高二数学圆锥曲线试题及答案解析

椭圆

1. 椭圆

14

1622=+y x 上有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为41-,则2

2OQ OP + 为（ ） A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定 答案: C 解析: 设直线方程为 kx y =,解出2

OP ,写出2

OQ

2. 过椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )

A. a b 22

B. b a 22

C. a c 22

D. b

c 2

2

答案: A

3. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为

60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为（ ）

A ． 32 B. 2

2

C. 21

D. 32

答案: D

4. 过原点的直线l 与曲线C:13

22

=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A

656

παπ

≤

≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 4

34π

απ≤≤

答案: D 解析: 用弦长公式

5. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且 901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) A

21

3- B 21

5- C 2

1

5- D 23

答案: B

6. 椭圆)10(,2222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为 (0,)a -成立

的充要条件为( )

A 10<

122<

2

0<

7. 若椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 和圆c c b y x (,)2(2

22+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心

率e 的取值范围是 ( )

A )53,55(

B )55,52(

C )53,52(

D )5

5

,0(

答案: A 解析: 解齐次不等式:a c b

b <+<2

,变形两边平方.

8. 已知c 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( )

A (1, +∞)

B ),2(∞+

C )2,1(

D ]2,1(

答案: D

解析: 焦三角形AFO,如图:

θθθ,cos sin +=+a

c

b 为锐角.转化为三角函数问题. 9. P 是椭圆上一定点,21,F F 是椭圆的两个焦点,若βα=∠=∠1221,F PF F PF ,则β

αβαsin sin )

sin(++=e

解析: 正弦定理、合比定理、更比定理.

10.(2000全国高考) 椭圆14

92

2=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 53

53<

<-x 解析: 焦半径公式. 11. 圆心在y 轴的正半轴上,过椭圆14

52

2=+y x 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 25)62(22=-+y x 12. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为

13- 解析: 同填空(1)

13. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成

30角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为 2

1

解析: 求b a , R c R b R a R a 3

3

,,332,230cos 2===

∴= 14. 如果y x ,满足,369422=+y x 则1232--y x 的最大值为 2612+ 解析: 三角代换. 16. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率2

3

=

e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这

个椭圆方程.

解:设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23=a c 得b a 2=

)(,34)2

1(3)23(2

2222b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=

若21

AM 最大,即7)33(2=--b , 21237>-=∴b ,故矛盾.

若21≥b 时,21-=y 时7342=+b , 12

=b 所求方程为

14

22=+y x

17.已知曲线044422

2=++++y x y x 按向量)1,2(=a 平移后得到曲线C.

① 求曲线C 的方程;

②过点D(0, 2)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间,设MN DM λ=,求实数λ的取值范围.

解:① 由已知设点P(),00y x 满足

1)1(2

)2(202

0=+++y x ,点P 的对应点Q(),y x 则⎩⎨⎧=-=-1

200y y x x 1122

2=+∴y x . ② 当直线的斜率不存在时,)1,0(),1,0(-N M ,此时2

1

=

λ; 当直线的斜率存在时,设ｌ:2+=kx y 代入椭圆方程

得:068)12(22=+++kx x k 0)12(246422>+-=∆k k 得2

32

>

k 设),(),,(2211y x N y x M ,则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=

⋅+-=+1261

28221221k x x k k x x , MN DM λ=

)(121x x x -=∴λ又,12121x x x x x -=∴≠λ 则λλ+=121x x . λ

λ

λλ++

+=+∴111221x x x x . 又2)

12(332

2)

12(332222

212

2211221-+=-+=+=+∴

k k k x x x x x x x x

由232

>k ,得316)12(33242<+

,即31021221<+<∴x x x x 即310112<+++<∴λλλλ,又210>∴>λλ 综上:),2

1

[∞+∈λ

双曲线

1. 已知21,F F 是双曲线12

22

=-y x 的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则PQ QF PF -+11的值为 ( )

A. 24

B. 8

C. 22

D. 随α的大小变化

答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解

2. 过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条

答案: D 解析: ⊥l x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.

3. 直线531

+-=x y 与曲线

125

92=+y x x 的交点个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个.

答案: D

解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点.

4. P 为双曲线12222=-b

y a x 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆2

22a y x =+的位置关系为

( )

A. 内切

B. 外切

C. 内切或外切

D. 无公共点或相交.

答案: C 解析: 用两圆内切或外切的条件判断

5. 已知是双曲线13

2

2=-y m x 的离心率2=e ,则该双曲线两条准线间的距离为( ) A. 2 B.

23 C. 1 D. 2

1

答案: C 解析:23,

0=+>m

m m

6. 设)4

,

0(π

θ∈,则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围是 ( )

A. )21,

0( B. )22,21

( C. ),2(∞+ D. )2,2

2

(

答案: C 解析: θθ

θθ2cot 1tan cot tan +=+=

e

7. 设21,F F 是双曲线14

22

=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F , 则21F PF ∆的面积为 ( )

A. 1

B.

2

5

C. 2

D. 5

答案: A 解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组.

8. 设21,F F 是双曲线14

22

=-y x 的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ∆的面积为1时, 21PF PF ⋅的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2

1

D. 2 答案: A

解析: 不妨设,p x ,0>p y 由

5

11221=∴=⋅⋅p p y y c , )55,5302(P )55,53025(1--

-=∴PF , )5

5,53025(2--=PF ,021=⋅∴PF 9.设圆过双曲线116

922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为 316

10. 双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为59=x ,则双曲线方程为

116

92

2=-y x 解析: 可设双曲线方程为:

11692

2=-λ

λy x ()0>λ 11. 设双曲线)0(,122

22b a b y a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过点)0,(a ,),0(b 两点.已知原点到直线l 的距离为

c 4

3

,则双曲线的离心率为 2 解析: 由2>∴

一条渐进线平行,则双曲线的方程为 255162

2

=-y x

解析:设双曲线方程为: ,122

22±=-b

y a x 4=a b ,再用待定系数法.

13. 直线1:+=kx y m 和双曲线12

2=-y x 的左支交于不同两点,则k 的取值范围是 21<

式和韦达定理

14. 21,F F 是双曲线

11692

2=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足3221=⋅PF PF , 则=∠21PF F 90 解析: 列方程组解.

15. 以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆,与相应准线l 有两个不同的交点,求证: ①这圆锥曲线一定是双曲线;

②对于同一双曲线,l 截得圆弧的度数为定值. 解:①如图:ST QH ⊥, QH AB 2> ，e

AB

e BF e AF BB AA QH =+=+=112 1>∴e 所以圆锥曲线为双曲线. ②e

AB BB AA QF QH QS QH SQH 1

22cos 11=+===∠为定值所以弧ST 的度数为定值.

16. M 为双曲线)0(,122

22>>=-b a b

y a x 上异于顶点的任一点,双曲线

的焦点为)0,(),0,(21c F c F -,设βα=∠=∠1221,F MF F MF ,求

2

cot

2

tan

β

α

⋅的值.

解:

αββααβsin sin )sin(2sin sin 2121--=

+==r r c

r r 2

sin

2sin

sin sin )sin(αββ

αα

ββα-+=-+=∴a c

2

sin

2

cos

)(2

cos

2

sin

)(β

α

β

α

a c a c -=+∴, a

c a

c +-=

⋅∴2

cot

2

tan

β

α

17.(2000全国高考)已知梯形ABCD 中,CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点,当

4

3

32≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围. 解:如图建系:设双曲线方程为: 122

22=-b

y a x

则B(c,0), C(

),2

h c

,A(-c,0) )1,)1(22(

λ

λλλ++-∴h

c E ,代入双曲线方程得:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+-⋅+-⋅=-⋅2

222222

2222222)1()1(4)2(4b a b a c b b a h a c b λλλλ, ]43,32[,1122

∈-+=∴λλλe

107≤≤∴e

抛物线

1. 过点(0, 2)与抛物线x y 82

=只有一个公共点的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条. 答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点.

2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为y x 22

= )200(≤≤y ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯

的底部,则玻璃球的半径r 的范围为 ( )

A. 10≤

B. 10<≤r

C. 10≤

D. 20<

次函数问题.

3. 抛物线)0(22

>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是

( )

(A)

2a (B) 2p (C) 2p a + (D) 2

p a - 答案: D 解析: 可证弦AB 通过焦点F 时,所求距离最短.

4. 直线l 过抛物线)0()1(2

>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( )

A. 4

B. 2

C. 41

D. 2

1

答案: A 解析: 所截线段长恰为通径4=a 5. (2000全国高考)过抛物线)0(2

>=a ax

y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、

q,则

q

p 1

1+等于( ) A. a 2 B.

a 21 C. a 4 D. a

4 答案: C 解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴,

6. 设抛物线)0(22

>=p px y 的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、Q 两点(直线PQ 与抛

物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( )

A. QEF FEP ∠>∠

B. QEF FEP ∠<∠

C. QEF FEP ∠=∠

D. 不确定 答案: C 解析: 向量解法: 由A 、F 、B 共线得2

21p y y -=(重要结论),进而得出Q E PE k k =

7. 已知抛物线12

-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标

的取值范围是 ( )

A. ]3,(--∞

B. ),1[∞+

C. [-3, -1]

D. ),1[]3,(∞+--∞ 答案: D 解析: 均值不等式

8. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( ) A.

45 B.

60 C.

90 D.

120 答案: C

解析: 如图, ),,2

2(121y p p y FA -=

),,2

2(222y p p y FB -=因为A 、F 、B 三点共线 所以22112

212221,221221p y y y p y y p y p y y p -=∴-=- 0),(),(212

2111=+=-⋅-=⋅y y p y p y p FB FA

9. 一动点到y 轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为 )0(0)0(82

<=≥=x y x x y 或 解析: 用抛物线定义.

10. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 x y y x 8,2

2

-=-= 解析: 考虑两种可能. 11. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为 24米 解析: 坐标法

12. 以椭圆

116

252

2=+y x 的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点,则=AB 3

100

解析: 略 13. 设A 、B 为抛物线px y 22

=上的点,且

90=∠AOB (O 为原点),则直线必过的定点坐标为)0,2(p

解析: 设直线方程为 kx y =,解出A 点坐标,再写出B 点坐标;写出直线方程. 14. 抛物线

x y =2的焦点弦AB,求OB OA •的值.

解:由 ⎪⎩

⎪⎨⎧-==)21(22x k y x

y 得1,012212

-=∴=--y y y k y 43412122212121-=+=+=⋅∴y y y y y y x x OB OA 15.设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22

+=x y 相交于B 、C 两点,点B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是

线段BC 上的点,且适合1

1

CC BB PC BP =

,求POA ∆的重心Q 的轨迹方程， 并说明该轨迹是什么图形.

解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Q

λ===∴2

111

y y CC BB PC BP , 212

12

1221

1021y y y y y y y y y y y +=+

⋅+

=

∴

由⎩⎨⎧-=+=)

2(22x k y x y 得06)4(2

22=+--k y k k y 412462220-=-⋅=∴k k k k k y --------------------①

又

k x y =-2

00

代入①式得4400+=x y -----------------------------------------②

由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=3320

0y y x x 得⎩⎨⎧=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x

由0>∆得624-k , 又由①式知0y 关于k 是减函数且120≠y

641264120+<<-∴y , 3

6

443644+<<-

y 且4≠y 所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x (3

6

443644+<<-

y 且4≠y ) 16. 已知抛物线)0(22

>=p px y ,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两

点,且

8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ①求抛物线方程;

②求ABS ∆面积的最大值.

解析: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得2

4,8021p x p x x -

=∴=++ 又⎪⎩⎪⎨⎧==2

2212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212

221),(2

所以 ),24(k

p p M - 依题意16

2

4-=⋅--k p k p

, 4=∴p 抛物线方程为 x y 82=

②由),2(0y M 及04y k l =

, )2(4

:0

0-=-x y y y l AB 令0=y 得20

412y x K -= 又由x y 82

=和)2(4:0

0-=

-x y y y l AB 得: 016222

002=-+-y y y y

)162(44)4

14(212120202012--+=-⋅⋅=

∴∆y y y y y KS S ABS 69

64

)364(82)232)(16(2

4132

020=≤

-+=

∴∆y y S ABS

轨迹与轨迹方程

1. 与圆x 2+y 2-4y =0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ).

A. y 2=8x

B. y 2=8x (x >0) 和 y =0

C. x 2=8y (y >0)

D. x 2=8y (y >0) 和 x =0 (y <0) 答案: D

解析: 设所求圆的圆心为),(y x O , 已知圆圆心)2,0('O , 半径为2, 则y OO +=2'

或O 点在y 轴负半轴.

2. 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离比它到直线x =8的距离大1, 则动点M 的轨迹方程为 ( ). A. y 2=16(x -5) B. x 2=16(y -5)

C. x 2=-16(y -5)

D. y 2=-16(x -5) 答案: D

解析: 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离等于它到直线x =9的距离. 所以动点M 的轨迹是以点F (1,0)为焦点, 直线

x =9为准线的的抛物线.

3. 3=, A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动, O 为原点, 3

2

31+=

则动点P 的轨迹方程是( ). A. 1422=+y x B. 1422

=+y x C. 1922=+y x D. 19

22

=+y x 答案: A

解析: 由OB OA OP 3231+=

知: P 点是AB 的三等分点(靠近B ), 设P (x ,y ), 则)0,2

3

(),3,0(x B y A , 3=, 由距离公式即得.

4. A 、B 、C 是不共线的三点, O 是空间中任意一点, 向量)2(++=λ, 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( ).

A. 内心

B. 外心

C. 重心

D. 垂心 答案: C

解析: 向量)2

1

(2)2(+=+λλ与BC 边中线的向量是平行向量, )2(BC AB OA OP ++=λ, 则点P 在BC 边中线上. 5. 已知两定点F 1(-1,0) 、F 2(1,0), 且

212

1

F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹是( ). A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段

答案: D

解析: ,22121==+F F PF PF 作图可知点P 的轨迹为线段.

6. 已知点P (x ,y )对应的复数z 满足1=z , 则点Q (x +y ,xy )的轨迹是 ( ). A. 圆 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆 D. 双曲线的一部分 答案: B

解析: 设),(Y X Q , 则,12,,222=-=+=

=+=Y X y x z xy Y y x X

122+=∴Y X , ]1,1[],1,1[-∈-∈y x , ∴轨迹为抛物线的一部分.

7. 已知△ABC 的两个顶点A 、B 分别是椭圆

19

252

2=+y x 的左、右焦点, 三个内角A 、B 、C 满足C B A sin 2

1

sin sin =

-, 则顶点C 的轨迹方程是( ). A.

112422=-y x B. 112422=-y x (x <0) C. 112422=-y x (x .<-2 ) D. 112

42

2=+y x 答案: C

解析: 82

1

),0,4(),0,4(==

+∴-c b a B A , 点C 的轨迹是以A 、B 为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C 与A 、B 不共线.

8. 抛物线y =x 2+(2m +1)x +m 2-1的焦点的轨迹是 ( ). A. 抛物线 B. 直线 C. 圆 D. 线段 答案: B

解析: 设焦点坐标为M (x ,y ), 顶点)45,21(---

-m m , 0122,14

1

45,21=--∴--=+--=--=∴y x m m y m x . 9. 点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆14322=+y x 上运动, 则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程是)0(14

9322

≠=+x y x 解析:设y n x m n

y m x n m P F F y x G 3,3,3

11,3),(),1,0(),1,0(),,(21==∴+-==

-则, 代入14

32

2=+y x 即得, 再注意三角形三顶点不共线. 10. 过椭圆

14

92

2=+y x 内一点M (2,0) 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是149)1(22=+-y x 解析: 设N (x ,y ), 动弦AB 方程为)2(-=x k y , 与14

92

2=+y x 联立, 消去y 得: 2

222

2

2

2

948,9418,0363636)94(k k

y k k x k x k x k +-=+=∴=-+-+, 消参即得.

11. 直线l 1: x -2y +3=0, l 2: 2x -y -3=0, 动圆C 与l 1、l 2都相交, 并且l 1、l 2被圆截得的线段长分别是20和16, 则圆心C

的轨迹方程是

160

)3(60)3(2

2=---y x 解析: 设C (x ,y ), 点C 到21,l l 距离分别为5

32,

532--+-y x y x , 5)32(85)32(1022

22--+=+-+∴y x y x , 化简即得. 12. 点P 是曲线f (x , y )=0上的动点, 定点Q (1,1), 2-=,则点M 的轨迹方程是0)23,23(=--y x f 解析: 设),,(),,(n m P y x M 则:23,23),1,1(2),(-=-=∴---=--y n x m y x y n x m , 代入f (x , y )=0即得. 13. 已知圆的方程为x 2+y 2=4, 动抛物线过点A (-1,0), B (1,0), 且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程是

)0(13

42

2≠=+y y x 解析: 设抛物线焦点为F , 过A 、B 、O 作准线的垂线111,,OO BB AA , 则42111==+OO BB AA , 由抛物线定

义得: FB FA BB AA +=+11,

4=+∴FB FA , 故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点, 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点) 14. 设O 为坐标原点, P 为直线1=y 上动点, OQ OP //, 1=⋅OQ OP , 求Q 点的轨迹方程. 解: 设),(),1,(y x Q a P , 则由// 得: x ay =, 即 y x a =

, 由1=⋅得: 1=+y ax , 将y

x

a =代入得: y y x =+22, 且0>y .∴所求点Q 的轨迹方程为: )0(02

2>=-+y y y x .

15. 半径为R 的圆过原点O , 圆与x 轴的另一个交点为A , 构造平行四边形OABC , 其中BC 为圆在x 轴上方的一条

切线, C 为切点, 当圆心运动时, 求B 点的轨迹方程. 解: 设圆心为M (x 0, y 0), B (x ,y ), 则),,(),0,2(000R y x C x A +CB OA = ,30x x =∴ 又 BC 为圆的切线,

得: R y y +=0, R OM R y y x x =-==∴ 00,3

, )0()(9

222

2

2020≠=-+∴=+∴x R R y x R

y x

直线与圆锥曲线（1）

1．若倾角为

4

π的直线通过抛物线2

4y x =的焦点且与抛物线相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ）

（A （B ）8 （C ）16 （D ）（目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法）

【答案】（B ）

【解析】由条件，过焦点的直线为1y x =-代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得128MN x x p =++=

2．直线10x y --=与实轴在y 轴上的双曲线22x y m -=的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的

正方形内部，那么m 的取值范围是（ ）

（A ）01m << （B ）1m >- （C ）0m < （D ）10m -<< （目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置） 【答案】（D ） 【解析】将直线10x y --=代入双曲线22x y m -=求得12m y -=

，则有1

2

m y -=

(1,1)∈-13m ∴-<<同理亦得31m -<<，又对实轴在y 轴上的双曲线有0m <，故10m -<<。

3．过点(0,2)A 可作

条直线与双曲线2

2

14

y x -=有且只有一个公共点。 （目的：掌握直线与双曲线交点的特殊性-----与其渐近线的关系）【答案】4条

【解析】设过点(0,2)A 的直线为2y kx =+代入双曲线2

2

14

y x -=，求出有一个解的k 的值。或讨论k 与渐进线的斜率的关系。

5．已知抛物线22(0)y px p =>的过焦点的弦为AB ，且5AB =，又3A B x x +=，则p =

（目的：利用定义理解抛物线的焦点弦的特殊性质） 【答案】2

【解析】利用抛物线的定义，焦点弦12AB x x p =++，所以2p =

6．椭圆22

44x y +=长轴上的一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的

面积是。

（目的：椭圆的对称性在解题中的运用）【答案】

16

25

【解析】设内接于椭圆的等腰直角三角形为ABC ，则1AB k =，(2,0)A 直线:2AB y x =- 求得45

B y =-

，45

C y =

1841625525

ABC

S ∴=⨯⨯= 7．已知抛物线21

2y x ax =-++与直线2y x =

（1） 求证：抛物线与直线相交；

（2） 求当抛物线的顶点在直线的下方时，a 的取值范围；

（3） 当a 在(2)的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值。

（目的：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题）

【解析】

（1）由22

222(42)10,(42)80,12

y x x a x a y x ax =⎧⎪⇒+--==-+>⎨=-++⎪⎩∴直线与抛物线总相交。

（2）

22

212(),224a a y x ax x +=-++=--+其顶点为22(,)24

a a +，且顶点在直线2y x = 的下方，

22242

a a

+∴<•

，即242022a a a -+<⇒<。

（2）设直线与抛物线的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，

则1212242212

a x x a x x -⎧+==-⎪⎪⎨

⎪•=-⎪

⎩

222AB a

∴==-<<+当

min 2a AB ==时，

8． 已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为

3

的双曲线经过点(6,6)P （I ）求双曲线的方程；

(II)动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。

（目的：借用中点弦的特性，及三角形的重心的知识讨论双曲线上关于直线对称的两点的存在性） 【解析】

（I ）设所求的双曲线方程为22

221

x y a b

-=21

3

e =

(6,6)P ，所以 所求所求的双曲线方程为

22

1912

x y -=。 (II)由条件12,,P A A 的坐标分别为(6,6)(3,0)(3,0)-、

、，G ∴点坐标为(2,2) 假设存在直线l 使(2,2)G 平分线段,MN 设,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y

22

1122

22129108.......(1)129108. (2)

x y x y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ (1)(2)-得 2222121212()9()x x y y -=-12121212()()9()()x x x x y y y y +-=+-

又

12122,2,22x x y y ++==即1212121124

4, 4.3

MN y y x x y y k k x x -+=+=∴===- l ∴的方程为42(2)3y x -=- 由22129108

4

2(2)

3x y y x ⎧-=⎪

⎨-=-⎪⎩

消去y 整理得224280(4)4280x x -+==--⨯<∴所求直线不存在。

9．一条斜率为1的直线l 与离心率

为

的双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>交于,P Q 两点，

3,4,l OQ PQ RQ •=-=直线与y 轴交于R 点，且OP 求直线与双曲线的方程

（目的：利用向量的观点和方程的思想，求直线与圆锥曲线的方程及有关性质） 【解析】

由2

2

2

2

32e c a b a =∴=∴双曲线方程为22222x y a -= 设直线1122:,(0,),(,),(,)l y x m R m P x y Q x y =+

则12222

22222

12

2220........(1)222x x m y x m x mx m a x y a x x m a +==+⎧⎧⇒---=∴⎨⎨-==--⎩⎩ 又因为3,4,OQ PQ RQ •=-=OP

则有：21212121232()30.........(3)x x y y x x m x x m +=-∴++++=

21212

2122143.......(2)4()34x x x x x y y y m y y m

-==-⎧⎧⇒⎨

⎨-=-+=⎩⎩ 由（1），（2）得2

2

21,3,x m x m m a =-==代入（3）得2

2

1,1m a ==2

2

1,1,2m a b ∴=±==

所以，所求的直线与双曲线方程分别是2

2

1,12

y y x x =±-=

直线与圆锥曲线（2）

1．过点(4,0)C 的直线与双曲线22

1412

x y -

=的右支交于A B 、两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是 （ ） （A ）1k ≥ （B

）k > （C

）k ≤ （D ）1k < （目的：掌握判断直线与双曲线位置关系的基本方法） 【答案】（B ）

【解析】直接法：由题意，点(4,0)C 是双曲线的右焦点，过(4,0)C

的直线平行于渐进线y =

时，k =

此时与双曲线只有一个交点，若使交点同在右支，则k >

2．已知直线l 交椭圆224580x y +=于.M N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若BMN 的重心恰好落在椭

圆的右焦点，则直线l 的方程是 （ ）

（A ）56280x y +-=（B ）56280x y --=（C ）6+5280x y -=（D ）65280x y --=（目的：能够利用直线与圆锥曲线的特殊位置关系求出相关量） 【答案】（D ）

【解析】由题设，设直线方程为y kx b =+则：

1122121212(,),(,),(0,4),(2,0)6,()24M x y N x y B F x x y y k x x b ∴+=+=++=-

32k b ∴+=-代入方程检验即可。

3．过点(0,1)P 与抛物线2y x =有且只有一个交点的直线有（ ）

（A ）4条 （B ）3条 （C ）2条 （D ）1条 （目的：掌握判断直线与抛物线位置关系的方法） 【答案】（B ）

【解析】当直线垂直于x 轴时满足条件，当直线不垂直于x 轴时，设直线方程为1y kx =+满足条件的直线有两条。

5．抛物线2y x =上不存在关于直线(3)y m x =-对称的两点，求m 的范围

（目的：学会运用间接、假设的方法解决存在性问题） 【答案】1

2

m ≥-

【解析】若0m =时，不存在。若0m ≠时，设有这样的两点，则12121322

12

2y y m x x m +⎧=--⎪⎪⎨

+⎪=-⎪⎩在l 上，且0>消22(21)(621)0(621)0m m m m m +-+<-+<恒成立，12m ∴<-故1

2

m ≥-满足条件。

6． 已知中心在原点的椭圆经过(2,1)点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是

。

（目的：学会运用函数的观点解决几何问题）

【答案】a >【解析】不妨设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆经过(2,1)点，则22

22

22414,10,11b a b b b a

=-=>∴>-

又根据图有215b b <<<再由0,5a a >∴>

8．已知双曲线S 的两条渐进线过坐标原点，且与以点A 为圆心，1为半径的圆相且，双曲线的一个顶点'

A 与点A 关于直线y x =对称，设直线l 过点A ，斜率为k 。 （Ⅰ）求双曲线S 的方程；

（Ⅱ）当0k ≥时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l k 的值和相应的点B 的坐标。

（目的：理解双曲线的渐进线、对称性及等轴双曲线的特征，并运用他们之间的关系解决问题） 【解析】

（Ⅰ）设双曲线的渐进线方程是y x

y x λλ==与圆22(1x y +=相切，

1λ∴=±渐进线方程为y x =±，

又双曲线的一个顶点'

A 关于y x =的对称点为'A A ∴∴双曲线的方程为222y x -=。

（Ⅱ）直线:(0)l y k x k =≥ 设在l 上方与l '

l 的直线方程是0kx y c -+=由

'

)c k l ==∴的方程是)y kx k =代入222y x -=，解得

（Ⅰ）当1k =时方程只有一组解，符合题意。此时B

（Ⅱ）当1k ≠时，由'

l 与S 有且只有一个公共点，

得8(300(300k k k k k =-=∴=-=∴=或或k=

5

综上所述：0,1,k B k B k B ===

圆锥曲线的几何性质

1．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，焦点为F ，点A 的坐标是7

(,4)2

A ，则||||PA PF +的最小值是（ ）

（A ）

112 （B ）4 （C ）9

2

（D ）5 （目的：熟练掌握抛物线的定义在解题中的灵活应用。 【答案】（C ）

【解析】由抛物线的定义，三点共线时||||PA PF +最小

2．（2003

年全国高考.文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1.F 2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）

（A （B （C （D （目的：理解焦点三角形中各边之间的关系）

【答案】（B ）

【解析】由条件，2212MF MF b c

==+12120F MF ∠=︒利用余弦定理求解。

3．已知.A B 是抛物线上的任意两点，F 是焦点，l 是准线，若A B F 、、三点共线，那么以弦AB 为直径的圆与l

的位置关系是（ ）

（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）不确定 （目的：加深对椭圆的第二定义的理解，并推广到双曲线和抛物线） 【答案】（B ） 【解析】利用抛物线的定义，将AB 的长转化为,A B 到准线的距离即可。

4． 等轴双曲线的两个顶点分别为12,A A ，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，则

12MA N MA N ∠+∠=

（目的：理解用向量的方法解决有关夹角的问题有其简便之处） 【答案】180︒

【解析】写出12,A A ,M N 的坐标，利用向量的坐标运算求解。

5． 过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A,B 两点，已知|AB |=10,O 为坐标原点，则△OAB 的重心的坐标是

（目的：运用抛物线焦点弦的性质求重心坐标）

【答案】8

(,3 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y 则重心1212

(

,)33

x x y y G ++，因为直线AB 过焦点，所以12210AB x x =++=22222

12112212121284,4()2x x y x y x y y y y y y +===∴+=++

又

2124y y p =-=-

，所以12y y +=±6．（2001高考广东、河南卷）

已知椭圆2

212

x y +=的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在右准线上，且//BC x 轴。

求证：直线AC 经过线段EF 的中点。

（目的：结合例1，进一步探讨圆锥曲线的共性）

【解析】由题设，椭圆的半焦距1c =，由焦点(1,0)F ，右准线方程为2,x =点E 的坐标为(2,0)，EF 的中点为

3

(,0)2

N 。 若AB 垂直于x 轴，则111(1,),(1,),(2,)A y B y C y AC --∴中点为3(,0)2

N ，即AC 过EF 中点N 。

若直线AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由//BC x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为

(1)y k x =-，(0)k ≠

记11222(,),(,),(2,)A x y B x y C y ，且12,x x 满足二次方程2

22(1)1,2x k x +-=即 222

2

2

2

121222

42(1)

(12)42(1)0,,1212k k k x k x k x x x x k k -+-+-=∴+==++

又2

211222,x y =-<得13

0,2

x -

≠ 故直线,AN CN 的斜率分别是112

1221122(1),2(1)33232

2

y k x y k k k x x x x -=

=

==---

-

1211112112121(1)(1)(23)

2,(1)(1)(23)3()24

23

x x x k k k x x x x x x x x ----∴-=•----=+---222122

1

[124(1)4(12)]0012k k k k k k

=

---+=∴-=+ 12,k k =故,,A C N 三点共线，所以，直线AC 经过线段EF 的中点N

7．已知：(4,0),(1,0),A N 若点P 满足6AN AP PN •=。

（I ）求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 【解析】

设

22(,),(4,),(1,),6,

3(4)1

43

P x y AN x y PN x y AN AP PN x y x =-=--•=∴--=∴+=为点P 的轨迹方程，该曲线是以(1,0),(1,0)-为

焦点，长轴长为4的椭圆。

【综合训练】

1．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

解析：当sin θ∈［－1，0)时，方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线是双曲线；sin θ＝0时，方程的曲线是两条平行直线；sin θ∈(0，1)时，方程的曲线是椭圆；sin θ＝1时，方程的曲线是圆．

答案：C

2．已知椭圆21

)(122

2t y x -+

＝1的一条准线方程为y ＝8，则实数t 的值为( ) A ．7或－7 B ．4或12 C ．1或15 D ．0

解析：由题设y －t ＝±7，∴y ＝t ±7＝8，∴t ＝1或15． 答案：C

3．双曲线k

y x 2

24+

＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－12，0) C ．(－3，0) D ．(－60，－12)

解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k ．

∵e ∈(1，2)，∴4

422k

a c -=∈(1，4)，∴k ∈(－12，0)．

答案：B

4．以12

42

2y x -

＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A ．121622y x +＝1 B ．161222y x +＝1 C ．41622y x +＝1 D ．16

42

2y x +

＝1 解析：双曲线

4

122

2x y -＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±12)．∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±12)．∴在椭圆中a ＝4，c ＝12，∴b 2＝4．∴椭圆的方程为16

422y

x +

＝1． 答案：D

5．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则

q

p 1

1+