MATLAB线性系统的根轨迹实验
实验报告
实验名称线性系统的根轨迹
一、实验目的
1.熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2.利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3.掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4.掌握系统参数变化对特征根位置的影响。二、实验内容1．请绘制下面系统的根轨迹曲线
)
136)(22()(22++++=s s s s s K
s G )
10)(10012)(1()
12()(2+++++=s s s s s K s G 2(0.051)
()(0.07141)(0.0120.11)
K s G s s s s s +=+++同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2.在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。
三、实验结果及分析1．请绘制下面系统的根轨迹曲线
)
136)(22()(22++++=s s s s s K
s G )
12()(+++++=s K s G 2(0.051)
()(0.07141)(0.0120.11)
K s G s s s s s +=+++同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
（1）>>num=[001];
>>den=[conv([1,2,2],[1,6,13]),0];
>>rlocus (num,den)
>>[k,r]=rlocfind(num,den)
Select a point in the graphics window
selected_point =
0.0071+1.0248i
k =
31.4829
r =
-2.8088+2.1856i
-2.8088-2.1856i
-2.4150
0.0163+1.0144i
0.0163-1.0144i
使得闭环系统稳定K 的范围为)
4.31,0( K
（2）num=[0112];
den=[conv(conv([1,1],[1,12,100]),[1,10])];
rlocus (num,den)
[k,r]=rlocfind(num,den)
Select a point in the graphics window
selected_point =
0.0355+10.4037i
k =
1.1953e+003
r =
0.1898+10.2777i
0.1898-10.2777i
-11.6898+2.9253i
-11.6898-2.9253i
使得闭环系统稳定K 的范围为)
0031953.1,0(+∈e K
（3）num=[0.05,1];
>>den=[conv([0.0714,1],[0.012,0.1,1]),0];
>>rlocus (num,den)
[k,r]=rlocfind(num,den)
Select a point in the graphics window
selected_point =
0.0711+8.3851i
k =
7.8321
r =
-0.0336+8.5173i
-0.0336-8.5173i
-11.1359+1.4131i
-11.1359-1.4131i
使得闭环系统稳定K 的范围为)
8.7,0( K
2.在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。①)
136)(22()(22++++=s s s s s K
s G 先令G(s)=1/s,则可得其单位阶跃响应波形图为
然后逐步添加如下：
第一步、添加共轭极点-1+j1和-1-j1得到G(s)=1/[s(s2+2s+2)]，运行可得其单位阶跃响应波形为
第二步、添加共轭极点-3+j2和-3-j2得到G(s)=1/[s(s2+2s+2)(s2+6s+13)]，运行后可得其单位阶跃响应波形为
②)
10)(10012)(1()
12()(2+++++=s s s s s K s G 先令G(s)=1/(s+1),则可得其单位阶跃响应波形为
然后逐步添加如下：
第一步、添加共轭极点-6+j8和-6-j8得到G(s)=1/[(s+1)(s 2+12s+100)]，运行后可得其单位阶跃响应波形为
第二步、添加极点-10得到G(s)=1/[(s+1)(s2+12s+100)(s+10)]，运行后可得其单位阶跃响应波形为
第三步、添加零点-12得到G(s)=(s+12)/[(s+1)(s2+12s+100)(s+10)],运行后可得其单位阶跃响应波形为
③)
11.0012.0)(10714.0()
105.0()(2++++=s s s s K s G 先令G(s)=1/s,则可得其单位阶跃响应波形图为
然后逐步添加如下：
第一步、添加极点-1/0.0714得到G(s)=1/[s(0.0714s+1)],运行后可得其单位阶跃响应波形为
第二步、添加一对共轭极点，即分子添加项（0.012s2+0.1s+1）后可得到
G(s)=1/[s(0.0714s+1)(0.012s2+0.1s+1)]运行后可得其单位阶跃响应波形为
第三步、添加极点-20得到G(s)=1/[s(0.0714s+1)(0.012s2+0.1s+1)(0.05s+1)]，运行后可得其单位阶跃响应波形为
由图知，给系统添加开环极点会使系统的阶次升高，若添加的合理，会使系统的稳态误差减小，同时若添加的不合理，反倒会使系统不稳定；给系统添加开环零点，可使原来不稳定的系统变成稳定的系统。
四、实验心得与体会
本次实验我们首先熟悉了MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式，随后又利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图，而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可通过自己添加零极点或者改变根轨迹增益的范围来观测参数变化对特征根位置的影响。更加熟练地掌握了MATLAB的操作方法。
自控实验报告实验三 线性系统的根轨迹
实验三 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、实验报告 1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB 语言程序，及对应的结果。 2. 记录显示的根轨迹图形，根据实验结果分析根轨迹的绘制规则。 3. 根据实验结果分析闭环系统的性能，观察根轨迹上一些特殊点对应的K 值，确定闭环系统稳定的范围。 4．写出实验的心得与体会。 三、实验内容 请绘制下面系统的根轨迹曲线同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。 一、 ) 136)(22()(2 2 ++++=s s s s s K s G 1、程序代码： G=tf([1],[1,8,27,38,26]); rlocus (G); [k,r]=rlocfind(G) G_c=feedback(G,1); step(G_c) 2、实验结果：
-8-6 -4 -2 24 6 8 Root Locus Real Axis I m a g i n a r y A x i s selected_point = -8.8815 + 9.4658i k = 1.8560e+04 r = -10.2089 + 8.3108i -10.2089 - 8.3108i 6.2089 + 8.2888i 6.2089 - 8.2888i Time (seconds) A m p l i t u d e selected_point = -9.5640 - 7.6273i k = 1.3262e+04 r = -9.5400 + 7.6518i -9.5400 - 7.6518i 5.5400 + 7.6258i 5.5400 - 7.6258i Time (seconds) A m p l i t u d e
自动控制原理 题库 第四章 线性系统根轨迹 习题
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++-
4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。
第四章 线性系统的根轨迹法(下)
116 4-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个0.6m ~0.9m 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为10.16m 。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T 可略去不计。要求： (1) 概略绘出0a K <<∞时系统的根轨迹图； (2) 确定增益a K 的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707ζ≥。 (b) 图4-47 轧钢机控制系统 解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。 (1) 绘系统根轨迹图 电机与轧辊内回路的传递函数 ()()()12 0.250.25 10.250.5G s s s s = = +++ 令0T =，系统开环传递函数为 ()()()() ()() 2 2 2 0.50.50.510.51a K s K G s s s s s s s * += = ++++ 式中，0.5a K K *=。概略绘制根轨迹图的特征数据为： 渐近线：交点与交角 2.5 0.6254 a σ-= =- 45,135a ?=±± 分离点：由 11200.51 d d d ++=++ 解出 0.212d =-。 根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程 ()()2 0.51s s s K *+++ 4322.520.50s s s s K *=++++= 列劳思表
117 4s 1 2 K * 3s 2.5 0.5 2s 1.8 K * 1s 0.9 2.51.8 K * - 0s K * 令0.9 2.50K *-=，得0.36K *=。令 21.80s K *+= 代入s j ω=及0.36K *=，解出0.447ω=。交点处 20.72a K K *== 系统概略根轨迹图如图(a)所示。 图(a) 概略根轨迹图 (2) 确定使系统0.707ζ≥的a K 在根轨迹图上，作0.707ζ=阻尼比线，得系统主导极点 1,20.1550.155s j =-± 利用模值条件，得1s 处的0.0612K * =；分离点d 处的0.0387K *=。由于2a K K *=，故取0.07740.1224a K <≤，可使0.7071ζ≤<；取0.0774a K ≤，可使1ζ≥。 ()()20.51010.5a K s s s +=++
线性系统的根轨迹法
第四章线性系统的根轨迹法 一、教学目的与要求： 本章讲述用闭环系统的特征根随系统参数变化的轨迹，来分析控制系统的特性，因此要求学生要掌握根轨迹作图方法的规则，并熟练运用这些规则绘制控制系统的根轨迹图。要让学生会利用根轨迹图分析系统的稳定性、动态特性、稳态特性。掌握怎样改善系统性能的方法。着重讨论根轨迹图的绘制，明确闭环传递函数极点与瞬态响应的关系，了解改变开环增益，增加开环传递函数零、极点对系统质量的影响。 二、授课主要内容： 1．根轨迹法的基本概念 1）闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 2）根轨迹方程 2．根轨迹绘制的基本法则 3．广义根轨迹 1）参数根轨迹 2）零度根轨迹 4．系统性能的分析 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）（1）重点掌握的内容 1）熟练运用常规根轨迹的绘制法则。 2）熟练运用零度根轨迹的绘制法则。 3）正确理解单输入-单输出系统闭环零、极点和开环零极点与常规根轨迹的关系。 （2）一般掌握的内容 1）根轨迹上估计控制系统的性能。 2）广义根轨迹的概念。 3）偶极子、可略零极点的概念，主导极点的概念。
（3）一般了解的内容：根轨迹法则的证明推导过程。 四、主要外语词汇 根轨迹 root-locus 特征方程 characteristic equation 分离点 breakaway point 闭环极点 closed-loop poles 幅角条件 angle condition 模值条件 magnitude condition 实轴 real axis 虚轴 imaginary axis 五、辅助教学情况（见课件） 六、复习思考题 1.什么是根轨迹? 它有什么主要性质？如何把握根轨迹作图？ 2.利用图解法绘制根轨迹的8个规则是什么? 3.在根轨迹作图中，确定渐近线和分离点附近的根轨迹很关键，如何理解 有关它们的计算公式？ 4.如何绘制零度根轨迹？ 5.如何绘制参数根轨迹？ 6.控制系统的质量指标在根平面上该怎样表示? 7.什么是闭环主导极点？为什么可以用主导极点来估算闭环系统的质量？ 8.闭环极点为实根时响应曲线的形状如何？有共轭复根时响应曲线的形状 如何？ 9.开环零、极点的变化对控制系统的质量有什么影响？ 10.增加系统的开环零点（开环极点）对系统的性能有何影响？ 七、参考教材（资料） 1．《现代控制工程》绪方胜彦著（卢伯英佟明安罗维铭译）科学出版社参考该书第四章有关内容。 2．《自动控制原理》天津大学李光泉主编机械工业出版社
相轨迹的概念
7-4 相 轨 迹 一、相轨迹的概念 设二阶系统可以用下列常微分方程描述 ),(x x f x = 或 ),(x x f dt x d = 式中),(x x f 一般是x 和x 的非线性函数。该 系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表 示。也可把时间t 作为参变量，用x 与x 之间的关系曲线来表示。下面以线性二阶系统为例加以说明。 设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。即可 把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，x x -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。 显然，如果把方程),(x x f x =看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速度）来表示该质点的 运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法，也称为 状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标x x -的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态，这个点就称为相点。相点随时间t 的变化 在x x -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。 相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程 ),(x x f x = 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =? 则有
实验三 线性系统的根轨迹
实验三 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 11210111()()m m m m n n n n b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成 01()0KG s += 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为: rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。 例3-1:已知系统的开环传递函数3 2(1)()429s G s K s s s *+=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下: num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num,den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线 xlabel(‘Real Axis ’)； ylabel(‘Imaginary Axis ’)； %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。 若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。 num=[1 1]; den=[1 4 2 9];
自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
线性系统的根轨迹 一、 实验目的 1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、 实验容 1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++= s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。 2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并 观察增加极、零点对系统的影响。 三、 实验结果及分析 1.（1） ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： num=[1];
den=[1 8 27 38 26 0]; rlocus(num,den) [r,k]=rlocfind(num,den) grid xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus') 运行结果： 选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得： selected_point = 0.0021 + 0.9627i k = 28.7425 r = -2.8199 + 2.1667i -2.8199 - 2.1667i -2.3313 -0.0145 + 0.9873i
线性系统的根轨迹分析
实验二 线性系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法； 2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。 二、实验仪器设备 Pc 机一台，MATLAB 软件。 三、实验内容 1、已知一负反馈系统的开环传递函数为： ()()(0.11)(0.51) K G s H s s s s = ++求： （1）绘制根轨迹。 （2）选取根轨迹与徐州的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （3）确定分离点的超调量p M 及开环增益K 。 （4）用时域响应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （5）分析根轨迹的一般规律。 2、已知系统的开环传递函数为： 22(431) ()(351) K s s G s s s s ++= ++ 求： （1）绘制系统的根轨迹。 （2）选择系统当阻尼比ξ=0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K 值。 （3）分析系统性能。 四、实验结果 负反馈系统的开环传递函数为： ()()(0.11)(0.51)K G s H s s s s = ++ 1、根轨迹
2、理论计算： 根轨迹的基本性质和绘制规则如下： 规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。 规则二 当K=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K→∞，有m 条分支趋向于开环零点，另外有n-m 条分支趋向无穷远处。 可知，K=0时，3条根轨迹分别从开环极点（0, j0）、（-10,j0）和（-2,j0）出发，由于无开环零点，3条根轨迹趋向于无穷远处。 规则三 在s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。 可知，根轨迹在实轴上存在的部分为[-∞,-10]和[-2,0]。 规则四 根轨迹中趋向于无穷远处的n-m 条分支的渐近线的相角为： (21)180a q n m φ+?=± - 0,1,2,,q n m =-- 可知，两条根轨迹无穷远时趋向的渐近线斜率相角为±60°。 规则五 伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为： 11 ( ,0)n m i j i j p z j n m ==--∑∑。 可知，渐近线与实轴交点为1020 ( ,0)(6,0)2 j j ---=-
第五课 线性系统的根轨迹法
第五课 线性系统的根轨迹法 教学目的： 1．熟练掌握使用MATLAB 绘制根轨迹图形的方法。 2．进一步加深对根轨迹图的了解。 3．掌握利用所绘制根轨迹图形分析系统性能的方法。 教学内容： 1．用实验的方法求解根轨迹。 在Matlab 控制系统工具箱中提供了rlocus()函数，来绘制根轨迹，rlocus()的调用格式为： r=rlocus(g,k); 式中的g 为线性系统的数学模型；k 为用户自己选择的增益向量；返回的变量r 为根轨迹上对应向量k 的各个增益点的闭环系统的根。 如果用户不给出k 向量，则该函数会自动选择增益向量，在这种情况下，该函数的调用格式为： [r,k]=rlocus(g); 式中向量k 为自动生成的增益向量，r 仍为对应各个k 值的闭环系统的特征根。 例1 系统1的开环传递函数为：) 15.0)(12.0()(++=s s s K s G K 要求：（1）绘制并记录根轨迹； （2）确定根轨迹的分离点与相应的根轨迹增益； （3）确定临界稳定时的根轨迹增益。 （1）参考程序： K=1; z=[];
p=[0,-5,-2]; [num,den]=zp2tf(z,p,K); rlocus(num,den) Matlab运行时出现的根轨迹图形窗口中，可以用鼠标单击所关心的根轨迹上的点，就出现有关这一点的信息，包括相应增益、极点位置、阻尼参数、超调量、自然频率。
例2系统开环传递函数)2()(2 n n s s K s G ?ωω+=中引入一个附加的极点s=-a ，即系统的 开环传递函数变为) )(2()(2 a s s s Ka s G n n ++=?ωω 给出5.0,/2==?ωs rad n ，a 分别为1，3，5时系统的根轨迹变化曲线。 参考程序： clear clc wn=2; xita=0.5; a=[1,3,5]; for i=1:length(a) G=tf(a(i)*wn^2,conv([1,2*xita*wn,0],[1,a(i)])); rlocus(G); axis([-8,5,-5,5]) hold on disp('press any key to continue.') pause%系统暂停，按任意键继续 end
实验六-线性系统的根轨迹分析
《自动控制理论》 实验报告 专业：电气工程及其自动化班号：1406111 学号：1140610319 姓名：赵元胜 电气工程及其自动化实验中心 二〇一六年十二月
实验六线性系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法； 2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法； 二、实验设备 Pc 机一台，MA TLAB 软件。 三、实验举例 已知系统开环传递函数为 ) 2)(1()()(++=s s s K s H s G 求：绘制控制系统的根轨迹图，并分析根轨迹的一般规律。 解：1、绘制控制系统的根轨迹图 MATLAB 提供rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为 rlocus(num ，den)或[k ，p]=rlocusfind(num ，den) 在MATLAB 命令窗口>>提示符号下键入：（符号?表示回车） >>k=[1]? >>z=[]? >>p=[0 -1 -2]? >>[num,den]=zp2tf(z ，p ，k)? 零极点模型转化为多项式模型 >>rlocus(num ，den)? 绘制控制系统的根轨迹图 >>grid ? 绘制坐标 屏幕显示系统的根轨迹图形 2.分析根轨迹的一般规律 1）根轨迹3条，分别从起点（0，0）、（-1，0）和（-2，0）出发，随着k 值从0→∞变化，趋向无穷远处。 2）位于负实轴上的根轨迹（-∞，-2）和（-1，0）区段，其对应的阻尼ζ>1，超调量为0，系统处于过阻尼状态而且在远离虚轴的方向，增益k 增大，振荡频率ωn 随之提高，系统动态衰减速率相应增大。 3）在根轨迹分离点（-0.432，0）处，对应的阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。 4）根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。
实验十一：非线性系统的相平面分析
第 1 页 实验十一 非线性系统的相平面分析 一、实验目的 (1)掌握非线性系统的模拟方法。 (2)用相平面分析法分析继电型非线性系统、饱和型非线性系统的瞬态响应和稳态误差。 二、实验设备 序 号 型 号 备 注 1 DJK01 电源控制屏 该控制屏包含“三相电源输出”等几个模块。 2 DJK15控制理论实验挂箱 或DJK16控制理论实验挂 箱 3 慢扫描示波器 4 万用表 三、实验线路及原理 相平面法是分析一阶和二阶非线性系统的有效方法。通过作出的相轨迹，就能直观的知道系统的运动情况。 图11-1 非线性控制系统
第 2 页 图11-2 理想继电器特性的模拟线路图 图11-1为一具有理想继电器特性的非线性系统的框图，图11-2为理想继电器特性的具体接线参考图。由图11-1得 Km C C =+。 。。 ,0, 0m e m m e >?=??=?+e KM C C e KM C C 令 r(t) = R，则 r(t)=0。因为 r –c =e， 所以e = -c 。于是上式改写为 ） ，（），（。。。。。。0000<=?+>=++e KM e e e KM e e
第 3 页 初始条件 e（0）= r（0）- c（0）=R ，用等倾线法作出该系统的相轨迹如图11-3所示。由图可见，系统从初始点A 出发，最后运动到坐标原点。这不仅表明该系统稳定，而且由图还能确定系统的超调量δ%=0F/0A ×100%。和稳定误差为零等性能指标。 图11-3 四、思考题 (1)实验中如何获得c 和c 的信号？如何获得e 和e 的信号？ (2)试说明e ?e 相轨迹和c ?c 相轨迹间的关系。 (3)你是如何从相平面图上得到超调量σρ和稳态误差ess 的？ 五、实验方法 (1)用相轨迹分析图8-54所示的具有理想继电器特性的非线性系统在阶跃信号作用下的瞬态响应和稳态误差。 ①根据图8-54设计相应的实验线路图，其中M=5V，K=1。 ②在系统的输入分别为3V 和1V 时，用示波器观察系统e ?e
线性系统的根轨迹分析
自动控制原理课程实验报告 实验题目：线性系统的根轨迹分析 1.实验目的 1．根据对象的开环传函，做出根轨迹图。 2．掌握用根轨迹法分析系统的稳定性。 3．通过实际实验，来验证根轨迹方法。 2.实验设备 PC 机一台，TD-ACC+( 或TD-ACS)教学实验系统一套。3.1 实验原理及内容 1 ．实验对象的结构框图：如图 2.1-1 所示。 2 ．模拟电路构成：如图 2.1-2 所示
3 ．绘制根轨迹 (1) 由开环传递函数分母多项式 S(S+1)(0.5S+1) 中最高阶次 n ＝ 3 ，故根轨迹分支数为 3 。开环有 个极点： p1＝0 ,p2＝－1 ,p3＝－2 (2) 实轴上的根轨迹： ① 起始于 0 、 － 1 、 － 2 ，其中 － 2 终止于无穷远处。 ②起始于 0 和 － 1 的两条根轨迹在实轴上相遇后分离，分离点为 显然 S2 不在根轨迹上，所以 S1 为系统的分离点，将 S1＝－ 0.422 代入特征方程 S(S+1)(0.5S+1)＋K 中，得 K ＝0.193 (3) 根轨迹与虚轴的交点 将 S = j W 代入特征方程可得： 4 ．根据根轨迹图分析系统的稳定性 根据图 2.1-3 所示根轨迹图，当开环增益 K 由零变化到无穷大时，可以获得系统的下 述性能： R ＝ 500/K
(1)当K＝3 ；即R＝166 KΩ时，闭环极点有一对在虚轴上的根，系统等幅振荡， 临界稳定。 (2)当K > 3 ；即R < 166 KΩ时，两条根轨迹进入S 右半平面，系统不稳定。 (3)当0 < K < 3 ；即R >166 KΩ时，两条根轨迹进入S 左半平面，系统稳定。 上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有密切的联系。利用根轨迹不仅能够分析闭环系统的动态性能以及参数变化对系统动态性能的影响，而且还可以根据对系统暂态特性的要求确定可变参数和调整开环零、极点位臵以及改变它们的个数。这就是说，根轨迹法可用来解决线性系统的分析和综合问题。由于它是一种图解求根的方法，比较直观，避免了求解高阶系统特征根的麻烦，所以，根轨迹在工程实践中获得了广泛的应用。 3.2实验步骤1．绘制根轨迹图：实验前根据对象传函画出对象的根轨迹图，对其稳定性及暂态性能做出理论上的判断。并确定各种状态下系统开环增益K 的取值及相应的电阻值R。2．将信号源单元的“ ST”端插针与“ S”端插针用“短路块”短接。由于每个运放单元均设臵了锁零场效应管，所以运放具有锁零功能。将开关设在“方波”档，分别调节调幅和调频电位器，使得“ OUT”端输出的方波幅值为1V ，周期为10s 左右。注意：实验过程中，由于“ ST ”端和“ S ”端短接，运放具有锁零功能。而该对象的响应时间较长，看不全整个响应过程，此时只需在响应过程中将信号源中的“ST ” 端和“S ”端之间的短路块拔掉即可。 3．按模拟电路图2.1-2 接线，并且要求对系统每个环节进行整定，详见附录一；将2 中的方波信号加至输入端。 4．改变对象的开环增益，即改变电阻R 的值，用示波器的“ CH1”和“CH2”表笔分别 测量输入端和输出端，观察对象的时域响应曲线，应该和理论分析吻合。注意：此次实验中对象须严格整定，否则可能会导致和理论值相差较大。
自动控制根轨迹实验(二)
2 线性系统的根轨迹研究 2.1 实验目的 （1） 考察闭环系统根轨迹的一般形成规律。 （2） 观察和理解引进零极点对闭环根轨迹的影响。 （3） 观察、理解根轨迹与系统时域响应之间的联系。 （4） 初步掌握利用产生根轨迹的基本指令和方法。 2.2 实验内容 根轨迹绘制的指令法、交互界面法；复平面极点分布和系统响应的关系。 已知单位负反馈系统的开环传递函数为2 )^54()2()(2+++=s s s K s G K(s+2)/(s^4+8s^3+26s^2+40s+25)，实验要求： （1） 试用MATLAB 的rlocus 指令，绘制闭环系统根轨迹。（要求写出指令，并绘出图形。） G=tf （2） 利用MATLAB 的rlocfind 指令，确定根轨迹的分离点、根轨迹与虚轴的交点。（要求写出指令，并给出结果。） （3） 利用MATLAB 的rlocfind 指令,求出系统临界稳定增益,并用指令验证系统的稳定性。 （4） 利用SISOTOOL 交互界面，获取和记录根轨迹分离点、根轨迹与虚轴的交点处的关键参数，并与前面所得的结果进行校对验证。（要求写出记录值，并给出说明。） （5） 在SISOTOOL 界面上，打开闭环的阶跃响应界面，然后用鼠标使闭环极点（小红方块）从开环极点开始沿根轨迹不断移动，在观察三个闭环极点运动趋向的同时，注意观察系统阶跃响应的变化。根据观察，（A ）写出响应中出现衰减振荡分量时的K 的取值范围，（B ）写出该响应曲线呈现“欠阻尼”振荡型时的K 的取值范围。 （6） 添加零点或极点对系统性能的影响，以二阶系统为例开环传递函数 ) 6.0(1)(2s s s G += 添加零点，增加系统阻尼数，超调量减小，在sisotool 界面上做仿真，写出未添加零点时系统的超调量，峰值，调节时间，添加零点后系统的超调量，峰值，调节时间，并写出系统添加零点的数值，并进行理论分析。(选做)
MATLAB线性系统的根轨迹实验
M A T L A B线性系统的根 轨迹实验 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
实验报告 实验名称 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1.熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2.利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3.掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4.掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、实验内容 1．请绘制下面系统的根轨迹曲线 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 2(0.051)()(0.07141)(0.0120.11) K s G s s s s s +=+++ 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。 2. 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。 三、实验结果及分析 1．请绘制下面系统的根轨迹曲线 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 2(0.051)()(0.07141)(0.0120.11) K s G s s s s s +=+++ 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
（1）>> num=[0 0 1]; >> den=[conv([1,2,2],[1,6,13]),0]; >> rlocus (num,den) >> [k,r]=rlocfind(num,den) Select a point in the graphics window selected_point = + k = r = + - + - 使得闭环系统稳定K的范围为)4. K 31 ,0(
实验四 线性系统的根轨迹
姓名: 学号: 得分: 实验四 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 1121 0111()()m m m m n n n n b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成 01()0KG s += 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为: rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向 量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。 例3-1:已知系统的开环传递函数32(1) ()429 s G s K s s s * +=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下: num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线 xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。 若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。
实验6 线性系统的根轨迹
实验六 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 n n n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()( 系统的闭环特征方程可以写成 0)(10=+s KG 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 1）绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为： rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增 益向量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的
非线性系统状态轨迹绘制
题目：非线性系统状态轨迹绘制 1 非线性系统 1．1 非线性系统概述 实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。所谓线性控制系统是指系统中所有环节的输入输出都呈线性关系,若有的环节所具有的非线性特性不很强烈,且可对其线性化, 则也可当作线性环节处理.但如此处理后,应使对系统的分析和设计的精度满足工程上的要求.系统中只要有一个环节的非线性特性很强烈,对其线性化将影响对系统分析和设计的精度或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化,则只能用非线性理论对系统进行分析和设计.在工程实际中,大多数被控对象都具有非线性特性, 因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义.非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。在某些情况下,在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素反而有利于控制质量的提高. 1．2 非线性系统的特征 非线性系统有如下两个基本特征: (1)非线性系统的基本数学模型是非线性微分方程 (2)非线性系统的性能不仅与系统本身的结构和参数有关,还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关. 由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程,而从数学上讲,非线性微分方程没有一个统一的解法,再由于第二个特征,对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待. 1．3 非线性系统的研究方法 （1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。 （2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。
控制系统的根轨迹分析知识讲解
实验报告 课程名称：____ 自动控制理论实验_____指导老师：_____________成绩：__________ 实验名称：___控制系统的根轨迹分析___实验类型：___仿真实验___同组学生姓名：__无__ 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 实验十一 控制系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。 2、熟练掌握 Simulink 仿真环境。 二、实验原理 1、根轨迹分析方法 所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益 K ） 从零变到无穷大时，系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹。在无零极点对消时，闭环系统特 征方程的根就是闭环传递函数的极点。 根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可 以对系统进行各种性能分析： (1) 稳定性 当开环增益 K 从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因 此这个系统对所有的 K 值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则其交点的 K 值就是临界稳定开环增益。 (2) 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数，如果 给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。 (3) 动态性能 当 0 < K < 0.5 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周 期过程；当 K = 0.5 时，闭环两个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周 期过程，但速度更快；当 K > 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与 K 成正比。 同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。 2、根轨迹分析函数 在 MA TLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus 、rlocfind 、pzmap 等。 (1) pzmap ：绘制线性系统的零极点图，极点用×表示，零点用 o 表示。 专业：_____________________ 姓名：____________________ 学号：___________________ 日期：____________________ 地点：____________________
《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹)
实验四 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 n n n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()(ΛΛ 系统的闭环特征方程可以写成： 0)(10=+s KG 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 1）绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为： rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增 益向量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。