专题11 空间向量与立体几何解答题(原卷版)-3年高考2年模拟1年原创备战2020高考精品系列之数学(理)
专题11空间向量与立体几何解答题
1．【2019年天津理科17】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC ＝2．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．
2．【2019年新课标3理科19】图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．
3．【2019年全国新课标2理科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．
4．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
5．【2019年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD
＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
6．【2019年江苏16】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
7．【2019年浙江19】如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC ＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
8．【2018年江苏15】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
9．【2018年江苏25】如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
10．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
11．【2018年新课标2理科20】如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣P A﹣C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．
12．【2018年新课标3理科19】如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M
是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
13．【2018年浙江19】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
14．【2018年上海17】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．
15．【2018年北京理科16】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC，AC＝AA1＝2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
16．【2018年天津理科17】如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD ＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．
（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；
（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．
17．【2017年江苏15】如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
18．【2017年江苏18】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，
容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
19．【2017年江苏25】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1，∠BAD＝120°．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
20．【2017年新课标1理科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；
（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
21．【2017年新课标2理科19】如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB＝BC AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面P AB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
22．【2017年新课标3理科19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
23．【2017年浙江19】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面P AB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
24．【2017年上海17】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．
25．【2017年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD，AB＝4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
26．【2017年天津理科17】如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝4，AB＝2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱P A上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．
1．【陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是
菱形，3ABC π
∠=，四边形ABEF 是直角梯形，2FAB π
∠=，AF BE ，22AF AB BE ===.
（Ⅰ）证明：CE 平面ADF .
（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，H 为DF 的中点，求平面ACH 与平面ABEF 所成锐二面角的余弦值. 2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60的二面角，点M 在线段AB 上．
（1）若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；
（2）是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．
3．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟】如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.
（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；
（2）若二面角D AP C --的余弦值为
3，求PF 的长度.
4．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.
（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；
（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.
5．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟】如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =.
(1)求证：AF BD ⊥；
(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；
(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，求BN BD
的值；若不存在，请说明理由. 6．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，60BAD ∠=︒.
（1）求证：平面BDG ⊥平面ADG ；
（2）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值.
7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、
G 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 中点.且AB AC ==14BC AA ==.
（1）求证：BC ⊥平面ADE ；
（2）求二面角1G EF B --的余弦值.
8．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.
（1）证明：1//CB 面1A EF ；
（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值．
9．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】如图，在三棱锥V ABC -中，
,90,2VC AB ABC AB BC ︒<∠===，侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ︒∠=，D 为线段AB 上一点，且满足AD CV =.
（1）若E 为AC 的中点，求证：BE CV ⊥；
（2）当DV 最小时，求二面角A BC V --的余弦值.
10．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形1111ADD A CDD C ，为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，
1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.
（Ⅰ）证明：11B C ⊥平面1CC E ；
（Ⅱ）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.
11．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知：在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12
AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ；
（Ⅱ）求二面角P AG C --的余弦值.
12．【湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试】如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,PB BC PD CD ⊥⊥，且PA AB =，E 为PD 中点.
（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角A BE C --的正弦值.
13．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小．
（2）求二面角A PD C --的正弦值．
14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点．
（Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；
（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．
15．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．
⊥；
（1）证明：MN PC
==，PA与平面ABCD所成的角为60︒，求AD与平面AMHN （2）当H为PC的中点，PA PC
所成角的正弦值．
1．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，，设点E为P A中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF＝2FB．
（1）证明：BD∥平面CEF；
（2）若P A⊥AC，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD．
（1）证明：SH⊥平面BCDE．
（2）求二面角C﹣SB﹣E的余弦值．
3．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1⊥底面ABC，侧棱A1A与底面ABC所成角为60°，
AA1＝AB＝2，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，点G为△ABC的重心，点E在BC1上，
且．
（Ⅰ）求证：GE∥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求平面B1GE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
4．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；
（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．
5．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为4的等边三角形，平面P AB⊥平面ABC，，点M
为棱BC的中点，点N在棱PC上且满足，已知使得异面直线MN与AC所成角的余弦值为的λ有两个不同的值λ1，λ2（λ1＜λ2）．
（1）求λ1，λ2的值；
（2）当λ＝λ1时，求二面角N﹣AM﹣C的余弦值．
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》知识点总复习含答案解析
【最新】高考数学《空间向量与立体几何》专题分析 一、选择题 1．如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， M ， N 分别为棱 C 1D 1 ,CC 1 的中点，以下四个 结论： ① 直线 DM 与 CC 1 是订交直线； ② 直线 AM 与 NB 是平行直线； ③ 直线 BN 与MB 1 是异面直线； ④ 直线 AM 与 DD 1 是异面直线．此中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 C 【分析】 【剖析】 依据正方体的几何特点，可经过判断每个选项中的两条直线字母表示的点能否共面；假如 共面，则可能是订交或许平行；若不共面，则是异面 . 【详解】 ① ： CC 1 与 DM 是共面的，且不平行，因此必然订交，故正确； ② ：若 AM 、 BN 平行，又 AD 、BC 平行且 AM AD A, BN BC B ，因此平面 BNC P 平面 ADM ，明显不正确，故错误； ③ ： BN 、MB 不共面，因此是异面直线，故正确； 1 ④ ： AM 、DD 1 不共面，因此是异面直线，故正确； 应选 C. 【点睛】 异面直线的判断方法：一条直线上两点与此外一条直线上两点不共面，那么两条直线异 面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是订交 . 2．设 α、 β是两个不一样的平面， m 、 n 是两条不一样的直线，以下说法正确的选项是（ A ．若 α⊥ β， α∩β＝ m ， m ⊥n ，则 n ⊥ β B ．若 α⊥ β，n ∥α，则 n ⊥β C ．若 m ∥ α，m ∥ β，则 α∥ β D ．若 m ⊥ α， m ⊥ β， n ⊥ α，则 n ⊥ β ） 【答案】 D 【分析】 【剖析】
专题11 空间向量与立体几何解答题(原卷版)-3年高考2年模拟1年原创备战2020高考精品系列之数学(理)
专题11空间向量与立体几何解答题 1．【2019年天津理科17】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC ＝2． （Ⅰ）求证：BF∥平面ADE； （Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．
2．【2019年新课标3理科19】图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2． （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小． 3．【2019年全国新课标2理科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值． 4．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值． 5．【2019年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD ＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且． （Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD； （Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值； （Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 6．【2019年江苏16】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．
【高考数学复习 考点解密】专题11 空间向量与立体几何必考题型分类训练(原卷版)
专题11空间向量与立体几何必考题型分类训练 【三年高考真题练】 一．解答题（共4小题） 1．（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1． （1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积． 2．（2021•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3．（1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C﹣P AD的体积； （2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小． 3．（2021•上海）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE ⊥平面ABCD． （1）若△P AB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．
4．（2020•上海）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积； （2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角． 【三年自主招生练】 一．选择题（共1小题） 1．（2022•上海自主招生）空间中到正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距离相等的点有（） A．无数B．0C．2D．3 二．填空题（共2小题） 2．（2020•上海自主招生）矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC ﹣D成直角，则BD长度为． 3．（2020•上海自主招生）若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是． 【最新模拟练】 一．选择题（共1小题） 1．（2022•闵行区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点M在侧面BCC1B1
高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析
【最新】数学《空间向量与立体几何》期末复习知识要点 一、选择题 1．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12 ．则下列结论中正确的个数为 ①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ； ③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B 【解析】 试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质 2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．163π B ．643 C ．16643 π+ D ．1664π+
【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333V ππ+=⨯⨯+⨯⨯⨯=， 故选C. 3．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ） A ．34 B ．78 C ．1516 D ．2324 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -， 该几何体的体积为1111711132228 ⎛⎫-⨯ ⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
【立体几何专题 高考数学复习】第11讲 空间向量法解决动态几何问题-原卷及答案
第11讲 空间向量法解决动态几何问题 知识与方法 立体几何中有一些动态问题,可以考虑通过代数运算来解决,其中空间向量法就是一种很好的代数运算工具.任意两个空间向量都是共线向量,通过向量运算可以将空间问题平面化.选择恰当的基向量(或建立空间直角坐标系),用基向量(坐标)来表示其他向量.将几何的动态问题转化为向量坐标中的参数,通过代数运算,解决动态问题中的取值范围问题、最值问题等.空间距离问题、空间角度问题等,都可以借助向量工具来解决. 典型例题 【例1】如图①,在正方体1111ABCD A B C D -中,O 是AC 的中点,点P 在线段11A C 上.若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ,则sin θ的取值范围是 A ．,33⎣⎦ B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,43⎣⎦ D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【例2】如图①,在直四棱柱ABCD-ABCD 中,底面ABCD 为菱形,E,F 分别是11,BB DD 的中点,G 为AE 的中点且3FG =,则EFG 的面积的最大值为 A ．32 B ．3 C ． D
【例3】如图①,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为棱1AA 的中点,且MC P =为底面1111A B C D 所在平面上一点.若直线,PM PC 与底面1111A B C D 所成的角相等,则动点P 的轨迹所围成的几何图形的面积为______. 【例4】 (多选)如图①,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面 1111,90,1,A B C BAC AB AC AA D ∠====是棱1CC 的中点,P 是AD 的延长线与11 A C 的延长线的交点.若点Q 在直线1 B P 上,则下列结论中错误的是 A.当Q 为线段1B P 的中点时,DQ ⊥平面1A BD B.当Q 为线段1B P 的三等分点时,DQ ⊥平面1A BD C.在线段1B P 的延长线上,存在一点Q ,使得DQ ⊥平面1A BD D.不存在点Q ,使DQ 与平面1A BD 垂直
【14】空间向量与立体几何【2023年高考数学复习——大题狂练解答210道】
2023年高考数学复习——大题狂练：空间向量与立体几何（15 题） 一．解答题（共15小题） 1．（2021秋•云南期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°． （1）证明：平面P AB⊥平面P AD； （2）若P A⊥PD，P A＝PD＝2，AB＝4，求点D到平面PBC的距离． 2．（2022•徐汇区校级开学）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设＝，＝． （1）若||＝3，且∥，求向量； （2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积S．
3．（2022春•泰州期末）已知，． （1）求的值； （2）当时，求实数k的值． 4．（2022春•淄博期末）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱BB1，BC的中点． （1）证明：直线DN∥平面AMD1； （2）设平面AMD1与平面ABCD的交线为l，求点M到直线l的距离及二面角D1﹣l﹣C 的余弦值．
5．（2022春•安徽期中）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠BAC＝30°，AB＝4，E，F分别为AC，AB的中点，△PEF是由△AEF绕直线EF旋转得到，连接AP，BP，CP．（Ⅰ）求证：BC⊥平面P AC； （Ⅱ）若AP＝3，求点E到平面P AF的距离． 6．（2022•乌鲁木齐模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC．（1）证明：PB⊥BC； （2）若P A＝AB＝BC，求二面角A﹣PC﹣B的大小．
7．（2021秋•石河子校级月考）如图所示，在四棱锥D﹣ABCE中，底面ABCE为梯形，且满足AB∥CE，∠BCE＝90°，AB＝2BC＝2CE＝2DE＝2AD，平面ADE⊥平面ABCE．（1）求证：AD⊥BE； （2）求直线AC与平面BDE所成角的余弦值． 8．（2021秋•南岗区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量．
高中数学最新高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题考试题库（含答案）
高中数学最新高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题 考试题库（含答案） 高中数学单元测试试题空间向量与立体几何专题 （含答案） 学校：__________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．平面α 的法向量为m ，若向量m ⊥，则直线AB 与平面α 的位置关系为( ) (A )AB ?α (B )AB ∥α (C )AB ?α 或AB ∥α (D )不确定 2．a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，0，2)，则a ＋6b －8c ＝( ) (A )(14，－3，3) (B )(14，－3，35) (C )(14，－3，－12) (D )(－14，3，－3) 3．已知二面角α－l －β 的大小为3 π ，异面直线a ，b 分别垂直于平面α ，β ，则异面直线a ，b 所成角的大小为( ) (A )6 π (B ) 3 π (C ) 2 π (D ) 3 π2 4．若直线l 与平面α 成角为 3
，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3 π,0( (B )]3 π 2, 3π[ (C )]2 π,3π[ (D )]2 π,0( 5．下列各组向量中不平行的是( ) (A )a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) (B )c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) (C )e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) (D )g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40) 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 6．已知平行六面体1111D C B A ABCD - 中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则 1AC 7．已知O 为坐标原点，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OC =，若点M 在直线 OC 上运动，则AM BM ?的最小值为▲ . 8．已知向量),2,3(z a -= ，)1,,1(-=y b ，若b a //，则yz 的值等于 . 9．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF 且BE ＜CF,∠BCF=2 π，AD=3，EF=2. （1）求证：AE∥平面DCF ；（2）设(0)AB BE λλ=>，当λ为何值时，二面角A —EF —C 的大小为3
2023年高考数学一轮复习试题：11-2 用空间向量解决立体几何问题
§11.2 用空间向量解决立体几何问题 1.(2022·湖州期末)在空间直角坐标系中,若直线l 的一个方向向量为a=(1,-2,1),平面α的一个法向量为n=(2,3,4),则( ). A .l ∥α B .l ⊥α C .l ⊂α或l ∥α D .l 与α斜交 2.已知在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥平面BCD ,AB=2,BC=4,CD=3,BD=5,点E 在棱AD 上,且AE=2ED ,则异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为( ). A .√6 4 B .3 5 C . 3√1717 D .3√26 26 3.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是C 1C 的中点,则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值 为( ). A .-√105 B . √10 5 C .-√15 5 D . √15 5 4. 如图,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形,PC ⊥平面ABCD ,且PC=2,若E 为PC 的中点,则点D 到平面ABE 的距离为 . 5.已知M 是棱长为3的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,动点P 在正方形 AA 1D 1D (包括边界)内运动,且PB 1∥平面DMN ,则PC 的长度的最大值为 . 6.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是直角梯 形,AD ⊥DC ,AB ∥DC ,AB=AD=1 2DC=1,PA=AB.设平面PAB 与平面PDC 的交线为l. (1)若E 为PC 的中点,在直线l 上找一点F ,使得EF ⊥平面ABE ,确定点F 的位置并证明你的结论; (2)Q 为l 上的点,求平面QBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值的最小值.
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》基础测试题附答案解析
新数学高考《空间向量与立体几何》复习资料 一、选择题 1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A ．64 B ． 643 C ．16 D ． 163 【答案】D 【解析】 根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积 12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积116 4433V =⨯⨯=，故选D. 2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A ．8(6623)++ B ．6(8823)++ C ．8(6632)++ D ．6(8832)++ 【答案】A 【解析】 【分析】 该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可. 【详解】 由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为 2116(222)42282322S ⎡⎤ =⨯+-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦ 8(6623)=++. 故选：A. 【点睛】 本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力. 3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ） A 34 B 234 C 517 D 317 【答案】D 【解析】 【分析】 首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】 如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编附答案解析
高中数学《空间向量与立体几何》期末考知识点 一、选择题 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面. 【详解】 ①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确； ②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误； ③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确； ④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确； 故选C. 【点睛】 异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交. 2．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】 由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知： 在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误； 在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β， ∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 3．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A ．若m ∥β，则m ∥l B ．若m ∥l ，则m ∥β C ．若m ⊥β，则m ⊥l D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】 A 由线面平行的性质定理判断. B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断. C 根据线面垂直的定义判断. D 根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】 A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行； B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面； C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线； D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】 本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 4．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）
空间向量与立体几何(试卷版)
专题01 空间向量与立体几何 一、单选题 1．（2021·天津南开·高二期末）直线的4210x y --=的方向向量为（ ） A ．()2,1 B ．()1,2 C ．()1,2- D ．()2,1- 2．（2021·浙江·高二期末）在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ） A ．7- B ．5- C ．5 D ．7 3．（2021·山东济南·高二期末）已知向量(2,3,1)a =，(1,2,0)b =，则a b +等于（ ） A B ．3 C D ．9 4．（2021·江苏连云港·高二期末）已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -，向量(,1,)a m n =-，且向量a 分别与AB ，AC 垂直，则||a =（ ）． A ．4 B ．C ．2 D 5．（2021·安徽蚌埠·高二期末（理））已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是（ ） A ．OM OA O B O C =++ B ．2OM OA OB O C =-- C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111333 OM OA OB OC =++ 6．（2021·江苏扬州·高二期末）若平面α，β的法向量分别为()1,2,4a =-，(),1,2b x =--，并且//αβ，则x 的值为（ ） A ．10 B ．10- C ．12 D ．12- 二、多选题 7．（2021·天津南开·高二期末）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．b c +，b ，b c - B ．a ，a b +，a b - C ．a b +，a b -，c D ．a b +，a b c ++，c 8．（2021·山东临沂·高二期末）若(1,,2)a λ=--，(2,1,1)b =-，a 与b 的夹角为120°，则λ的值为（ ） A ．17- B ．17 C ．1 D ．1- 9．（2021·湖南省平江县第一中学高二期末）已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--，下列结论正确的有（ ）
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》真题汇编含答案
【高中数学】数学《空间向量与立体几何》高考复习知识点 一、选择题 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，,E F 分别为111,B C C D 的中点，点P 是底面 1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠ 的最大值是( ) A ．2 B ．2 C ．22 D ．32 【答案】C 【解析】 分析：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =P PM ，从而A 1P=C 1M ，由此能求出tan ∠APA 1的最大值． 详解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ， 设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1， ∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ， ∴AO = P PM ，∴A 1P=C 1M=2 44 AC = ， ∴tan ∠APA 1=1 1AA A P 22． ∴tan ∠APA 1的最大值是2． 故选D ． 点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题． 2．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A．27 2 πB． 28 3 πC ． 26 3 πD． 25 2 π 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出ABC ∆的外接圆半径r，利用公式 2 2 2 PA R r ⎛⎫ =+ ⎪ ⎝⎭ 可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】 ABC ∆的外接圆半径为 23 2sin 3 AB r π == PA⊥ Q底面ABC，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为 2 2 22 2321 1 233 PA R r ⎛⎫ ⎛⎫ =+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 2 2 2128 44 33 R π ππ ⎛⎫ =⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭ . 故选：B. 【点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题. 3．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（） A．8(6623) +B．6(8823) +C．8(632) +D．6(8832) + 【答案】A 【解析】 【分析】 该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》技巧及练习题附解析
【高中数学】《空间向量与立体几何》考试知识点 一、选择题 1．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为α，SE 与平面ABC D 所成的角为β，二面角S-AB-C 的平面角为γ，则（ ） A ．αβγ≤≤ B ．βαγ≤≤ C ．a βγ≤≤ D ．γβα≤≤ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，分别求出SE 与BC 所成的角α、SE 与平面ABC D 所成的角β、二面角S-AB-C 的平面角γ的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小. 【详解】 四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等， 所以四棱锥为正四棱锥， （1）过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ，连接SN ，取AB 中点M ，连接OM ，如下图（1）所示：则tan SN SN NE OM α= =； （2）连接,OE 如下图（2）所示，则tan SO OE β=;
（3）连接OM ，则tan SO OM γ= ，如下图（3）所示： 因为,,SN SO OE OM ≥≥ 所以tan tan tan αγβ≥≥， 而,,αβγ均为锐角， 所以,αγβ≥≥ 故选：C. 【点睛】 本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题. 2．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD V 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A ．16π B ．323π C ．12π D ．32π 【答案】A 【解析】 【分析】
高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编及答案解析
新数学《空间向量与立体几何》试卷含答案 一、选择题 1．以下说法正确的有几个（ ） ①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B 【解析】 【分析】 对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数. 【详解】 ①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B. 【点睛】 本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题. 2．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ． 272 π B ． 283 π C ． 263 π D ． 252 π 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出ABC ∆的外接圆半径r ，利用公式R =可得出外接球的半径，进而可 得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】 ABC ∆ 的外接圆半径为 32sin 3 AB r π = = ， PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC - 的外接球半径为 3R ===， 因此，三棱锥P ABC - 的外接球的表面积为2 2 284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭ .
故选：B. 【点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题. 3．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（） A．3 4 B． 7 8 C． 15 16 D． 23 24 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -， 该几何体的体积为 11117 111 32228 ⎛⎫ -⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎝⎭ 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》单元汇编附答案解析
【最新】数学《空间向量与立体几何》高考知识点 一、选择题 1．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为 ( ) A ．92 B ．922 C ．32 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案． 【详解】 由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC DEF -，所得的组合体， 其截面是一个梯形BCFE ， 22112+= 22222+= 222322()2+=
故截面的面积 1329 (222) 222 S=+⨯=， 故选：A． 【点睛】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（） A．3 4 B． 7 8 C． 15 16 D． 23 24 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -， 该几何体的体积为 11117 111 32228 ⎛⎫ -⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎝⎭ 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
3．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ） A ．8(6623)++ B ．6(8823)++ C ．8(6632)++ D ．6(8832)++ 【答案】A 【解析】 【分析】 该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可. 【详解】 由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为 2116(222)42282322S ⎡⎤=⨯+-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦ 8(6623)=++. 故选：A. 【点睛】 本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力. 4．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π B 3 C ．4π D 3 【答案】A
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》知识点总复习附答案解析
新数学复习题《空间向量与立体几何》专题解析 一、选择题 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面. 【详解】 ①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确； ②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面 BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误； ③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确； ④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确； 故选C. 【点睛】 异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交. 2．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ． 272 π B ． 283 π C ． 263 π D ． 252 π 【答案】B 【解析】 【分析】
计算出ABC ∆的外接圆半径r ，利用公式2 22PA R r ⎛⎫= + ⎪ ⎝⎭ 可得出外接球的半径，进而可 得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】 ABC ∆的外接圆半径为 232sin 3 AB r π = = PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为 2 2 22 23211233PA R r ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2 2 2128443R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ . 故选：B. 【点睛】 本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题. 3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ） A 34 B 234 C 517 D 317 【答案】D 【解析】 【分析】 首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】 如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》解析
【高中数学】《空间向量与立体几何》知识点 一、选择题 1．已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E 且与直线1OC 垂直，若1AB =，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A ． 64 B ． 62 C ． 32 D ． 34 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ，进而1BD OC ⊥，可考虑平面BDE 是否为所求的平面，只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α. 【详解】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点， 1AB =，则2113122OC =+=，2113424OE =+=，2 119244 EC =+=， ∴22211OC OE EC +=，1OE OC ∴⊥；又BD ⊥平面11ACC A ， 1BD OC ∴⊥，且OE BD O =I ，1OC ∴⊥平面BDE ， 且1136 222BDE S BD OE ∆= =⨯⨯= g ， 即α截该正方体所得截面图形的面积为6 . 故选:A . 【点睛】 本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题. 2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．27 3 B． 27 6 C． 27 4 D． 27 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】 几何体为一个三棱锥，高为33，底为一个直角三角形，直角边分别为333 ，，所以体积 为 1127 =33333= 322 V⨯⨯⨯⨯，选D. 【点睛】 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析． 3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为() A．13 2 π B．7πC． 15 2 π D．8π 【答案】B 【解析】 【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．【详解】
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》解析含答案
【最新】数学复习题《空间向量与立体几何》专题解析 一、选择题 1．若a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：①若a P α， b β∥，a b ⊥r r ，则αβ⊥；②若a P α，b β∥，a b ∥，则αβ∥；③若a α⊥， b β⊥，a b ∥，则αβ∥；④若a P α，b β⊥，a b ⊥r r ，则αβ∥．正确的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一分析得解. 【详解】 命题①中α与β还有可能平行或相交； 命题②中α与β还有可能相交； 命题④中α与β还有可能相交； ∵a b P ，a α⊥，∴b α⊥，又b β⊥，∴αβP ．故命题③正确． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力. 2．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】 由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知： 在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误； 在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β， ∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确. 故选：D.