用几何模型解概率问题

1 用几何模型解概率问题

等可能事件中的一类特殊情形——几何概型，是其中一个重要的知识点，本文对这个内容进行分析与归纳，以帮助同学们了解考点变化，提升解题能力。

1. 几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

2. 几何概型的特点

（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

3. 几何概型的计算 P （A ）

例在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求

是锐角三角形的概率。解法1：记

的三内角分别为，，事件A 表示“是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合

。因为是锐角三角形的条件是且

所以事件A 构成集合

由图可知，所求概率为。

解法2：如图所示建立平面直角坐标系，A 、B 、

、为单位圆与坐标轴的交点，当为锐角三角形，记为事件A 。则当C 点在劣弧上运动时，即为锐角三角形，即事件A 发生，所以

解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量

来求随机事件的概率。

几何概型案例

《几何概型》教学案例教学目标一、知识与技能目标（1）通过学生对几个几何概型的实验和观察，了解几何概型的两个特点。（2）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。（3）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。二、过程与方法让学生通过对几个试验的观察分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲历几何概型的建构过程，并在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会。教学重点几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。教学难点建立合理的几何模型求解概率。教学过程一、创设情境引入新课师：上节课我们共同学习了概率当中的古典概型，请同学们回想一下其中所包含的主要内容，并依据此举一个生活当中的古典概型的例子。生甲：掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。师：请同学们判断这个例子是古典概型吗？你判断的依据是什么？生乙：是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数是有限个，并且每个基本事件发生的可能性相等。师：非常好，下面允许老师也举一个例子，请同学们作以判断。如图:把一块木板平均分成四部分,小球随机的掉到木板上，求小球掉在阴影区域内的概率。生丙：此试验不是古典概型，因为此试验包含的基本事件的个数有无数多个。师：非常好，此试验不是古典概型，由此我们可以看到，在我们的生活中确实存在着诸如这样的不是古典概型的实际问题，因此我们有必要对这样的问题作进一步更加深入的学习和研究。今天这节课我们在学习了古典概型的基础上再来学习几何概型。那到底什

么是几何概型，它和古典概型有联系吗？在数学里又是怎样定义的呢？为此，我们接着来看刚才这个试验。试验一师：请同学们根据我们的生活经验回答此试验发生的概率是多少？生丁：四分之一师：很好，那你是怎样得到这个答案的呢？生丁：就是用阴影的面积比上总面积。师：非常好，下面我们再来看图中的右边这种情形，现在阴影的面积仍是总面积的四分之一，只不过阴影的形状及其位置发生了变化，那么此时小球落在阴影区域内的概率又是多少？生丁：仍是四分之一，还是用阴影的面积比上总面积。师：非常好，请坐。我们梳理一下我们刚才的发现。首先此试验所包含的基本事件的个数为无数多个，并且每个基本事件发生的可能性相等，而所求的概率就是用阴影的面积比上总面积，所以此概率仅与阴影的面及有关系，而与阴影的形状和位置并无关系。试验二在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率. 师：首先请同学们观察这个试验跟刚才那个试验有没有共同本质的东西。生戊：此试验所包含基本事件的个数仍是无限多个，每个基本事件发生的可能行都相等。师：所求的概率是多少？

古典概率中的摸球模型的解法及应用

古典概率中的摸球模型的解法及应用摘要：摸球问题是古典概率中一类重要而常见的问题。本文通过对古典概型中两种摸球模型的探讨，提供了一些有用的解题思路和方法，并试图以明确的公式形式表达特定问题的解。关键词：古典概型；摸球模型；事件；概率一、引言摸球问题是古典概率中一类重要而常见的问题。由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同，其内容可以说是形形色色、千差万别。历史上曾有人把浩翰繁杂的古典概率问题归纳为摸球问题、占房问题及随机取数问题，又有人把其归纳为摸球问题、投球问题及随机取数问题。可见，“球文化”确是古典概率中的一朵奇葩。本文通过对古典概型中摸球模型的探讨，提供了些有用的解题思路和方法。二、古典概率定义若把黑球作为废品，白球作为正品，则摸球可以描述产品抽样．假如产品分为若干等级，一等品、二等品、三等品等，则可用有多种颜色的摸球模型来描述．产品抽样检奁技术，在各个生产部门中有着广泛的应用，大型工厂每天生产的产品数以万计，对这些产品的质量进行全面的逐件检查是不可能的．在有些情况下，产品的检验方法带有破坏性(如灯泡寿命检验，棉纱强度试验等)，最适宜的检验方法是采取不放回的抽样检查。当然有些产品检验无破坏可以采取有放回的抽样检查，对此本文没有涉及，有兴趣的读者可以自行解决。 2.有放回地摸球模型 (1)摸球模型三 2.投球问题例2.把4个球放到3个杯子中去，求第1、2个杯子中各有2个球的概率，其中假设每个杯子可放任意多个球。五、结束语本文通过对古典概率中的两种摸球模型——有放回摸球、无放回摸球模型的解题方法的探讨，并结合几种常见的实例，提供一些有用的解题思路和方法，并试图以明确的公式形式表达特定问题的解。参考文献： [1]梁之舜，邓集贤，杨维权，司徒荣，邓永录.概率论及数理统计[上].北京：高等教育出版社，2005. [2]刘长林.概率问题的两个摸球模型[J].数学教学研究，2003(3). [3]毛凤敏.古典概型中摸球模型的解法探讨[J].平顶山师专学报，2004(5). (作者单位：广西崇左市扶绥县龙华中学 543200)

人教版高中数学必修三第三章概率概率学案3超几何分布

概率学案3 §2.5.3概率综合 ——超几何分布学习目标 1.根据题意能够识别概率模型。学习过程【任务一】分析典型例题，总结解题思路例：某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3 名学生的成绩都在[60,70)内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50,70) 内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60,70)内的人数，求X的分布列和数学期望．小结： 1.模型特点：总数为N的几类元素，其中含某一类元素M个，从中随机选取n个元素，观察这类元素个数情况； 2.解题思路： A.根据题意识别超几何分布模型； B.利用超几何分布概率特点计算问题中描述的某个事件的概率。【任务二】跟踪练习甲口袋中有大小相同的白球3个，红球5个；乙口袋中有大小相同的白球4个，黑球8个，从两个口袋中各摸出2个球，求： (1)甲口袋中摸出的2个球都是红球的概率； (2)两个口袋中摸出的4个球中恰有2个白球的概率.

产品数量【任务三】课后作业（2010崇文一模文16）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20， [)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位．（Ⅰ）求m ；（Ⅱ）工厂规定从生产低于20 件产品的工人中随机的选取2工人进行培训，则这2位工人在同一组的概率是多少？

几何概型常见题型归纳

几何概型常见题型归纳如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解。^_^天体运动，万有引力定律核心考点研读■安徽张北春（特级教师）《天体运动、万有引力定律》是高中物理的重要章节。主要考点有：开普勒定律、天体运动、万有引力定律、估算天体的质量和密度、揭示天体运行规律等。近几年高考试题中的天体运动问题多为匀速圆周运动模型，大多数试题可直接运用开普勒第三定律进行分析或计算，有些试题则需运用牛顿第二定律与万有引力定律、“黄金代换”等分析计算。下面通过典型例题解读这些核心考点，希望对同学们的学习有所帮助。考点1：开普勒定律【考点研读】开普勒行星运动定律具体表述如下。第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳

的连线在相等时间内扫过相等的面积。第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。温馨提示：古人把天体的运动看得十分神圣，他们认为天体的运动不同于地面物体的运动，天体做的是最完美、最和谐的匀速圆周运动。开普勒则认为行星做椭圆运动。他发现假设行星做匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符，只有认为行星做椭圆运动，才能解释这一差别。温馨提示：我们预期太阳对行星的引力与太阳到行星的距离有关，希望通过行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力求出这个引力，通过两次数学代换得到了太阳对行星的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式；通过类比得到了行星对太阳的引力与太阳到行星的距离相关的数学表达式；综合概括得到了太阳与行星间引力的数学表达式。例2（2014年新课标全国卷I）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。对于地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（

几何概型的定义及计算

几何概型的定义及计算几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）称比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率。说明：（1）D的测度不为0；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积；（3）区域为＂开区域＂；（4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．古典概型的定义及计算基本事件的定义：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。古典概型：如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．

古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。古典概型解题步骤：（1）阅读题目，搜集信息；（2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；（4）用公式求出概率并下结论。求古典概型的概率的关键：求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。概率的基本性质（互斥事件、对立事件）互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。如果A 1，A 2 ，…，A n 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A 1 ，A 2 ，…A n 彼此互斥。对立事件：两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。事件A+B的意义及其计算公式：（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A 1，A 2 ，…A n 彼此互斥时，那么P（A 1+A 2 +…+A n ）=P（A 1 ）+P（A 2 ）+…+P（A n ）。

ASSHTO模型中碰撞几何概率的修正及在长江上的应用

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/d46371984.html, ASSHTO模型中碰撞几何概率的修正及在长江上的应用作者：周立万大斌王辉杨洋来源：《中国水运》2015年第08期摘要： AASHTO（美国道路工程师协会）规范模型为目前应用最广泛的船桥碰撞概率计算模型之一，该模型将船桥碰撞几何概率作为正态分布考虑，正态分布的标准差等于设计代表船只的船长，期望为0。通过统计长江上船舶过桥时的船位分布情况得知，受航行规则影响，船舶通过单孔双向通航的桥梁时船位沿桥轴线方向成“双峰”分布，该双峰分布可近似的看成由两个正太分布混合而成，据此对AASHTO模型中碰撞几何概率参数进行了修正，修正后的模型与长江干线实际情况更加适应。关键词： ASSHTO修正模型长江干线船舶碰撞桥梁概率近年来国内发生了较多的船舶碰撞桥梁事故造成了巨大的人命财产损失，2006年杭州湾大桥被一走锚失控船舶撞击，大桥多处局部破损，造成经济损失1000余万元；2007年广东九江大桥被砂石船舶碰撞致倒塌造成8人死亡，损失约1.4亿元人民币；2008年浙江宁波金塘大桥被一艘货轮撞击，桥面箱梁塌落，4人死亡；而在长江干线上，从1957年首个有记载的桥梁被船碰撞的事故以来，已发生的船舶撞桥事故超过300起，其中武汉长江大桥被撞次数最多，已被撞击100余次，虽未造成桥梁倒塌事故，但每一次撞击都会牵动亿万人民的心。因此，开展船舶碰撞桥梁概率研究，为船舶通航安全、桥梁设计、建设与管理提供技术支撑依据非常有必要。目前，在桥梁防撞设计中，应用较多的船桥碰撞概率计算模型有AASHTO规范模型、拉森（IABSE）模型、欧洲规范模型、昆兹（Kunz）模型和黄平明直航路模型等，不同的模型各有不同侧重和特点。相比较而言，AASHTO模型虽然是依照美国和欧洲的船舶碰撞资料统计而设计出来的，但因其思路清晰、方法完善、实用性强，是目前应用最为广泛的船桥碰撞概率模型，该规范将船撞桥事件视为风险事件，根据可接受风险的水平指导桥梁的防撞设计，已经形成了系统的思想。 AASHTO模型在长江上应用存在的问题在该模型中船舶碰撞几何概率以航道中心线为对称轴，船舶的横向分布用正态分布描述，期望为0，即船舶出现的峰值在桥墩之间航道的中间位置。该模型适用于长江上单孔单向通航的桥梁，但长江干线上90%以上的桥梁实行的是单孔双向通航，且长江干线界石盘以下河段均实行了船舶定线制或船舶分道航行规则，船舶在通过单孔双向通航的桥孔时各自靠一边行驶，其中定线制水域还设有分隔带，因此从理论上分析船舶在航道上的几何分布应成“双峰”或“多

高中数学几何概型经典考点及例题讲解

几何概型考纲解读 1.根据随机数的意义，用模拟方法估计生活中的概率问题；2.根据几何概型的意义，运用几何度量求概率；3.根据几何概型，估计几何度量． [基础梳理] 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . [三基自测] 1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 答案：A 2．已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y ≤2}，B ＝{}(x ，y )|1－x 2≤y .若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( ) A ．1－π 8 B.π4 C.π 4－1 D.π8 答案：A 3．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则 X ≤1的概率为( ) A.4 5 B.35 C.25 D.15 答案：B

4．(必修3·3.3例1改编)在[0,60]上任取一个数，则x ≥50的概率为________．答案：16 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)求在半径为r 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率．答案：1π 考点一与长度型有关的几何概型|方法突破命题点1 与线段长度有关的几何概型 [例1] (2018·长春模拟)已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________． [解析] 设长方体的长为x ，宽为(12－x )，由4x (12－x )>128，得x 2－12x ＋32<0， ∴4

几何概型的经典题型及答案

几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3 ．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型

（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322 x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到2 1之间的概率为 31232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、如图两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯,问A 与与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基

初中数学——最全：初中数学几何模型

或者你才在上一个洞吞了柏忌，下一个洞你就为抓了老鹰而兴奋不已。只有凭借毅力，坚持到底，才有可能成为最后的赢家。这些磨练与考验使成长中的青少年受益匪浅。在种种历练之后，他们可以学会如何独立处理问题；如何调节情绪与心境，直面挫折，抵御压力；如何保持积极进取的心态去应对每一次挑战。往往有着超越年龄的成熟与自最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~ 全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型

或者你才在上一个洞吞了柏忌，下一个洞你就为抓了老鹰而兴奋不已。说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型只有凭借毅力，坚持到底，才有可能成为最后的赢家。这些磨练与考验使成长中的青少年受益匪浅。在种种历练之后，他们可以学会如何独立处理问题；如何调节情绪与心境，直面挫折，抵御压力；如何保持积极进取的心态去应对每一次挑战。往往有着超越年龄的成熟与自

古典概率模型习题

3.2.1 古典概型（第一课时） [自我认知]: 1.在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是 ( ) A.1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 5 6 2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为 ( ) A. 60% B. 30% C. 10% D. 50% 3.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为 ( ) A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.75 4.某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…10共11种,设事件A：“命中环数大于8”,事件B：“命中环数大于5”,事件C：“命中环数小于4”,事件D：“命中环数小于6”,由事件A、B、C、D中,互斥事件有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D.4对 5.产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件次品和全是正品.4组中互斥事件的组数是 ( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 6.某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 7.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C=﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事_____________________,互为对立事件的是__________________。 8.从甲口袋中摸出1个白球的概率是1 2 ,从乙口袋中摸出一个白球的概率是 1 3 ,那么从两个口袋中各摸1个球,2个球都不是白球的概率是___________。 9.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有______________个 [课后练习] 10．在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的？ ①投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”。 ②一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一个球,“取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 ③一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。班次姓名

公考数量关系一点通-几何概率

几何概率华图在线杨洁近几年概率问题考查的越来越多，其中几何概率也随之成为一个小的热点模型。几何概率的本质非常简单，考试题目难度一般不大，如果掌握了几何概率的本质则很容易拿到这部分题目的分数。先来看定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。这个定义的本质其实就是在一个几何维度中，每一个点被取到的机会都一样。相对于基础的概率公式，把可以计数的“满足条件的情况数”变成了不可计数的“满足条件的长度/面积/体积”，将等可能事件的概念从有限向无限进行了延伸，也是初中学习的内容。那么几何概率的公式就变成了p=满足条件的长度/面积/体积总的长度/面积/体积。【例1】（2019上海A/B）射击用的靶子是由若干个同心圆组成，最中心的圆代表10环，而10环外圈的一个圆环代表9环。在随机射击时，若要使得击中10环和9环的概率相同，那么10环外圈半径与9环外圈半径的比值为： A.1 C.1/2 【答案】D 【解析】第一步，本题考查几何概率。第二步，要使得击中10环和9环的概率相同，根据几何概率基本公式，则10环和9环的面积相同。如下图所示，设10环外圈的半径为r1，9环外圈的半径为r2，根据面积相等有 πr12=πr22－πr12，整理得r1∶r2= 2 。因此，选择D选项。在圆形区域内考查几何概率比较多见，需要根据圆内各个半径计算面积的比值从而计算

概率。2018年上半年多省市联考也考到了这样一道几何概率：【例2】（2018联考上）小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的方式决定自己的周末活动。经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到100%，但投掷在圆内的位置随机。如果米粒到圆心的距离大于圆半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到圆心的距离小于半径的1/4，他会去打篮球；否则，他将在家看书。据此可知小波周末不在家看书的概率为： A.13/16 B.2/5 C.3/5 D.1/16 【答案】A 【解析】第一步，本题考查几何概率问题。第二步，如下图所示，赋值圆圈A的半径为4，则到圆心距离为圆A半径一半的圆B 的半径为2，到圆心距离为圆A半径的1/4的圆C半径为1，根据面积的比等于半径之比的平方，可得圆A、B、C的面积之比为16∶4∶1，那么留在家看书的概率为（4－1）÷16= 3 16 。第三步，小波周末不在家看书的概率为1－ 3 16 = 13 16 。因此，选择A选项。这两道题都是近两年考查几何概率的考题中比较简单的题目。近几年也考查过一些比较难的题目，这一类题目需要考生理解模型，从而在建造几何模型的过程中胸有成竹。当然如果考场上第一次遇见，没思路也可以放弃。【例3】（2018江西）将一长度为L的线段任意截成三段，设P1为所截的三线段能构成

古典概率模型练习题

12．古典概型 1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 2．有5条线段，长度分别为1、3、5、7、9从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( ) A. 110 B. 310 C.12 D.25 3．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( ) A.110 B.310 C.25 D. 710 4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.910 5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15 6.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（） A. 18 B. 38 C. 58 D. 78 7.从装有2个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A.至少有1个是黑球与都是黑球； B.至少有1个是红球与都是黑球 C.至少有1个黑球与至少有1个红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球 8.从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲选中的概率是（） A. 14 B. 12 C. 13 D. 34 9.同时掷3枚均匀的硬币，下列互为对立事件的是（） A.至少有1枚正面和最多有1枚正面 B.最多1枚正面和恰有1枚正面 C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面 10.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（） A. 23 B. 910 C. 35 D. 25

超几何和二项分布概率模型总结

高考理科数学知识归纳——概率一．离散型随机变量的期望(均值)和方差 X 1x 2x … n x P 1p 2p … n p 1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称112 2...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++ 性质（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数） 2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值 μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ．方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++- 2．方差公式也可用公式22221()()n i i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算． 3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X 的标准差，即 ()D X σ=． 1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。 X －1 0 1 P 9 5 对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X X 0 1 2 … l P 0n M N M n N C C C - 11n M N M n N C C C -- 22n M N M n N C C C -- … l n l M N M n N C C C -- 其中min(,)l n M =

随机游走模型的几何结构-最新文档资料

随机游走模型的几何结构统计学中的微分几何方法已经成为统计学的令人瞩目的分支，在统计推断、随机分布控制等领域有着成功的应用。Karl Pearson在1905年第一次提出了random walk，随机游走是由一系列随机步伐所形成的的活动模型。如今随机游走模型已被应用于诸多领域：生态学、经济学、心理学、计算机科学等。随机游走模型的几何结构属于信息几何的研究领域，是应用几何的新领域。应用信息几何的方法去研究随机游走模型的几何结构可以更加直观、系统地把握随机游走模型的统计分布性质，为其在更多领域的的应用带来了新的研究方法。 1 统计流形的概念对于统计分布流形，其中为欧氏空间中的开集，是密度函数，我们引入Fisher信息矩阵：这里E为数学期望.这样便在S上引入了黎曼度量，称为Fisher度量。其Levi-Civita联络系数为：进一步可定义联络其中统计流形的黎曼曲率张量为令，则里奇曲率张量为：若统计流形（M，g）上一对无挠的仿射联络和满足：

则称和是关于g的对偶联络。显然和是一对对偶联络。 2 散度函数散度函数是刻画两个统计分布差异程度的量，其定义为：定义2.1 在局部坐标系下，散度函数D ：M×M→R定义为一个光滑函数，满足：（1），? ∈ V 等式成立当且仅当；（2）（3）是正定的引理2.1（Eguchi，1983）.散度函数可导出一对无挠的仿射联络满足：对于两个给定的临近的密度函数，和，我们定义J-散度为：运用泰勒展式可以得到：即J-散度函数是距离微元的平方。 3 随机游走模型 ?S机游走模型的概率密度函数为：，的期望和方差分别为： . 运用公式可以得到信息阵为：协方差矩阵 . 相应的黎曼联络系数：由黎曼曲率张量：得：

考研概率论复习古典概型中几种研究模型

古典概型中研究的几类基本问题: 抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力. 本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用. 一、摸球问题 [例1]袋中有α个白球,β个黑球： (1)从中任取出a ＋b 个(a,b ∈N,α≤a,b ≤β,试求所取出的球恰有a 个白球和b 个黑球的概率； (2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率； (3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率. 思考方法这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中任取a+b 个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了α种不同情形：摸剩α个白球,α-1个白球,…,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑. [解](1)设A 1表示事件“所取的a+b 个球中恰有a 个白球和b 个黑球”.从α+β个球中任意摸出a+b 个,有???? ??++=++b a C b a βαβα种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事件A 1所包含的样本点数,相当于从α个白球中任取a 个,从β个黑球中任取b 个的取法种数, 共???? ?????? ??=b a C C b a βαβα种.所以 P(A 1)=??? ? ??++???? ?????? ??=++b a b a C C C b a b a βαβαβαβα (2)设A 2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从α+β个球中依次任取3个,有3βα+A 种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得,有2 βA 种取法,第二个白球可在α个白球中任取,有1αA 种取法.因此,A 2所包含的样本点数为2 1βαA A ?.于是

《建立古典概率模型》教学反思.

《建立古典概率模型》教学反思 2018-02-03 《建立古典概率模型》教学反思 -------西安市第八十九中学楚利平《建立古典概率模型》这节课，是北师大版教材数学必修三第三章第二节第二课时的教学内容，学生学习了古典概率模型的特点，归纳了古典概率的计算公式，同时在第一节教学内容中对于频率和概率的关系已经做了探究，对于生活中的概率也有了一定的了解，利用模拟实验的方法对摸奖的概率问题也作了分析，在此基础上进行的一节教学活动，突出了以下几点。第一、本节课教材以撒骰子的实验，和用两个白球两个黑球模拟奖票，用古典概率模型解决摸奖公平问题，引导学生从不同的角度建立多个基本事件，多个古典概率模型，由繁到简，让学生进一步理解古典概率模型的特点。在教学中，一开始我能够紧紧抓住实验的基本事件个数有限，每次只出现一个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等这一核心，引导学生进行反思，对于撒骰子的实验，建立了多个概率模型空间，打开了学生的思路，有利于学生发散思维的培养，这一点值得肯定。在摸球实验中，建立四个概率模型，突出了利用树形图写出所有实验个数，并先后让两名学生上台写出树形图，起到示范作用，在对几个基本模型分析时也能够充分利用模型图的特点，突出了数学的直观性和抽象性的核心素养。第二、在本节课的教学过程中，对于例题2的解法1进行了重点分析，利用学生书写的树形图，在完成第二个人摸白球的概率计算之后，引导学生进行反思该解法的优缺点，把两个白球和两个黑球分别抽象为两类元素，进而结合树形图引导学生思考两类元素分别有两个的所有可能排列个数，有利于发展学生批判的思维能力和数学抽象思维能力，同时鼓励和引导学生以该模型为依托，自己编拟试题，我在编拟试题时，以我校正在举办的2017 “金秋丝路”大讲堂三省青年教师讲课顺序问题为素材，进一步让学生体会抽象的数学问题源于我们的生活，我们身边也有许许多多的数学问题，感受数学的应用价值和社会价值。第三、在本节课的'教学过程中，能够重视知识之间的衔接问题。例如从古典概型率模特点的设问引入，就突出了本节课的核心是古典概型；再结合第二节课生活中的概率利用两个白球和两个黑球模拟摸彩票中奖问题，让学生了解概率统计解决问题的两种方法模拟实验和建立概率模型进行理论分析，同时也理解例2实质是对上一节课问题的另一种思考角度；其次在例2的四种解法的联系中，能够引导学生进行批判性的分析，不断的改进，由繁求简，最终使问题简化。

考点46 几何概型-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)

1 典型高考数学试题解读与变式2018版考点 46 几何概型一、知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． ②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布． (3)几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度 2.命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为基础题或中档题. 二、题型与相关高考题解读 1.与长度角度有关的几何概型 1.1考题展示与解读例1 【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）（A ） 710 （B ）58 （C ）38 （D ）3 10 【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题. 【解题能力要求】应用意识，运算求解能力【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)． 1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若正方形ABCD 边长为4,E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于（） A. 132 B. 78 C. 38 D. 18 【变式2：改编结论】在区间[] 1,5内随机取一个数m ，则方程222 41m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）

古典概率模型

古典概率模型一、教学内容分析本节课内容是高中数学古典概率，也是新课改后在学生没有学习排列组合情况下的新教学.古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位.利用列举法求古典概率模型，有利于理解概率的概念，计算一些事件的概率，也有利于解释生活中常见的一些问题. 二、教学目标 1．理解随机事件和古典概率的概念 . 2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 三、教学重点及难点重点是求随机事件的概率，难点是如何判断一个随机事件是否是古典概型，搞清随机事四、教学流程设计五、教学过程设计一、课前准备在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验，试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要

求每个数学小组至少完成30次（最好是整十数），最后由课代表汇总. 试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成30次，最后由课代表汇总. 二、学习新课 1．引入：课堂提问：在我们所做的每个实验中，有几个结果，每个结果出现的概率是多少？学生回答：在试验一中结果只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是相互独立的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种结果的可能性相等，即它们的概率都是1 2 . 在试验二中结果有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是相互独立的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种结果可能性相等，即它们的概率都是1 6 . 2．引入新的概念：基本事件：我们把试验可能出现的结果叫做基本事件. 古典概率：把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率. （1）一次试验所有的基本事件只有有限个. 例如试验一中只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.试验二中结果有六个，即有六个基本事件. （2）每个基本事件出现的可能性相等. 试验一和试验二其基本事件出现的可能性均相同. 随机现象：对于在一定条件下可能出现也可能不能出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象.试验一抛掷硬币的游戏中，可能出现“正面朝上”也可能出现“反面朝上”，这就是随机现象. 随机事件：在概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫做随机事件.例如掷骰子的结果中“是偶数”、“是奇数”、“大于2”等等都是随机事件.随机事件“是偶数”就是由基本事件“2点”、“4点”、“6点”构成.随机事件一般用大写英文字母A、B 等来表示. 必然事件：试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作 .例如掷骰子的结果中“都是整数”、“都大于0”等都是必然事件.

古典概率与几何概率

古典概型与几何概型【知识要点】 1.古典概率模型试验的两个共同特点：（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. （2）等可能性：每个事件出现的可能性相等. 2.古典概率的计算方法：如果一次试验中的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性相等，每个基本事件的概率是 1n ，如果事件A 包含的基本事件有m 个，那么事件A 的概率为()m P A n =，即： ()A P A = 包含的基本事件的个数基本事件的总数 3.几何概率的特点：（1）试验的结果是无限不可数的；（2）每个结果的出现时等可能性的. 5.几何概率模型中，事件A 的概率的计算公式是： ()A P A = 构成事件的区域的长度(面积或体积) 试验的全部结果构成的长度(面积或体积) 6.均匀随机数及其产生均匀随机数：就是在一定能范围内随机产生的书，并且在这个范围内得到的每一个数的机会相等.由于计算机具有高速度和大容量的特点.我们往往用计算机模拟那些庞大而复杂的试验，称为随机模拟或数字模拟. 均匀随机数的产生方法：（1）用函数型计算器产生均匀随机数的方法：按一次和键，产生一个0～1 上的均匀随机数；若需要多个，则要重复按键；（2）用计算机产生均匀随机数的方法：每调用一次()rand 函数，就产生一个[0,1]上的均匀随机数；若要产生a ～b 上的均匀随机数，就是用变换()()rand b a a *-+即可. 7.复杂事件的古典概率模型对于求解较复杂的古典概型的概率问题，可以利用分类讨论的办法求出总体包含的基本事件的个数及事件包含的基本事件的个数，然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，活着先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 8.常见的几种几何概型的概率求法：（1）设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 上的概率为 l P L = 的长度的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，点落在区域g 上的概

用几何模型 解概率问题