2020年湖北省鄂州市中考数学试卷 (1)

2020年湖北省鄂州市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. ?2020的相反数是（）

A.2020

B.?1

2020C.1

2020

D.?2020

2. 下列运算正确的是（）

A.2x+3x＝5x2

B.(?2x)3＝?6x3

C.2x3?3x2＝6x5

D.(3x+2)(2?3x)＝9x2?4

3. 如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（）

A. B.

C. D.

4. 面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（）

A.0.21×108

B.2.1×108

C.2.1×109

D.0.21×1010

5. 如图，a?//?b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）

A.25°

B.35°

C.55°

D.65°6. 一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（）

A.4

B.5

C.7

D.9

7. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G

用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）

A.20%

B.30%

C.40%

D.50%

8. 如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA

①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．

A.4

B.3

C.2

D.1

9. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(?1,?0)和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc<0，

②2a+b<0，③4a?2b+c>0，④3a+c>0，其中正确的结论个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

10. 如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1

x

(x>0)的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1

＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1

x

交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）

A.(2√n,?0)

B.(0,?√2n+1)

C.(0,?√2n(n ?1))

D.(0,?2√n)

二．填空题（每小题3分，共18分）

因式分解：2m 2?12m +18＝________．

关于x 的不等式组{2x >4

x ?5≤0 的解集是________．

用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为________．

如图，点A 是双曲线y

=1

x

(x <0)

上一动点，连接OA

，作OB ⊥OA ，且使OB ＝3OA ，当点A 在双曲线y =1

x

上

运动时，点B 在双曲线y =k

x 上移动，则k 的值为________．

如图，半径为2cm 的⊙O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(2?√3)cm 的速度向左运动________秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为(2

3π?√3)cm 2

．

如图，已知直线y =?√3x +4与x 、y 轴交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 为AB 上一动点，PQ 切⊙O 于Q 点．当线段PQ 长取最小值时，直线PQ 交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P 到直线a 的距离的最大值为________．

三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分） 先化简x 2?4x+4x 2?1

÷x 2?2x x+1

+

1

x?1

，再从?2．?1，0，1，2中选一个合适的数作为x 的值代入求值．

如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM ＝BM ，连接DE ．

（1）求证：△AMB ?△CND ；

（2）若BD ＝2AB ，且AB ＝5，DN ＝4，求四边形DEMN 的面积．

某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题： 频数分布表

（1）频数分布表中m＝________，n＝________，并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

已知关于x的方程x2?4x+k+1=0有两实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)设方程两实数根分别为x1，x2，且3

x1+3

x2

=x1x2?4，求实数k的值．

鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的

俯角为

30

°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50√3米．

（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）

（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE?//?OB．DC是⊙O的直径．连

接OE，过C作CG?//?OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）求证：AE?ED＝AC?EF；

（3）若EF＝3，tan∠ACE=1

2

时，过A作AN?//?CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．

一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．

如图，抛物线y=1

2

x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y=1

2

x?2经

过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M(m,?0)．

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；

②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

2020年湖北省鄂州市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.

【答案】

A

【考点】

相反数

【解析】

根据相反数的定义解答即可．

【解答】

?2020的相反数是2020，

2.

【答案】

C

【考点】

整式的混合运算

【解析】

利用合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式进行计算即可．

【解答】

A、2x+3x＝5x，故原题计算错误；

B、(?2x)3＝?8x3，故原题计算错误；

C、2x3?3x2＝6x5，故原题计算正确；

D、(3x+2)(2?3x)＝4?9x2，故原题计算错误；

3.

【答案】

A

【考点】

简单组合体的三视图

【解析】

俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．

【解答】

从上面看，第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．

4.

【答案】

C

【考点】

科学记数法--表示较大的数

【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】

21亿＝2100000000＝2.1×109．

5.

【答案】

A

【考点】

平行线的性质

等腰直角三角形

【解析】

根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．

【解答】

如图：

∵∠1＝65°，∠1+45°+∠3＝180°，

∴∠3＝180°?45°?65°＝70°，

∵a?//?b，

∴∠4+∠2＝∠3＝70°，

∵∠4＝45°，

∴∠2＝70°?∠4＝70°?45°＝25°．

6.

【答案】

B

【考点】

算术平均数

众数

【解析】

根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义即可得出答案．

【解答】

∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，

∴x＝6×5?4?5?7?9＝5，

∴这组数据的众数为5；

7.

【答案】

C

【考点】

一元二次方程的应用

【解析】

设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2(1+x)万户，2021年底全市5G

用户数为

2(1+x)2万户，根据到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】

设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2(1+x)万户，2021年底全市5G用户数为2(1+x)2万户，

依题意，得：2+2(1+x)+2(1+x)2＝8.72，

整理，得：x2+3x?1.36＝0，

解得：x1＝0.4＝40%，x2＝?3.4（不合题意，舍去）．

8.

【答案】

B

【考点】

全等三角形的性质与判定

【解析】

由SAS证明△AOC?△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；

由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠ADB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；

作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，④正确；

假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO?△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA

【解答】

∵∠AOB＝∠COD＝36°，

∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，

即∠AOC＝∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

{

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

∴△AOC?△BOD(SAS)，

∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性质得：

∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，

∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；

作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA＝∠OHB＝90°，

∵△AOC?△BOD，

∴OG＝OH，

∴OM平分∠AMD，故④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，

在△AMO与△DMO中，

{

∠AOM=∠DOM

OM=OM

∠AMO=∠DMO

，

∴△AMO?△DMO(ASA)，

∴AO＝OD，

∵OC＝OD，

∴OA＝OC，

而OA

正确的个数有3个；

9.

【答案】

B

【考点】

抛物线与x轴的交点

二次函数图象与系数的关系

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b 的关系．

【解答】

①∵由抛物线的开口向上知a>0，

∵对称轴位于y轴的右侧，

∴b<0．

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c<0，

∴abc>0；

故错误；

②对称轴为x=?b

2a

<1，得2a>?b，即2a+b>0，

故错误；

③如图，当x＝?2时，y>0，4a?2b+c>0，

故正确；

④∵当x＝?1时，y＝0，

∴0＝a?b+c0．

故正确．

综上所述，有2个结论正确．

10.

【答案】

D

【考点】

反比例函数与一次函数的综合

【解析】

由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3

，

OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．

【解答】

由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，

∵A1(1,?1)，

∴OB1＝2，设A2(m,?2+m)，

则有m(2+m)＝1，

解得m=√2?1，

∴OB2＝2√2，

设A3(a,?2√2+n)，则有n＝a(2√2+a)＝1，

解得a=√3?√2，

∴OB3＝2√3，

同法可得，OB4＝2√4，

∴OB n＝2√n，

∴B n(0,?2√n)．

二．填空题（每小题3分，共18分）

【答案】

2(m?3)2

【考点】

提公因式法与公式法的综合运用

【解析】

直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．

【解答】

原式＝2(m2?6m+9)

＝2(m?3)2．

【答案】

2

【考点】

解一元一次不等式组

【解析】

先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．

【解答】

{2x>4

x?5≤0

由①得：x>2，

由②得：x≤5，

所以不等式组的解集为：2

【答案】

4

3

【考点】

圆锥的计算

【解析】

根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径．【解答】

设圆锥底面的半径为r，扇形的弧长为：120π×4

180

=8

3

π，

∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，

∴根据题意得2πr=8

3

π，

解得：r=4

3

．

【答案】

?9

【考点】

反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】

过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A(x,?1

x

)，由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B 点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．

【解答】

∵点A是反比例函数y=1

x

(x<0)上的一个动点，

∴可设A(x,?1

x

)，

∴OC＝x，AC=1

x

，

∵OB⊥OA，

∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，

∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，

∴△AOC∽△OBD，

∵OB＝3OA，

∴AC

OD

=OC

BD

=OA

OB

=1

3

，

∴OD＝3AC=3

x

，BD＝3OC＝3x，

∴B(3

x

,??3x)，

∵点B反比例函数y=k

x

图象上，

∴k=3

x

×(?3x)＝?9，

【答案】

1或(11+6√3)

【考点】

扇形面积的计算

切线的性质

正方形的性质

【解析】

分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问

题．

【解答】

如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为(2

3

π?√

3)cm

2

此时，运动时间t＝(2?√3)÷(2?√3)＝1（秒）

如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为(2

3

π?√3)cm2

此时，运动时间t＝[4+2?(2?√3)]÷(2?√3)＝(11+6√3)（秒），

综上所述，满足条件的t的值为1秒或(11+6√3)秒．

【答案】

2√3

【考点】

一次函数的性质

切线的性质

一次函数图象上点的坐标特点

【解析】

在直线y=?√3x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x=4√3

3，可得OB＝4，OA=4√3

3

，得角OBA＝30°，根据

PQ切⊙O于Q点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．

【解答】

如图，

在直线y=?√3x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x=4√3

3

，

∴OB＝4，OA=4√3

3

，

∴tan∠OBA=OA

OB

=√3

3

，

∴∠OBA＝30°，

由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，

∴PQ=√OP2?OQ2，

由于OQ＝1，

因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，

∴OP=1

2

OB＝2，

此时PQ=√22?12=√3，

BP=√42?22=2√3，

∴OQ=1

2

OP，即∠OPQ＝30°，

若使点P到直线a的距离最大，

则最大值为PM，且M位于x轴下方，

过点P作PE⊥y轴于点E，

∴EP=1

2

BP=√3，

∴BE=√(2√3)2?(√3)2=3，

∴OE＝4?3＝1，

∵OE=1

2

OP，

∴∠OPE＝30°，

∴∠EPM＝30°+30°＝60°，

即∠EMP＝30°，

∴PM＝2EP＝2√3．

三．解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）【答案】

x2?4x+4

x2?1

÷

x2?2x

x+1

+

1

x?1

=

(x?2)2

(x+1)(x?1)

?

x+1

x(x?2)

+

1

x?1

=

x?2

x(x?1)

+

1

x?1

=

x?2+x

x(x?1)

=

2(x?1)

x(x?1)

=2

x

，

∵x＝0，1，?1时，原分式无意义，

∴x＝?2，

当x＝?2时，原式=2

?2

=?1．

【考点】

分式的化简求值

【解析】

根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从?2．?1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】

x2?4x+4 x2?1÷

x2?2x

x+1

+

1

x?1

=

(x?2)2

(x+1)(x?1)

?

x+1

x(x?2)

+

1

x?1

=

x?2

x(x?1)

+

1

x?1

=x?2+x x(x?1)

=2(x?1) x(x?1)

=2

x

，

∵x＝0，1，?1时，原分式无意义，

∴x＝?2，

当x＝?2时，原式=2

?2

=?1．

【答案】

∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，

又∵点M，N分别为OA、OC的中点，

∴AM＝CN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB?//?CD，AB＝CD，

∴∠BAM＝∠DCN，

∴△AMB?△CND(SAS)；

∵△AMB?△CND，

∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，

又∵BM＝EM，

∴DN＝EM，

∵AB?//?CD，

∴∠ABO＝∠CDO，

∴∠MBO＝∠NDO，

∴ME?//?DN

∴四边形DEMN是平行四边形，

∵BD＝2AB，BD＝2BO，

∴AB＝OB，

又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，

∴∠EMN＝90°，

∴四边形DEMN是矩形，

∵AB＝5，DN＝BM＝4，

∴AM＝3＝MO，

∴MN＝6，

∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．

【考点】

平行四边形的性质

矩形的判定与性质

全等三角形的性质与判定

【解析】

（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB?△CND；

（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．

【解答】

∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

∴AO＝CO，

又∵点M，N分别为OA、OC的中点，

∴AM＝CN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB?//?CD，AB＝CD，

∴∠BAM＝∠DCN，

∴△AMB?△CND(SAS)；

∵△AMB?△CND，

∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，

又∵BM＝EM，

∴DN＝EM，

∵AB?//?CD，

∴∠ABO＝∠CDO，

∴∠MBO＝∠NDO，

∴ME?//?DN

∴四边形DEMN是平行四边形，

∵BD＝2AB，BD＝2BO，

∴AB＝OB，

又∵M是AO的中点，

∴BM⊥AO，

∴ ∠EMN ＝90°，

∴ 四边形DEMN 是矩形， ∵ AB ＝5，DN ＝BM ＝4， ∴ AM ＝3＝MO ， ∴ MN ＝6，

∴ 矩形DEMN 的面积＝6×4＝24．

【答案】 0.15,12

根据题意可知：

1000×(0.15+0.3)＝450（名），

答：估计全校需要提醒的学生有450名； 设2名男生用A ，B 表示，1名女生用C 表示， 根据题意，画出树状图如下：

根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种， 所以所选2

名学生恰为一男生一女生的概率为：

4

6

=2

3．

【考点】

用样本估计总体

频数（率）分布直方图 频数（率）分布表 列表法与树状图法

【解析】

（1）频数分布表中m ＝0.15，n ＝12，并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的E 组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率． 【解答】

根据频数分布表可知：

m ＝1?0.3?0.3?0.2?0.05＝0.15，

∵ 18÷0.3＝60，

∴ n ＝60?9?18?18?3＝12， 补充完整的频数分布直方图如下：

故答案为：0.15，12； 根据题意可知：

1000×(0.15+0.3)＝450（名），

答：估计全校需要提醒的学生有450名； 设2名男生用A ，B 表示，1名女生用C 表示， 根据题意，画出树状图如下：

根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，

所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：4

6=2

3．

【答案】

解：(1)由题意得，Δ=16?4(k +1)=16?4k ?4=12?4k ≥0， 解得k ≤3．

(2)由题意可知：x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1. ∵ 3x 1

+3

x 2

=x 1x 2?4，

∴

3(x 1+x 2)x 1x 2=x 1x 2?4，

∴ 3×4

k+1=k +1?4， ∴ k =5或k =?3. ∵ k ≤3， ∴ k =5舍去，

∴ 实数k 的值为?3． 【考点】

根与系数的关系 根的判别式

【解析】

（1）根据根的判别式即可求出答案．

（2）根据根与系数的关系即可求出答案．

【解答】

解：(1)由题意得，Δ=16?4(k+1)=16?4k?4=12?4k≥0，解得k≤3．

(2)由题意可知：x1+x2=4，x1x2=k+1.

∵3

x1+3

x2

=x1x2?4，

∴3(x1+x2)

x1x2

=x1x2?4，

∴3×4

k+1

=k+1?4，

∴k=5或k=?3.

∵k≤3，

∴k=5舍去，

∴实数k的值为?3．

【答案】

无人机的飞行高度AM为100√3米；

河流的宽度CD约为264米．

【考点】

解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】

（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝50√3，可求出AM即可；

（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝100√3，可求出DN，进而求出DM和CD即可．【解答】

在Rt△ACM中，tanα＝2，MC＝50√3，

∴AM＝2MC＝100√3=BN，

答：无人机的飞行高度AM为100√3米；

在Rt△BND中，

∵tan∠BDN=BN

DN ，即：tan30°=100√3

DN

，

∴DN＝300，

∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，∴CD＝DM?MC＝350?50√3≈264，答：河流的宽度CD约为264米．

【答案】

证明：∵CD是直径，

∴∠DEC＝90°，

∴DE⊥EC，

∵DE?//?OB，

∴OB⊥EC，

∴OB垂直平分线段EC，

∴BE＝EC，OE＝OC，

∵OB＝OB，

∴△OBE?△OBC(SSS)，

∴∠OEB＝∠OCB，

∵BC是⊙O的切线，

∴OC⊥BC，

∴∠OCB＝90°，

∴∠OEB＝90°，

∴OE⊥AB，

∴AB是⊙O的切线．

证明：连接EG．

∵CD是直径，

∴∠DGC＝90°，

∴CG⊥DG，

∵CG?//?OE，

∴OE⊥DG，

∴DE?=EG?，

∴DE＝EG，

∵AE⊥OE，DG⊥OE，

∴AE?//?DG，

∴∠EAC＝∠GDC，

∵∠GDC＝∠GEF，

∴∠GEF＝∠EAC，

∵∠EGF＝∠ECA，

∴△AEC∽△EFG，

∴AE

EF

=AC

EG

，

∵EG＝DE，

∴AE?DE＝AC?EF．

过点O作OH⊥AN于H．∵DE?=EG?，

∴∠EDG＝∠ACE，

∴tan∠EDF＝tan∠ACE=1

2=EF

DE

=DE

EC

，

∵EF＝3，

∴DE＝6，EC＝12，CD=√DE2+EC2=6√5，

∵∠AED+∠OED＝90°，∠OED+∠OEC＝90°，

∴∠AED＝∠OEC，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴∠AED＝∠ACE，

∵∠EAD＝∠EAC，

∴△EAD∽△CAE，

∴AE

AC

=DE

EC

=AD

AE

1

2

，

∴可以假设AE＝x，AC＝2x，

∵AE2＝AD?AC，

∴x2＝(2x?6√5)?2x，

解得x＝4√5（x＝0舍去），

∴AE＝4√5，AC＝8√5，AD＝2√5，OA＝5√5，

∵EC?//?AN，

∴∠OAH＝∠ACE，

∴tan∠OAH＝tan∠ACE=OH

AH

=1

2

，

∴OH＝5，AH＝10，

∵OH⊥MN，

∴HM＝HN，连接OM，则MH＝HN=√OM2?OH2=√(3√5)2?52=2√5，

∴AN＝AH+HN＝10+2√5．

【考点】

圆的综合题

【解析】

（1）证明△AOE?△AOC(SSS)可得结论．

（2）连接EG．证明△AEC∽△EFG可得结论．

（3）过点O作OH⊥AN于H．解直角三角形求出DE＝EC，CD，利用相似三角形的性质求出E，AC，AO，求

出AH，HN即可解决问题．

【解答】

证明：∵CD是直径，

∴∠DEC＝90°，

∴DE⊥EC，

∵DE?//?OB，

∴OB⊥EC，

∴OB垂直平分线段EC，

∴BE＝EC，OE＝OC，

∵OB＝OB，

∴△OBE?△OBC(SSS)，

∴∠OEB＝∠OCB，

∵BC是⊙O的切线，

∴OC⊥BC，

∴∠OCB＝90°，

∴∠OEB＝90°，

∴OE⊥AB，

∴AB是⊙O的切线．

证明：连接EG．

∵CD是直径，

∴∠DGC＝90°，

∴CG⊥DG，

∵CG?//?OE，

∴OE⊥DG，

∴DE?=EG?，

∴DE＝EG，

∵AE⊥OE，DG⊥OE，

∴AE?//?DG，

∴∠EAC＝∠GDC，

∵∠GDC＝∠GEF，

∴∠GEF＝∠EAC，

∵∠EGF＝∠ECA，

∴△AEC∽△EFG，

∴AE

EF

=AC

EG

，

∵EG＝DE，

∴AE?DE＝AC?EF．

过点O作OH⊥AN于H．

∵DE?=EG?，

∴∠EDG＝∠ACE，

∴tan∠EDF＝tan∠ACE=1

2

=EF

DE

=DE

EC

，

∵EF＝3，

∴DE＝6，EC＝12，CD=√DE2+EC2=6√5，

∵∠AED+

∠OED＝90°，∠OED+∠OEC＝90°，

∴∠AED＝∠OEC，∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠OCE，∴∠AED＝∠ACE，∵∠EAD＝∠EAC，∴△EAD∽△CAE，

∴AE

AC =DE

EC

=AD

AE

1

2

，

∴可以假设AE＝x，AC＝2x，

∵AE2＝AD?AC，

∴x2＝(2x?6√5)?2x，

解得x＝4√5（x＝0舍去），

∴AE＝4√5，AC＝8√5，AD＝2√5，OA＝5√5，∵EC?//?AN，

∴∠OAH＝∠ACE，

∴tan∠OAH＝tan∠ACE=OH

AH =1

2

，

∴OH＝5，AH＝10，

∵OH⊥MN，

∴HM＝HN，连接OM，则MH＝HN=√OM2?OH2=√(3√5)2?52=2√5，∴AN＝AH+HN＝10+2√5．

【答案】

设y与x的函数关系式为：y＝kx+b(k≠0)，

把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，

{4k+b=10000

5k+b=9500

，

解得，{k=?500

b=12000

，

∴y＝?500x+12000；

根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，{

x≥3

x≤15

?500x+12000≥6000

，

解得，3≤x≤12，

设利润为w元，根据题意得，

w＝(x?3)y＝(x?3)(?500x+12000)＝?500x2+13500x?36000＝?500(x?13.5)2+55125，

∵?500<0，

∴当x<13.5时，w随x的增大而增大，

∵3≤x≤12，

∴当x＝12时，w取最大值为：?500×(12?13.5)2+55125＝54000，

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；

根据题意得，w＝(x?3?m)(?500x+12000)＝?500x2+(13500+500m)x?36000?12000m，

∴对称轴为x=?13500+500m

?1000

=13.5+0.5m，

∵?500<0，

∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，

∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．

∴15≤13.5+0.5m，

解得，m≥3，

∵1≤m≤6，

∴3≤m≤6．

【考点】

二次函数的应用

【解析】

（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；

（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝(x?3)y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；

（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．

【解答】

设y与x的函数关系式为：y＝kx+b(k≠0)，

把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，

{4k+b=10000

5k+b=9500

，

解得，{

k=?500

b=12000

，

∴y＝?500x+12000；

根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，

{

x≥3

x≤15

?500x+12000≥6000

，

解得，3≤x≤12，

设利润为w元，根据题意得，

w＝(x?3)y＝(x?3)(?500x+12000)＝?500x2+13500x?36000＝?500(x?13.5)2+55125，

∵?500<0，

∴当x<13.5时，w随x的增大而增大，

∵3≤x≤12，

∴当x＝12时，w取最大值为：?500×(12?13.5)2+55125＝54000，

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；

根据题意得，w＝(x?3?m)(?500x+12000)＝?500x2+(13500+500m)x?36000?12000m，∴对称轴为x=?13500+500m

?1000

=13.5+0.5m，

∵?500<0，

∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，

∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．

∴15≤13.5+0.5m，

解得，m≥3，

∵1≤m≤6，

∴3≤m≤6．

【答案】

针对于直线y=1

2

x?2，

令x＝0，则y＝?2，

∴C(0,??2)，

令y＝0，则0=1

2

x?2，

∴x＝4，

∴B(4,?0)，

将点B，C坐标代入抛物线y=1

2x2+bx+c中，得{c=?2

8+4b+c=0

，

∴{b=?3 2

c=?2

，

∴抛物线的解析式为y=1

2x2?3

2

x?2；

①∵PM⊥x轴，M(m,?0)，

∴P(m,?1

2m2?3

2

m?2)，D(m,?1

2

m?2)，

∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，

∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，1

2(0+1

2

m2?3

2

m?2)=1

2

，

∴m=?1

2

或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），

Ⅱ、当点P是DM的中点时，1

2(0+1

2

m?2)=1

2

m2?3

2

m?2，

∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），

Ⅲ、当点M是DP的中点时，1

2(1

2

m2?3

2

m?2+1

2

m?2)＝0，

∴m＝2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为?1

2

或1或2；

②由（1）知，抛物线的解析式为y=1

2

x2?3

2

x?2，

令y＝0，则0=1

2

x2?3

2

x?2，

∴x＝?1或x＝4，

∴点A(?1,?0)，

∴OA＝1，

∵B(4,?0)，C(0,??2)，

∴OB＝4，OC＝2，

∴OA

OC

=OC

OB

，

∵∠AOC＝∠COB＝90°，

∴△AOC∽△COB，

∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，

∵△PNC与△AOC相似，

∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，

∴∠PCN＝∠ACO，

∴∠PCN＝∠OBC，

∴CP?//?OB，

∴点P的纵坐标为?2，

∴1

2

m2?3

2

m?2＝?2，

∴m＝0（舍）或m＝3，

∴P(3,??2)；

Ⅱ、当△PNC∽△AOC时，

∴∠PCN＝∠CAO，

∴∠OCB＝∠PCD，

∵PD?//?OC，

∴∠OCB＝∠CDP，

∴∠PCD＝∠PDC，

∴PC＝PD，

由①知，P(m,?1

2

m2?3

2

m?2)，D(m,?1

2

m?2)，

∵C(0,??2)，

∴PD＝2m?1

2

m2，PC=√m2+(1

2

m2?3

2

m?2+2)2=√m2+(1

2

m2?3

2

m)2，

∴2m2?1

2

m=√m2+(1

2

m2?3

2

m)2，

∴m=3

2

，

∴P(3

2

,??25

8

)，

即满足条件的点P的坐标为(3,??2)或(3

2

,??25

8

)．

【考点】

二次函数综合题

【解析】

（1）先求出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；

（2）①先表示出点M，D，P坐标，再分三种情况利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论；

②先判断出△AOC?△COB，得出∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，

Ⅰ、当△PNC∽△AOC，得出∠PCN＝∠ACO，进而得出CP?//?OB，即可得出结论；

Ⅱ、当△PNC∽△AOC时，∴∠PCN＝∠CAO，进而得出PC＝PD，即可得出结论．

【解答】

针对于直线y=1

2

x?2，

令x＝0，则y＝?2，

∴C(0,??2)，

令y＝0，则0=1

2

x?2，

∴x＝4，

∴B(4,?0)，

将点B，C坐标代入抛物线y=1

2x2+bx+c中，得{c=?2

8+4b+c=0

，

∴{b=?3 2

c=?2

，

∴抛物线的解析式为y=1

2x2?3

2

x?2；

①∵PM⊥x轴，M(m,?0)，

∴P(m,?1

2m2?3

2

m?2)，D(m,?1

2

m?2)，

∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，

∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，1

2(0+1

2

m2?3

2

m?2)=1

2

，

∴m=?1

2

或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），

Ⅱ、当点P是DM的中点时，1

2(0+1

2

m?2)=1

2

m2?3

2

m?2，

∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），

Ⅲ、当点M是DP的中点时，1

2(1

2

m2?3

2

m?2+1

2

m?2)＝0，

∴m＝2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为?1

2

或1或2；

②由（1）知，抛物线的解析式为y=1

2x2?3

2

x?2，

令y＝0，则0=1

2x2?3

2

x?2，

∴x＝?1或x＝4，∴点A(?1,?0)，∴OA＝1，∵B(4,?0)，C(0,??2)，

∴OB＝4，OC＝2，

∴OA

OC

=OC

OB

，

∵∠AOC＝∠COB＝90°，

∴△AOC∽△COB，

∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，

∵△PNC与△AOC相似，

∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，

∴∠PCN＝∠ACO，

∴∠PCN＝∠OBC，

∴CP?//?OB，

∴点P的纵坐标为?2，

∴1

2

m2?3

2

m?2＝?2，

∴m＝0（舍）或m＝3，

∴P(3,??2)；

Ⅱ、当△PNC∽△AOC时，

∴∠PCN＝∠CAO，

∴∠OCB＝∠PCD，

∵PD?//?OC，

∴∠OCB＝∠CDP，

∴∠PCD＝∠PDC，

∴PC＝PD，

由①知，P(m,?1

2

m2?3

2

m?2)，D(m,?1

2

m?2)，

∵C(0,??2)，

∴PD＝2m?1

2

m2，PC=√m2+(1

2

m2?3

2

m?2+2)2=√m2+(1

2

m2?3

2

m)2，

∴2m2?1

2

m=√m2+(1

2

m2?3

2

m)2，

∴m=3

2

，

∴P(3

2

,??25

8

)，

即满足条件的点P的坐标为(3,??2)或(3

2

,??25

8

)．