高等代数与中学数学的联系

目录

摘要 .......................................................................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................................................................. I

1 引言 (1)

2 知识方面的联系 (1)

2．1多项式理论的应用 (1)

2．2行列式的应用 (2)

2．3柯西不等式的应用 (3)

2．4二次型的应用 (4)

3 思想方面的联系 (4)

3．1符号化思想 (4)

3．2分类思想 (5)

3．3化归与转化思想 (5)

3．4结构思想 (6)

3．5公理化方法 (6)

3．6坐标方法 (6)

3．7构造性方法 (7)

4 观念方面的联系 (7)

结束语 (8)

参考文献 (8)

致谢 (10)

摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．

关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用

Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．

Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application

1 引言

高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高．运用高

等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效

的措施]1[．以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在

二者之间建立一座桥梁．教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，

让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者

的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发

学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学

数学的关联．在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关教

学工作，学生能更好地完成相关教学任务．本文将从数学知识、数学思想、数学观点三

个层面研究高等代数与中学数学的联系]2[．

2 知识方面的联系

2．1 多项式理论的应用

作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联．利

用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此

可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用．

例1 多项式17345)(234+-+-=x x x x x f ，当142==x x 时，求此多项式的值．

解 将条件等式变形为142=-x x ，由)(1x f ，所以)(42x f x x -．由多项式除法，得

173)4)(()(22+---=x x x x x x f ，

再将142=-x x 代入上式，可得

18174)(2=+-=x x x f ．

例2 已知c b a 、、 为整数，且满足

a c c

b b a ++与

c b b c c a ++均为整数，求证c b a ==． 证明 设))()(()(a

c x c b x b a x x f ---=．

于是

1)()()(23-+++++-=x a

b b

c c a x a c c b b a x x f ． 由已知条件知)(x f 是首项系数为1的整系数多项式，且b a ，c b ，a

c 均为它的三个有理整数根，又因为它们的乘积为1，所以

1===a

c c b b a ，故c b a ==． 2．2 行列式的应用

“矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一]3[，在历年高考中有着广泛的命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解． 例3 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，满足0)1(=-f ，6)1(-=f ，9)2(-=f ，4)3(-=f ，求)(x f ．

解 由已知条件，得

???????-=+?+?+?-=+?+?+?-=+?+?+?=+-+-+-4

3339

22261110)1()1()1(23232323d c b a d c b a d c b a d c b a 把上式看成关于a ，b ，c ，d 的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式

1

333122211111)1()1()1(2323

23

23

---， 由行列式与线性方程组的理论，可得1=a ，2-=b ，4-=c ，1-=d ，即

142)(23---=x x x x f ．

例4 试分解多项式xyz z y x 3333-++．

解 构造一个行列式D ，使它等于此多项式，即

xyz z y x x

z y

y x z

z y x

D 3333-++==． 而 x y z

x y z x y z D z

x y y z x ++++++=

x

z y y x z

z y x 1

11)(++= 222=()()x y z x y z xy yz zx ++++---．

所以，xyz z y x 3333-++可分解为：))((222zx yz xy z y x z y x ---++++．

此外，当系数行列式不等于零时，可以利用行列式给出线性方程组的解；已知顶点坐标或三边方程，就可以利用行列式表示三角形面积]4[；利用行列式也可求直线﹑平面的方程等等．

2．3 柯西不等式的应用

定理]5[1（柯西-施瓦茨不等式）在欧氏空间里，对于任意向量ξ，η有不等式

????≤??ηηξξηξ，　，，2，

当且仅当ξ与η线性相关时，等号成立．

在欧氏空间n R 里，取)…(21n a a a ，，　

，=ξ，)...(21n b b b ，，　，＝η时，就有 柯西不等式 对任意实数组n a a a ，，　

，…21和n b b b ，，　，...21，有 ≤+++22211)…(n n b a b a b a )...)(…(222212n 2221n b b b a a a ++++++．

当且仅当)21(，　

==i kb a i i 时，上式的等号成立． 特别的，)…21(1n i b i ，，　，　

==时，有

)…()…(2

n 2221221a a a n a a a n +++≤+++．

所以，柯西不等式作为高等代数的重要内容之一，是初等数学与高等代数的重要结合点之一，也是柯西-施瓦茨不等式在欧氏空间n R 中的具体体现，运用柯西不等式解决中学中的相关问题，有时会显得直接明了．

例5 已知P 为ABC ?内一点，a BC =，b CA =，c AB =，

点P 到ABC ?的三边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d ．求证：

ABC

S c b a d c d b d a ?++≥++2)(2321． 证明 由题意知3212cd bd ad S ABC ++=?，要证明结论成立，只需证

23213

21)())((c b a cd bd ad d c d b d a ++≥++++， 由柯西不等式得，上式显然成立，所以

ABC

S c b a d c d b d a ?++≥++2)(2321． 2．4 二次型的应用

作为高等代数的重要内容之一的二次型，在数学与物理领域都有着广泛运用，在一些相关数学问题中，巧用二次型知识解决中学数学中的一些难题，往往可以起到事半功倍的效果．

定理]6[ 设n 元二次型'()f x x Ax =，则f 在条件112=∑=n

i i X 下的大（小）值恰为矩阵A

的最大（小）特征值．

例6 设2232)(y xy x x f ++=，且满足122=+y x ，求)(x f 的最大值与最小值．

解 二次型),(y x f 的矩阵??

????=3111A ，则 243111

2+-=----=-λλλλλA I ， 解得221+=λ，222-=λ，于是由以上定理可得，)(x f 在122=+y x 下的最大值为

22+，最小值22-．

3 思想方面的联系

3．1 符号化思想

原始的符号作为记录的工具，为人类发展做出了巨大的贡献，而数学的发展是离不开符号的发展的．最初的人类从具体数量中抽象出数字，并以此制订了运算法则，在此基础上不断发展，使用字母符号表示数，延伸出多项式，使用各种符号创建出抽象的代数系统，如：向量空间、欧氏空间…相应的，随着抽象程度的提高，也大大丰富了数学的研究对象．

例7 设集合}){(R y x y x ∈=Ω，，，规定：（1））

，（000=；（2）当且仅当21x x =，21y y =时，)()(2211y x y x ，，=．在Ω上定义运算“?”：21212211)()(y y x x y x y x +=?，，，设Ω∈c b a ，，，有以下四种命题：

a b b a ?=?① ；

)()(②c b a c b a ??=??；

③若0=?b a ，则b a ，中至少有一个为0；

④若c a b a a ?=?≠，0，则c b =；

其中真命题的个数为（A ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个（08广东梅州市检）

3．2 分类思想

数学是一门严谨的、系统的学科，因此在数学中往往需要研究对象的不同属性进行分类．分类思想作为基础的思想方法，数学中几乎处处可见．如中学数学中，对数和式的分类，高等代数中，如矩阵分类，向量空间、欧氏空间按维数的分类，二次型分为正定、负定、不定三类等等，分类讨论方法作为分类思想的一个分支，在解题中有着广泛

运用．

例8 已知函数1)2()1(2--+-=x m x m y （m 是实数）．如果函数的图像和X 轴只有一个交点，求m 的值．

解 当1=m 时函数就是一个一次函数1--=x y ，它与X 轴只有一个交点)01(，-． 当01≠-m 时，函数就是一个二次函数1)2()1(2--+-=x m x m y

0)1(4)2(2=-+-=?m m ，

得0=m ．抛物线122---=x x y 的顶点)01(，-在X 轴上．

评注：本题利用简单的分类思想讨论了两种不同情况，思路清路，考虑全面，解题便捷．运用分类思想往往能将复杂的情况，梳理清楚，分类思想在解题中有着广泛应用．

3．3 化归思想

化归与转化思想作为数学的几个重要思想之一，其精髓就是化未知为已知，化难为易，化繁为简．例如，在中学数学中，无理式化为有理式，四边形问题化为三角形问题，几何问题与代数问题的互相转化等；高等数学中，超越式方程化为代数式方程，高阶行列式化为低阶行列式，二次型问题化为实对称矩阵问题，向量关系化为向量坐标之间的关系等．

例9 设对所有实数x ，不等式

2

2

22224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+ 恒成立，求a 的取值范围．

分析：这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题，但是，这个题目的表面比较复杂，我们可以通过换元法，，化为简单的参数的一元二次不等式． 解：设22log 1

a t a =+， 则

224(1)8(1)log log 32a a t a a

++==-，222(1)log 24a t a +=-． 于是，已知的不等式化为

()23220t x tx t -+->．

该不等式对所有实数t 恒成立的充要条件是

()230,4830.

t t t t ->???=+-

即

2

2log 01

a a <+， 进一步解得 01a <<．

3．4 结构思想

现代数学通过顺序结构、条件结构、循环结构将数学各分支联结成一个整体．从本质上讲，中学代数与高等代数使用的都是相同的数学结构．因此，不仅从结构层面极其相似，而且在知识层面上也有很多相似的地方．例如，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到矩阵的运算律，再到代数系统的运算律，从负数到负矩阵，再到负元素，由多项式的整除关系再到几何的偏序关系，这些内容都是反映了结构思想．

3．5 公理化方法

中学平面几何的大量命题与理论都是以在欧几里德的《几何原本》中的“23条定义”、“五大公理”、“五大公设”的的理论基础上．并在此基础上发散与推证出大量新结论，从本质上讲，这种方法是实质公理化方法．高等代数中，线性变换、向量空间、欧氏空间大量命题建立在一些假设上，并以这些假设为公理，再推导出相应的理论系统，这种方是形式公理化方法．实质公理方法到形式公理方法这一演化过程，不仅体现了其自身

的发展，也体现了初等代数到高等代数的发展．

3．6 坐标方法

坐标方法作为中学数学常用的方法之一，主要通过建立直角坐标系，标出相应的坐标，利用一些结论计算出相应的答案．在高等代数中，坐标方法在向量空间中应用极广．特别地，欧氏空间中，在规范正交基条件下向量的夹角、距离、内积、坐标计算公式都是中学数学平面几何中相应公式的拓展．

例10 如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，21===CA CB C C |，CB AC ⊥ ，E D ﹑分别是棱11﹑C B AB 的中点，F 是AC 的中点，求EF DE ﹑的长度．

解 以点C 为坐标原点，1﹑﹑CC CB CA 所在直线为X 轴、Y 轴、Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

21===CA CB C C ，

)000(，，C ∴，)002(，，A ，)020(，，B ，)200(1，，

C ，)220(1，，B ． 由中点坐标公式可得

)011(，，D ，)210(，，E ，)001(，，F

5)20()11()01(222=-+-+-=∴DE ，

6)02()01()10(222=-+-+-=EF

图１

3．7 构造性方法

中学数学中的出现的所有方程都是采用构造性方法解决的，高等代数中构造性的方

法不仅可以运用到解题上，而且还能用来证明定理．例如，正交基存在性定理的证明，

带余除法定理的证明，最大公因式存在性的证明等等．所以，构造方法使二者既有联系，又有区别．

例11 若()()()042

=----z y y x x z ，求证：x 、y 、z 成等差数列． 证明 当y x =时，可得z x =，所以x 、y 、z 成等差数列；当y x ≠时，设方程()()()02=-+-+-z y t x z t y x ，由0=?得2

1t t =，并易知1=t 是方程的根，所以=21t t 1=--y

x z y ，即z x y +=2，所以x 、y 、z 成等差数列． 评注：拿到题目感到无从下手，思路受阻，但我们细看，问题条件酷似判别式?=ac b 42-的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解．

综上所述，从知识的深度与广度看，中学数学远不如高等代数，但是，从思想方法层面看，二者相承一脉，本源相同．简而言之，高等代数源于中学数学，却高于中学数学．中学数学受自身知识深度浅，层面窄的局限，因而对数学思想的指导性不强．通过高等代数的学习不断完善这种学习上的缺陷，进而达到揭示数学知识内在联系，深刻认识数学思想方法内涵的目的．

4 观念方面的联系

中学数学与高等代数在数学研究对象、数学研究的特点等数学观念极其相似，可以这样说，高等代数的这些观念都延伸与中学数学．接下来将从研究对象、研究特点分析二者之间在观念方法的区别和联系．

研究对象方面，中学数学的研究对象主要是以一些简单的现实世界中的空间关系和数量关系为主．例如，点、线、面与常见几何图形的研究，数、代数式、方程、函数的研究．高等代数在研究对象的选择不再拘泥于直观简单的研究对象，因此研究对象得到了极大的丰富和扩展，很多传统意义上的关系不再对高等代数的研究对象适用．例如，数的一些运算法则不再适用矩阵的运算，中学的空间知识不再适用向量空间

、欧氏空间等．充分理解这些观念的转换对指导二者的教学工作有很大帮助．

数学研究的特点方面，抽象性、逻辑性和应用的广泛性作为数学研究的特点，这些特点深化在数学研究的各个领域中．下面将从三个特点分别探讨中学数学与高等代数的区别与联系．

首先，中学数学通过抽象化，把数、式抽象为字母，大大简化计算量，这是我们尝到抽象化带给我们的第一个“甜头”．显然，中学数学的这种程度抽象化是无法帮助我们理解抽象化真正的含义和作用的．由于高等代数处于一个更高的研究水平，所以它更能帮助我们更加直观的理解抽象化的本质．例如，通过向量的加法与数乘的共性，将平面向量抽象为空间向量，通过将内积的共性与实数域上的向量空间结合，就抽象出了欧氏空间．可以看出，抽象化推动着数学的发展，不断提高抽象化，更易使我们接触到问题的本质．

其次，在中学数学中，中学生理解能力较差，因此很少给出严格的定义．所以容易造成知其然，不知其所以然的格局．特别在推导几何问题方面，还需依靠直观图形．显然在数学上，这是不够严谨的．高等代数中就不会出现这种情况，所有的证明都是需要严格定义的，通过定义严密推理，得到相关结论，最终形成理论系统．

最后，中学数学主要应用于教育，能解决少数的一些简单问题，比如，面积、体积、行程计算，无法适用于更加复杂的问题．相对的，高等代数除去教育功能，在应用的广度和难度上更胜于中学数学．随着更深入的学习，就会发现高等代数应用范围会逐渐增大．

结束语

在我国高等师范学院所开设的专业课程，应是中学内容的沿袭发展、螺旋上升，而高等代数却略有不同