幂的运算
第1讲 幂的运算
【教学目标】
1．理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法法则及其推导过程；
2．明确零指数幂、负整数指数幂的意义，并能综合运算法则进行运算；
3．能综合运用幂的运算法则解决问题．
【教学重难点】
1．重点：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法法则；
2．难点：幂的运算法则的综合应用及逆用．
考点1：同底数幂的乘法
知识点与方法技巧梳理：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即：m n m n a a a +?=，可逆用：m n m n a a a +=?（m 、n 都是正整数）．
【例1】顺用公式：计算：（1）34y y y ?? （2）27101010?? （3）412(8)(8)-?-
【变式1】计算：（1）365m m m ?? （2）35222?? （3）()()117
55-?-
（4）3522()()77
-?- （5）73101010?? （6）()()()247222-?-?-
【变式2】计算：（1）121n n a a +-? （2）21p p n n n -?? （3）()()()23m m m -?-?-
（4）123n n n n x x x x +++??? （5）()()()35a a a -?-?- （6）()()()32
a b a b a b -?-?-
【变式3】计算：（1）2345a a a a a ?+?+ （2）21n n n b b b b -?+? （3）4233a a a a ?-?
【例2】逆用公式：（2015石室联中月考）已知75n =，2713m =，求27m n +的值．
【变式】（1）已知6m a =，8n a =，，求m n a +的值． （2）已知278m n +=，3710m n -=，求47m n -的值．
（3）（2015锦江区期末）已知3x a =，54x y a +=，求x y a a +的值．
【例3】利用指数相等解题：（2015棕北中学月考）已知532277m -=，求m 的值．
【变式】（1）已知21379m n x x x +-?=，求2m ＋3n 的值． （2）已知12
332187m n -+?，求m 的值．
（3）已知2146m n x x x --?=，()
()()115
n m n x y x y x y -+-?-=-，求2m ＋n 的值．
（4）（2015七中育才期中）如果431219()x x a x -??=，求a 的值．
考点2：幂的乘方
知识点与方法技巧梳理：
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：()m n mn a a =，可逆用：()()mn m n n m a a a ==（m 、n 都是正整数）． 注意：不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）．
【例1】计算：（1）3223()()y y
（2）2112168(4)8m m m m --??+-?
（3）()324x x ?（4）()()4322a a ?-（5）()()2332m m m ?-?-（6）()()()()()22424322492a a b a b ?-?-+-??
【例1】计算：（1）()324x
x ? （2）()()4322a a ?- （3）()()2332m m m ?-?-
（4）2112
168(4)8m m m m --??+-? （5）()()()()()22424322492a a b a b ?-?-+-??
【变式1】（1）3223()()y y （2）3223()()a a -?- （3）23332()()()x x x ---
【变式2】 （1）()()63292b
b b -+-? （2）()()2
21n x y x y -??-?-?? （3）3572223()2()m m m m m m ---+??
【例2】（2014双流区期末）若102a =，105b =，求3210a b +的值．
【变式1】若()319x a
a a ?=，求x 的值．
【变式2】（2015西川中学月考）若2530x y +-=，求432x y ?的值
【变式3】已知32a =，34b =，332c =，求证：3a c b +=．
【变式4】若552=a ，443=b ，334=c ，比较a 、b 、c 的大小．
考点3：积的乘方
知识点与方法技巧梳理：
积的乘方等于各因数乘方的积，可逆用．即：()n n n ab a b =（n 是正整数）．
【例1】顺用公式：计算：（1）()2232xy
??-???? （2）()3223142a a ??? ???
（3）()()32233252x y
x y y +-? （4）()()()3322337325x x x x x -?++?
【变式1】计算：（1）()2310? （2）()25a - （3）()94b c （4）()22x -
（5）2
313a b ??- ??? （6）()2232xy ??-???? （8）()325x y - 【变式2】计算：（1）()3
32a b a ??-????? （2）()()322340.125x y xy ?
（3）()()322223a
a a +? （4）()()()2
3223x y x y ??-?-?-????
【例2】逆用公式：计算：（1）201720172552?????- ? ???
?? （2）20182017122???- ???
【变式1】计算：（1）2017201883(1)(2)135-
?-
（2）2017201622- （3）7271335()(2)(1)8813-?-?-
【变式2】（2015实外西区月考）若12336m n m n m n ++--?=，则m －3n ＝__________．
【变式3】（2014金牛区期末）已知5=n x ，3=n y ，求n xy )(及n xy 2)
(的值．
考点4：同底数幂的除法
知识点与方法技巧梳理：
1．同底数幂相除，底数不变，指数相减，可逆用．即：m n m n a a a -÷=（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）．
2．规定：01a =（a ≠0）；1p p a a -=（a ≠0，p 是正整数）
． 【例1】顺用公式：计算：（1）()()4c c -÷- （2）()()53ax ax -÷
（3）()
()312222n n a b a b +-+÷+ （4）212273m m +÷ （5）()()22m n m n x x x +?÷-
【变式1】（1）()265a
a ÷ （2）()()4222a
b ab ÷
（4）221a a x
x ++÷ （5）42m m m x x x ÷? （6）3215329()()a b b b -÷-
【例2】逆用公式：（2014武侯区期末）若x 3=4，y 9=7，求y x 23-的值．
【变式1】（2015七中嘉祥月考）已知34,277x y ==，求33
x y -的值．
【变式2】若23,26,212x y z ===，求,,x y z 之间的数量关系．
【变式3】已知35,,x m x n ==试用含,m n 的式子表示14x ．
【例3】计算下列各式：
（1）()130237322--??++-- ??? （2）6600311711()()(20173)()(2)7117
--÷-+-π--÷-
【变式】计算下列各式：
（1）54134012()222122----+-+??+
（3）56023771()()( 3.14)()(3)993---÷-π---÷-
幂的运算
幂的运算 第一部分:知识归纳，要点总结 （什么是——幂？） n a 1、 同底数幂的乘法（重点） 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式表示：m n m n a a a += （m 、n 都是正整数）。 推导过程：()()m n m n a a a a a a a a a +== 。 关键：找准底数。 注意：①底数必须相同；②相乘时，底数没有变化；③指数相加的和作为最终结果幂的指数。 例：计算351010?= ，3m m ?= ，()()32 b b --= ，21n n b b += 。 推广及逆用（难点） 同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上同底数幂的情况，即：m n p m n p a a a a ++= （m 、n 、p 都为正整数）， m n p m n p a a a a +++= （m 、n ，…，p 都为正整数）。 反之，m n m n a a a += （m 、n 为正整数）亦成立。 2、 幂的乘方与积的乘方 ⑴幂的乘方 意义：指几个相同的幂相乘。如：()n m a 是n 个m a 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方。 推导过程：。 法则（重点）：()n m mn a a =（m 、n 都是正整数）。 ⑵积的乘方 意义：是指底数是乘积形式的乘方。如：()3ab ，()n ab 。 推导过程：()()()()()()n n n ab ab ab ab a a a b b b a b === 。
法则（重点）：()n n n ab a b =（n 为正整数）。 3、 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式表示：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为正整数，且m>n ）。 例：62x x ÷= ，()5 3a a -÷= ，41n n a a ++÷= ，()()3211a a +÷+= 。 零指数幂与负整数指数幂的意义（重、难点） （1）零指数幂 ()010a a =≠， 即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 （2）负整数指数幂 1p p a a -=（0a ≠，p 是正整数） 即任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数。 第二部分:考点精析，方法指导 【典型例题1】已知23x =，求32 x +的值。 【典型例题2】计算3534x x x x x += 【典型例题3】若236m m x x x -= ，求2112m m -+的值。 【典型例题4】若2m =-，求()()3 24m m m --- 的值。
幂的运算知识要点归纳及答案解析
幂的运算知识要点归纳及答案解析 【要点概论】 要点一、同底数幂的乘法特点 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 重点四、注意事项
八年级上册——幂的运算(培优难题教案)
幂的运算 考点·方法·破译 幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）： 1．m n m n a a a +?= 2．()m n mn a a = 3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a -=≠=≠， 经典·考题·赏析 【例1】下列算式，正确的个数是（ ） ①3412a a a ?= ②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a -- A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【变式题组】 01.计算212()()n n c c +?的结果是( ) A ．42n c + B ．44n c + C ．22n c + D ．34n c + 02．计算100101(2) (2)-+-＝_______________ 03．如果3915()n m a b b a b ?=，则m ＝_________，n ＝____________ 04．计算2323()()()n n x y x y +-?-＝_______________ 【例２】若2n+12 448n +=，求n 的值.
【变式题组】 01．若24m =，216n =，求22m n +的值 02．若35n x =，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值 03．若3m x =，6n x =，则32m n x -＝________. 04．已知33m a =，32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-???的值
05．已知23212 2192m m ++-=，求m 的值 【例３】552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ） A ．a >b >c >d B ．a >b >d >c C ．b >a >c >d D ．a >d >b >c 【变式题组】 01．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．a >c >b C ．a c >a 02．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a 的x 的最小正整数 【变式题组】 01．求满足2003005 n ＜的最大整数值n.
幂的运算
幂的运算 1、什么是幂 幂指乘方运算的结果. m n 指将n 自乘m 次.把m n 看作乘方的结果,叫做n 的m 次幂。其中,n 称为底,m 称为指数（写成上标）。 由幂的定义可以看出幂是乘方运算的结果而不是运算的过程。 m n 的亦可视为1×n ×n ×n...×n （注共m 个n 相乘）即起始值1（乘法的单位元）乘底数的指数次幂。这样定义了后,很易想到如何一般指数为0和负数的情况︰ 除了0之外所有数的零次方都是1,即n 0=1（n ≠0）； 指数为负数的幂定义为m n - = m n 1； 分数为指数的幂定义为n m a = n m a 。 2、幂的运算 2.1、幂的运算公式 同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a + 幂的乘方：n m a )(=mn a 同指数幂的乘法：m b a )(?=m a ×m b 同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0) 这些公式也可以这样用： )(n m a += m a ×n a mn a =n m a )( m a ×m b =m b a )(? )(n m a -= m a ÷n a (a ≠0) 2.2幂的运算公式的运用 运用幂的运算公式前应先知道这些公式是怎么得来的，观察幂的运算公式有什么特点，这样才能更好的运用公式。 幂的运算公式都是由幂的定义推导而来，是为了方便特殊情况幂的运算。
2.2.1幂的运算公式推导 2.2.1.1同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a + 因为：m a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）； n a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）； m a ×n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）｝×｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）}为m+n 个a 相乘即)(n m a +； 所以：m a ×n a =)(n m a + 2.2.1.2幂的乘方： n m a )(=mn a 因为：n m a )(由幂的定义为m a ×m a ×m a ...×m a (n 个m a 相乘） 其中m a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘） 即n m a )(由幂的定义也可以为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×...｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}(注：共n 个｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}） 所以：n m a )(=mn a 2.2.1.3同指数幂的乘法：m b a )(?=m a ×m b 因为：m b a )(?由幂的定义为(a ×b)×(a ×b)×(a ×b)×...×(a ×b)(共m 个a ×b 相乘）=a ×b ×a ×b ×a ×b ×...×a ×b(共m 个a ×b 相乘）=a ×a ×a ×...a(共m 各a 相乘）×b ×b ×b ×...b(共m 各a 相乘) 所以：m b a )(?=m a ×m b 2.2.1.4同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0) 因为：当a=0时n a 意义； 当a ≠0时，m a ÷n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}÷｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）} 所以：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0) 2.2.2幂的运算公式运用选择
幂的运算的重难点解析
幂的运算的重难点解析 幂的运算有加减、乘除、乘方的运算类型，运算时幂的运算总是转化成指数的运算。如果把运算中加减看作第一级运算；乘除看作第二级运算；乘方看作第三级运算；那么幂的运算 降一级 指数的运算，比如同底数幂的乘法除法降一级 指数的加减法 ，幂的乘方降一级 指数的乘法 ，掌握了这一规律，各条运算性质就容易记忆，且不会相互混淆. 幂幂的运算中的方法与技巧 类型 一：熟练使用 公式，正确进 行各种计算 注意：运算时首先确定所含运算类型，理清运算顺序，用准运算法则 （1）（-5）5×（-5）3 （2）x m-1 · x m+1 （3）-x 2 ·x 3 (4) 7×73×72 （5）4)(p p -?- （6）4 3)10( （7） －（2a 2）3 （8） （-43 2 ) a （9） 4 3 32??????????? ?? （10）[（x 2）3]7 ； （11）412÷43 （12）(－21)4÷(－2 1 )2（次数较低的幂要算出最后结果） （13）(－3a )5÷(－3a ) （14）(－xy )7÷(－xy )2 （利用积的乘方化到最后） （15）3 2m +1 ÷3m -1 （16）643)2()2()2(b a b a b a -÷-?- 类型二：逆用公式进行计算 逆向公式①n m n m a a a ?=+ ②n m n m a a a ÷=- ③()() m n n m mn a a a == 例1.已知2m =4，2n =16.求①2m+n 的值．②2m-n 的值．③m 32的值．④n m +32 的值 解析：①已知2m =4，2n =16.而求2m+n 的值,?运用公式a m+n ＝a m ·a n 可以把.2m+n 转化为2m ·2n
幂的运算以及乘法公式练习
1，下列各式中，填入a 3能使式子成立的是（ ） A ．a 6=（ ）2 B. a 6=（ ）4 C.a 3=（ ）0 D. a 5=（ ）2 2，下列各式计算正确的（ ） A.x a ·x 3=（x 3） a B.x a ·x 3=（x a ）3 C.（x a ）4=（x 4） a D. x a · x a · x a =x a +3 3，如果（9n ）2=38，则n 的值是（ ） A.4 B.2 C.3 D.无法确定 4，已知P=（-ab 3）2，那么-P 2的正确结果是（ ） A.a 4b 12 B.-a 2b 6 C.-a 4b 8 D.- a 4 b 12 5，计算（-4×103）2×（-2×103）3的正确结果是（ ） A ．1.08×1017 B.-1.28×1017 C.4.8×1016 D.-1.4×1016 6，下列各式中计算正确的是（ ） A ．（x 4）3=x 7 B.[（-a ）2]5=-a 10 C.（a m ）2=（a 2）m =a m 2 D.（-a 2）3=（-a 3）2=-a 6 7，计算（-a 2）3·（-a 3）2的结果是（ ） A ．a 12 B.-a 12 C.-a 10 D.-a 36 8，下列各式错误的是（ ） A ．[（a+b ）2]3=（a+b ）6 B.[（x+y ）n 2]5=（x+y ）52+n C. [（x+y ）m ]n =（x+y ）mn D. [（x+y ）1+m ]n =[（x+y ）n ]1+m 9，2)2(n m +-的运算结果是 ( ) A 、2244n mn m ++ B 、2244n mn m +-- C 、2244n mn m +- D 、2242n mn m +- 10，运算结果为42421x x +-的是 ( ) A 、22)1(x +- B 、22)1(x + C 、22)1(x -- D 、2)1(x - 11，已知2 264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 12，如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy
幂的运算易错、常考题型
七年级下册幂的运算常考题型 一．填空题（共27小题） 1．（2014?汉沽区一模）计算（2ab2）3的结果等于_________． 2．（2006?杭州）计算：（a3）2+a5的结果是_________． 3．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=_________． 4．若a m=2，a n=3，则a2m+n=_________． 5．若3m?32n=81，则m+2n=_________． 6．已知3m=a，81n=b，那么3m﹣4n=_________． 7．已知：（x+2）x+5=1，则x=_________． 8．若（x﹣1）x+1=1，则x=_________． 9．多项式﹣5（ab）2+ab+1是_________次_________项式． 10．（﹣x）10÷（﹣x）5÷（﹣x）÷x=_________． 11．若52x+1=125，则（x﹣2）2012+x=_________． 12．a m?a n=a m+n也可以写成以a m+n=a m?a n（m、n是正整数），请你思考：已知a m=8，a n=32，则a m+n=_________．13．已知a3n=4，则a6n=_________． 14．若x2=24，则x=_________． 15．（2008?清远）计算：（π﹣3）0+2﹣1=_________． 16．如果2x=5，2y=10，则2x+y﹣1=_________． 17．=_________；4101×0.2599=_________． 18．（2014?鄞州区模拟）计算2x2?（﹣3x3）的结果是_________． 19．如果x n﹣2?x n=x2，则n=_________． 20．若2×8n×16n=222，则n=_________． 21．若x m=5，x n=7，则x2m+n=_________． 22．计算（﹣x）2?（﹣x）3?（﹣x）4=_________．
幂的运算及整体代入(讲义)
幂的运算及整体代入（讲义） ?课前预习 1.默写下面的法则、公式 幂的运算法则： （1）同底数幂相乘，_________，_________．即__________． （2）同底数幂相除，_________，_________．即__________． （3）幂的乘方，___________，_________．即___________． （4）积的乘方等于___________．即_____________． a0=_______（_________）； a-p=______=______（___________________）． 2.整体代入的思考方向 ①___________________，考虑整体代入； ②化简___________，对比确定________； ③_______________，化简． 3.若代数式2 238 a b ++的值为________． +的值是12，则代数式2 46 a b ?知识点睛 1.整体思想：整体思想就是通过研究问题的整体形式、结构、特征，从而对问 题进行整体处理的解题思想．如：整体代入、整体加减、整体代换、整体补
形等． 2. 幂的运算法则逆用 ①观察已知及所求，对比确定____________之间的关系； ②根据幂的运算法则对已知或所求进行等价变形，使之成为___________________________． 3. 降幂法整体代入 ①对比已知及所求，将已知中___________________当作整体； ②对所求进行变形，找到整体，进行代入； ③降幂化简，重复上述过程，直至最简． ? 精讲精练 1. 若35m =，32n =，则2313m n +-=____________． 2. 已知34x =，32y =，求2927x y x y --+的值．
幂的运算法则
幂的运算法则 1、同底数幂的乘法a a a n m n +=m ，即同底数幂相乘，底数不变，指数 相加。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m =+m ，即当在运算 中出现指数相加时，我们往往将其拆分成同底数幂相乘的形式。 2、同底数幂的除法a a a n m n -m =÷，即同底数幂相除，底数不变，指数 相减。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m ÷=-m ，即当在运算中出现指数相减时，我们往往将其拆分成同底数幂相除的形式。 3、幂的乘方a a mn m =)(n ，即当出现内、外指数（m 是内指数，n 是外指数）时，底数不变，指数相乘。在考试过程中通常需要用其逆运算)()(n m n a a a m mn ==，这时注意：具体用何种拆法要根据题目给出的是a m 还是a m 的形式。常在比较两个幂的大小等题目中出现。而在比较幂的大小类题目中，常用方法是转化为同底数幂或者同指数幂的形式。 如：（1）、化同指数比较。比较3275100与的大小，观察可以发现，底数2与3之间不存在乘方关系，因此，我们将其转化为同指数的幂进行比较，()1622225254251004===?，()2733325 25325753===?，因为27＞16，所以16272525＞，即2310075＞ （2）化同底数比较。比较934589与观察可以发现，底数9与3之间存 在着乘方关系即392=，因此，对于这样的题，我们将其转化为同底数幂进行比较，()33399045224545===?，而90＞89，∴338990＞即3989 45＞。 规律小结：在幂的大小比较中，底数之间存在乘方关系时，化为同底数幂，比较指数大小；底数之间不存在乘方关系时，化为同指数
幂的运算方法总结
幂的运算方法总结 幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式： ①a m×a n=a m+n ②(a m)n=a mn ③(ab)m=a m b m ④a m÷a n=a m-n 只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。 问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。 思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。 方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。 方法原则：可用公式套一套。 但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。 问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。 思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。 因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728 方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。 方法原则：整体不同靠一靠。 然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？ 问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。 思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。 简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300
方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。 方法原则：逆用公式倒一倒。 当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？ 问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。 思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。 简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x =6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3 ∴x=1.5 方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。 问题5、已知64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。 思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。 简解：64m+1÷2n÷33m =24m+1×34m+1÷2n÷33m=24m+1-n×3m+1=81=34 ∵m、n是正整数∴m+1=4,4m+1－n=0 ∴m=3,n=13 方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。 问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。 思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。 简解：由题意知2c=2×2b=4×2a ∴2c=2b+1=2a+2 ∴c=b+1=a+2
幂运算及相关公式#精选、
整数指数幂 教学目标： 1、 使学生掌握不等于零的零次幂的意义。 2、 使学生掌握n n a a 1= -（a ≠0，n 是正整数）并会运用它进行计算。 3、 通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。 重点难点： 不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。 教学过程： 一、讲解零指数幂的有关知识 1、 问题1 同底数幂的除法公式a m ÷a n =a m-n 时，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除 数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m =n 或m ＜n 时，情况怎样呢？ 2、探 索 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式： 52÷52，103÷103，a 5÷a 5(a ≠0). 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷52＝52-2＝50， 103÷103＝103-3＝100， a 5÷a 5＝a 5-5＝a 0(a ≠0). 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1. 3、概 括 我们规定： 50=1，100=1，a 0=1（a ≠0）. 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1. 二、讲解负指数幂的有关知识 1、探 索 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 52÷55， 103÷107， 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4. 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 52÷55＝5255＝322555?＝351， 103÷107＝731010＝433101010?＝4101. 2、概 括 由此启发，我们规定： 5-3＝351， 10-4＝4 101. 一般地，我们规定： n n a a 1=-(a ≠0，n 是正整数)
七下数学 幂的运算 难点复习
幂的运算 难点复习 注意符号的确定： 1. (-3x)4= . (- 21x 3y)2= .－x 2·(x 3)4= . (-x)3·(-x)2= . [－(ab 2)2]3= . (－a)2·a 3·(－a 2) = . a n ·a ·(―a)2n ―1 = ___ ；()n c ab 232- 2. 计算[()][()]---a a 3223·所得结果是（ ） A. a 10 B. -a 10 C. a 12 D. -a 12 3：计算 －2x ·()2x -·()3 2x -－210x 233()()()n n a b a b b a -?-?-= 公式基本应用：（注意与整式的加减的比较、注意指数、底数为整式的情况、注意不同底向同底的转化） 4．下列运算中，正确的是( ) A.x 2·x 3=x 6 B.(a b)3=a 3b 3 C.3a +2a =5a 2 D.(-2x)2=-4x 2 5.计算(a 3)2+a 2·a 4的结果为( ) A.2a 9 B.2a 6 C.a 6+a 8 D.a 12 6. 下列各式正确的是（ ） A. ()a a 3327=; B. ()-=-39333xy x y ; C. [()]c c 2226=; D. -=-()d d 248 7、()[]()[]()n n n y x y x y x 532-+-?- 8．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ） A ． 2 n 8 n B ．（a+b ）（a －b ）2 C ．－（a －b ）（b －a ）2 D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）2 9．下列计算中，错误的是（ ） A ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5 B ．（－7）5·（－7）3·74=712 C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10 D ．2 y 4+y 4=2y 8 10． （x －y ）3·（y －x ）3·（y －x ）4 做题一定要看清底数和指数：①如（－2）4与－24底数分别为－2与2；②如m
(完整版)幂的运算总结及方法归纳
幂的运算 一、知识网络归纳 二、学习重难点 学习本章需关注的几个问题： ●在运用n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n a a 1 = -（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。 ◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。 ◆注意上述各式的逆向应用。如计算20052004425.0?，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004?，再逆用积的乘方法则计算 11)425.0(425.02004200420042004==?=?，由此不难得到结果为1。 ◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。如同底数幂的乘法
就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。 ◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。 一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：()m n m n a a a m n +?=、为正整数 2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 () m n p m m p a a a a m n p ++??=、、为正整数 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题： 例1：计算列下列各题 （1） 34a a ?； （2） 23b b b ?? ； （3） ()()()2 4 c c c -?-?- 简单练习： 一、选择题 1. 下列计算正确的是( ) A.ａ2+ａ3=ａ5 B.ａ2·ａ3=ａ5 C.3m +2m =5m D.ａ2+ａ2=2ａ4 2. 下列计算错误的是( ) A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2 B.ａm +ａm =2ａm C.3m +2m =5m D.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m 3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ 5 ④ p 2+p 2+p 2=3p 2 正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103 C.100×103=105 D.100×1000=104 二、填空题 1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。 2、 b 2·b ·b 7 =________。 3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5 =__________。 5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ18 6、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5 =__________。 中等练习： 1、 (-10)3·10+100·(-102 )的运算结果是( ) A.108 B.-2×104 C.0 D.-104
幂的运算习题精选及答案
《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2；（4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C 、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6（﹣a）3a=a10；③﹣a4（﹣a）5=a20； ④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个二、填空题 6、计算：x2x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n=_________． 三、解答题 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。 9、若1+2+3+…+n=a， 求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值．10、已知2x+5y=3，求4x32y的值．
11、已知25m210n=5724，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 14、比较下列一组数的大小．8131，2741，96115、如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值． 16、已知9n+1﹣32n=72，求n的值． 18、若（a n b m b）3=a9b15，求2m+n的值． 19、计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）
幂的运算经典难题
幂的运算 经典难题 分类讨论 1、有人说:当n 为正整数时,1n 都等于1,(-1)n 也等于1,你同意吗? 2、你能求出满足(n-3)n =(n-3)2n-2的正整数n 吗? 3、你能求出满足(n-3)n+3=(n-3)2n 的正整数n 吗? 4、若n 为正整数,则()[]() 111812-?--?n n 的值( ) A.一定是0; B.一定是偶数; C.不一定是整数; D.是整数但不一定是偶数. 化归思想 1、计算25m ÷5m 的结果为 2、若32,35n m ==，则2313m n +-= 3、已知a m ＝2，a n ＝3，求a 2m-3n 的值。 4、已知: 8·22m －1·23m = 217.求m 的值. 5、若2x+5y —3=0，求4x －1·32y 的值 6、解关于x 的方程: 33x+1·53x+1=152x+4 7、已知:2a ·27b ·37c =1998,其中a,b,c 是自然数,求(a-b-c)2004的值. 8、已知:2a ·27b ·37c ·47d =1998,其中a,b,c,d 是自然数,求(a-b-c+d)2004的值.
9、若整数a,b,c 满足,4169158320=??? ?????? ?????? ??c b a 求a,b, c 的值. 10、已知x 3=m,x 5=n,用含有m ，n 的代数式表示x 14= 11、设x=3m ，y=27m+2，用x 的代数式表示y 是__ ___. 12、已知x=2m+1，y=3+4m ，用x 的代数式表示y 是___ __. 13、1083与1442的大小关系是 14、已知a ＝2－555，b ＝3－444，c ＝6－222，请用“>”把它们按从小到大的顺序连接起来 16、若a=8131，b=2741，c=961，则a 、b 、c 的大小关系为 . 17、已知b a 2893==，求??? ??+-??? ??++??? ??-b a b b a b a 2512515122 2的值。 18、已知: ()()1216 13212222++=++++n n n n ,的值试求222250642++++ . 19、已知10m =20,10n =51,的值求n m 239÷ *20、已知25x =2000,80y =2000. .11的值求y x +
幂的运算例题精讲
幂的运算例题精讲 【知识方法归纳】 知识要点 主要内容 友情提示 同底数幂相乘 m n mn a a a ?= (m 、n 是正整数)； a 可以多项式 幂的乘方 ()m n mn a a = (m 、n 是正整数) mn m n n m a a a ==)()( 积的乘方 ()n n n ab a b = (n 是正整数) n n n ab a )()(= 同底数幂的除法 m m n n a a a -=(m 、n 是正整数，m >n) n m n m a a a ÷≠÷ 方法归纳 注意各运算的意义，合理选用公式 注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数” 知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂的乘法法则： +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 【典型例题】 例1：计算. （1）2 3 4 444??； （2）3 4 5 2 6 22a a a a a a ?+?-?； （3）1 1211()() ()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+?+?+++?+ 例2：辨析：下列运算是否正确？不正确的，请改为正确的答案。 (1)x 3 ·x 5 = x 15 ( ) ； (2) b 7 + b 7 =b 14 ( ) ； （3）a 5- a 2=a 3 ( ) (4) 2x 3+ x 3=2x 6 ( ) ； (5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ； (6)(- a- b)4=(a- b)4 ( )
6幂运算的三个公式
一、同底数幂的乘法 （一）、法则：__________________________________公式：__________________________ （二）、练习 1、 （1）=?64a a （2）=?5 b b （3）=??32m m m （4）=???9 53c c c c （5）=??p n m a a a （6）=-?1 2m t t （7）=?+q q n 1 （8） =-+??112p p n n n 2．计算： （1）=-?2 3b b （2）=-?3)(a a （3）=--?32)()(y y （4）=--?4 3)()(a a （5）=-?2 433 （6）=--?67)5()5( （7）=--?32)()(q q n （8） =--?2 4)()(m m （9）=-32 （10） =--?54)2()2( （11）=--?69)(b b （12） =--?)()(33a a 3、2 2+m a 可以写成（ ）． A ．12+m a B ．22a a m + C ．22a a m ? D ．1 2+?m a a 4、=?6 4a a （）（）a a 1-2?=?a a 5、________)()()3 5=+?+?+y x y x y x （ 6、________)()()3 5=-?-?-y x x y y x （ 7、已知 4 3 m ==n a a ，那么 _________2==++n m n m a a 二、幂的乘方 （一）法则：_____________________________ 公式:_____________________________ （二）练习 1．计算（102）3=_______，（103）2=________． 2．计算（－x 5）2=_______，（－x 2）5=________，[（－x ）2] 5=______ 3．下列运算正确的是（ ）． A ．（x 3）3=x 3·x 3; B ．（x 2）6=（x 4）4; C ．（x 3）4=（x 2）6; D ．（x 4）8=（x 6）2 4．下列计算错误的是（ ）． A ．（a 5）5=a 25; B ．（x 4）m =（x 2m ）2; C ．x 2m =（－x m ）2; D ．a 2m =（－a 2）m 5．计算下列各题: （1）（a 5）3 （2）（a n －2）3 （3）（43）3 （4）（－x 3）5 （5）[（－x ）2] 3 （6）[（x －y ）3] 4 6公式的另用 （1）x 3·（x n ）5=x 13，则n=____．（x 3）4+（x 4）3=_____，（a 3）2·（a 2）3 =______． 已知164 =28m ，则m=________ （2）比较（27）4与（34）3的大小，可以得到（ ）． A ．（27）4=（34）3 B ．（27）4>（34）23 C ．（27）4<（34）3 D ．无法判断 （3）已知a m =3，a n =2，求a m+2n 和n m a 32+的值; （4）已知a 2n+1=5，求a 6n+3的值 （5）已知a=3555，b=4444，c=5333，试比较a ，b ，c 的大小 三、积的乘方 （一）法则：___________________________公式：______________ (二)练习 1．（ab ）2=______，（ab ）3=_______． 2．（a 2b ）3=_______，（2a 2b ）2=_______，（－3xy 2）2=_______ 3.判断题 （错误的说明为什么） （1）(3ab 2)2=3a 2b 4 （2）(-x 2yz )2=-x 4y 2z 2
幂的运算易错、常考题型精编版
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 七年级下册幂的运算常考题型 一．填空题（共27小题） 1．（2014?汉沽区一模）计算（2ab2）3的结果等于_________． 2．（2006?杭州）计算：（a3）2+a5的结果是_________． 3．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=_________． 4．若a m=2，a n=3，则a2m+n=_________． 5．若3m?32n=81，则m+2n=_________． 6．已知3m=a，81n=b，那么3m﹣4n=_________． 7．已知：（x+2）x+5=1，则x=_________． 8．若（x﹣1）x+1=1，则x=_________． 9．多项式﹣5（ab）2+ab+1是_________次_________项式． 10．（﹣x）10÷（﹣x）5÷（﹣x）÷x=_________． 11．若52x+1=125，则（x﹣2）2012+x=_________． 12．a m?a n=a m+n也可以写成以a m+n=a m?a n（m、n是正整数），请你思考：已知a m=8，a n=32，则a m+n=_________．13．已知a3n=4，则a6n=_________． 14．若x2=24，则x=_________． 15．（2008?清远）计算：（π﹣3）0+2﹣1=_________． 16．如果2x=5，2y=10，则2x+y﹣1=_________． 17．=_________；4101×0.2599=_________． 18．（2014?鄞州区模拟）计算2x2?（﹣3x3）的结果是_________． 19．如果x n﹣2?x n=x2，则n=_________． 20．若2×8n×16n=222，则n=_________． 21．若x m=5，x n=7，则x2m+n=_________． 22．计算（﹣x）2?（﹣x）3?（﹣x）4=_________．