幂的运算

幂的运算

一、教学内容：

1.同底数幂的乘法

2.幂的乘方与积的乘方

3.同底数幂的除法

二、技能要求：

掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。

三、主要数学能力

1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。

2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。

四、学习指导

1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n(m, n是自然数)

同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下几个问题：

（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：

(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。

（3）指数都是正整数

（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即

a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。

（5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：

x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，

如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。

例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3(2) -a4·(-a)3·(-a)5

解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1

=(- )1+2+3②底数为- ，不变。

=(- )6③指数相加1+2+3=6

= ④乘方时先定符号“+”，

再计算的6次幂

解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂

=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂

=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：

=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)

=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6

解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6

=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行

=-(x-y)10计算。

例3．计算：x5·x n-3·x4-3x2·x n·x4

解：x5·x n-3·x4-3x2·x n·x4 分析：①先做乘法再做减法

=x5+n-3+4-3x2+n+4②运算结果指数能合并的要合并

=x6+n-3x6+n③3x2即为3·(x2)

=(1-3)x6+n④x6+n，与-3x6+n是同类项，

=-2x6+n合并时将系数进行运算

(1-3)=-2

底数和指数不变。

2．幂的乘方(a m)n=a mn，与积的乘方(ab)n=a n b n

(1)幂的乘方，(a m)n=a mn，(m, n都为正整数)运用法则时注意以下以几点：

①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。如[(x+y)2]3的底数为(x+y)，是一个多项式，

[(x+y)2]3=(x+y)6

②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如：

(a3)4=a7；[(-a)3]4=(-a)7；a3·a4=a12

(2)积的乘方(ab)n=a n b n，（n为正整数）运用法则时注意以下几点：

①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘。

②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：(-3a2b)3

如(a1·a2·……a n)m=a1m·a2m·……a n m

例4．计算：①(a2m)n②(a m+n)m③(-x2yz3)3④-(ab)8

解：①(a2m)n分析：①先确定是幂的乘方运算

=a(2m)n②用法则底数a 不变指数2m和n相乘

=a2mn

②(a m+n)m分析：①底数a不变，指数(m+n)与m相乘

=a(m+n)m

= ②运用乘法分配律进行指数运算。

③(-x2yz3)3分析：①底数有四个因式：(-1), x2, y, z3

=(-1)3(x2)3y3(z3)3分别3次方

=-x6y3z9②注意(-1)3=-1, (x2)3=x2×3=x6

④-(ab)8分析：①8次幂的底数是ab。

=-(a8b8)②“-”在括号的外边先计算(ab)8

=-a8b8再在结果前面加上“-”号。

例5．当ab= ，m=5, n=3, 求(a m b m)n的值。

解：∵(a m b m)n分析：①对(ab)n=a n b n会从右向左进行逆=[(ab)m]n运算a m b m=(ab)m

=(ab)mn②将原式的底数转化为ab，才可将ab

∴当m=5, n=3时，代换成。

∴原式=( )5×3( )15应将括起来不能写成15。

=( )15

例6．若a3b2=15，求-5a6b4的值。

解：-5a6b4分析：a6b4=(a3b2)2

=-5(a3b2)2应用(ab)n a n b n

=-5(15)2

=-1125

例7．如果3m+2n=6，求8m·4n的值。

解：8m·4n分析：①8m=(23)m=23m

=(23)m·(22)n4n=(22)n=22n

=23m·22n②式子中出现3m+2n可用6

=23m+2n来代换

=26=64

3. 同底数幂的除法：

（1）同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n (a≠0, m, n均为正整数，并且m>n)

①同底数幂的除法是整式除法的基础，要熟练掌握。同底数幂的除法法则是根据除法是乘法的逆运算归纳总结出来的，和前面讲的幂的运算的三个法则相比，在这里底数a是不能为零的，否则除数为零，除法就没有意义了。又因为在这里没有引入负指数和零指数，所以又规定m>n。能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则。

②同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那么商等于1，即a m÷a m=1,m是任意自然数。a≠0, 即转化成a0=1(a≠0)。

③同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，即m-n<0时，指数部分为负整数则转化成负整数指数幂，再用负整数指数幂法则。

④要注意和其它几个幂的运算法则相区别。

⑤还应强调：a m·a n=a m+n与a m+n÷a n=a m的互逆运算关系，同时指数的变化也是互逆运算关系，应沟通两者的联系。

（2）零指数：a0=1 (a≠0)

①条件是a≠0，00无意义。

②它是由a m÷a n=a m-n当a≠0，m=n时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，被除式指数与除式的指数相等时即转化成零指数幂，它的结果为1。

（3）负整数指数幂：a-p= (a≠0, p是正整数）

①当a=0时没有意义，0-2, 0-3都无意义。

②它是由a m÷a n=a m-n 当a≠0, m

就是说一个不为零的数的负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数，也可以

等于这个数倒数的正整数指数幂，即a-p=( )p (a≠0,p为自然数）

③a p=( )-p与a-p=( )p这两个等式反映出正整数指数幂与负整数指数幂的相互联系，这两个指数幂的互化，即负整数指数幂用正整数指数幂来表示，或正整数指数幂用负整数指数幂来表示，只要将它们的底数变倒数，指数变相反数即

可，然后再进行计算。例如( )-2先将底数变成它的倒数，再将指数-2变

成它的相反数2再进行计算，即：( )-2=( )2= 。又如：可进行这样的

变形：先将底数变成它的倒数x，再将x的指数1变成它的相反数-1，也就是=x-1。以上这样的变形可用四个字来概括即：“底倒指反”。

例8.计算：(1) a15÷a3(2) a8÷a7(3) a5÷a5(4) x m+n÷x n(5) x3m ÷x m

(6)x3m+2n÷x m+n

解：(1) a15÷a3=a15-3=a12

(2) a8÷a7=a8-7=a

(3) a5÷a5=a5-5=a0=1

(4) x m+n÷x n=x m+n-n=x m

(5) x3m÷x m=x3m-m=x2m

(6)x3m+2n÷x m+n=x3m+2n-(m+n)=x2m+n

注意：同底数的幂相除，是底数不变，指数相减，而不是指数相除。如a15÷a3=a15-3=a12而不是

a15÷a3=a15÷3=a5.

例9.计算：(1) (a3)5÷(a2)3(2) (x5÷x)3(3) (x4)3·x4÷x16

(4)(a7)3÷a8·(a2)6(5) (-2)-3+(-2)-2

解：(1) (a3)5÷(a2)3分析：①应先乘方再乘除

=a15÷a6②(a3)5=a3×5=a15用幂的乘方法则运算

=a15-6=a9③应用同底数幂相除法则

(2) (x5÷x)3分析：①有括号先做括号内的

=(x5-1)3②括号内应用同底数幂的除法法则

=(x4)3=x4×3③(x4)3应用幂的乘方法则

=x12

(3) (x4)3·x4÷x16分析：①先乘方运算再做乘除法

=x12·x4÷x16②同底数幂的乘除混合运算

=x12+4-16 ③转变为底数不变指数相加、减

=x0=1④零指数法则

(4)(a7)3÷a8·(a2)6分析：①先做(a7)3, (a2)6的计算

=a21÷a8·a12②转化为同底数幂除法，乘法混合计算

=a21-8+12=a25③转化为指数相减和相加

(5) (-2)-3+(-2)-2分析：①一个不为0的数的负整数幂的值可正可负

=(- )3+(- )2②(-2)-3<0, (-2)-2>0.

=- + =+

注意：例题的计算中的混合运算注意运算顺序，不要出现以下错误：a21÷a8·a12=a21÷a20=x.

例10.计算：(1) (2a+b)5÷(2a+b)3(2) x8÷(x4÷x2)(3) [(a2)4·(a3)4]÷(a5)2

*(4) (x+y)÷(x+y)-1

解：(1) (2a+b)5÷(2a+b)3分析：①此题为同底数幂相除

=(2a+b)5-3②底数为(2a+b)不变，指数相减

=(2a+b)2

(2) x8÷(x4÷x2)分析：①先做小括号内的运算

=x8÷(x4-2)②除法没有分配律，不能出现以下错误：

=x8÷x2如：x8÷(x4÷x2)=x8÷x4÷x2=x4÷x2=x2

=x8-2=x6

(3) [(a2)4·(a3)4]÷(a5)2分析：先做小括号乘方再做中括号乘法，

=(a8·a12) ÷a10=a20÷a10最后做除法

=a20-10=a10

*(4) (x+y)÷(x+y)-1分析：①可运用同底数幂相除的法则：=(x+y)1-(-1)底数不变指数相减，即底数(x+y)

=(x+y)2不变，指数：1-(-1)=2 *幂的运算法则可归纳为：

a m÷a n=a m-n=

中考解析

同底数幂的乘法

掌握同底数幂的乘法的运算性质并能熟练地应用。

名师精讲：

1．同底数幂的概念：几个相同因数a相乘，即，记作a n,读作a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数。

2．同底数幂的乘法性质：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。用式子表达：a m·a n=a m+n（m，n都是正整数）。三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质。如a m·a n·a p=a m+n+p（m，n，p都是正整数）。

3．底数可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式。

中考典例：

（济南市）÷a=a3

考点：同底数幂的乘法

评析：该题表面是除法运算，但方法却用乘法，因为给出的条件是商和除式，求被除式。

∵a3·a=a4 ∴应填a4

真题专练：

（浙江绍兴）计算x2·x3= 。

答案：x5

说明：本节知识是整式乘除及混合运算的基础，虽然单独命题较少，但是教学重点。

幂的乘方与积的乘方

掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质并能熟练地应用。

名师精讲：

1．幂的乘方是指几个相同的幂相乘，积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。幂的乘方与积的乘方都是整式乘法的基础。

2．幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用式子表达：（a m）n=a mn（m，n都是正整数）。运用这个性质时，要与同底数幂的乘法区别开来，不能混淆。性质对形如[(a m)n]p仍适用。底数a可以是一个数，也可以是一个整式。性质也可逆向运用：a mn=（a m）n

3．积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘。用式子表达：

（ab）n=a n b n（n是正整数）。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质，如（abc）n=a n·b n·c n，运用这一性质时，不要犯(ab)n=ab n的错误，也不要犯(a+b)n=a n+b n的错误，性质中的a、b可以是数也可以是整式。性质也可逆向运用：a n b n=（ab）n。

中考典例：

1．（广东省）计算(x4)3·x7的结果是（）

A、x12

B、x14

C、x19

D、x84

考点：同底数幂的乘法、幂的乘方

评析：对(x4)3·x7进行运算，再与四个选项进行比较即可。

(x4)3·x7= x12·x7=x19，因此，应选C。

真题专练：

1．（北京石景山区）(–a2)3的运算结果为（）

A、–a5

B、a5

C、–a6

D、a6

2．（北京西城区）(a2)3的计算结果是（）

A、a5

B、a6

C、a8

D、a9

3．（北京西城区）某种细菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由1个可分裂繁殖成（）

A、8个

B、16个

C、4个

D、32个

4．（北京宣武区）(–a2)3的计算结果是（）

A、a5

B、–a5

C、a6

D、–a6

5．（北京海淀区）下列计算中，正确的是（）

A、a·a2＝a2

B、(a+1)2＝a2+1

C、(–a)3＝–a3

D、(ab)2＝ab2

6．（吉林省）下面运算正确的是（）

A、(–2x)2·x3=4x6

B、x2÷x=x。

C、(4x2)3=4x6

D、3x2–(2x)2=x2。

7．（陕西省）计算(–x2)3的结果是（）

A、–x5

B、x5

C、–x6

D、x6

8．（济南市）计算(–2a2)2的结果是（）

A、–4a4

B、–2a4

C、4a4

D、2a4

答案：

1、C

2、B

3、B（提示：1个细菌2小时分裂繁殖成4次，24=16，应

选B）

4、D

5、C

6、B

7、C

8、C

同底数幂的除法

考点扫描

1．掌握同底数幂的除法运算性质，会用它熟练地进行运算。

2．了解零指数和负整数指数的意义。

3．了解正整数指数幂的运算性质可以推广到整数指数幂。

4．会用科学记数法表示数。

名师精讲

1．同底数幂的除法性质：a m÷a n=a m–n（a≠0，m，n都是正整数，且m>n），这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。同底数幂的除法性质可推广到三个以上的同底数幂除法：a m ÷a n÷a p=a m–n–p（a≠0，m，n，p都是正整数）。公式中的a可以是具体的数，也可以是单项式或多项式（字母取值要满足底数不等于0）。

2．零指数幂：当m=n时，a m÷a n =a0，规定a0=1（a≠0），也就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于

1，0 0无意义。

3．负整数指数幂：当m

定a–P= （a≠0，p是正整数），这就是说，任何不等于零的数的–p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。0的负整数次幂无意义。

4．用科学记数法表示小于1的正数：任何一个小于1的正数，都可写成a

×10n的形式，其中1≤a＜10，即a是带一位整数的小数或一位整数，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中从左往右第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前的一个0）。

中考典例

1．（北京朝阳区）下列计算正确的是（）

A、a2+a2＝2a4

B、a6÷a3＝a2

C、(-a3)2＝-a6

D、a3·a2＝a5

考点：幂的运算性质

评析：该题是全面考查学生对幂的运算性质掌握的情况，特别是初学同底数幂的除法后，更要弄清各种运算法则的异同，按照各种法则逐一排查，易知D 是正确的。

2．（北京东城区）1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为（）

A、2.5×10–8米

B、2.5×10–9米

C、2.5×10–10米

D、2.5×109米

考点：科学记数法

评析：根据换算关系先将2.5纳米换算成米为单位,即0.0000000025米，然后再用科学记数法表示为

2.5×10－9米故选B

说明：把一个正数b用科学记数法改写成a×10n的形式时，0≤a＜10，n可正、可负，也可是0；当b≥10时，n是正数，当1≤b＜10时，n等于0，当0＜b＜1时，n是负数。

3．（北京燕山）(a2+1)0的值为（）

A、0

B、a2+1

C、1

D、a2

考点：零指数幂

评析：因为a2≥0，所以a2+1＞0 ，a2+1≠0。根据零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”故应选C。

4．（河北省）在下列计算中，正确的是（）

A、(ab2)3=ab6

B、(3xy)3=9x3y3

C、(-2a2)2=-4a4

D、(–2)–2=

考点：积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂

评析：解决此类问题一般用排除法，根据积的乘方、幂的乘方法则，Ａ中（a ｂ2）3应为a3b6，而结果ab6所以不对，Ｂ中的33＝27而不是9，Ｃ中（-2）2＝4，而不是-4。根据负整数指数幂的意义，ａ-Ｐ= （ａ≠0，ｐ是正整数）,则（-2）

-2＝，所以应选Ｄ。

说明：要想准确解答这种问题，关键是准确熟练的掌握幂的各种运算性质。

真题专练

1．（北京朝阳区）用科学记数法表示0.00608的结果是（）

A、6.08×10–3

B、6.08×10–4

C、0.608×10–3

D、0.608×10–2

2．（北京石景山区）计算(–2)0的结果为（）

A、0

B、1

C、2

D、–2

3．（北京东城区）下列运算中，正确的是（）

A、a2·a3=a6

B、a2÷a3=a

C、

D、

4．（江苏南京）计算3–2的结果是（）

A、–9

B、9

C、–

D、

5．（北京崇文区）二十一世纪，纳米技术将被广泛应用。纳米是长度计量单位。1纳米=0.000000001米，则5纳米可以用科学记数法表示为（）

A、5×10–9米

B、5×10–7米

C、50×10–8米

D、5×10–8米

6．（湖北武汉）下列计算正确的是（）

A、x3+x3=2x6

B、(-x3)2=x6

C、x3·x3=x9

D、(x6÷x2)=x3

7．（北京崇文区）下列计算结果正确的是（）

A、(2a)2=2a2

B、(–4)0=1

C、±=2

D、2–1=-2

8．（福建厦门）下列计算错误的是（）

A、32×34=38

B、2x3÷x=2x2

C、( )0=1

D、(–a3)2=a6

9．（湖北荆门市）将2.12×10–3用小数表示为（）

A、2120

B、212000

C、0.00212

D、0.000212

10．（云南省）下列运算正确的是（）

A、a2·a3=a6

B、a2+a2=2a2

C、(a2)3=a5

D、a3÷a=a3

11．（北京宣武区）1纳米是1米的十亿分之一，用科学记数法表示，1纳米等于（）

A、1×10–10米

B、1×10–9米

C、1×109米

D、1×1010米

12．（北京东城区）若实数a、b满足|3a–1|+b2=0，则a b的值为。

13．（北京东城区）下列计算正确的是（）

A、a3·a4=a12

B、(a3)4=a7

C、(a2b)3=a6b3

D、a3÷a4=a(a≠0)

14．（河北省）计算(2–1)2，结果等于（）

A、2

B、4

C、

D、

答案：

1、A

2、B

3、D

4、D

5、A

6、B

7、B

8、

A 9、C 10、B

11、B 12、1 13、C 14、C

课外拓展

幂的运算法则的逆用

学习了幂的运算法则后，同学们对法则的正向运用比较得心应手。但把它们逆过来运用却不习惯，其实逆用幂的运算法则，能使难题变易、繁题变简。（有几个地方比较难，可能有的同学看不懂。主要是希望大家先掌握这种逆用法则的思路，可以以后再回来看）

例1．计算

(1) 82002×(-0.125)2002；

(2)(a-2)2+(2b+1)2=0,则a2001·b2001=_________.

解：(1)原式=[8×(-0.125)]2002=(-1)2002=1.

(2)a=2, b=- .

∴a2001·b2001=(ab)2001

=[2×(- )]2001=-1.

例2．计算(x-y)2·(x+y)2·(x2-xy+y)2·(x2+xy+y2)2

解：原式=(x-y)2·(x2+xy+y2)2·(x+y)2(x2-xy+y2)2

=[(x-y)(x2+xy+y2)]2·[(x+y)(x2-xy+y2)2]

=(x3-y3)2(x3+y3)2=[(x3-y3)(x3+y3)]2

=(x6-y6)2=x12-2x6y6+y12.

例3．已知10a=5, 10b=6, 求：(1) 102a+b；(2) 10a-2b的值。解：∵10a=5, 10b=6,

(1) 102a+b=102a·10b=(10a)2·10b=52×6=150；

(2) 10a-2b=10a?；102b=10a?；(10b)2=5?；62= .

例4．用“>”号，把355、444、533连结起来。

解：∵355=(35)11=24311, 444=(44)11=25611,

∵533=(53)11=12511,

而 25611>24311>12511.

∴444>355>533.

例5．19881989+19891988的个位数字是（）。

A、9

B、7

C、5

D、3

解：∵19881989=19884×497+1=(19884)497·1988,

而(19884)497的个位数是6。

∴19881989的个位数是8。

∵19891988=19892×994=(19892)994,

而19892的个位数字是1，

则(19892)994的个位数字是1。

即 19891988的个数数字是1。

∴19881989+19891988的个位数字是9，故选A。