9.2.1空间中的平行直线
甘孜藏族自治州职业技术学校电子教案
专业名称：学前教育
课程名称：数学
任课教师：何小波
授课班级：2018级旅游班
授课时间：2019-2020学年第2学期
甘孜藏族自治州职业技术学校教务处制
甘孜藏族自治州职业技术学校教学设计
课程名称：《数学》授课次序： 1
任课老师：何小波教研组长签字：
课题
名称
9.2.1空间中的平行直线
授课
类型
理论课教学时数1学时（40分钟）
授课时间第周
星期
第节
第周
星期
第节
第周
星期
第节
第周
星期
第节
备注
授课
班级
2018级旅游班
教学目标1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义．
2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质．
3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力．
教学内容与教
材9.2.1空间中的平行直线平行线的基本性质
空间四边形
空间中图形平移的性质
教学
设备
多媒体、课件
教学
重点
平行线的基本性质．
教学
难点
空间中图形平移的性质．
方法手段
这节课主要采用实物演示法．教师通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想．
教学过程
教学
环节
教学内容教师活动学生活动设计意图
一、导入新课（5分钟）
1．平行线的定义．
2．平面几何中的平行公理．
3．平行线的传递性．
4．空间中的直线是否也具有类
似的平行公理、平行线的传递性
呢？
师：在平面
几何中，平行线
的定义是什
么？
师：这个定
义在立体几何
中不变．但需特
别注意“在同一
平面内”．过直
线外一点有几
条直线和这条
直线平行？
师：在同一
平面内，如果两
条直线都和第
三条直线平行，
那么这两条直
线是否互相平
行？
师：这是平
面中平行直线
的传递性．
提出新问题，引
出空间中的平
行直线．
生：在
同一平面
内不相交
的两条直
线叫做平
行线．
生：过
直线外一
点有且只
有一条直
线和这条
直线平行．
生：是．
复习旧
知，引出
新知，由
平面推广
到空间，
激发学习
新知识的
兴趣．
二、新知学习（30分钟）学习新知：
1．平行线的基本性质
平行公理：过直线外一点有且
只有一条直线和这条直线平行．
空间平行线的传递性：平行于
同一条直线的两条直线互相平行．
即如果直线a // b，c // b，
则a // c．
如下图所示．
师：这条性质同样也可推
广到空间，作为空间中平行直
线的基本性质．
教师出示长方体模型，或
以教室中的实物为例，让学生
理解
空间平行线的传递性．
学生
刚开始学
习立体几
何，空间
想象能力
较差，教
师尽可能
利用模型
2.空间四边形的定义
如图所示，顺次连接不共面的四点 A ，B ，C ，D 所构成的图形，叫做空间四边形：
每个点叫做空间四边形的顶点；
相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；
连接不相邻的顶点的线段叫做这个空间四边形的对角线．
空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，图中的四边形可以表示为空间四边形 ABCD ，线段 AC ，BD 是它的对角线．
例 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边 AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
证明 连接 BD ，在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以
EH // BD ，EH ＝12
BD ． 同理FG // BD ，且FG ＝1
2BD ．
所以EH // FG ，EH ＝FG ．因此
教师通过折纸，讲解空间四边形的各个概念，然后教学生如何画图表示空间四边形．
平行四边形都有哪些判定的方法呢？
学生思考后，说出平行四边形的几种判定方法，教师引导学生根据已知条件总结出证明四边形 EFGH 是平行四边形用“一组对边平行且相等”．
教师小结：将立体问题转化到平面ABD ，平面BCD 中，再利用平面几何的知识解决．
教师把三角板紧贴在黑或实物讲解新的概念，然后由实物到图示，使学生对平行线的认识由平面扩展到空间．
通过折纸使学生对图形的认识从平面逐步上升到空间．
刚开始学习立体几何时，很多学生看不懂立体图形．教师边画图边提问，帮助学生看明白图示，有助于培养学生的空间想象能力，同时潜移默化地引导学生将立体问题转化为平面问题．
动手演
A
B C D
G H F E a
b c A
C B
D A C
B D
四边形 EFGH 是平行四边形．
2．空间中图形的平移
如果空间图形 F 中的所有点都沿同一方向移动相同的距离到 F ' 的位置，则就说图形 F 在空间中作了一次平移(如图)．
空间图形平移的性质：图形平移后与原图形相等．对应两点的距离和对应角保持不变．
如下图，将 △ADE 平移到 △A ' D ' E ' 的位置，对应边是否相等？对应角是否相等？
拓展：如果一个角（∠A ）的两边与另一个角（∠A ' ）的两边方向相同，则∠A ＝∠A ' ．
练习
1．判断题：
(1)如果∠ABC ＝∠A 'B 'C '，且AB//A 'B '，则 AC//A 'C '；
(2)如果∠ABC 与∠A 'B 'C ' 的两条边分别平行，则∠ABC ＝∠A 'B 'C '．
2．作线段AB ，然后把AB 沿与射线AB 成60?角的方向平移3 cm 到A 'B '，证明AB ＝A 'B '．
3．试一试：
把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示，说明为什么这些折痕是互相平行的．
板上，画出其初始位置，再沿一个方向移动．
学生分组讨论，教师通过课件动画演示，然后归纳总结．
师：如图，已知∠A 的两边与∠A ' 的两边方向分别相同，是否有∠A ＝∠A ' ?
学生讨论，回答． 教师点评．
示，利于学生理解．
帮助学生理解空间图形平移的性质．如，再把三角板在空中平移并讲解．
本问题是难点，有些学生受平面几何知识影响，会很容易想到平面图形，不能很快接受立体几何知识并用来解决这类问题，需要教师引导分析．
学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．
三、知识小结（10分钟）
师生共同回顾． 学生总结梳理总结
F
F '
A D E
B
C A '
D '
E '
B '
C ' A B C A '
B '
C '
小结（45分钟）1．平行线的基本性质，平行线的传
递性．
2．空间四边形的概念．
3．空间中图形的平移．
作业：
教材P116练习A组第2题；
教材P117练习B组第2题．
进行总结．本节课的
知识点．
也可针对
学生薄弱
或易错处
进行强调
和总结．
四、教学反思
空间点到直线的距离公式
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
空间直线异面直线间距离的一个简明公式
异面直线间距离的一个简明公式 本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用. 定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离 d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ y x y x l +++ 证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG . 则∠DEF =θ，且（DG ）min =d . 设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ. 在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x . ∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x . 图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则 MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ- 在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-= 所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ ?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得 )4/()4()(2min 2a b ac GD -=
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
高考数学复习《空间中的平行关系》
空间中的平行关系 【考点导读】 1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1．若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 异面或相交 。 2．给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假． 命题的个数是 4 个。 3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。 4. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a ∥c ，b ∥c ?a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ?a ∥b ；③α∥c ，β∥c ?α∥β； ④α∥r ，β∥r ?α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ?a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ?a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。 【范例导析】 例1．如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形． 求证：AB ∥平面EFG ． 证明 ：∵面EFGH 是截面． ∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上． ∴EH 面ABC ，GF 面ABD ， 由已知，EH ∥GF ．∴EH ∥面ABD ． 又 ∵EH 面BAC ，面ABC ∩面ABD=AB ∴EH ∥AB ． ∴AB ∥面EFG ． 例2． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM=DN. 求证:MN ∥平面AA 1B 1B. 分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。 简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
七年级数学：空间里的平行关系(教学实录)
( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 七年级数学：空间里的平行关系 (教学实录) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.
七年级数学：空间里的平行关系(教学实 录) 教学建议 一、知识结构 在平行线知识的基础上，教科书以学生对长方体的直观认识为基础，通过观察长方体的某些棱与面、面与面的不相交，进而把它们想象成空间里的直线与平面、平面与平面的不相交，来建立空间里平行的概念．培养学生的空间观念． 二、重点、难点分析 能认识空间里直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系既是本节教学重点也是难点．本节知识是线线平行的相关知识的延续，对培养学生的空间观念，进一步研究空间中的点、线、面、
体的关系具有重要的意义． 1．我们知道在同一平面内的两条直线的位置关系有两种：相交或平行，由于垂直和平行这两种关系与人类的生产、生活密切相关，所以这两种空间位置关系历来受到人们的关注，前面我们学过在平面内直线与直线垂直的情况，以及在空间里直线与平面，平面与平面的垂直关系． 2．例如：在图中长方体的棱AA'与面ABCD垂直,面A'ABB'与面ABCD互相垂直并且当时我们还从观察中得出下面两个结论: (1)一条棱垂直于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直． (2)一个面经过另一个面的一条垂直的棱,这两个面就互相垂直． 正如上述，在空间里有垂直情况一样，在空间里也有平行的情况，首先看棱AB与面A'B'C'D'的位置关系,把棱AB向两方延长,面A'B'C'D'向各个方向延伸,它们总也不会相交,像这样的棱和面就是互相平行的,同样,棱AB与面DD'C'C是互相平行的,棱AA'与面
空间点到直线距离的多种解法
空间点到直线距离的多种解法 摘 要 在空间解析几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，涵盖了空间解析几何中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点.本文将对一具体例题，介绍点到直线距离的多种解法. 关键词 点、直线、距离、向量、平面、解法 例：求点A （2，4，1）到直线L ：3 2 221--= =+z y x 的距离 1运用向量积的计算及向量积的几何意义 已知直线方程111 x x y y z z X Y Z ---== ，直线外一点A ()000,,x y z ，直线上 一点M ()111, ,x y z ，以和M 构成平行四边形，这里为直线的方向向量.显 然直线外一点A 到直线的距离d 就是这平行四边形的对应于以为底的高.即 = 2 2 2 1 01 01 01 01 01 0Z Y X Y X y y x x X Z x x z z Z Y z z y y ++--+ --+ -- 解：如图（1），过点A 作直线L 的垂线，垂足为B. 设M （-1，0，2）为L 上任一点， v ={2，2，-3} 为L 的方向向量. 以v 和A M 为两边构成平行四边形 ， 显然点A 到直线L 的距离AB 就是 为底的高 即AB = () 2 2 2 2 2 2 3222 2432 3313 21 4 -++ + --+ --=3
2 运用平面方程、参数方程及线面交点的方法 由点法式得到过线外一点A 且与直线垂直的平面方程.将直线方程 111x x y y z z X Y Z ---== 转化成参数方程 1 11x Xt x y Yt y z Zt z =+?? =+??=+? 由此设出垂足B 坐标，又因为垂足B 在平面方程上，即可得出B 点坐标.再由两点间距离公式得出点到直线的距离. 解： 先求过点A 与直线L 垂直的平面方程.用点法式，得 2（x-2）+2(y-4)-3(z-1)=0 即2x+2y-3z-9=0 将直线L 方程用参数方程表示为?? ? ??+-==-=2321 2t z t y t x 由此设垂足B 的坐标为（2t-1，2t,-3t+2） 因B 在垂面上得4t-2+4t+9t-6-9=0 即t=1 所以点B 坐标为（1，2，-1） 所以AB =222)11()24()12(++-+-=3 3 运用两点间距离公式及参数方程的方法 将直线方程 111 x x y y z z X Y Z ---== 转化成参数方程，可设出直线上任一点M '坐标.由两点间距离公式得出M 'A 的表达式，用取M 'A 最小值的方法即得出点到直线的距离. 解： 由直线L 的参数方程?? ? ??+-==-=2321 2t z t y t x 可设L 上任一点 M '的坐标为（2t-1,2t,-3t+2） 由两点距离公式得M 'A =222)13()42()32(+-+-+-t t t =2634172+-t t =()91172 +-t
高中数学立体几何空间距离问题
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
空间中的平行关系练习题
1.2.2空间中的平行关系 【目标要求】 1.理解并掌握公理4，能应用其证明简单的几何问题. 2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，明确线线平行与面面平行的关系. 3.能够熟练的应用线面平行的性质定理和判定定理. 1.以下说法中正确的个数是（其中a，b表示直线，表示平面α） ( ) ①若a∥b，b∥α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b ③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b∥α，则a∥b A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.a∥α，b∥β，a∥b，则α与β的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 3.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是d，则直线AB和平面α的位置关系一定是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB?α 4.当α∥β时，必须满足的条件（） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线 C.平面α内有两条直线平行于平面β D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且 不相交.；其中可能成立的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 7.已知直线a∥平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是 （） A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面 8. A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能 9.设α，β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（） A.l?α，m?α，且l∥β，m∥β B.l?α，m?β，且l∥m C.l⊥α，m⊥β，且l∥m D.l∥α，m∥β，且l∥m 10.已知直线a、b，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是（） ①a?α，b?β，a∥b；②a?α，b?α，a∥β，b∥β；③a∥b，a⊥α，b⊥β. A.① B.② C.③ D.均不能 11.若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么直线a，b的位置关系是（） A.垂直 B.平行 C.相交 D.不相交 12.梯形ABCD中AB∥CD，AB?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是（） A.平行 B.平行或相交 C.相交 D. CD平行平面α或CD?α 13.正方体AC1中，E、F、G分别为B1C1、A1D1、A1B1的中点 求证：平面EBD//平面FGA.
高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 【 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . ； 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 、 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： } （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 例1题图 例2题图
点到直线的距离公式的推导过程及其应用
点到直线的距离公式的推导过程 一、公式的导出 设点0:),(000=++C By Ax l y x P 为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？ 解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线l P y x D l l P 0/0),,( .0D P d d =，则距离为 2 02022000220002 200222002000000/)()() ()(;00, 0), (; ,0/y y x x d B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x B A BC ABx y A y B A AC ABy x B x Bx Ay Ay Bx C By Ax Bx Ay Ay Bx x x A B y y A B k l l B A k C By Ax l l -+-= ∴+++-=-+++-=-∴+--=+--=???=-+-=++=-+--=-=⊥- =?=++， ，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由
. )()()(22002 22 002 220022200B A C By Ax B A C By Ax B A C By Ax B B A C By Ax A +++=+++= ?? ? ???+++-+??????+++-= 即，直线外一已知点0P 到已知直线l 的距离公式为： .2 2 00B A C By Ax d +++= 二、公式的应用 （一）求点到直线的距离： 例1、）到下列直线的距离：，（求点21-P ⑴ 0543=+-y x ； ⑵ 53=x ； ⑶ .1-=y 分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式． 解 ⑴式，得根据点到直线的距离公 ： .5 6 )4(35 24)1(32 2=-++?--?= d ⑵，得：将直线方程化为一般式 .053=-x 式，得根据点到直线的距离公： .3 8 035 20)1(32 2=+-?+-?= d ⑶，得：将直线方程化为一般式 .01=+y 式，得根据点到直线的距离公： .31 01 21)1(02 2 =++?+-?= d 评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．
点到直线的距离教学案例
《点到直线的距离》教学设计方案 尹战平 一、教材分析 1、地位与作用：本节是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，它是在研究了两条直线的位置关系的判定方法之基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质，提高学生的数学核心素养。 2、重点、难点及关键：本节学习的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，熟练地应用公式求点到直线的距离；难点是点到直线的距离公式的推导及对知识、思想方法的反思升华。本节学习的关键是“怎样想到利用坐标系中的x轴或y轴构造RtΔ，从而推出公式”。对于这个问题，教材中的处理方法是：直接作辅助线（见教材）。这样做，无法展现为什么会想到要构造RtΔ这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。因此，我没有像教材中的那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的RtΔ，从而解出|PQ|。在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含PQ的RtΔ，找不到，自然想构造，此时再过P点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破关键，导出公式。 二、教学对象分析 通过前面几节课的学习，学生已较好地掌握了直线的方程的几种求法和两条直线的平行、垂直等各种关系的实际运用，对一些综合性较强的问题也有了初步的掌握，能独立解决一些关于直线的基础题目。但由于部分的学生基础比较差，学习主动性不强，所以在发挥学习主体地位、独立思考和自我对学习过程的反思、提炼、升华方面还有待提高。 三、设计理念 1、采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，一方面从形上验证计算结果，另一方面加深学生的直觉思维，有利于学生对知识的理解和记忆，也培养了学生的学习兴趣。 2、遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体，教师为主导的”启发式教学。在整个教学过程中，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，学生是学习的主体，教学过程是师生交流、共同发展的互动过程。 3、教是为了不教，让学生学会思考的方法，是数学课堂教学的重要任务之一。本节课力求营造民主的教学氛围，给学生以思考空间，使学生学会对过程反思、提炼、升华。 4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）。在教学中随时注意学生的全面反馈，评价学生学习进度，由此及时调整教学速度和教学内容的安排。
空间中的平行关系练习题(优.选)
1 / 2word. 空间中的平行关系 直线与平面平行的判定定理： 平面与平面平行的判定定理： 直线与平面平行的性质定理： 平面与平面平行的性质定理： 1.以下说法中正确的个数是（其中a ，b 表示直线， 表示平面α） ( ) ①若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ②若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b ③若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ④若a ∥α ，b ∥α，则a 与b 相交 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.a ∥α ，b ∥β ，a ∥b ，则α 与β 的位置关系是 （ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 3.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是d ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB ?α 4.当α∥β时，必须满足的条件 （ ） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线 C.平面α内有两条直线平行于平面β D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.直线a ∥平面α，点A ∈α，则过点A 且平行于直线a 的直线 （ ） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 6. A 、B 是直线l 外的两点，过A 、B 且和l 平行的平面的个数是 （ ） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能 7.设α，β是不重合的两个平面，l 和m 是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（ ） A.l ?α，m ?α，且l ∥β，m ∥β B.l ?α，m ?β，且l ∥m C. l ?α，l ∥m ，且m ∥β D.l ∥α，m ∥β，且l ∥m 8. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1 9.正方体AC 1中，E 、F 、G 分别为B 1C 1、A 1D 1、A 1B 1的中点 求证：平面EBD//平面FGA . 10、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥ BD . H G F E D B A C
高三数学教案 空间的平行直线与异面直线1
课 题：9．2空间的平行直线与异面直线(一) 教学目的： 1.会判断两条直线的位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题. 4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立 5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面； 6.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角 教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节共有两个知识点，平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念 要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础 教学过程： 一、复习引入： 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ （答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的） 你还能举出生活中的相关应用的例子吗？ 二、讲解新课： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．． 一个平面内，没有公共点； 2 平行直线 （1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ．
空间两异面直线距离的 若干求法
存档编号 赣南师范学院科技学院学士学位论文 空间两异面直线距离的 若干求法 系别数学与信息科学系 届别 2014届 专业数学与应用数学 学号 1020151224 姓名刘禹伟 指导老师陈海莲 完成日期
目录 内容摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 1、引言 (2) 2、空间两异面直线的相关概念 (2) 2.1、空间两异面直线的概念 (2) 2.2、空间两异面直线间距离的概念 (2) 3、求异面直线距离的常用方法 (3) 3.1、直接法 (3) 3.2、线面距离法 (4) 3.3、面面距离法 (4) 3.4、等体积法 (5) 4、求解异面直线间距离的其他方法 (6) 4.1、运用极值法 (6) 4.2、公式法 (7) 4.3、射影面积法 (9) 5、分析比较求解方法 (10) 6、结语 (11) 致谢 (12) 参考文献 (13)
内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。 关键字：异面直线间距离直接法转化法体积法解析几何 Abstract：The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face. Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry
新必修二 8.5空间直线、平面的平行(教案+练习)
8.5空间直线、平面的平行 【学习目标】 1.掌握直线与平面平行的判定定理； 2.掌握两平面平行的判定定理； 3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题． 【要点梳理】 要点一、直线与直线平行 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：//a b ，////b c a c ?. 基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 要点二、直线和平面平行的判定 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行. 图形语言： 符号语言：a α?、b α?，//a b //a α?. 要点诠释： （1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α?； ②直线b 在平面α内，即b α?； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． （2）定理的作用 将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可． 要点三、直线和平面平行的性质定理 定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行. 符号语言：若//a α，a β?，b αβ=I ，则//a b . 图形语言： 要点诠释： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α， αβ?，，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行
空间中的平行关系习题测验
空间中的平行关系练习题 知识点小结 平面的基本性质与推论 一．平面的基本性质：1.连接两点的线中，________最短。 2.过两点有且仅有________条直线。 二.基本性质： 1.基本性质1：如果一条直线上的_____点在一个平面内，那么这条直线上的________都在这个平面内。 作用：判断直线是否在平面内 2.基本性质2：经过________________三点，有且只有________个平面。 作用：确定一个平面的依据。 3.基本性质3：如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 作用：判定两个平面是否相交的依据 三．平面基本性质的推论 推论1 ___________________________，有且只有一个平面。 推论2 ___________________________，有且只有一个平面。 推论3 ___________________________，有且只有一个平面。 四．异面直线 1.____________________的直线叫做异面直线。 2.空间的两条直线关系：_________、__________、__________。 空间中的平行关系 一.平行直线 1.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。 2.基本性质4 （空间直线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相 _______。 3.等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ________，并且方向 ________，那么这两个角相等。 4.空间四边形顺次连接不共面的四点A,B,C,D所构成的图形，叫做空间四边形，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的 ____________。 二.直线与平面平行 1.直线与平面有三种位置关系： _______________________ ——有无数个公共点 _______________________ ——有且只有一个公共点 _______________________ ——没有公共点 注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 2.直线与平面平行的判定定理：如果 _________________________________，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 3.直线与平面平行的性质定理如果一个直线和一个平面____________，经过这条直线的平面和这个平面_________，那么这条直线就和两个平面的交线平行。 三.平面与平面平行 1.两个平面平行的判定定理：如果 ___________________________________，那么这两个平面平行。 两个平面平行的推论：如果 _________________________________________，那么这两个平面平行。 3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么 _________________平行。 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
空间直线(一)平行直线
空间直线(一)---平行直线 教学目标： 1．了解空间两直线的三种位置关系----平行、相交、异面 2．掌握公理4，并能熟练应用其判别空间的两直线平行 3．理解并掌握等角定理及推论，并能运用它们 教学重点： 两直线的位置关系及公理4，等角定理 教学难点： 同上 教学方法： 探究法 教 具： 模具 教学过程 一、复习引入： 1．平面的特征？ 2．平面的基本性质及其作用？ 3．今天来研究两直线的位置关系，回忆初中学习过的两直线的位置关系有哪些？ 二、新授： 1．空间两直线的位置关系： ①相交：两直线有且仅有一个公共点，则该两直线是相交直线 ②平行：在同一平面内，若两直线没有公共点，则该两直线为平行直线 ③异面：不同在任何一个平面的两直线称为异面直线 2．空间两直线位置关系的分类： ①据是否共面分：????????相交直线共面:平行直线异面:异面直线 ②据是否有公共点来分：???????? 有一个公共点:相交直线平行直线无公共点:异面直线 ex:如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AB 与BC 是_____直线，直线AB 与A 1B 1是___直线，直线AB 与CC 1是____直线 3．平行直线： 公理4：同平行于同一条直线的两直线是平行的 符号表示：,a b a c a b c b c ????即 注：1.公理4又称为平行公理. 2．公理4是证明平行的重要工具. 4．等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 证：略. 注：证明的过程采用类比的方法 .
5．推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 注：对于平面图形得出的结论，有些可以推广到立体图形中，例如上面的定理和推论，但是并非关于平面图形成立的结论，对于立体图形仍然适用，所以必须证明。 三、例题选讲： 例1．已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，证明四边形EFGH 是平行四边形. 证明：连结BD 、AC ， ∵E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴EF ∥AC,GH ∥AC,EH ∥BD,FG ∥BD 由于公理4，∴EF ∥GH ，EH ∥FG ∴四边形EFGH 是平行四边形. 申1：已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的 中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且满足23 CF CG CB CD ==，求证：四边形EFGH 有一组对边平行但不相等. 证：略. 申2：上题中若改为，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且满足12 AE AH EB HD ==，2CF CG FB GD ==，①求证：EFGH 是梯形.②若BD=a ，求梯形EFGH 的中位线的长. 申3：若把上题中改为，已知空间四边形ABCD ，AB=BC ，CD=DA ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试研究四边形MNPQ 是什么样的特殊四边形 申4：若上题中AC=BD 呢？ 申5：若AC=BD ，且AC ⊥BD 呢？ 例2．求证：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行. 例3．如图所示，两个三角形ABC 和DEF 的对应顶点的连线AD 、BE 、CF 交于点O ， O 在平面ABC 和平面DEF 之间，且23 AO BO CO OD OD OF ===， (1)求证：AB ∥DE ，BC ∥EF ，CA ∥FD (2)求ABC DEF S S ??的值 四、练习：课本P 11 五、小结：本节主要学习了两直线的位置关系，与平行公理 注意平行公理的应用与等角定理及其推论的应用. 六、板书设计： D