23.幂的运算(提高)知识讲解

逆用公式：a n b n N ab ^逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其

f 1屮 <1 计

是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如

：l/

210

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厂.

要点四、注意事项

（1） 底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式 . （2） 同底数幕的乘法时，只有当底数相同时

，指数才可以相加.指数为1，计算时不要 遗漏.

（3） 幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加 .

（4） 积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式 （特别是系数）都要分别乘方. （5） 灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁

.

幂的运算（提咼）

【学习目标】 1.掌握正整数幕的乘法运算性质（同底数幕的乘法、幕的乘方、积的乘方） 2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算 【要点梳理】

【高清课堂396573幕的运算知识要点】 要点一、同底数幕的乘法性质 a m a n

=a m ^（其中m, n 都是正整数）.即同底数幕相乘，底数不变, 指数相加

要点诠释：（1）同底数幕是指底数相同的幕， 底数可以是任意的实数, 多项式. （2）三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质， 也可以是单项式、

即a m a n ■a p =a m

如卞（m, n, p 都是正整数）. 其中它们的底数 （3）逆用公式：把一个幕分解成两个或多个同底数幕的积， 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幕的指数。即 a m 啪=a m ■a n （ m, n 都是正整数） 要点二、幕的乘方法则 （a m ）n

=a mn （其中m, n 都是正整数）.即幕的乘方，底数不变，指数相乘 要点诠释：（1） 公式的推广：（（a m ）n ） P= a mn P （ aHO ， m, n, p 均为正整数） n m 逆用公式：a mn =（a m ） =（a n ），根据题目的需要常常逆用幕的乘 方运算能将某些幕变形，从而解决问题

要点三、积的乘方法则 b n

,,.n n （ab ） =a 再把所得的幕相乘 （其中n 是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,

要点诠释:

(1) 公式的推广：（abc ）n

=aJb n

”c n

（ n 为正整数）.

（6）带有负号的幕的运算，要养成先化简符号的习惯 【典型例题】 类型一、同底数幕的乘法性质 【高清课堂396573幕的运算例1】

1、计算：

3

5

(1)(b+2)心+2) "b+2);

2

3

⑵(X-2y) ”(2y -X)?

【答案与解析】 解：(1) (b+2)3 ”(b+2)5 ”(b+2)=(b+2)3 卡十=(b + 2)9 ?

2

3

2

3

5

(2)(X —2y) ?(2y—X)=(x —2y) [_(x — 2y) ] = —(x —2y) ?

【总结升华】（1）同底数幕相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式.

（2）在幕的运算中，经常用到以下变形：

类型二、幕的乘方法则 【高清课堂396573幕的运算 2、计算：

I 3\2

. / 2\3 c

5

6.6^6 ^6 ^6

(y ) +(y ) -2y 7 =y +y -2y =2y -2y =0 ? (x

2m

^4 ?(x

m

+)2

=x 4(

2m

4 -/⑴刘=x 8m 」?x 2m ￡=x 10m 》

.3,2 . 3,4 6 12 18

(x ) (x ) = X X = X

【总结升华】（1）运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，

一定不要将幕的

乘方与同底数幕的乘法混淆.（2）幕的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母， 也可 以是单项式或多项式. 【高清课堂396573幕的运算例3】 申尸3、已知8m =4 , 8n =5，求83m ^n 的值.

!a n

(n 为偶数), ()

t-a n

( n 为奇数),

(a-b)n

i-（b —a ：n n %偶数） t_（b _a ）n

（n 为奇数）

⑴ T(a -b)2

]3

；

(2) (y 3

)2+(y 2

)3-2yLy 5

；

/c\ / 2m_2\4 , m H t \2

(3) (X ) ”(x )；

/ 、 /

3\2 / 3\4

(4) (X )心)? 【答案与解析】

T(a-b)2]3=-(a-b 严

=-(a -b)6

?

【思路点拨】由于已知8m, 8n的值，所以逆用同底数幕的乘法和幕的乘方把83m w n变成83m x82n=(8m)3x (8n)2，再代入计算.

【答案与解析】

解：因为83m=(8m)3=43=64 , 82n=(8n)2=52=25.

所以83m*n =83m x82n=64x25 =16OO.

【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8m,8n当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁

举一反三:

【变式】

“* c 3 6 _ 3m 已知a3m=2,b =3,则(a2m) +(b m) —(a2b) b m

【答案】

-5;

2 3 2 2

提示：原式=(a3m) +(b2m) —(a3m)、(b2m)???沖冷== 3 二原式=22+ 33-22X32=— 5.

积的乘方法则

(1) -(2xy2)4/ r 2 z 4| 3\3i 3

(2) [—a q—a b )]

【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算【答

案与解析】

解: ( 1 ) —(2xy2)4=(—1) ”24”X4 "y2)4=—16x4y8.

(2) [—a2?(—a4b3)3]3=—(a2)3”(-a%9)3 = —a6"—a36) ?b27=a42b27?

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式, 每个因式都分别乘方.（2）注意系数及系数符号，对系数—1不可忽略.

举一反三:

【变式】下列等式正确的个数是（）.

3 3 3

◎ （—2x2y3）=弋x6y9纠—a2m）=a6m③（3a6）=3a

6m

④(5X10"(7X107)=35XIO35⑤(-0.5 畀咒2101=(-0.57 jT% 2

A. 1 个

【答案】A;

B. 2

C. 3

D. 4

3 3 3

提示：只有⑤正确；(―2x2y3) = —8x6y9; ( —a2m) = —a6m; (3a6) =27a18 (5x105)>c(7>d07)=35以012 =3.5>d013