高考中的三角恒等变换
高考中的三角恒等变换 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考中的三角恒等变换
摘要：恒等变换就是等价变形，这种思想是数学学习中常常会用到的.三角恒等变换又是变换中的常用类型，是高考的常考点.对于三角恒等变换的复习，更是要抓住其中的重点和要点，有目的地对三角恒等变换这部分的知识进行深入探究和总结.
关键词：高中数学；高考复习；复习方法；三角恒等变换
从往年的高考真题中统计得出，有关三角恒等变换的命题主要以一些选择和填空为主，算是比较基础的题型，在分值上约为5%～10%，且属于容易和中档类的题型.综合三角恒等变换部分的分值和难度来看，三角恒等变换是我们必须要拿下的一部分.这部分内容并不是很难，通常考察比较基础，但有时也会比较灵活，特别是学生要能够对公式灵活运用.在三角恒等变换的内容中，重点考察的主要是两角和与差的三角函数公式和倍角公式，尤其是倍角公式，一直是高考的热点.下面我将谈谈有关三角恒等变换这个知识体系的要点、方法技巧、以及高考常考点.
一、有关三角恒等变换的知识大盘点
三角恒等变换这个知识体系涉及到的知识有很多，特别是以一些公式类的知识为主，分为和差角公式、倍半角公式、和差与积互化、还有化
asinx+bcosx为
Asin（x+φ）的形式，其中，和差角公式又包括两角和差的正弦、两角和差的余弦、两角和差的正切.倍半角公式又分为倍角的正余弦正切，半角的正余弦正切.然后，把这些知识综合起来运用于解决三角函数式的化简求值和证明问题，解决函数的周期、最值和单调性等问题.整个知识体系相互联系，在复习的时候一定要立足于教材，对每一个公式都要有深入的理解，能够正用、逆用和变形运用.理清公式之间的关系，在公式的灵活运用上下工夫.
二、方法和技巧的总结
三角恒等变换是一种基本的数学思维方法，在三角式的化简、求值和证明中经常运用.并且会结合其他的知识综合求解，如代数方面的其他公式，总之，对三角公式的掌握一定要全面、深入，透彻地理解好每一个公式和每一种变形，才能在解题的时候灵活运用.在运用三角公式进行变形的时候，也有一些常用的方法让学生可以按照这样的套路去思考和变换.比如说先要根据三角函数的类型和角的差异这两方面去
综合考虑，再决定选取某种适用的三角公式.可以归纳为：切割化弦，异名化同名，以角化同角，高次化低次，无理化有理.这是数学学习中一种通用的思想，就是把复杂的东西不断地简单化.学生理解起来应该都是很容易的，但是要真正在实践中做好，却还需要在练习上进一步的加强.
三、高考考点例谈
考点1：同角三角函数关系.考查的形式主要是通过同角之间的一些关系来解决三角函数的求值、化简和证明的问题.或者是已知一个角的三角函数值，求另一个角的三家函数值的问题.下面我们来看看真题中出现过的这类例子.
考点3：二倍角公式的运用.主要是考查学生对倍角和半角公式的运用，并能解决与此相关的三角函数式的化简、求值和证明等问题，一直以来都是高考的热点.
常用到的公式有：
讨论.特别是对于求有关值域、周期和函数单调性等问题，非常实用.
总之，在三角恒等变换这部分内容的学习和复习过程中，都要突出其重点难点，扎实学好每一个公式，平时也要多做相关的专题练习，这类考题比较灵
活，需要在平时的学习中不断地积累方法和经验，举一反三，学会综合运用，才能在高考中一举拿下相关的所有分值.
[WTBZ]参考文献：
[1]万艳红.三角恒等变换的几种常见技巧.考试周刊，2013，22.
[2]谈杰.三角函数、三角恒等变换.数学教学通讯：数学金刊（高考），2013（5）.
[3]王勇强.例谈三角恒等变换与解三角形的复习.中学教研：数学版，2013（2）.
[江苏省泰兴中学（225400）]
高考总复习三角恒等变换专题习题附解析
高考总复习三角恒等变换专题习题附解析 文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]
三角恒等变换专题习题 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( ) A．－3 B．－ C．－D．－7 解析依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－. 答案B 2．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( ) A．－B．± C．－1 D．±1 解析cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1. 答案C 3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( ) A. B. C. D．－1 解析∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝. 答案B 4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1， ∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ. ∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2. 答案C 5.
(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( ) A．－B．－ C．0 D. 解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A. 答案A 6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( ) A．－B．－ C. D. 解析∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)， ∴sinα＋cosα＝. 答案C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若tan＝，则tanα＝________. 解析∵tan＝＝， ∴5tanα＋5＝2－2tanα. ∴7tanα＝－3，∴tanα＝－. 答案－ 8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________． 解析y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋ ＝2sin(2x－)＋，所以T＝π. 答案π 9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________. 解析f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x －φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.
三角恒等变换-高考理科数学试题
（二十二） 三角恒等变换 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 三角函数的求值 1．(2017·山东高考)已知cos x ＝3 4，则cos 2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18 解析：选D cos 2x ＝2cos 2x －1＝1 8 . 2．(2018·太原一模)若cos ????α－π6＝－3 3，则cos ????α－π3＋cos α＝( ) A ．－ 22 3 B ．±223 C ．－1 D ．±1 解析：选C 由cos ????α－π3＋cos α＝12cos α＋3 2sin α＋cos α＝3cos ????α－π6＝－1，故选C. 3．(2018·安徽十校联考)sin 47°－sin 17°cos 30° cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 解析：选C sin 47°－sin 17°cos 30° cos 17° ＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30° cos 17° ＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30° cos 17° ＝ sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1 2 . 4．(2018·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ???? π3－x ＝cos 2????x 2＋π4，则tan x ＝( ) A.1 2 B ．－2 C.22 D. 2
解析：选D 由已知，得sin π3cos x －cos π3sin x ＝cos ????x ＋π2＋12，即32cos x －1 2sin x ＝ －12sin x ＋12，所以cos x ＝3 3 .因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝ 2. 5．(2018·河北唐山一模)已知α为锐角，且cos ????α＋π4＝3 5，则cos 2α＝( ) A.24 25 B.725 C ．－ 2425 D ．±2425 解析：选A ∵0<α<π2，cos ????α＋π4＝35>0，∴π4<α＋π4<π 2，∴sin ????α＋π4＝45，∴sin α＝sin ????????α＋π4－π4＝sin ????α＋π4cos π4－cos ????α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝2 10，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2× ????2102＝2425 .故选A. 6．(2018·广东广州模拟)设α为锐角，若cos ????α＋π6＝35，则sin ????α－π 12＝( ) A ．－210 B.210 C.2 2 D.45 解析：选B 因为α为锐角，所以0<α<π2，则π6<α＋π6<2π 3，因此sin ????α＋π6>0，所以sin ??? ?α＋π 6＝ 1－cos 2??? ?α＋π 6＝ 1－????352＝45.所以sin ????α－π12＝sin ??? ?????α＋π6－π4＝sin ????α＋π6cos π4－cos ????α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝2 10 . 7．(2018·荆州一模)计算：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝________. 解析：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝sin 46°·cos 16°－cos 46°·sin 16°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12 . 答案：1 2 8．(2018·洛阳一模)已知sin ????α－π3＝14，则cos ????π 3＋2α＝________. 解析：cos ????π3＋2α＝cos ????π－2π3＋2α＝－cos 2????α－π3＝2sin 2????α－π3－1＝－7 8. 答案：－7 8
三角恒等变换高考试题汇编
三角恒等变换高考题汇编 1、（07山东理）函数y=sin （2x+ 6π）+cos （2x+3 π ）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、（07海南） ) 4 sin(2cos π αα-=- 2 2 ，则cos α+sin α的值为（ ） A - 27 B -21 C 2 1 D 27 3、（07福建文）sin150 cos750 +cos150 sin1050 =（ ）A 0 B 2 1 C 23 D 1 4、（07浙江理）已知sin θ+cos θ= 51且2π≤θ≤43π ，则cos2θ的值是（ ） 5、（07浙江文）已知sin θ+cos θ=51 则sin2θ的值是（ ） 6、（07全国Ⅰ理）函数f （x ）=cos 2x-2cos 22 x 的一个单调增区间是（ ） A （ 3π，32π ） B （6π，2π） C （0，3π） D （-6π，6 π） 7、（07广东理）已知函数f （x ）=sin 2 x -2 1（x ∈R ），则f （x ）是（ ） A 最小正周期为2 π 的奇函数 B 最小正周期为π的奇函数 C 最小正周期为2π的偶函数 D 最小正周期为π的偶函数 8、（07北京文）函数f （x ）=sin2x-cos2x 的最小正周期是（ ） A 2 π B π C 2π D 4π 9、（06全国）函数f （x ）=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A 2 π B π C 2π D 4π 10、（06全国）若f （sinx ）=3-cos2x ，则f （cosx ）=（ ） A 3-cos2x B 3-sin2x C 3+cos2x D 3+sin2x 11、（06重庆文）已知,αβ∈（0，2 π ），cos （α-2β）=23，sin （2α-β）=-21，则 cos （α+β）的值等于（ ） A - 23 B -21 C 2 1 D 23
高考真题 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 2019年 1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2 2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ，且π4g ??= ???3π8f ?? = ??? A.2- B. D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， 2 π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C ． 3 D 5 5.（2019江苏13）已知tan 2 π3tan 4αα=-? ?+ ?? ?，则πsin 24α??+ ?? ?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；
（2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)若1 sin 3 α=，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 2．（2016年全国III ）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ． 6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 3．（2016年全国II ）若3 cos( )45π α-=，则sin 2α=（ ） A ．7 25 B ．15 C ．15- D ．725- 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-= A ． B C ．12- D ．1 2 5．（2015重庆）若tan 2tan 5 π α=，则 3cos()10sin() 5 π απ α- -＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则 A ．0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A ．32 π αβ-= B ．22 π αβ-= C ．32 π αβ+= D ．22 π αβ+= 8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 2222sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19- B ． 13 C ．1 D ．72
(浙江专版)高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)
第03节简单的三角恒等变换 【考纲解读】 【知识清单】 1.两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β ； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β . 变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； . 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α. 变形公式： cos 2α＝21＋cos 2α，sin 2α＝21－cos 2α 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【重点难点突破】 考点1两角和与差的三角函数公式的应用 【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点 ， ， 记射线 与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的
三角恒等变换 高考专题
例1：快速写出下列运算结果，思考如何应用公式。 （1）. cos80cos 20cos10sin 20o o o o += ▲ ； （2）. ()()()()cos 27cos 33sin 27sin 33o o o o αααα+--+-= ▲ ； （3）. ()()sin cos cos sin αβααβα+-+= ▲ ； （4）. sin14cos31sin17o o o += ▲ ； （5）. 1tan151tan15 o o -=+ ▲ ； （6）. sin 67.5cos67.5o o = ▲ ； （7）. 22cos sin 8 8 π π -= ▲ ； （8）. 2 1 cos 122 π - = ▲ ； （9）. cos 20cos 40cos60cos80o o o o = ▲ ； 例2 求解以下3道小题，然后总结求解此类问题的入手点和注意问题。 （1） 已知3tan 4α= ，5 cos 13β=-，()0,αβπ∈、，求()sin αβ+、()cos αβ-、tan 2α； （2） ()4cos 5αβ+= ，1 cos 7 β=-，()0,αβπ∈、，求sin α； （3） 已知()4cos 5αβ-=- ，()4cos 5αβ+=，且,2παβπ??-∈ ???，3,22παβπ?? +∈ ??? ，求cos 2α。 例3 已知tan tan αβ、是方程26510x x -+=的两个根，()0,αβπ∈、，求αβ+。 例4 （1）求证：tan 20tan 25tan 20tan 251o o o o ++=，你还能写出类似的式子吗？ （2）已知A B 、都是锐角，求证()()1tan 1tan 2A B ++=是4 A B π += 的充要条件。 （3）已知三个电流瞬时值函数式分别是122s i n I t ω =，() 222sin 120o I t ω=-， ()322sin 120o I t ω=+。求证：1230I I I ++=。 课堂练习。 （1） 已知2 sin cos 3 θθ+= ，求sin 2θ的值； （2） 已知A B C 、、都是锐角，且tan 0.5A =，tan 0.2B =，tan 0.125C =，求证：45o A B C ++=；
三角恒等变换高考真题
【必修四】第三章 三角恒等变换 一、选择题 1 ．（2012年高考（重庆文）） sin 47sin17cos30 cos17- （ ） A ．2 - B ．12 - C ． 12 D ． 2 2 ．（2012年高考（重庆理））设tan ,tan αβ是方程2 320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为 （ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 3 ．（2012年高考（陕西文））设向量a =(1.cos θ)与b =(-1, 2cos θ)垂直,则cos2θ等于 1 2 C ．0 D ．-1 4 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α= （ ） A ．-1 B ． C D ．1 5 ．（2012年高考（辽宁理））已知sin cos αα-=α∈(0,π),则tan α= （ ） A ．-1 B ．- C D ．1 6．（2012年高考（江西文））若sin cos 1 sin cos 2 αααα+=-,则tan2α= （ ） A ．-34 B ．34 C ．-43 D ． 43 7．（2012年高考（江西理））若tan θ+1 tan θ =4,则sin2θ= （ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12 8．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3 sin 5 α=,则sin 2α= （ ） A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ． 2425 9 ．（2012年高考（山东理））若42ππθ?? ∈? ??? ，,sin 2=8θ,则sin θ= （ ） A ． 3 5 B ． 45 C D ． 34
(精编)高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解
高中数学高考总复习简单 的三角恒等变换习题 (附参考答案) 一、选择题 1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π 4)，x ∈R ，则函数f (x ) 是( ) A ．最小正周期为π 的奇函数 B ．最小正周期为π 的偶函数 C ．最小正周期为π 2 的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 [答案] A [解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π 2＝π. (理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π3 [答案] B [解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝ 1－cos2x 2＋1 2 sin2x ＝12＋2 2sin ????2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22) 的模为3 2 ，则cos2α＝( ) A ．－1 4 B ．－1 2 C.12 D.3 2 [答案] B [解析] ∵|a |2＝cos 2α＋?? ? ?222 ＝cos 2α＋12＝34， ∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1 2. 3．已知tan α 2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.4 15 D ．－35 [答案] B
[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α 2＝cos 2α2－sin 2 α2cos 2α2＋sin 2 α2 ＝1－tan 2 α 21＋tan 2 α2 ＝1－91＋9＝－4 5 ，故选B. 4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角 的三角形 [答案] B [解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C 2 ， ∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝1 2(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1， ∵－πcos x ，
高考数学一轮复习专题 三角恒等变换(学生版)
三角恒等变换专题 【整体感知】：三角恒等变换是我们学习了三角函数之后的两角和差公式以及二倍角公式的运用。 所以在考试中经常和三角函数的图像与性质一起考查。尤其是二倍角公式的运用。 【热点点击】：高考中对于三角恒等变换中的二倍角公式考查的是比较多的，也是高考的一个热点。注意公式的正用和逆用以及变用。 【本章考点】:两角和差的三角函数公式、二倍角公式、三角恒等变换的化简与证明。 【高考命题趋势】：1.考查两角和差的三角函数公式，经常以小题形式出现，难度不大；2考查二倍角公式的运用，题型可以是小题，也可以是大题，为中档题；3.考查三角恒等变换的化简与求值问题，一般都放在大题中进行考查；4.解答题数中高档题目.对三角恒等变换的考查形式有稳重求变、求活，以“能力立意”的命题趋势. 【高考复习建议】：1.首先熟练记忆三角函数的两角和差的正弦公式和余弦公式、正切公式；2.联系三角函数的有关的图像以及性质，往往先化简后，然后利用三角函数的性质求解，因此化简的过程就是三角恒等变换的重要体现。特别是二倍角的余弦公式。注重通法通解的训练，不要只注重技巧. 第1讲 两角和差的正弦、余弦、正切公式 【知识精讲】 两角和、差的正弦，余弦、正切公式及其变形；二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式；升降幂公式；万能公式；. 【基础梳理】 1.两角和与差的三角函数 ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin = 2 22 2 2cos sin 12sin 2cos 11tan cos22tan tan2ααααα αα α-=-=--== 3. 半角公式 2 cos 12sin αα -± = 2cos 12cos αα+±= tan 2α=α αααsin cos 1cos 1sin -=+
三年高考真题专家解读精编解析一专题三角恒等变换与求值
1.【２0１6高考新课标2理数】若3 cos( )45 π α-=, 则sin 2 α=（ ） (A)725 （B ）15 (C)15- （D ）725 - 【答案】Ｄ 【解析】 试题分析：2 237cos 22cos 1214 4525ππαα????????-=--=?-=- ? ? ???????????， 且cos 2cos 2sin 24 2ππααα?????? -=-= ???????????,故选Ｄ. 考点：三角恒等变换. 2.【20１5高考新课标1，理２】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( ) (A)33(Ｃ)12-(D ）1 2 【答案】Ｄ 【解析】原式＝o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=1 2 ,故选D. 【考点定位】三角函数求值. 【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与１6０°之间的联系,会用诱导公式将不同角化为同角,再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值,注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 3.【２０15高考重庆,理９】若tan 2tan 5 πα=，则 3cos() 10sin() 5 παπα- =-（ ) A 、1 B 、２ C 、３ D 、4 【答案】C 【解析】 由 已
知 , 3cos()10sin() 5 π απ α- =-33cos cos sin sin 1010 sin cos cos sin 5 5 ππααπ π αα+-33cos tan sin 1010 tan cos sin 5 5 ππ απ π α+= -33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555πππ πππ+= - 33cos cos 2sin sin 5 10510sin cos 55π πππππ+= ＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10 π π==，选Ｃ． 【考点定位】两角和与差的正弦(余弦）公式，同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换． 4．【２０15陕西理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的(） A.充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件 C.充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=,所以sin cos αα=或sin cos αα=-,因为 “sin cos αα=”?“cos 20α=”,但“sin cos αα=”?/“cos 20α=”,所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件,故选A . 【考点定位】1、二倍角的余弦公式;2、充分条件与必要条件． 【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ?时, p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误.充分、 必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化. 5．【2017课标II,理１４】函数()23sin 34f x x x =-(0,2x π??∈???? ）的最大值是。 【答案】1 【解析】 试题分析：化简三角函数的解析式： ()2 223131cos 3cos 3cos 144f x x x x x x ?=-+-=-++=--+ ? ,
(完整word)三角恒等变换高考试题精选(二)
三角恒等变换高考试题精选（二） 一．选择题（共15小题） 1．已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（） A．﹣ B．﹣ C．D． 2．若cos（﹣α）=，则sin2α=（） A．B．C．﹣ D．﹣ 3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（） A．B．C．1 D． 4．若tanθ=﹣，则cos2θ=（） A．﹣ B．﹣ C．D． 5．若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（） A．B．C．D． 6．若tanα=2tan，则=（） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（） A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 8．已知，则tan2α=（） A．B．C．D． 9．已知，则等于（）A．B．C．D． 10．已知sin2α=，则cos2（）=（）
A．﹣ B．C．﹣ D． 11．若，则cos2α+2sin2α=（） A．B．1 C．D．0 12．若，则=（） A．1 B．C．D． 13．已知sin（α）=，则cos（α+）=（） A．B．C．D． 14．设，且，则（）A．B．C．D． 15．已知，则=（） A．B．C．D． 二．填空题（共8小题） 16．设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于． 17．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=． 18．已知，则=． 19．若，则=． 20．已知tanα=2，则=． 21．化简：﹣=． 22．若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=，tan2α=．
23．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是． 三．解答题（共7小题） 24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+）的值． 25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积； （Ⅱ）求sin（2A﹣B）． 26．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 27．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． （Ⅰ）证明：tan=； （Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值． 28．已知tanα=2． （1）求tan（α+）的值； （2）求的值． 29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．
高考一轮复习三角恒等变换
2014 年星火教育高考一轮复习三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、三角函数式的化简、求值 ※相关链接※ （1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ① 一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使 用公式； ② 二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦” ； ③ 三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分” 等。 （2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号； （3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ① 化为特殊角的三角函数值； ② 化为正、负相消的项，消去求值； ③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值。 ※例题解析※ (1 sin cos )(sin cos ) 例〗( 1)化简 2 2 (0 2 2cos 2）应用公式把非 10o 角转化为 10o 的角，切化弦。 2）求值 1 cos200 2sin 200 sin100(tan 150 tan 50 ) 思路解析：（1）从把角 变为 入手，合理使用公式； 2
2、三角函数的给值求值问题 ※相关链接※ 三角函数的给值求值问题 解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。 （1）当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应 着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱 导公式把“所求角”变成“已知角” 。 3）常见的配角技巧 2 2 () () 1 12[( ) ( )] 1 1 [( ) ( )] 2 ※例题解析※ cos( ) 变化为 sin( ) ，再由 ( ) 求解。 4 4 4 4 解答： 方法一 ：∵ 3 3 4 , 2 4 0. 又 44 4 Q cos 3 , sin( ) 4 。 又Q0 ,3 3 . 又Q sin( 3 )5 4 54 5 44 4 4 13 sin( ) cos[ ( 2 )] cos[(3 4 ) ( 4 )] 3 cos( )cos( 4 ) sin(3 4 )sin( 4 ) 12 3 5 4 36 20 56 () () 13 5 13 5 65 65 65 〖例〗 已知 0 4 ,cos( 4 ) 3,sin( 3 54 ） 153，求 sin （ ）的值。 思路解析： 比较题设中的角与待求式中的角，不难发现 (34 2( ） 或将 )
高考总复习三角恒等变换专题习题附解析
高考总复习三角恒等变换专题习题附解析集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
三角恒等变换专题习题 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( ) A．－3 B．－ C．－D．－7 解析依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－. 答案B 2．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( ) A．－B．± C．－1 D．±1 解析cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1. 答案C 3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( ) A. B. C. D．－1 解析∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝. 答案B 4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1， ∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ. ∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2. 答案C 5. (2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( ) A．－B．－ C．0 D.
解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A. 答案A 6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( ) A．－B．－ C. D. 解析∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)， ∴sinα＋cosα＝. 答案C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若tan＝，则tanα＝________. 解析∵tan＝＝， ∴5tanα＋5＝2－2tanα. ∴7tanα＝－3，∴tanα＝－. 答案－ 8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________． 解析y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋ ＝2sin(2x－)＋，所以T＝π. 答案π 9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________. 解析f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－. 答案－ 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知tan2θ＝(<θ<π)，求的值． 解∵tan2θ＝＝， ∴tanθ＝－3或tanθ＝. 又θ∈(，π)，∴tanθ＝－3. ∴＝＝ ＝＝－. 11．已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值；
历届高考中的“三角恒等式”试题精选(自我测试)
历届高考中的“三角恒等式”试题精选(自我测试) 三角函数的定义、诱导公式、三角恒等变换（A ） 1Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2.（2007全国Ⅱ理）sin2100 =（ ） (A) 2 3 (B) 2 3- (C) 2 1 (D) 2 1- 3.（2007福建文)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（ ） A.0 B. 21 C. 2 3 D.1 4.（2007陕西文、理）.已知5 5 sin = ?,则?-?44cos sin 的值为（ ） （A ）5 3- （B ）5 1- （C ）51 （D ）5 3 5.（2006福建理、文）已知α∈( 2 π ,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ） A. 71 B.7 C.－ 7 1 D.－7 6．（2006辽宁文）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ． 2 Ｃ． 8 Ｄ． 7 7．（2006全国Ⅱ卷文、 理）若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝（ ） （A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x 8.（2005北京文、理）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ） （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β) 第六节 简单的三角恒等变换 预习设计 基础备考 知识梳理 1．半角公式 (1)用cos 表示?2tan ,2cos ,2sin 222α α α = 2sin 2α =2cos ;2α =2tan ;2α (2)用αcos 表示?2tan ,2cos ,2sin ααα = 2sin α =2cos ;α =2tan ;α (3)用ααcos ,sin 表示?2tan α = += α ααcos 1sin 2tan 2．形如x b x a cos sin +的化简 =+x b x a cos sin ，其中?= a b ?tan 典题热身 =+α ααα2cos cos .2cos 12sin 2.12 （ ） αtan .A α2tan .B 1.C 2 1.D 答案：B 2．若,2cos 3)(sin x x f -=则=)(cos x f （ ） x A 2cos 3.- x B 2sin 3.- x C 2cos 3.+ x D 2sin 3.+ 答案：C 3．化简：=-++++++-+θ θθθθθθθcos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1 ( ) θsin 2.A θcos .B θ cos 1.c θ2sin .D 答案：A 4．函数23cos 32sin 2 12-+=x x y 的最小正周期等于( ) π.A π2.B 4 π?c 2π?D 答案：A 5．已知),0,4 (,25242sin παα-∈-=则ααcos sin +等于( ) 51.±A 51.B 57.±c 5 7.D 答案：B 课堂设计 方法备考 题型一 三角函数式的化简 【例1】(1)已知,2cos 2sin 1 2sin 2tan 2)(2 α α ααα--=f 求);12(πf (2)已知,2,222tan πωπθ<<-=求)4sin(21 sin 2cos 22 πθθθ+ --的值。 题型二 三角函数式的求值 【例2】已知,7 1tan ,1010sin ==αβ求满足下列条件的βα2+的值． );2 ,0(),2,0()1(πβπα∈∈ ?∈-∈)2 ,0(),0,()2(π βπα 题型三 )(cos sin 22?++--+x b a x b x a 的应用 【例3】设函数.18cos 2)64sin()(2+--=x x f π π π (1)求)(x f 的最小正周期； (2)若函数)()(x f hy x g y =-=的图像关于直线1=x 对称，求当]4 3 ,0[∈x 时，)(x g y =的最大值， 技法巧点 1．三角函数式的化简 (1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分． (2)三角函数式化简的要求． ①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不合三角函数． （3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角经同角，降幂或升幂． 2．三角函数式的求值 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角人手）； (3)将已知条件代人所求式子，化简求值． 失误防范 2 1 1 三角恒等变换高考题汇编 +cos （ 2x+ ）的最小正周期和最大值分别为（ 3 cos （ + ）的值等于（ ，1 ，1 D 2 ，2 2、 07 海南） cos2 2 ，则 cos +sin 的值为 sin （ 4 ） 3、 （ 07 福建 文） 0 sin15 cos 00 75 +cos15 s 0 in105 = （ ） A 0 B 1 2 C 3 2 4、 （ 07 浙江 理） 已知 sin 1 +cos = 且 ≤ 3 ≤ 3 ，则 cos2 的值是（ 5 2 4 5、 （ 07 浙江 文） 已知 sin 1 +cos = 则 sin2 的值是（ ） 5 6、 （ 07 全国Ⅰ理）函数 f （x ） =cos 2x-2cos 2 x 的一个单调增区间是 （ ） ， 2 2 A （ ） B （ ，） C （0， ） D （ - ） 33 6 2 - 1 （ 3 6 6 7、 （ 07 广东 理） 已知函数 f （ x ） =sin 2 x x ∈ R ），则 f （x ） 是（ ） D 1 2 1、 07 山东理）函数 y=sin （ 2x+ ） 6 A 最小正周期为 C 最小正周期为 8、（07 北京文）函 数 的奇函数 B 2 2 最小正周期为 的奇函数 的偶函数 D 最小正周期为 的偶函数 f （ x ） =sin2x-cos2x 的最小正周期是（ ） A B 2 9、（06 全国）函数 f x ） =sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A B 2 10、（06 全国 ）若 f （sinx A 3-cos2x B 3-sin2x C ） =3-cos2x ， 3+cos2x 则 f （ cosx ） = （ ） D 3+sin2x 11、（ 06 重庆文 ）已知 0， cos 3 - ） = ， sin 22 2- 1 ，则 2第六讲 简单的三角恒等变换-高考状元之路
三角恒等变换高考试题汇编