(甘志国)蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明
甘志国(已发表于 河北理科教学研究，2015(5)：11-13)
高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的
一个焦点为
，离心率为3
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．
答案：(1)22
194
x y +=；(2)2213x y +=．
这道高考题的背景就是蒙日圆.
普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是
定理 1 曲线1:22
22=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆
2222b a y x +=+.
定理1的结论中的圆就是蒙日圆.
先给出定理1的两种解析几何证法：
定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是
)0)((00≠-=-k x x k y y .
由??
???-=-=+
)(10022
22x x k y y b y a x ，得 由其判别式的值为0，得
因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以
由此，得 进而可得欲证成立.
定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .
得直线1:
2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:222
22121=+=+b
y
y a x x PB b y y a x x PA .所以： 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+b
y
y a x x AB 上，所以
所以 PB
PA OB
OA k k a b b y a a x b x x y y k k 44
220422
042121)()(=--==
由此，可得 进而可得欲证成立.
再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.
引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).
图1
证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点
P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l
上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：
图2
在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''?≌2PF P '?，所以2F P F P '=''，还得
再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.
引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.
证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .
图3
由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ?≌BAH ?，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '?的中位线.又AB AF =，所以
a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(2
1
)(21.
引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).
引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.
证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．
图4
由引理3，可得 即欲证成立．
注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．
定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.
如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.
图5
连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.
再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ?，得θ2222
2
2
cos c a DG OD OG -=-=.
又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ?中，同理可得θ2222
2
2
sin c a HE OE OH -=-=.
(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以
(2)若2
2
2
b a OP +=，得
由PM OG ⊥，得2
2
2
GP OG OP +=，所以OH GP =.
同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.
由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.
定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.
分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点
M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.
图6
由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以
11NF MF =.