（1）求MN 的长；
（2）当a 为何值时，MN 的长最小．
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立体几何中用传统法求空间角
-立体几何中的传统法求空间角 知识点： 一．异面直线所成角：平移法 二．线面角 1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有 面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三．求二面角的方法 1、直接用定义找，暂不做任何辅助线； 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一：如图,在正方体错误！未找到引用源。中,错误！未找到 引用源。、错误！未找到引用源。分别是错误！未找到引用 源。、错误！未找到引用源。的中点,则异面直线错误！未 找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩 形，AD⊥PD，BC=1， ，PD=CD=2. （I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD； （III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 ： 如图 ， 在 三棱锥 P ABC -中， PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1 2 DE BC = ， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD AB = ， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ? ∠=，∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中，sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==， 考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三：.定义法（2011广东理18） 如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。 因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为 等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以AD ⊥ 平面DEF 。
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
计算空间任意两个坐标点之间距离的PYTHON程序脚本
#coding:UTF-8 """ Python implementation of Haversine formula Copyright(C)<2009>Bartek Górny This program is free software:you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation,either version3of the License,or (at your option)any later version. This program is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY;without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.See the GNU General Public License for more details. You should have received a copy of the GNU General Public License along with this program.If not,see. """ import math def recalculate_coordinate(val,_as=None): """ Accepts a coordinate as a tuple(degree,minutes,seconds) You can give only one of them(e.g.only minutes as a floating point number) and it will be duly recalculated into degrees,minutes and seconds. Return value can be specified as'deg','min'or'sec';default return value is a proper coordinate tuple. """ deg,min,sec=val #pass outstanding values from right to left min=(min or0)+int(sec)/60 sec=sec%60 deg=(deg or0)+int(min)/60 min=min%60 #pass decimal part from left to right dfrac,dint=math.modf(deg) min=min+dfrac*60 deg=dint mfrac,mint=math.modf(min) sec=sec+mfrac*60 min=mint if_as: sec=sec+min*60+deg*3600
空间坐标计算距离
空间坐标计算距离及计算器算角度 在空间中坐标计算距离： 设A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2） |AB|=√[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2] （工程中Z项为0，开根号时忽略Z的值---数值过小可忽略） |AB|=√[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ] 角度计算方法： Rab（锐角） Rab=acrtan[（Yb-Ya）/（Xb-Xa）] （计算出来为十进制度表示法，转换为度分秒见下） α=360°-Rab 例：后视点D41（3137842.164,537144.921）前视点D41-1 （3137826.46,537253.133）求S,α。 ①S= √[（Yb-Ya）^2+（Xb-Xa）^2] =109.346m Rab=acrtan[（Yb-Ya）/（Xb-Xa）] =acrtan（108.212/15.704） =acrtan6.890728（最好保留6位） ②计算器算acrtan6.890728 输入6.890728 点计算器上Inv +tan显示atand（6.890728）=81.742736（此时为十进制度数）再点dms（转换度分 秒）=81.4433即为81°44′33″ ③最后α=360°- 81°44′33″=278°15′26″ 计算器算角度转换度分秒 点开始----程序----附件----计算器
这个计算器有两种模式，点《查看》有一个下拉菜单，有标准型和科学型。选择科学型。在输入区下方有一排选项十六进制；十进制；八进制；二进制；角度；弧度；梯度。一般默认就是十进制和角度，如不是则应点上十进制和角度。 例：把18.69和15.5度转换成度分秒（电脑配置的科学计算器可能没有Hyp可少这一步） 先输入18.69---再钩上Hyp---再点dms。这时就显示18.4124， 这就是18度41分24秒。 输入15.5---钩上Hyp---点dms。显示15.3，就是15度30分。 如把度分秒转换为度（接上例） 先输入18.4124---钩上Ⅰnv---再点dms,就转换成度了18.69度。 要求函数值就必须输入度数，输入度数后正弦点sin；余弦点cos ；正切点tan,函数值直接就显示出来了。
空间点到直线的距离公式
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
立体几何中角度与距离求法
立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.
立体几何专题复习空间角的求法(三)
立体几何专题复习-----空间角的求法（三） （一）异面直线所成的角： 定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点0作直线a //a,b //b， a ,b■所成的角的大小与点0的选择无关，把a,b?所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）?为了简便，点0通常取在异面直线的一条上? （1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。 （2）异面直线所成的角的范围：（0,—]. 2 （3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直?两条异面直线a,b垂直，记作a_b. （4）求异面直线所成的角的方法： 法1:通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； 法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求+ （二）直线和平面所成的角 1.线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 2.记作：二；3 、范围：0，】1; 当一条直线垂直于平面时，所成的角二 2 即直线与平面垂直； 2 当一条直线平行于平面或在平面内，所成角为二二0。 3.求线面角的一般步骤： （1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线 I 面角；（3）解直角三角形。cos^=L，sin日 l l （三）二面角 1.二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB，则AOB叫做二面角〉-丨- 一：的平面角. （2）一个平面垂直于二面角〉-丨- 1的棱丨，且与两半平面交线分别为0A,0B,0 为垂足，则.A0B也是〉-丨- 1的平面角* 说明：（1）二面角的平面角范围是[0：,180打； （2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平
：空间距离的各种计算
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. 例1题图 例2题图
空间角及空间距离的计算知识点
空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A
2.4空间直角坐标系与空间两点的距离公式
2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.
第2讲 立体几何中的空间角问题
第2讲 立体几何中的空间角问题 高考定位 以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解. 真 题 感 悟 (2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P －ABCD ，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点. (1)证明：CE ∥平面P AB ； (2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值. 法一 (1)证明 如图， 设P A 中点为F ，连接EF ，FB . 因为E ，F 分别为PD ，P A 中点， 所以EF ∥AD 且EF ＝1 2AD ， 又因为BC ∥AD ，BC ＝1 2AD ， 所以EF ∥BC 且EF ＝BC ， 即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF . 又因为CE ?平面P AB ，BF ?平面P AB ， 因此CE ∥平面P AB . (2)解 分别取BC ，AD 的中点为M ，N ， 连接PN 交EF 于点Q ，连接MQ . 因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，
在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE . 由△P AD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD . 由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD . 因为PN ∩BN ＝N ，所以AD ⊥平面PBN . 由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ， 因为BC ?平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，则QH ⊥平面PBC .连接MH ，则MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角.设CD ＝1. 在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2， 在△PBN 中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝1 4， 在Rt △MQH 中，QH ＝1 4，MQ ＝2， 所以sin ∠QMH ＝2 8， 所以，直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是2 8. 法二 过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H .不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝1 2，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直.故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. (1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得： D ? ????－1，12，0，C ? ????－1，32，0，P ? ????0，0，32，A ? ????1，12，0，B ? ? ???0，32，0，E ? ?? ??－12，14，34，
浅谈空间距离的几种计算方法
空间距离 常见问题： （1）点到平面的距离；（2）两条异面直线的距离；（3）与平面平行的直线到平面的距离；（4）两平行平面间的距离。 一、点到平面的距离 求解点到平面的距离常用的方法有以下几种： 1、由已知的或可以证明垂直的关系，则垂线段的长度就是点到平面的距离。 2、过点作已知平面的垂线，可以找到垂足的位置，从而得到点到平面的距离。例如在正三棱锥中，求顶点到底面的距离，可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足为底面正三角形的中心，然后通过计算求得距离。又例如若已知所在的平面与已知平面垂直，可以过点作两平面交线的垂线，此点与垂足间的距离即为点到平面的距离。 3、用等体积法求解点面距离。 例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。 解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22， 41=∴FC ,3482511=++=EC , 1091=+=EF 10 104 1023416102cos 1212121-=??-+=?-+=∠FC EF EC FC EF EFC 10 1031011sin 1=-=∠∴EFC 610 10341021sin 21111=??=∠?=∴?EFC FC EF S EFC 设1C 到EF 的距离为d ，则510610 1212,621===∴=?EF d d EF （2）设C 到平面EF C 1的距离为h
EFC C EF C C V V --=11 131311CC S h S EFC EF C ?= ?∴?? 又451212221132125=??-??-??-?=?EFC S 3 246224111 =?=?=∴??EF C EF C S CC S h 二、两条异面直线的距离 1、对于特殊的图形，可以作出异面直线的公垂线段并证明，然后算出公垂线段的长度。 2、转化为两个平行平面的距离，再转化为点面的距离进行计算。 例3、三角形ABC 是边长为2的正三角形， ?P 平面ABC ，P 点在平面ABC 内的射影为 O ，并且PA = PB = PC =3 。求异面直线PO 与BC 间的距离。 分析：过点P 作平面ABC 的垂线段PO ，但是必须了解垂足O 的性质，否则计算无法进行。为此连结OA ，OB ，OC （如图）． 则由PA ＝PB ＝PC 可得OA ＝OB ＝OC ，即O 是正三角形ABC 的中心．于是可以在直角三角 形PAO 中由PA =2 6 3 ,OA = 2 3 3 ，得PO =2 3 3 。有了以上基础，只要延长AO ，交BC 于D ，则可证明OD 即为异面直线PO 与BC 间的距离，为 3 3 。 三、直线到平面的距离 直线到平面的距离是过直线上任意一点向平面作垂线所得垂线段的长度，一般求解都是转化为求点到平面的距离。 例4、已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点。求11C B 到平
浅谈空间距离的几种计算方法
浅谈空间距离的几种计算方法 【摘要】 空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。 【关键词】 空间距离：点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】 空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。 这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。 一、两点之间的距离 两点间的距离的计算通常有两种方法： 1、可以计算线段的长度。把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。 2、可以用空间两点间距离公式。如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
空间直角坐标系与空间两点的距离公式
空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量. 已知数组(x，y，z)，如何作出该点？ 对于任意三个实数的有序数组(x，y，z)： （1）在坐标轴上分别作出点P x，P y，P z，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z； （2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，这三个平面的交点就是所求的点. 空间点的坐标 1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；2．坐标平面上点的坐标的特征： xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数 yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其
向量法求空间角(高二数学-立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ， DP AQ AB 2 1 ==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6 ． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE//AB ,△ACD 是正三角形,AD=DE=2AB ,且F 是CD 的中点. （1）求证:AF//平面BCE ; （2）求证:平面BCE ⊥平面CDE ; （3）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小. 4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为正方形,G F E PD AD ,,,2==分别为CB PD PC ,,的中点． （1）求证://AP 平面EFG ; （2）求平面GEF 和平面DEF 的夹角. 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为 6 π ,求锐二面角 B C O E P
向量法求空间角(高二数学,立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.
H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111AB C A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点． （1）求证：FG 平面PED ； （2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.
高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)doc
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 2 1, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 1 2，即EF =a 22. 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 2 2. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2=??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =3 2 BE =332332=?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312 22=?? ? ? ?? -=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 例1题图 例2题图 例3题图
空间角的几何求法
空间角的几何求法 一、 异面直线所成角（线线角）范围： (0, ]2 π θ∈ 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。 【典例分析】 例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； 【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。 二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2 π θ∈ 【典例分析】 例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°， A 1A =4，C 1C =1，A B =B C =B 1B =2． （1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ； （2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； 1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB
例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD ； (2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。 【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点， 且AC BC a ==，π02VDC θθ? ?=<< ?? ?∠． （1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π 6 ． 三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈ （1）定义法：当点A 在二面角α-λ-β的棱λ上时，可过A 分别在α、β内作棱λ的 垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （2）三垂线法：当点A 在二面角α-λ-β的一个面α内时，可作AO ⊥β于O ， 再作OB ⊥λ于B ，连结AB ，由三垂线定理可得AB ⊥λ， 故∠ABO 即为二面角α-λ-β的平面角。 （3）垂面法：当点A 在二面角α-λ-β内时，可作AB ⊥α于B ，AC ⊥β于C ， 设1过AB 、AC 的平面与λ交于点O ，连结OB 、OC ，可证平面， ABOC 是λ的垂面，则λ⊥OB ，λ⊥OC ，∠BOC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （4）射影面积法：原 射影S cos S = α 【典例分析】 l a b c Ｖ A Ｃ Ｂ
