五羊杯初中数学竞赛初三试题的研究.docx

毕业论文开题报告

数学与应用数学

“五羊杯”初中数学竞赛初三试题的研究

一、选题的背景与意义

数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。

五羊杯自1989年开办以来，取得了很大的成果，挖掘了许多数学人才。五羊杯的试题由熟悉中学数学竞赛的教授、专家拟定，题型新颖、趣味性强、有较好的思维训练价值，有利于开拓学生的数学视野，提高学生的数学素质。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

研究的基本内容是五羊杯初中数学竞赛初三试题。研究从1989年举办以来到2010年该竞赛的发展趋势，以及这些试题的解题思路和出题背景。按照初中的知识点来汇编试题，将试题按题型来分类处理。并且探索题目的新解法和发展前景。得出五羊杯初三竞赛应试技巧和策略

三、研究的方法与技术路线

1＞查阅相关资料，搜集1989年到2010的五羊杯数学竞赛初三试题。

2、查找文献，对参考文献中的重要结论加以整理和论证，以文献中解题技巧和思路应用到解试题的过程中。

3、通过知识点进行分类和汇编竞赛试题

4、通过自己的思考，老师的指导和同学的讨论，得出新的解题方法和思路

5、通过浏览奥数网、博士家园、东方论坛数学板块等发布题冃收集更好的解题方法

四、研究的总体安排与进度

2010. 12. 1—210. 12. 15：完成文献综述，文献翻译,开题报告。

2010. 12.20:准备开题，开题论证

2011.4.4：完成毕业论文初稿，交由指导老师初审。

2011.4.5-2011.4. 15：修改毕业论文初稿，定稿。

2011.4. 16—2011.4. 29：准备论文答辩PPT。

2011年5月1日前：准备毕业论文答辩及正式答辩。

参考文献：

（1）单博.《因式分解技巧/数学奥林匹克小丛书（初中卷2）》华东师范大学出

版社2005. 5版

（2）田廷彦《面积与面积方法/数学奥林匹克小丛书（初中卷8）》华东师范大学出版社2005. 1

（3）单填.《数学竞赛研究教程》全册?江苏教育出版社.2009. 2第三版

（4）许康华，陈计主编《冲刺全国初中数学竞赛＞＞浙江大学出版社2006. 1 版

（5）单填主编《数学奥林匹克（初中版新版知识篇）》北京大学出版社2001 o 1

2版

（11）张景中《为数学竞赛说几句话》

（12）陈方杰《爱林兀克数学竞赛题的解题思维》

（13）陈洁《对初中数学竞赛若干题型的解题分析》

毕业论文文献综述

数学与应用数学

“五羊杯”初中数学竞赛初三试题的研究数学竞赛是发现人才的有效手段之一。十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩冃，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。

然而随着升学的压力，许多家长或者学校为了提高校绩强迫学生去参加竞赛辅导班，导致学生压力重重。而且出现了一些以谋利为目的而又误人子弟的数学竞赛培训。这本身就违背了我们原先寄予数学竞赛的意义。

正如张景中在《为数学竞赛说几句话》中提到就数学竞赛本身而言，是面向青少年中很小一部分数学爱好者而组织的活动。这些热心参与数学竞赛的数学爱好者（还有不少数学爱好者参与其他活动，例如青少年创新发明活动、数学建模活动、近年来设立的丘成桐中学数学奖），估计不超过约两亿中小学主的百分之

五。从一方面讲，数学竞赛培训活动过热产生的消极影响和升学考试体制以及教育资源分配过分集中等多种因素有关，这笔账不能算在数学竞赛头上；从另一方而看，大学招生和数学竞赛挂钩，这也正说明了数学竞赛活动的成功因而得到认可。对于青少年的课外兴趣活动，积极的对策不应当是限制堵塞，而是开源分流。发展多种课外活动，让更多的青少年各得其所，把各种活动都办得像数学竞赛这样成功并且被认可，数学竞赛培训活动过热的问题自然就化解或缓解了。

数学竞赛题相对于一般数学题而言?更侧重考查学生对知识的综合运用能力和解题思维能力.题冃相对偏难一些要解答奥林匹克数学竞赛题，不仅要有牢固的知识做基础，还必须选择一个好的解题方法。那么，在解题的吋候如何展开思维、如何来寻找这些解题方法即采取什么样的解题思维策略来分析题目，进而找到解题思路，提出解题方案。

陈方杰在《爱林匹克数学竞赛题的解题思维》一文中指出将奥林匹克数学竞赛解题的思维过程分为问题表征、解析问题、解决问题、解题监控和题后反思五个阶段。一、问题表征指形成问题空间，包括明确问题的初始状态、目标状态及允许的操作。问题的表征也就是审题，在这个思维阶段中，观察和表象占很大的比重。解题者首先通过读题对问题进行字面理解，用自己的话重新表述问题，把问题的文字和符号等信息转化为解题者内部的、

心理表征。二、解析问题即分析和理解问题。在这个阶段，解题者要对问题所包含的信息和木身已储存的知识信息进行主动的加工，通过这种加工进而认识问题的起始状态与目标状态，并判断是否有现成的解题途径。个体的知识和解题经验影响着解题者对问题的理解。实际上，在解析奥林匹克数学竞赛题时，解题者是在审题的基础上对问题给出的条件和结论仔细地分析，结合已有的知识和解题经验进行思考，以找到切人点，理清解题思路，设计出解题方案。三、解决问题是解题者在前面对题目的表征和理解的基础上，根据问题的特点来改变问题的起始状态而拟订出解题方案并执行这个方案。解题方案是由一系列的操作所构成，解题操作的选择和组织是由选取一定的策略來决定的。四、解题监控就是解题者为了达到解题戸标，对解题过程中的解题操作是否适宜、是否能够得到问题的解决作出评估。五、题后反思即对解题的回顾与思考。这五点对于我们解题和教学具有非常大的帮助。

单遵在《数学奥林匹克小丛书之因式分解技巧》中将因式分解技巧分为12 部分：提公因式、应用公式、分组分解、拆项与添项、十字相乘、二元二次式的分解、综合运用、多项式的一次因式、待定系数法、轮换式与对称式、实数集与复数集内的分解、既约多项式。将因式分解的各种技巧巧妙地通过例题介绍了，概括和整理地相对比较齐全，实用价值也比较高，对于解竞赛题或者其他题都是有益无害的。

田延彦在《数学奥林匹克小丛书之面积与面积方法》的前言中数学最本质的特点是演绎推理的严密性和清晰性，可以说，提高数学修养，几何是第一关。这木书就是专门讲面积与面积方法的，其中既有经典的问题，也有杂题，反映了当前流行的一些奥数题型及作者多年积累的解题经验，当然值得深入探讨下去的，还有很多很多。书中不仅有解题过程，而且解完题还对题目和其解答进行评注，这种方法值得推广。

陈洁在《对初中数学竞赛若干题型的解题分析》一文中，提出了六种解题法。一、构造性解题方法是一古老而又崭新的科学方法，常简称为构造法。构造法的实质是根据某些数学问题的条件或结论所具有的特征，用已知条件中的元素为

“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决的方法。在思维方式上，构造法常常表现出简捷、明快、精巧等特点，常使数学解题突破常规，另辟蹊径。利用构造法构造出来的数学对象所涉及的面广，如数、式、方程、不等式、函数、命题、“抽屉”、程序等等。二、一般化方法。一般化就是我们为了解决问题的需要放开或改变一些条件的限制，把具体的个性问

题转化为一般的共性问题来研究。由于特殊的情况往往涉及一些无关条件而掩盖了问题的关键，因而-?般情况有时则更明确地表述了问题的木质。三、分类讨论法。所谓分类讨论，就是原问题分解成一组相对独立的“小问题’’来处理，综合对这些小问题的解答，便可以推证出原问题的结论。四、递推法。通过建立递推关系解决问题的方法，称之为递推法。利用递推关系法解题的一般步骤为：（1）确定初始值；（2）建立递推关系：（3）解递推关系。五、极端性原理-在解决数学竞赛问题时，常常需要考虑命题中某些量或某些元素的“极端’情况，譬如“最大值”,“最小值”，“边界值”等等，这是分析和解决问题重要的方法之一。利用考虑极端的元素来实现解题的方法称为极端性”原理。六、整体法。这一解题策略要求在解题过程中, 不是分解它的条件和结论，采取各个击破的办法，而是要立足全局把握条件和结论的联系，摆脱局部细节中一时难以弄清的数量关系的纠缠，使眼界更加开阔，以利于看清问题的实质，抓住问题的要害。

总之，对于数学竞赛的研究具有很重大的意义。虽然前人对于数学竞赛已经取得了一些较好的研究结果。但是对于五羊杯数学竞赛的研究还是欠缺，于是我选取了五羊杯初三数学竞赛的研究。

主要参考文献：

（1）单填.《因式分解技巧/数学奥林匹克小丛书（初中卷2）》华东师范大学出版社2005. 5版

（2）田廷彦《面积与面积方法/数学奥林匹克小丛书（初中卷8）》华东师范大学出版社2005. 1

（3）单壇.《数学竞赛研究教程》全册?江苏教育出版社.2009. 2第三版

（4）许康华，陈计主编《冲刺全国初中数学竞赛＞＞浙江大学出版社2006. 1 版

（5）单填主编《数学奥林匹克（初中版新版知识篇）》北京大学出版社2001。1 2版（11）张景中《为数学竞赛说几句话》

（12）陈方杰《爱林兀克数学竞赛题的解题思维》

（13）陈洁《对初中数学竞赛若干题型的解题分析》

本科毕业设计

（20 届）

“五羊杯”初中数学竞赛初三试题的研究

【摘要】五羊杯初中数学竞赛自1989年开办以来，在全国范围内举行，对于初中数学竞赛具有重大的影响。虽然有一些对于此竞赛试题的研究，但是都是对于某一届竞赛中其中的一題或几题，没有对在竞赛中出现的某一类型进行研究。因此本文对于第12届到第20届五羊杯数学竞赛初三试题进行了系统的整理、分类和归纳，及研究了解题思路。希望这份资料能对将来参加竞赛的考生和热爱数学的人起到一定的参考作用。通过这次编写也提髙了自己的归纳总结和解决问题的能力。

【关键词】五羊杯数学竞赛；分类；研究。

Abstract

[ABSTRACT] The "wuyangbeFmiddle school math competition held across the country since 1989 has a major effect.There are some researches which is about one or some questions but not a type of questions once appearing in the competition.Therefore this paper on the 12th to 20th of "wuyangbe产mathematic competition makes a system arrangement and classificd,and researches to understand questions ideas .Hope that this material to the competition in the future examinees and person who love math a reference□ Through this writing also improves o

w n summarizing and problem solving a b i I i t y?[KEYWORDS] The "wuyangbei"middle school math competition； classify； research o

摘要 (7)

Abstract (9)

目录 (10)

1序言 (11)

1.1五羊杯初中数学竞赛的发展背景 (11)

1.2 五羊杯初中数学竞赛的重要意义 (11)

1.3硏究内容及方法 (12)

2因式分解 (12)

2.1 基本知识点 (12)

2.2己知x的值，求含有x的多项式的值。 (12)

2.3 树立整体意识，替换意识 (13)

2.4给出一个关于x的方程，求x多项式的值 (14)

3求根 (15)

3.1 基本知识点 (15)

3.2第一类。 (16)

3.3第二类。 (18)

3.4第三类求整根 (19)

3.5含有绝对值求根 (19)

3.6 关于一元二次方程的两个根 (20)

4求面积 (22)

4.1 基本知识点 (22)

4.2运用公式 (22)

4.3铺助线的妙用 (23)

4.4其它题型 (25)

5求和Sn (26)

5.1 非整数取整求整数 (26)

5.2分子,分母呈现规律性变化。 (27)

5.3另类 (28)

6取值范围 (29)

6.1 基本知识点 (29)

6.2分式、根式、绝对值混合 (29)

6.3 一元二次方程系数取值范围 (30)

7另类 (31)

7.1 比大小 (31)

7.2巧妙abc (32)

7.3各种整除 (34)

7.4 分配 (35)

致谢 ................................................................ 错误!未定义书签。附录 ................................................................ 错误!未定义书签。

1序言

1.1 五羊杯初中数学竞赛的发展背景

1959年诞生了国际奥林匹克数学竞赛，目的是为了发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系；1986年中国也开始正式参赛；近10年里，中国奥数取得了优异的成绩，中国学生数学的潜力举世嘱冃，进而演变成为疯狂的“全民奥数”……数学竞赛活动深受广大师生和家长的欢迎和参与，并得到了社会各界有识之士的高度评价和大力支持。但是随着素质教育的不断推进，竟然出现7 “素质教育”与“应试教育”的对立抗衡的情况。初中数学竞赛活动与素质教育对立起来的倾向现象「针对这种现象，成都市教育局副局长娄进说：“当奥数教育逐渐被泛化并被异化为升学和择校工具时，当奥数市场因利益而疯狂时，就威胁到孩子们的身心健康。”

在1995年，国家教委就已经颁发了停办奥校的文件，将数学竞赛控制在适当的温度中和适当的范围内。目前，我国部分省市教育部门已下发命令停办奥数班。面对各地相继出台的“封杀令”，社会对奥数的口诛笔伐中，中国奥数将何去何从呢？“奥数”真的错了吗？奥数的学习对学生到底有没有积极的作用呢?它对培养学生数学思维晶质又有怎么样的影响呢？然而笔者认为，初中生开展适当的数学竞赛活动在数学教育发展中有着不可替代的作用。

1.2 五羊杯初中数学竞赛的重要意义

初中数学竞赛的飞速发展，极大地激发了学生学习数学的积极性和潜力。数学竞赛也为那些热爱数学的学生提供了展示才能的舞台。在深化学习数学的同时，发挥学生的主观能动性，提高创新精神。竞赛中有些涉及到实际的应用问题，需要学生将这些问题转化为数学问题，再加以分析并解决。在这过程中，学生会发掘数学的魅力，提高对数学的热爱，体会解题成功后的喜悦感，提高自信心，发展他们的智力。

竞赛数学的题目灵活，需要敏捷的思维。竞赛数学是一种需要思维灵活与敏捷程度更高的数学问题.它能够性改善学生打破原有狭隘经验造成的定势的能力，能够培养学生适应新学科分支学习所

需的更具一般性的好的特殊思维定势能力。所以人们称它为"思维体操”。

在训练过程中的发现思维的深刻性。让那些对丁?知识型或解题善丁?生搬硬套的同学接触竞赛数学及学习有关的奇异的技巧，会使他们的思维受到启发。尤其对于解决问题过程中显现技巧使人愉悦的解法,会提高他们精练解法的思维水平。数学竞赛有利于培养学生的创造性思维。一些很一般的思维解决问题的解法十分繁杂，而用另一种思想解题就三言两语就能解决。

1.3 研究内容及方法

收集五羊杯数学竞赛试题（第12-21届）。对第12届到笫21届五羊杯初三数学竞赛中的有关于因式分解、解方程、求和、求面积等题型进行收集、整理、分类、归纳和总结。尝试用最基础的知识点去解题，并寻找最简单的解题方式。

2因式分解

2.1基本知识点

因式分解三步骤：一提(提取公因式)、二代、三分组。

因式分解中常见的公式：

(1)a2^h2=(a-b)(a^h);平方差公式

(2)a3 -b‘ =(a-b)(a2+ 立方差公式

(3)a3+b3 =(a+Z?)(tz2-ab^tr)\立方和公式

(4)a2+2ab + b2=(a + bf\完全平方

(5)cr -2ab + b~ =(a-b)2\完全平方

(6)a3 ^3a2b + 3ah2 + fe3 = (n+b)3;完全立方

(7)a3-3a2b-^3ab2-b3 = (a-bf.完全立方

2.2已知x的值，求含有x的多项式的值。

1、(第13届)2.设X=A/3-2,则X6+3X5+11X3+2X+1=( ).

(A)14A/3 +24 (B)14V3 -24 (0)14^3 -32 (D)32-14般

解姣.x = V3 — 2, (x + 2)" = 3, Q + 4x +1=0.

x6 + 3x5 +1 lx3+ 2x4-1 = (x2 4- 4x+l)(x4 -x3 +3兀2 -3) + 14x+4 = 0 + 14 兀+ 4 = 14 巧—24 2.(第18 届)13、己知d = —T=—,则Q4— 5a" + 6cr —5Q + 4 二

V3 + 1

解答：八卑丰=上弊=2-憑(a-2)2=3,

/一4。+ 1 =0,

a4-5/+6/一5。+ 4 = Q4—5/+6亍-50 + 1 + 3 = 3—40 + 1)3—0 + 1) + 3 = 3

3> (第20 届)1.已知加=1 +血，几=1 一血，且(7m2-14m + a)(3n2-6n-7)= 8.则a 的值等于().

A. —5 ;

B. 5 ;

C. —9 ;

D. 9.

解答：(7m2 - 14m + tz) = 7(1+ V2)2-14(1+ V2) + ^ = 7 + tz (3H2-6H-7)=3(1-V2)2-6(1-V2)-7=-4 又因(7m2-14/n + a)(3n2-6n-7)= 8,所以7+a=-2.得a =-9

2 3 树立整体意识，替换意识

1、(第12届)11.分解因式：(x W-4) (X4+X2+3)+10= ______________________ .

原式

—f) ~ — (%4 + ) -12 +10

=(X4+X2)2-(X4+X2)-2

=(x4 + 对—2)(x4 + x" +1)

=(x~ + 2)(x~ -1) [(x" 4- 2f +1) —x~

=(x2 + 2)(x + l)(x 一l)(x2 + X +1)(/2-x + 1)

将x4+x2看作一个整体，也可以采用换元的思想。

2、(第13届)11.分解因式：(X-4X2+1)(X4+3X2+1)+10X4=

原式

=+1)~ ― x~ (x4 + 1) — 12x4 J +1 Ox4

—(x4 +1)~ —x" (x4 +1) — 2x4

=(x4 +1 —2x~ )(x4 +1 + )

= (x2-l)2 (x2 + 1)2 -x2

—(兀+ 1)■(兀一1)~ (x~ + 兀 + 1)(兀~ — x+1)

(川+1)看作整体

3、(第14届)11.在实数范围内的分解因式：x8-l = 解答：运用平方差公式。

x8— 1= (%4 + l)(x4— 1)

=(x~ + l)(x~ —A/2X 4- l)(x~ + 1)(兀+ l)(x— 1)

4、(第15届)11.在实数范围内分解因式：x4 -3x2 +4= ___________ .

解答：原式

=(X4+4X2+4)-7X2

=(X2+2)2-7X2

=(兀~ + y/1 x + 2)(x~ — x + 2)

5、(第18届)12、在实数范围内因式分解：++疋一3/一4兀-4二

解答：原式

= x2(x2 +x+l)-4(x2 4-X+1)

=(%2-4)(X2+%+1)

=(x-2)(x+2)(x2+兀+1)

6、(第19届)12.在实数范围内因式分解：x3 +5x — 6二

+ 5x— 6 = (x' — 1) + (5x — 5)

解答1:=(兀―l)(f + x+1) + 5(x—1)

=(x-l)(x2 +x + 6)

解答2： x"是X3+5X-6= 0的根由除法可以得疋+5兀一6 =(兀一1)(兀2+兀+ 6)

1、(第16 届)2.设x2-V7 x+7=0,则X4+7X2+49=( ).

(A) 7 (B) V7 (0-V7 (0)0

答案:Do

_/+7_?+49 =(〒+7)2一7扌

=(对—x 七 7 + yfl x + 7) = 0

2、(第14 届)2.设x-3V3 X2+6X-2V2 -8=0,则x5-41x z+l 的值为 (

A. 13-V2

B. -13+V2

C. 13

D. 1 3

答案：Bo同第16届第2题。要找到要求式子和已知式子的相同点。

3A/7 X+2的值3、(第15 届)2.设3x34-(4—377)x2- 3 V7 x—7=0,贝0 x4+V7x3—7x2—为

()

A. 30A/7

B. 30

C. V7

D. 0

答案：Bo同第16届第2题。要找到要求式子和已知式子的相同点。

3求根

3.1 基本知识点

c的值确定

1.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a^O)的实数根，是由它的系数a, b

的. 根公式是：曲宀如(b2-4ac^0)

2a

2.根的判别式

①实系数方程ax2+bx+c=0 (a^O)有实数根的充分必要条件是: b2—dac^O.

②有理系数方程ax?+bx+c=0 (aHO)有有理数根的判定是：

b2-4ac是完全平方式O方程有有理数根.

③整系数方程x'+px+q二0有两个整数根O『一4q是整数的平方数.

3.设Xi, X2是ax'+bx+c二0的两个实数根，那么

①ax/+bxi+c二0 (aHO, b2—4ac^0), ax22+bx2+c=0 (aHO, b2—4ac>

(A)

V14-7

(C).

7 + 9

佰

(D)

厂、 一—b~4b^-^ac z “

(2 ,

② XF ----------------------- ,

X2二 ------------- (a^O, b —4ac>0)；

2a la

b (■

③

韦达定理：xi+X2=— —,X1X2-— (&H0,

b 2 —4ac>0).

a a

4. 方程整数根的英他条件

整系数方程ax 2+bx+c=0 (&H0)有一个整数根Xi 的必要条件是：Xi 是c 的因数. 特殊的例子有： 00 O XL O ,

a+b+c 二OO XL I ,

a —b+c 二0 O XL —1.

3.2 第一类。

通常出现在第一题，第12届到第19届都有出现。

以第12届为例。分为两步。1：合并同类项(将有x 的项合并，常数和常数项合并)。2： 通分母(分母出现根式如V5+V3的，通常分子分母同乘以腭?、你，进行分母有理化)。 有些答案比较简单的如第15、16、17届第1题可以观察出来，也可以采用代入法。

(A)4-V15 (B)4+V15 (C) V15 -4 (1))75 ■巧

解答：Bo

厉x(厉?巧)+厉(厉+的)二厉x(厉?能)+厉(厉+希)二0 ~(V5+73)(75-V3)- ~ 2 ~

2、(第13届)1.方程丄"叶丫+-丄力厂二°的根是x=(),

J7+J2 A /7 - A /2

1、(第12届)1.方程x =

A /3X 75

V5+V3 氐厲

的根是X=().

A /3X A /5

Y = -------------------------- 卜 -------- >

V5+V3 V5-V3

将X 向右移合并同类项,

佥+島％同分母

V5(V5+V3)

V5(V5-V3)

= 4 + V15

的根是( ).

A. 2乔:

B. 一 2羽；

C. 4^6 :

D. 2羽 答案:A

3.3 第二类。

答案：A

3、（第 14 届）1. V5(V5-V3)x V3(V5+V3)(1-%)

"程 V5+V3

y/5

=0的根是x 二

Ji

■

3

B.

117 + 31

届

242

D.

1-V5 3

答案：B

4、（第 15 届）1. 方程

A /3 —

V3 + V2

=2的根是

A. "V3

B. V2

C.-1

D. 0o

答案:c

5、朴届小方程篙+瑟=2的解是（）.

(A) V5 (B) 41 (C) V10 (D)l 答案：D

6、（第17届）1.方程 + y/~3x

V5+V6

— x A /7

— V2

=2的解是（

).

(A) 72 (B) V3 (0 V5 (D) V6 答案：A

■，仆

口、

乂十

“

一

*

. rrT V21 + V6x

V21 -V6x

7. （第18届）1、廿x 的-兀-状万程尼亦+后舲

=2^3的根是（

A 、—\/2

B 、—\/3

C 、y/l

D 、

答案：B

8、(第 19 届)1. Y + 4

Y —4

关八的-元一次方

K （第13届）7?设Lx」表示不大于x的最大整数，「x7表示不小于x的最小整数，Lx7表示最接近x的整数（xHn+O. 5, n为整数）.例如L3.4X3,「3.4X4, L3. 41=3,则方程

3LxJ+2rxl +Lx1 二8 的解为（）.

（A）满足1

（B）满足l

（C）满足l

（D）以上答案都不对

解答：卜。由3LxJ+2rxl +txl=8易知x

2、（第14届）4.设Lx』表示不大于x的最大整数，「x7表示不小于x的最小整数Lx7表示最接近x的整数（xHn+0. 5, n为整数）.例如L3. 4J=3,「3.4X4, t3. 41=3.,则不等式

8W2x+Lx」+3「x1+4Lx7W14 的解为（）

A. 0. 5WxW2

B. 0. 5

C. 0. 5

D. 1. 5

解答：Co 易见应有x>0o 若则2^>4, LxJ>2, 3 fxl>6, 4Lxl>8,不等式不成立。因此只需要考虑0VXV2的情形。分情况讨论：

1、当0 V x V 0.5时，不等式化为8 <2x+0+3+0 <14,不成立。

2、当0 5

等式。

3、当1 VXV1.5 时，不等式化为8<2x+l+6+4<14, —1.5VXV1.5。所以

1vxvl.5符合等式。

4、当1.5

综上所述，不等式的解为0.5

■

3、（第15届）4.设Lx」表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，Lxl 表示最接近x的整数（xHn+0. 5, n为整数）.例如L3.4X3,「3.41=4, L3. 41=3.,则不等式组

23.2W4Lx」+3「x1+2Lx1+xW35. 6

24.3W4Lx7+3Lx」+2「x7+xW37. 7 的解为( )

A. 2. 3WxW3? 6, xH2. 5, 3. 5

B. 2WxW4, xH2. 5, 3.5

C. 2. 3WxW3. 6

D. x—2, 3

答案：A.

4、(第16届)4.设LxJ表示不大于x的最大整数，女肚3. 4X3, L2X2, L-3.4J=-4, 则下列结论中，不成立的有()个.

①Lx_TWx

③t-xJ=-txJ；④L2xJ=2LxJ；⑤txJ+L l-xJ=l.

(A) 4 (B)3 (0)2 (D)l

答案：B

3.4第三类求整根

2 3 1

1、(第13届)4.设一x, y都是正整数，则方程有___________________ 组正整数解.

x y 4

———~ =丄，即xy-8y+12x=0, (x-8) (y+⑵二-96.所

解答：x y °经过通分可化为小4

以x-8和y+12都是-96的约数，由于x,y都是正整数，即x>0, y>0, y+12>12,-7

15 3 2

2、(第15届)15.设一二+丄一一=2, x, y是整数，则方程的非零整数解有 ___________ 组.

对y 兀y 兀

15 3 9

解答：将—+ -——=2通分并化简得2x2y + 2^-3x-15 = 0,转化成乘积形式

x y xy x

(2马一3)(兀+ 1) = 12 , 2xy-3是奇数…(2xy-3)(x +1) = 12=1 X 12=3X4= (-1) (-12)= (-3) (-4).只有当(2xy-3) = 3,(x+l) = 4时，有解为x二3,y二1。因此此方程只有一组非零整数解。

总结：此类题H主耍通过化简得到几个因式相乘，通过考虑约数的方式解题。

3. 5 含有绝对值求根