圆锥曲线经典题目(含答案解析)

圆锥曲线经典题型

一．选择题（共10小题）

1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离

心率的范围是（）

A．（1，）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）

2．已知M（x

0，y

）是双曲线C：=1上的一点，F

1

，F

2

是C的左、右两个

焦点，若＜0，则y

的取值范围是（）A．B．C．D．

3．设F

1，F

2

分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右

支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．

5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此

双曲线的离心率的取值范围是（）

A．（2，+∞）B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）

6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线

的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）

A． B．C．D．2

7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F

1、F

2

分别是双曲线的

左、右焦点，已知PF

1⊥PF

2

，且|PF

1

|=2|PF

2

|，则双曲线的一条渐近线方程是（）

A．B．C．y=2x D．y=4x

8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心

率的取值范围是（）

A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）

9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）

A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）

A．B．C．D．

二．填空题（共2小题）

11．过双曲线的左焦点F

1

作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，

F 2是双曲线的右焦点，则△PF

2

Q的周长是．

12．设F

1，F

2

分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右

支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．

三．解答题（共4小题）

13．已知点F

1、F

2

为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F

2

作垂直于x轴的

直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF

1F

2

=30°．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P

1

、

P

2

，求•的值．

14．已知曲线C

1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C

2

：+=1有相同的焦

点，曲线C

1的离心率是曲线C

2

的离心率的倍．

（Ⅰ）求曲线C

1

的方程；

（Ⅱ）设点A是曲线C

1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C

1

的右支于点

B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意

一点到其右焦点的最小距离为﹣1．

（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；

（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．

16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．

一．选择题（共10小题） 1．直线y=x ﹣1与双曲线x 2﹣=1（b ＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离

心率的范围是（ ） A ．（1，

） B ．（

，+∞） C ．（1，+∞） D ．（1，

）∪（

，+∞）

【解答】解：∵直线y=x ﹣1与双曲线x 2﹣=1（b ＞0）有两个不同的交点，

∴1＞b ＞0或b ＞1． ∴e==＞1且e ≠

．

故选：D ．

2．已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：=1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右两个

焦点，若＜0，则y 0的取值范围是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：由题意，=（﹣

﹣x 0，﹣y 0）•（

﹣x 0，﹣y 0）=x 02﹣

3+y 02=3y 02﹣1＜0， 所以﹣

＜y 0＜

．

故选：A．

3．设F

1，F

2

分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右

支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

【解答】解：取PF

2

的中点A，则

∵，

∴⊥

∵O是F

1F

2

的中点

∴OA∥PF

1

，

∴PF

1⊥PF

2

，

∵|PF

1|=3|PF

2

|，

∴2a=|PF

1|﹣|PF

2

|=2|PF

2

|，

∵|PF

1|2+|PF

2

|2=4c2，

∴10a2=4c2，

∴e=

故选C．

4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．

【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），

由=2，可得B（﹣，﹣），

把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，

即=1，整理可得c=a，

即离心率e==．

故选：C．

5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此

双曲线的离心率的取值范围是（）

A．（2，+∞）B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）

【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即

∴b2＜a2，

∴c2=a2+b2＜2a2，

∴e=＜

∵e＞1

∴1＜e＜

故选C．

6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线

的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）

A． B．C．D．2

【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，

可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，

令x=c，可得y=±b=±，

由题意可得=b，

即a=b，c==a，

即离心率e==，

故选C．

7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F

1、F

2

分别是双曲线的

左、右焦点，已知PF

1⊥PF

2

，且|PF

1

|=2|PF

2

|，则双曲线的一条渐近线方程是（）

A．B．C．y=2x D．y=4x

【解答】解：由双曲线的定义可得|PF

1|﹣|PF

2

|=2a，

又|PF

1|=2|PF

2

|，

得|PF

2|=2a，|PF

1

|=4a；

在RT△PF

1F

2

中，|F

1

F

2

|2=|PF

1

|2+|PF

2

|2，

∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，

则b2=4a2．即b=2a，

双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；

故选：C．

8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心

率的取值范围是（）

A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）

【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1

∴3a2＜b2，

∴c2=a2+b2＞4a2，

∴e=＞2

故选：C．

9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）

A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，

可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），

代入点P（2，），可得

λ=4﹣2=2，

可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，

即为﹣=1．

故选：B．

10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，

点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）

A．B．C．D．

【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），

PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，

则P（2，3），

∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，

∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，

同理当y＜0时，则△APF的面积S=，

故选D．

二．填空题（共2小题）

11．过双曲线的左焦点F

1

作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，

F 2是双曲线的右焦点，则△PF

2

Q的周长是20 ．

【解答】解：

∵|PF

1|+|QF

1

|=|PQ|=8

∵双曲线x2﹣=1的通径为==8

∵PQ=8

∴PQ是双曲线的通径

∴PQ⊥F

1F

2

，且PF

1

=QF

1

=PQ=4

∵由题意，|PF

2|﹣|PF

1

|=2，|QF

2

|﹣|QF

1

|=2

∴|PF

2|+|QF

2

|=|PF

1

|+|QF

1

|+4=4+4+4=12

∴△PF

2Q的周长=|PF

2

|+|QF

2

|+|PQ|=12+8=20，

故答案为20．

12．设F

1，F

2

分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右

支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，

则该双曲线的离心率为．

【解答】解：取PF

2

的中点A，则

∵，

∴2•=0，

∴，

∵OA是△PF

1F

2

的中位线，

∴PF

1⊥PF

2

，OA=PF

1

．

由双曲线的定义得|PF

1|﹣|PF

2

|=2a，

∵|PF

1|=|PF

2

|，

∴|PF

2|=，|PF

1

|=．

△PF

1F

2

中，由勾股定理得|PF

1

|2+|PF

2

|2=4c2，

∴（）2+（）2=4c2，∴e=．

故答案为：．

三．解答题（共4小题）

13．已知点F

1、F

2

为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F

2

作垂直于x轴的

直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF

1F

2

=30°．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P

1

、

P

2

，求•的值．

【解答】解：（1）设F

2

，M的坐标分别为，

因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，

在Rt△MF

2F

1

中，∠MF

1

F

2

=30°，，所以…（3分）

由双曲线的定义可知：

故双曲线C的方程为：…（6分）

（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）

设双曲线C上的点Q（x

0，y

），设两渐近线的夹角为θ，

则点Q到两条渐近线的距离分别为

，…（11分）

因为Q（x

0，y

）在双曲线C：上，

所以，又cosθ=，

所以=﹣…（14分）

14．已知曲线C

1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C

2

：+=1有相同的焦

点，曲线C

1的离心率是曲线C

2

的离心率的倍．

（Ⅰ）求曲线C

1

的方程；

（Ⅱ）设点A是曲线C

1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C

1

的右支于点

B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．

【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C

2

的离心率为…（2分）

∵曲线C

1的离心率是曲线C

2

的离心率的倍，

∴=即a2=b2，…（3分）

∴a=b=1，∴曲线C

1

的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）

与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0

设A（x

1，y

1

），B（x

2

，y

2

），则y

1

+y

2

=﹣，y

1

y

2

=，…（7分）

由题可设点C（，y

2

），

由点斜式得直线AC的方程：y﹣y

2

=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）

15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．

（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；

（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，

当P为右顶点时，可得PF取得最小值，

即有c﹣a=﹣1，

解得a=1，c=，b==，

可得双曲线的方程为x2﹣=1；

（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．

设R（x

1，y

1

），T（x

2

，y

2

），可得x

1

2﹣=1，x

2

2﹣=1，

两式相减可得（x

1﹣x

2

）（x

1

+x

2

）=（y

1

﹣y

2

）（y

1

+y

2

），

由中点坐标公式可得x

1+x

2

=2，y

1

+y

2

=2，

可得直线l的斜率为k===2，

即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，

代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，

由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，

可得二次方程无实数解．

故这样的直线l不存在．

16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．

【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，

∴=，且b=，

∴a=1，c=

∴双曲线C的方程；

（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q

由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2

平方得：p2﹣2pq+q2=4

•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4

即S=|PE|•|PF|=2．