作用力F向右为正，摆杆向右偏为正。

对一级倒立摆的物理模型进行分析如下：

如果F >0，小车向右加速运动，当θ >0时，摆杆将回到竖直位置，然后向左加速倒下；当θ <0或θ =0 时，摆杆将向左加速倒下。

如果F= 0，当θ > 0时由于摆杆重力矩的作用，摆杆将进一步向右加速倒下，小车向左运动；当F <0时，由于摆杆重力矩的作用，摆杆将进一步向左加速倒下，小车向右运动；θ =0，暂时维持平衡状态。

如果F<0，小车向左加速运动，当θ <0时，摆杆将回到竖直位置，然后向右加速倒下；当θ >0或θ =0时，摆杆将向右加速倒下。

2.3.2 模型牛顿定律受力分析

在忽略了空气流动，各种摩擦力之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-5所示，各个物理量标号同上小节。

图 2-5 抽象后的倒立摆系统模型 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图[22]。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图2-6所示方向为矢量正方向[23]。

应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下：

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

N x b F x

M --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

)sin (22

θl x dt

d m N += x p

即：θθθθsin cos 2 ml ml x

m N -+= 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

F ml ml x b x

m M =-+++θθθθsin cos )(2 （3-1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

)cos (22

θl dt

d m mg P =- 即：θθθθ

cos sin 2 ml ml mg P --=- 力矩平衡方程如下：

θ

θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos -=-=+=，，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：

θθθcos sin )(2x

ml mgl ml I -=++ (3-2) 设φπθ+= (φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dt d θφθθ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：

?????=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ

)()(2 (3-3) 2.3.3 模型受力传递函数

对方程组(2.3)进行拉普拉斯变换，得到

?????=Φ-++=Φ-Φ+)

()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I (3-4) 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组(3-4)的第一个方程，可以得到

)(])([)(22s s

g ml ml I s X Φ-+= 把上式代入方程组(3-4)的第二个方程，得到

)()()(])([)(])()[(22222s U s s ml s s s

g ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++整理后得到传递函数：

s q

bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s -+-++=Φ23242)()()()( (3-5) 其中 ])())([(22ml ml I m M q -++=

2.3.4 模型的状态空间方程

系统状态空间方程为

Du CX y Bu AX X

+=+＝ (3-6)

方程组(3-3)对φ ,x

解代数方程，得到解如下： ?????

??????+++++++++-==++++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mlb u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2222222222)()()()()()()()()(φφφ

φφ 整理后得到系统状态空间方程：

u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ????????

??????????++++++????????????????????????????????++++++++++=??????????????2222222222)(0 )(0 0 01 )()( Mml m)I(M mlb - 00 )( )(- 00 0 1 0φφφφ ）（ u x x x y ??????+??????

??????????????=??????=000 1 0 00 0 0 1φφφ (3-7) 从控制理论上讲，小车位移及速度与摆杆角度及角速度存在着很大的耦合关系，即要将小车运动控制在导轨中心附近的范围内，又要使摆不倒，就要综合考虑摆杆和小车的力学关系以及各自所处的状态。

2.3.5 系统分析

假定倒立摆杆小车系统的参数：摆杆的质量m=0.07kg ；长度2l=0.4m ；小车的质量M=1.32kg ；重力加速度g=210s m

。得到系统矩阵A 和输入矩阵B 为 ????????????-=0003847.010*********.380010A ?????

???????-=7477.008037.20B 在Matlab 环境下，求取系统的极点，矩阵A 的特征值是方程0=-A Is 的根。 >>A=[0,1,0,0;38.1825,0,0,0;0,0,0,1;-0.3847,0,0,0];

>>B=[0;-2.8037;0;0.7477];

>>C=[1,0,0,0;0,0,1,0];

>>D=0;

>>G SS =SS(A,B,C,D);

>>eig(G SS )

则可得到系统的特征根分别为[]4321s s s s =[]18.618.600-。特征 根之一的实部是正值，所以该系统是不稳定的。由此可知，u=0时，倒立摆系统是不稳定的系统。对这一不稳定系统应用状态反馈，可使摆杆垂直且使小车处于基准位置，即达到稳定状态。这将在本文的4.2节作介绍。

又可求出系统的能控矩阵[24]：

>>rank(ctrb(A,B)),即由][32B A B A AB S S =,则利用计算机可以求出rank(S)=4，得到矩阵S 满秩，故该系统可控。

同理，可求系统的能观矩阵：

])()([32T T T T T T T C A C A C A C V =,则计算得到rank(V)=4，得到矩阵V 满秩，故该系统可观。

综合以上结论可得：该系统是一个不稳定的系统，且可控可观。

2.4 倒立摆的控制目标

如前所述，倒立摆的控制目标为摆杆不倒，同时小车停在轨道上的某个位置。对于摆杆不倒这个控制目标，需要为计算机确定一个范围，即在这个范围中，可以认为倒立摆是平衡的，而计算机控制系统不需再进行恢复平衡的控制。

在倒立摆研究的过程中，经过反复调试和实验得知：倒立摆成功的稳定住时，倒立摆偏离其铅垂方向的角位移θ一般保持在 7.1内，因此所需的范围即是 7.1±。

对于要求小车停在轨道上的某个位置，由于倒立摆的平衡过程是动态过程，

摆在铅垂位置是不稳定平衡，所以不能使得小车绝对的停在轨道上的预定位置，而只能是在这个位置附近左右移动，以保持倒立摆的动平衡，有鉴于此，规定当小车在某预定位置左右mm

的范围内移动时，就认为是小车停在了这个位置。

20

控制目标可以这样定义：小车和摆杆组成的系统在受干扰后，在有限长的导轨上摆仍能处于垂直的平衡位置，并且小车位置变化在很小的范围内。

2.5 倒立摆系统中通讯控制系统的选型

倒立摆系统中通讯控制系统机型的选择内容，涉及到很多方面的问题，归纳起来可概括成下列几个要点：(1) I/O点数；(2)存储器容量；(3)处理功能；(4)I/O 单元的类型及其规格；(5)外观和结构形式；(6)扩展性和系列化规模；(7)外部设备；(8)环境适应性。

选型的关键主要是能满足基本控制功能和容量，并考虑维护的方便性、备件的通用性、系统可扩展性以及能满足特殊功能要求等。如果工业控制要求在进行逻辑控制的同时还要完成模拟量输入输出、PID调节、网络通信等专门功能时，就需要考虑所选择的机型是否支持这些专用模块。

通讯控制系统选型的关键主要是能满足基本控制功能和容量，并考虑维护的方便性、备件的通用性、系统可扩展性以及能满足特殊功能要求等。通常，在选型之前首先确定系统I/O点数和存储器容量。基本步骤是先根据工艺控制条件对I/O点数(数字输入/输出量、模拟输入/输出量)做出一个准确的统计，在这个统计数据的基础上再增加10%-30%的余量来确定I/O总点数。优点是：(1)可以弥补统计过程中遗漏的点数；(2)保证系统投入运行后，个别点有故障时，能够替换；

(3)预备将来可能增加的点数需求。

采用ARM技术知识产权（IP）核的微处理器,即我们通常所说的ARM微处理器,已遍及工业控制、消费类电子产品、通信系统、网络系统、无线系统等各类产品市场,基于ARM技术的微处理器应用约占据了32位RISC微处理器75％以上的市场份额,ARM技术正在逐步渗入到我们生活的各个方面。除ARM微处理器核以外，几乎所有的ARM芯片均根据各自不同的应用领域，扩展了相关功能模块，并集成在芯片之中，我们称之为片内外围电路，如USB接口、IIS接口、LCD控制器、键盘接口、RTC、ADC和DAC、DSP协处理器等，设计者应分析系统的需求，尽可能采用片内外围电路完成所需的功能。这样既可以简化系统的设计，同时提高系统的可靠性。

采用RISC架构的ARM微处理器一般具有如下特点：

1、体积小、低功耗、低成本、高性能;

2、支持Thumb（16位）/ARM（32位）双指令集,能很好的兼容8位/16位器件;

3、大量使用寄存器,指令执行速度更快;

4、大多数数据操作都在寄存器中完成;

5、寻址方式灵活简单,执行效率高;

6、指令长度固定;

大多数的ARM微处理器片内存储器的容量都不太大，但本系统的设计不需很多的存储空间。基本的数模转换等程序可以使用C语言在ADS软件上先调试，然后在选择好控制算法之后再进行不断的试验和调试，直到实现控制系统的控制目标，十分方便。经过以上考虑，我们最后选用的是ZLG公司的LPCARM2131。

2.6 系统总体设计方案

通过总体设计思想和方案分析、比较，形成了下面的总体设计方案。本设计的倒立摆控制系统以一片ARM7处理器LPC2131为核心，配以TIMER（定时器）、UART（异步串行口）、PWM（脉宽调制器）、SPI接口等片内外围电路，加上电机驱动控制模块、电源模块、检测模块、键盘显示等外围电路。其硬件系统结构框图如图2-7所示。其中，TIMER、UART、PWM三个部件是通过VPB总线挂接在LCP2131主控制器上，电机控制模块等外部模块是通过引出的I/O口和核心处理器相互通信的。

图2-7 系统框图

第三章单级倒立摆系统硬件设计

3.1 倒立摆系统中通讯控制ARM最小系统模块

LPC2131最小系统包括电源电路、晶振电路、复位电路、JTAG接口电路等。在本系统中，为了方便系统的初始化设置、调试，EasyARM2131开发板主要分为以下几部分：

1、电源电路

此系统芯片是选用菲利普公司的LPC2131，它采用3.3V电源供电。其电源电路如图所示。SPX1117M3-3.3输出电流高达800mA；输出电压精度高；稳定性高，并具有电流限制和热保护。因此选用了SPX1117M3-3.3。交流电压通过USB接口经过电感L3，L3起到限制瞬态电流作用。然后经过C20、C16滤波后通过SPX1117M3-3.3输出稳定的3.3V电压。其中电容C21是为了提高输出的稳定性，电感L1、L2为模数隔离电感。

U5

图3-1 EasyARM2131电源电路

2、复位电路

由于ARM芯片的高速、低功耗和低工作电压导致其噪声容限低，对电源的纹波、瞬态响应、时钟源的稳定性和电源监控可靠性等诸多方面提出了更高要求。因此本次ARM板的复位电路采用带I2C存储器的电源监控芯片CAT1025JI-30，提高系统的可靠性。其电路原理图如图所示。CAT1025JI-30具有精确监控电源电压；高、低电平复位；手动复位输入；400KHz的I2C串行2K位EEPROM等。

图 3-2 系统复位电路

3、系统时钟