学习三角函数的单调性的基本方法
求三角函数的单调性的基本方法：
函数
sin()y A x k ω?=++的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，若ω为
负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,2
2
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+∈和3
22,22
k x k k z π
πππ+
≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数)
21
3sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ω?ω=
+>>）的形式：
)
321sin()213sin(π
π--=-=x x y
⑵把标准函数转化为最简函数（
sin y A x =）的形式：
令123z x π=-
，原函数变为1sin()sin 23y x z π=--=-
⑶讨论最简函数sin y z
=-的单调性：
从函数
s i n y z =-的图像可以看出，
s i n
y z =-的单调增区间为
3
[2,2]2
2
k k π
πππ
+
+，
Z ∈K
。所以3
2222
K z K π
πππ+≤≤+，Z ∈K 即ππππ
π23
232122+≤-≤+K x K ， Z ∈K ∴ππππ3114354+≤≤+K x K ， Z ∈K
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，ππ3
11
35≤≤x
当k=1时，2223
33x ππ≤≤ 当k=-1时，ππ3137-≤≤-x
⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：
因为[2,2]x ππ∈-，所以该函数的单调增区间为
ππ312-≤≤-x 和π
π23
5
≤≤x
2、求函
数
)26
sin(2x y -=π
在区间[0，π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ω?ω=
+>>）的形式：
sin(2)sin(2)
66y x x ππ
=-=--
⑵把标准函数转化为最简函数（
sin y A x =）的形式：
令26z x π
=-
，原函数变为sin(2)sin 6y x z π
=--=-
⑶讨论最简函数sin y z
=-的单调性：
从函数
s i n
y z =-的图像可以看出，
sin y z
=-的单调增区间为
3
[2,2]22k k π
πππ++，
Z ∈K 。所以32222K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K
即3
222262
K x K ππ
πππ+≤-≤+，
Z ∈K
∴15
36
K x K ππππ+≤≤+， Z ∈K
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，1536
x ππ≤≤
当k=1时，411
33
x ππ≤≤ 当k=-1时，2136
x ππ-≤≤- ⑸在要求的区间内[0，π]确定函数的最终单调增区间：
因为[0,]x π∈，所以该函数的单调增区间为15
36
x ππ≤≤。
3、求函数)3
21sin(π+=x y 在区间[-2π，2π]的单调增区间。 解：
⑴把标准函数转化为最简函数（
sin y A x =）的形式：
令123z x π
=+
，原函数变为1sin()sin 23y x z π=+=
⑵讨论最简函数
sin y z
=-的单调性：
从函数
s i n y z
=-的图像可以看出，
s i n y z
=-的单调增区间为
222
2
K z K π
π
ππ-
≤≤+，
Z ∈K 。
即2232122ππππ
π+≤+≤-K x K ， Z ∈K
51
4433
K x K ππππ-≤≤+， Z ∈K
⑶计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，5133
x ππ-≤≤
当k=1时，713
33
x ππ≤≤ 当k=-1时，171133
x ππ-≤≤-
⑷在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间： 又因为]2,2[ππ-∈X ，所以该函数的单调增区间为
51
33
x ππ-≤≤
4、求函数
2cos(2)13
y x π
=-+在区间[-π，π]的单调增区间
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（cos(),0,0y A x A ω?ω=+>>）的形
式：
2cos(2)12cos(2)1
33y x x ππ
=-+=-+
⑵把标准函数转化为最简函数（
cos y A x K
=+）的形式：
令23z x π
=-
，原函数变为2cos(2)12cos 13y x z π
=-+=+
⑶讨论最简函数
2cos 1
y z =+的单调性：
从函数
2cos 1
y z =+的图像可以看出，
2cos 1
y z =+的单调增区间为
[2,2]k k πππ-，
Z ∈K ；
单调减区间为
[2,2]k k πππ+，
Z ∈K 。所以，单调增区
间：22K z K π
ππ
-≤≤，
Z ∈K
即2223
K x K π
πππ
-≤-≤，
Z ∈K
∴3
6
K x K π
π
π
π-
≤≤+
，
Z ∈K
①计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，1136
x ππ-≤≤ 当k=1时，2736
x ππ≤≤ 当k=-1时，4536
x ππ-≤≤- ②在要求的区间内[-π，π]确定函数的最终单调增区间： 因为[,]x ππ∈-，所以该函数的单调增区间为
5
6
x ππ
-≤≤-、1136
x ππ-≤≤和2
3
x ππ≤≤
单调减区间：22K z K πππ
≤≤+，
Z ∈K
即2223
K x K π
πππ
≤-
≤+，
Z ∈K
∴2
63
K x K π
πππ+≤≤+，
Z ∈K
①计算k=0,k=±1时的单调减区间：
当k=0时，12
63
x ππ≤≤ 当k=1时，75
63
x ππ≤≤
当k=-1时，5163
x ππ-≤≤- ②在要求的区间内[-π，π]确定函数的最终单调减区间：
因为[,]x ππ∈-，所以该函数的单调减区间为
5163x ππ-≤≤-和1263
x ππ≤≤
5、求函数x
y cos lg )2
1
(=的单调区间
解：令lgcos u x =，cos x λ=，函数cos x λ=的减区间是函数lg cos u x =的
减区间，因此是函数
1()2
u
y =的增区间；函数cos x λ=的增区间是函数lgcos u x =的增区间，因此是函数1()2
u
y =的减区间。由于cos 0x λ=>，所以函数x y cos lg )21(=的单
调减区间为[2,2)k k πππ+，单调减区间为(2,2]k k πππ-。
6、求函数
sin(2)
4
1
2
log x y π
+=的单调区间。
解：令sin(2)4
u x π
=+
，函数12
l g u
y o =的增区间是函数sin(2)4
u x π
=+
的减区间且
使sin(2)04u x π=+>；函数12
l g u
y o =的减区间是函数sin(2
)4u x π
=+的增区间且使sin(2)04u x π
=+>。所以，函数s
i n (
2)
4
12
l o g x y π
+=的单调减区间为
222()4
2
k x k k z π
π
π<+
<+
∈，即()8
8
k x k k z π
π
ππ-
<<+
∈；单调增区间为
222()2
4
k x k k z π
π
ππ+
<+
<+∈，即3
()88
k x k k z π
πππ+
<<+∈。
7、求函数
3tan()64
x
y π=-的单调区间。 解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（tan(),0,0y A x A ω?ω=
+>>）的形式：
113tan()3tan()
6446y x x ππ
=-=--
⑵把标准函数转化为最简函数（
tan y A x
=）的形式：
令146z x π=-
，原函数变为13tan()3tan 46y x z π=--=-
⑶讨论最简函数
3tan y z
=-的单调性：
从函数
3tan y z
=-的图像可以看出，
3tan y z
=-的单调区间（递减）为
(,)
2
2k k π
π
ππ-
+
，
Z ∈K 。所以2
2
K z K π
π
ππ-
<<+
，
Z ∈K
即12462
K x K π
ππ
ππ-
<-<+，
Z ∈K
∴
48
44
33
K x K
ππππ
-<<+，Z
∈
K
2020年高考数学三角函数专题解题技巧
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
高中数学：三角函数单调性题库
1 三角函数单调性题库 9.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]4 π上出现两次最大值2，则ω的范围 1218ω≤< （1）为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间[0，1]上至少出现50次最大值1，则ω的最小值是 答案：π2 197 （2）已知函数)0(tan >=w wx y 的图像与直线1y =的交点间的最小距离是3π，求w 的值 解析：函数tan y x =的图像与直线1y =的交点间的最小距离是一个周期T ，所以函数wx y tan =最小正周期3T π=，,3ππ==w T .31,0=∴>w w Θw 的值13 。 （3）ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4 ,3[ππ-上是增函数，那么（ ） A ．230≤<ω B ．20≤<ω C ．7240≤<ω D ．2≥ω 解析: 研究特殊的函数y=2sin α,它的一个单调增区间是,22ππ??-??? ?，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上是增函数，则α=,34x πωπωω??∈-???? 。因此，,34πωπω??-?????,22ππ??-???? 。所以，正确答案230≤<ω。 （4）已知函数]4 ,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间 x x f 上的最大值是2，则ω的最小值等于 2
2 （5）已知()2sin (0)f x x ωω=>在[,]34 ππ-上的最小值是2-，最大值不是2，则ω的范围 322 ω≤≤ （6）已知ω是正实数，x x f ωsin 2)(=在]4 ,3[ππ-上是增函数，那么则实数ω的取值范围是 230≤<ω。 （7）（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2π π上单调递减.则ω的取值范围是 ()22πωππω-≤?≤,3()[,][,]424422 x ππππππωωπω+∈++? 得:315,2424224 π π π π πωπωω+≥+≤?≤≤ （8）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ??????=+>= ? ? ???????，，且()f x 在区间63ππ?? ???，有最小值，无最大值，则ω＝__________．143
三角函数研究性学习
研究性学习 班级： 小组： 组长： 组员： 开题报告 三角学的起源与发展 三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具
一、课题提出的背景 运用数学知识解决现实生活中的实际问题是一项很重要的数学能力，也是新课程标准对学生能力的基本要求。九年级下册锐角三角函数内容不仅是初中数学教学的重点，而且是培养学生运用能力的理想材料，锐角三角函数解实际问题渗透了数形结合的数学思想，通过测量，工程技术等问题，转化为解直角三角形的应用题和数学活动，有助于培养学生的空间想象能力和运用数学的能力，更好地培养学生理论和实践相结合的意识。学生在学习本部分内容时，对概念的形成难以理解，更不能把实际问题抽象成数学模型，造成对实际问题的解决无所适从，学生作业练习中更出现严重错误，利用数学知识解决实际问题的能力欠缺，导致学生对数学学习没有乐趣和积极性，因此，本人把锐角三角函数解决实际问题作为课题进行研究，培养学生数学运用能力。 二、所要解决的主要问题 1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。 2、研究如何培养学生数形结合的数学思想。 3、研究如何培养学生对实际问题的分析和解决能力。 4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法，使学生对实际问题的探索充满乐趣。
三角函数的单调性、奇偶性、单调性练习
三角函数的图像性质：奇偶性、单调性、周期性 例题1:判断下列函数的奇偶性 （1）()()sin f x x x π=+ （2）21sin cos ()1sin x x f x x +-=+ 例题2:求下列函数的单调区间 （1）()sin 33f x x π?? =- ??? （2）()cos(2)3f x x π=- [](0,)x π ∈ 例题3：求下列函数的值域 （1）32cos 6y x π? ?=-+ ?? ?，[](0,)x π∈ （2）x x y sin sin += （3）sin sin y x x =+ 例题4：已知函数3cos 216y x π? ?=++ ?? ?，请写出该函数的对称轴、对称中心；用五点作图法作 出该函数的图像. 同步练习： 1、写出下列函数的周期： （1）5sin 23y x π? ?=--+ ?? ?（2）tan(2)y x π=+（3）7cos2y x =+（4）2tan 33y x π??=- ???
2、（1）求函数2sin 25y x x =+-的定义域.（2）解不等式1sin 42x π? ?-≥ ?? ?. 3、比较下列各数的大小：sin1?、sin1、sin π? 4、已知()cos 4 n f n π =，*n N ∈，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++=__________. 5、方程lg sin 3x x π? ?=+ ?? ?实数根的个数为___________. 6、如果4 x π ≤，求2()cos sin f x x x =+的最值，并求出取得最值时x 的值. 7、写出函数1 3tan 2 3y x π??=+ ???的对称中心，并用作出该函数在[]0,x π∈的图像. 8、对于函数()f x 定义域,22ππ?? - ??? 中的任意()1122,x x x x ≠，有如下结论： （1）()()f x f x π+=. （2） ()()f x f x -= （3）(0)1f =. （4） 1212 ()() 0f x f x x x ->- （5） 1212()()22x x f x f x f ++??> ??? 当()tan f x x =时，以上结论正确的序号为________________. 能力提高： 1、()2sin f x wx =(01w <<),在区间0,3π?? ???? 上最大值是2，求w . 2、若2()sin sin 1f x x a x =--+的最小值为-6，求实数a 的值. 3、设定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-.当02x ≤≤时，2()2f x x x =-. (1)当20x -≤≤时，求()f x 的表达式；(2)求(9)f 与(9)f -的值； (3)证明()f x 是奇函数． 三角函数的图象变换 例题1：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换，得到函数π2sin 216y x ? ?=--+ ?? ?的图象．
高中数学三角函数的解题技巧
209 二○一九年一月（下旬） 高 考 ·考试研究· 高中数学三角函数的解题技巧 山东省济宁市实验中学 薛丁方 摘 要：三角函数是高中数学学习中的主要内容，不仅在高中阶段的数学学习中具有重要地位，而且据了解，历年高考数学题中约15%的考察内容与三角函数有关。想要掌握三角函数的解题技巧，首先需要对三角函数概念、性质、公式具备足够的了解，奠定抓实基础，进而在三角函数的解题过程中总结规律，掌握灵活多变的解题方法，做到活学活用，以此提升三角函数的学习质量。本文在三角函数学习的过程中总结了以下几点经验，以供参考与批评。 关键词：高中数学；三角函数；解题技巧 一、掌握基本概念、性质定理，打好基础 三角函数的内容较为复杂，其中涉及到大量的公式与定理，而每一个三角函数公式的使用条件与定理的使用范围受到题目内容的限制，若是在三角函数学习中没有充分的掌握三角函数的概念、公式、性质，理解程度不够，记忆量不足，缺乏知识的灵活运用能力，就会在三角函数解题过程中盲目性解答，出现错用、错套等问题。基于此，笔者认为提升高中生三角函数解题能力，掌握解题技巧的关键在于打好基础。 1.概念与性质的学习是学生三角函数学习中的基础，只有真正吃透三角函数概念，掌握三角函数的性质，才能具有三角函数概念的灵活运用能力，在三角函数的解题过程中灵活应对,周期性与图像性质是我们在高中阶段三角函数学习中的常见性质，在解题中学生应具备三角函数性质的正确判断能力，通过对其性质的判断降低解题难度。如该题目为三角函数周期性类型，学生在该类问题解答中实现利用角度转换的方式，减少解题过程中的计算难度，利用该问题的类型得出解集，利用周期性三角函数在某一特定区间内的奇偶性和单调性，建立图像，利用其特性，迅速找出问题解决的方法。 2.需要重点学习三角函数公式，公式的学习效果以及应用能力的提升，可以让高中生的三角函数解题更加快速、准确。但是，高中阶段的三角函数公式涉及的内容角度，在强行记忆与三角函数有关的公式下，虽然记忆量增加，众多公式也进入的脑袋里，但是，在面对实际问题解答中如何灵活运用，成为了高中生三角函数学习过程中的又一难题。因为用一类型的三角函数公式具有一定的相似度，很多同学会容易记混、错用，因此，我们可以使用口诀记忆的方式，如“一全正，二正弦，三正切，四余弦”、“函数名不变，符号看象限”等，快速记忆，同时需要通过实际的联系，掌握不同公式之间的差异，区分其具体用法，通过总结与分析，掌握不同公式的应该规律。 二、三角函数解题技巧探究 1.利用转化法，灵活多变，解答问题 在充分了解三角函数概念、性质、定理的基础上，需要我们具有清晰的解题思路，掌握科学、简便的解题方法，以求在有限的时间内快速解答出正确的答案。转化法是我们在高中阶段三角函数学习中常用的一种方法，通过转化法在解题中的应用，可以将原本看似复杂的问题转化为简单易懂的形式，在求解，降低了三角函数问题的解答难度。举例说明： 例1已知sinα+cosα=m2，tgα+ctgα=n，求m 2与n 的关系． 此题看似较为复杂，但只要对tgα+ctgα进行适当转换，并找出sinα+cosα与sinαcosα的关系，就可以快 速解出答案．由于tgα+ctgα=1/sinαcosα，根据题目已知条件，可以得出sinαcosα=1/n，又由于sinαcosα=［(sinα+cosα)2－1］/2=m 2－1/2，因此，可以推导出m2与n 的关系式，即m 2=2/n+1． 2.利用托底法简化表达式 上述中的例题属于容易转化的类型，而在面对不易转化的题目类型时，可以采取托底法简化求解，还是结合一道例题进行具体说明． 例2已知tgα=3，求解sinα－3cosα2sinα+cosα的值． 在该题中，只有把求解表达式化简为包含tgα的形式，才能利用已知条件进行求解．根据求解表达式特点，可以将其分子和分母同时除以cosα，将其转化为tgα－3/2tgα+1，代入已知条件后，可以快速求解出， sinα－3cosα/2sinα+cosα=0．3.总结方法规律 首先，在练习的过程中应选择具有典型特征的题型，盲目性的练习不仅不会提升解题能力，还会增加学习负担。其次，针对性练习，每一种三角函数题型都有其自身的一套解题方法，学生可以采取逐个类型练习的方法，从中总结方法与规律，掌握该类型的解题技巧，再次面对此类型题的时候，就能够轻松应对。三角函数的解题方法分为很多种，除了上述提到的转化法、简化法外，还包括排除法、特殊值法、数形结合法等。通过平时练习中的总结经验、积累和归纳，有助于提升解题速度与准确率。 结语：结合上文可知，三角函数的知识内容繁杂，涉及到的公式较多，对于高中生而言具有一定的学习难度。想要掌握三角函数的解题技巧，要一步一步脚印，扎实基础，吃透三角函数的概念，充分了解不同类型公式的使用条件，具有公式的灵活运用能力，能够根据题目的类型及时判断解题方法，通过对条件以及表达式的转化、简化，梳理清晰的解题思路，避免错误理解题目内容、错用公式，总结规律与经验，以此提升高中生的三角函数解题能力，掌握符合自身学习特点的三角函数解题技巧。 参考文献 [1]例析三角函数求值题的解题技巧[J].彭万雷.华夏教师.2016(12) [2]分析高中数学三角函数解题常见误区及正确解题方案[J].宗位勇.数学大世界(下旬).2016(07)
三角函数的单调性和最值
三角函数的单调性和最值问题 例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2.
三角函数复习策略
20XX届三角函数第二轮复习的策略 宜昌市第一中学数学组王家福各位专家、同仁：大家好！今天我发言的题目是三角函数第二轮复习的策略。我将围绕“三角函数09年高考估计会怎样考？”、“我们如何应对？”以及“该怎样落实？”这三个问题，从考题内容、考题特点、应试策略等几个方面逐一加以分析和说明。有不当之处请各位批评指正。 一：命题走向及特点分析。 查要求有所降低，而对三角函数内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强。从考查的内容看，主要涉及到以下6类问题： (1)应用同角变换、诱导公式和两角和与差的三角函数公式化简、求值和 等式证明问题。 (2)与三角函数单调性有关的问题。 (3)与三角函数图象有关的问题。 (4)与周期和奇偶性有关的问题。 (5)与向量等内容结合的问题。 (6)三角形中的三角函数问题（解三角形及其实际应用）。 2、试题主要特点 (1)定中求稳.一是体现在分值上，三角函数部分试题的分数继续保持在占全卷总分15%左右；二是体现在试题的难度上，这几年，三角函数部分的解答题一般都放在解答题的前三道题，属于中档难度的试题，难易适当，得到了考生和高校的认可，因此，今后估计将保持现有的难易度；三是体现在试题的解题过程中，即先进行三角恒等变形，再利用三角函数的图象和性质解题，这样的题目既能全面地考查三角函数这部分的知识内容，又达到了考查学生演绎推理能力的目的。 (2)稳中求活.一是体现在题目的形式上，将会尽量出一些学生感到新颖的题目形式；二是体现在知识的综合应用上，无论何种难度档次的题，都将更加注重与其他知识的综合应用，特别是中档解答题，应引起考生的足够重视。 (3)变中求新.三角试题在稳中求变，在变中求新，主要体现在与其
三角函数的单调性测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的单调性（人教A版） 一、单选题(共13道，每道7分) 1.下列四个命题中，正确的个数是( )（1）在定义域内是增函数；（2） 在第一、第四象限是增函数；（3）与在第二象限都是减函数；（4） 在上是增函数． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性 2.的单调递增区间是( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 3.函数的一个单调递增区间为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 4.在上，使为增函数，为减函数的区间为( ) A. B. C. D. 答案：A
解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 5.在上，使为增函数，为减函数的区间为( ) A. B.或 C. D.或 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 6.的单调递增区间是( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性 7.关于函数，下列说法正确的是( ) A.在上递减 B.在上递增 C.在上递减 D.在上递减答案：C
解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 8.函数的最小正周期为，则( ) A.在上单调递减 B.在上单调递减 C.在上单调递增 D.在 上单调递增 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 9.使函数为增函数的区间是( )
A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性 10.函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性 11.已知函数，则在区间上的最大值与最小值
三角函数基本题型及解题方法
三角函数基本题型及解题方法 关于三角函数的很多问题，特别是一些创新型问题，对绝大多数的同学来说是陌生的，也主要考查学生对重要数学思想方法的掌握情况，以及考试时对自己心态的调整．但解决这些问题有一把“利剑”，就是特殊化方法．特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立，若不成立，则必然选项是错误的．特殊化方法一般有赋特殊值，特殊函数等． 一、单调性类问题 例1（１）若,A B 是锐角ABC ?的两个内角，则点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （２） 设βα,是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）． A ．tan tan 1αβ< B ．2sin sin < +βα C ．1cos cos >+βα D ． ()1tan tan 22 αβ αβ++< 分析：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三角函数的单调性等重要性质的题目，常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜．对（１），赋60A B ==?，可知选Ｂ．对（２），赋30αβ==?，可知选Ｄ． 例２若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2 (π ≠< 关于三角函数的几种解题技巧 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 222±=±+=±故知道)c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 第四章 三角函数 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈== π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一） 诱导公式： α ±? 2 k )(Z k ∈与 α 的三角函数关系是“立变平不变，符号 看象限”。如： ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。 （二） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1 cos sin 22 =+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+= ?= +②商式关系 α α α tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。 （三） 关于公式1cos sin 22 =+αα的深化 sin αtan αα () 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如： 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ± （二）倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α = 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 §1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是 汉川三中数学组 集体备课材料三角函数考纲要求与复习建议 一、三角函数考纲要求 二、知识结构图 应用 三、三角甬数的考查情况： (1)题量分值：三角函数在试卷屮基本上是1个大题加上1至2个小题，分值在15 至20分左右，但有个别时候没有独立的解答题. (2)难易程度：三角函数题在试卷屮所处的位置在每种题型屮都是靠前的，以屮低 档难度为主，估计这一形势不会有大的改变. (3)考查重点：三角函数的图象性质和三角形内的三角函数为主。考查二三角化简、 同角和与差、倍角知识，探求单调性、周期性、图象与最值为考查热点.另外与向量的有关知识与运算的联系也成了另一个趋势. (4)试题特点：三角函数试题更加注重立足于课本，注重考查基木知识、基本公式 及学生的演绎推理能力，与思维的缜密性，对三角变换的要求有所降低. （1）三角函数是一类独特的函数，与函数讲究灵活变化拓展有所不同，三角函数的复习应尽量立足于课本，讲究基本公式、基本知识与技能的扎实，图彖基本性质的应用，同时注意思维的严谨性?如角的范围讨论、函数值的正负确定等等.强调基本解题技巧，如角的变换，函数名的统一，次数的统一，通过分析己知与 未知的区别来寻找解题突破口，升降次与辅助角的使用，重视隐含条件的挖掘. （2）三角函数的备考一般以低屮档难度为主，不宜过分追求难度与技巧，对学生的思维品质耍求也不提倡过高层次，解决基本类型题H是主要训练H标，同时兼顾与其他知识，如向量、解几的综合. （3）重点复习几类热点类型： %1以基本性质、图象为主线，突出基本知识与重点内容的考查，主要涉及单调性（区间）、奇偶性、周期性，宏观把握函数图象等.主要方法是利用公式将函数化归为一种三角函数的一次式. %1化简、求值类问题的考查，主要涉及到角的变换，种类转换（化弦或化切），同角的函数值转换，分式的公因式提取与约去，特殊角的三角函数值，恒等变形以及熟练运用公式的能力. %1最值类问题，主要是单调性、有界性、等价换元的应用，也要注意与其他类型函数（特别是二次函数）的复合及导数的参与。尤其要注意取最值的条件是否具备. %1以三角函数为主线，同时涉及到与其他知识的联系，如向量、数列、不等式、解析几何、导数等的沟通，突出三角函数的应用性、工具性. 五、三角函数的命题趋势: 关于三角函数问题.难度应仍为屮低档.小题重基础，讲综合，可能会与其它章节 知识结合，命制小综合题；大题三角加向量类型的问题可能延续下去. 2012年10月 三角函数单调性的教案 【篇一：三角函数的诱导公式教案设计】 一、指导思想与理论依据 数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。 二．教材分析 三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教a版）数学必修四，第一章 第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）。本节是第一课时，教学内容为公式（二）、（三）、（四）.教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式，公式（二）、（三）、（四）。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位。 三．学情分析 本节课的授课对象是本校高一（x）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容。 四．教学目标 (1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式； (2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简； (3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。 1.知识与技能 课时过关检测（二十四） 三角函数的单调性 A 级——夯基保分练 1．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B ．在????－π2，π2上是增函数，在????－π，－π2及????π 2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D ．在????π2，π及????－π，－π2上是增函数，在??? ?－π2，π 2上是减函数 解析：选B 函数y ＝4sin x 在????－π，－π2和????π2，π上单调递减，在????－π2，π 2上单调递增．故选B. 2．(2019·广东省七校联考)函数f (x ) ＝tan ???? x 2－π6的单调递增区间是( ) A.? ???2k π－2π3，2k π＋4π 3，k ∈Z B.? ???2k π－2π3，2k π＋4π 3，k ∈Z C.? ???4k π－2π3，4k π＋4π 3，k ∈Z D.? ???4k π－2π3，4k π＋4π 3，k ∈Z 解析：选B 由－π2＋k π 三角函数学习方法 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《三角函数学习方法》的内容，具体内容：三角函数公式看起来很多，如果死记硬背的话，很容易记混，死记硬背不行以下是我要与大家分享的：，供大家参考!一一、概述三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就... 三角函数公式看起来很多，如果死记硬背的话，很容易记混，死记硬背不行以下是我要与大家分享的：，供大家参考! 一 一、概述 三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。 三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数(也叫做圆函数)是角的函数;它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。 二、相关定理 三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为正弦定理与余弦定理。 同时在解决物理中的力学问题时也很重要，主要在于力与力之间的转换，并列出平衡方程。 正弦定理 对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有： sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 其中R是三角形的外接圆半径。 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过A,B和C三点的圆的直 高中学习方法：三角函数记忆顺口溜如何 理解记忆 有很多的同学是非常想知道，三角函数记忆顺口溜是什么，如何快速记忆呢，整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！ 一、三角函数记忆口诀 奇、偶指的是π/2的倍数的奇偶，变与不变指的是三角函数的名称的变化：变是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)符号看象限的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。以cos(π/2+α)=-sinα为例，等式左边cos(π/2+α)中n=1，所以右边符号为sinα，把α看成锐角，所以π/2<(π/2+α)<π，y=cosx 在区间(π/2，π)上小于零，所以右边符号为负，所以右边为-sinα。 符号判断口诀： 全,S,T,C,正。这五个字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是+;第二象限内只有正弦是+，其余全部是-;第三象限内只有正切是+，其余全部是-;第四象限内只有余弦是+，其余全部是-。 也可以这样理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。 ASTC反Z。意即为all(全部)、sin、tan、cos按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 另一种口诀：正弦一二切一三，余弦一四紧相连，言之为正。 二、高中数学诱导公式全集 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z） cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z） 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 锐角三角函数的学习方法 请同学们做好笔记了，下面的为大家分享的是初中数学锐角三角函数的学习方法，希望大家能好好的吸收了。 上面的内容是为大家整合的数学锐角三角函数的学习方法，大家肯定是很有感悟的吧。接下来会为大家继续带来更全更精的初中数学学习方法精选，希望同学们关注了。 初中数学解题方法之常用的公式 下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。 对于常用的公式 如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。 总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。 初中数学解题方法之学会画图 数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。 学会画图 画图是一个翻译的过程。读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。 画图时应注意尽量画得准确。画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。 初中数学解题方法之审题 对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。 审题 认真、仔细地审题。审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。读题一旦结束，哪些是已知条件？求解的结论是什么？还缺少哪些条件，可否从已知条件中推出？在你的脑海里，这些信息就应该已经结成了一张网，并有了初步的思路和解题方案，然后就是根据自己的思路，演算一遍，加以验证。有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，三角函数的几种解题技巧
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