8《学习指南 试题精解》 第八章 稳恒磁场.
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第8章 稳恒磁场
8.1 要求
1 掌握磁感应强度的概念，理解毕奥 — 萨伐尔定律并能利用其计算简单
问题的磁感应强度；
2 理解恒定磁场的规律，磁场高斯定理和安培环路定理。掌握用安培环
路定理计算磁感应强度的方法；
3 掌握安培定律的洛仑兹力公式，能计算载流导线在磁场中受的力，能分
析运动电荷在均匀电场中和磁场中的受力和运动。
8.2 内容提要
1 电流
（1） 定义：单位时间内，通过导体中任一横截面的电量，简称为电流。
（2） 数学表达式 t
q I ??=，?t 时间内流过导体任一横截面的电量?q ； 2 电流强度 dt
dq t q i t =??=→?0lim 3 电流密度 定义式qn =，或θcos jdS d dI =?=
4 恒定电流的重要性质 0=??s
d
5 欧姆定律
（1） 中学物理 欧姆定律 S
l R R V V I ρ=-=
,21； （2） 大学物理 ,1,ds dl ds dl R R dV dI γρ===∵dl dV E j ds dI ==,， （3） 欧姆定律的微分形式 E j γ=
6 磁场
磁铁、电流和运动电荷，不论是同类之间还是彼此之间，都存在磁力的相互
作用。一切磁力都起源于电荷的运动，磁力是通过磁场传递的。也就是说，运动
电荷（包括电流或磁铁）在其周围空间激发磁场，磁场再作用于运动电荷（电流
或磁铁）。磁场也是电磁场的一种特殊存在方式，是物质的另一种形态。
7 磁感应强度
磁感应强度是描述磁场各处强弱和方向的物理量，它的定义有三种方法：
（1） 用磁场对运动电荷的作用来描述磁场。在磁场的每一点都有一个特定
的方向，当试探电荷0q 沿着这个方向运动时不受力，这个特定的方向定义为的
方向。在磁场中的每一个点，当试探电荷0q 的运动速度与B 垂直时，它所受的
力最大为max F ，则定义B 的大小为 V
q F B 0max =； （2） 用电流元在磁场中所受的力来描述磁场，把试探电流元l Id 放在磁场中的某点处，它所受到的力与试探电流元Id 取向有关。在某个特定的方向上，
受力为零，而与它垂直的方向，受力最大为max F ，则定义B 的大小为Idl
F B max =。
100
（3） 利用小电流线圈在磁场中所受的力矩来描述磁场，将载流线圈放在磁
场中的某点处，它可以自由转动，则定义线圈在平衡时的正法线方向（电流方向与线圈的关系由右手螺旋法则决定）为的方向，其大小为
IS
M B max =，式中max M 为钱圈受到的最大力矩，I 和S 为线圈中的电流和其面积。磁感应强度的单位是T （特斯拉），在高斯单位制中用Gs ，Gs T 4101=。
8 毕奥——萨伐尔（实验）定律
把任意形状的载流导体划分为许多电流元，整个载流导体所产生的磁场，就
是这些电流元所产生的磁场的叠加。
电流元Id ι在空间某点P 产生的磁感应强度dB 的大小与Id ι成正比、与
Id ι到P 点处的矢径r 之间的夹角成正比，而与r 2成反比。 数学表达方式为：30204sin 4r Id r
Id d ?==πμθπμ 9 磁感应强度叠加原理
磁场中某点的总磁感应强度（或称磁场）等于所有电流元各自在该点产生的
磁感应强度的矢量和。 数学表达式：???==l
r Id B d B 30
4πμ， （1） 载流圆线圈轴线上的磁场：B 1=32220
)(2l R IR +μ，圆心处场强R I
B o 20μ=；
（2） 距无限长直载流导线a 处的磁场：a
I B πμ20=
； （3） 无限长螺旋管：B=μ0nI ，即B 的大小于P 点在轴线上的位置无关，轴线上的磁场是均匀的，半无限长螺旋管：B=2
1μ0nI ； 10 磁通量（与Φ类比）：????===ΦS d B dS B d s s
m m αφcos （韦伯/米2）； 11 磁场强度
磁场强度是描述磁介质中磁场的一个辅助的物理量，磁介质中磁场不仅与磁
源电流有关还和磁介质的磁化电流有关。磁场强度定义为
-=0μ，式中M 为磁化强度，磁场强度的单位是A/m ，在高斯单位制
中，为奥斯特，用符号e O 表示，e O m A 3104/1-?=π。 对于各向同性磁介质，H H B r μμμ==0，式中r μ为介质的相对磁导率。 磁场中各点的和的方向相同。
12 磁场的高斯定理：通过任意闭合曲的磁通量恒等于零。
数学表达式 0=??d s
。 在有磁介质存在时，式中的B 应为传导电流产生的磁场0B 以及介质磁化电流产生的附加磁场B '的总和，即 B B '+=0。
101 磁场的高斯定理的微分形式为 0=??B ，这表明磁场是一个无源场。
13 安培环路定理
在磁场中，磁感应强度B 沿任一闭合环路L 的线积分，等于穿过环路所有
电流强度I 的代数和的μ0倍。 数学表达式：∑?=?i
i L I d 0μ；
14 安培定律
电流元Idl 在磁场中任一点处所受到的作用力dF 为
Id d ?=，式中B 为此处的磁感应强度；dF 称为安培力。 安培力F 的方向，按右手螺旋法则，此式称为安培定律，亦称为安培公式。
（1） 对任意形状载流导线在磁场中所受的安培力 Id d L
L ?==??
（2） 长为l 载流导线所受的安培力大小 θsin BIl F =，式中θ为电流I 与磁场间的夹角，方向由B l Id ?确定。
15 磁场力的功
载流导线在磁场中运动时，磁力所作的功和载流线圈在磁场内转动时磁力矩
所作的功都等于
m I A ?Φ= ，式中m ?Φ表示通过回路面积或线圈的磁通量的增量。
16 洛仑兹力
电荷量为q 的带电粒子在磁场中以速度v 运动，所受到的磁力为q ?=，
其大小为 θsin qvB , 力的方向按右手螺旋法则，
在普遍情况下，当一个带电粒子在既有电场又有磁场的区域里运动时，作用
在该粒子上的电磁力为 (B q ?+=
此式称为洛仑兹力公式，是电磁学的基本公式之一。
17 带电粒子在均匀电场和磁场中的运动
（1） 带电粒子在均匀电场中的运动
,q F e = m F e =；
（2） 带电粒子在均匀磁场中的运动
设有一均匀磁场，磁感应强度为，一电荷量为q ，质量为m 的带电粒子
以初速度0v ，进入磁场中运动
1） 如果B v //0，磁场对带电粒子的作用力为零，带电粒子以速度0v 作均速直
线运动；
2） 如果v ⊥0，磁场对带电粒子的作用力最大，其方向垂直0v ，带电粒子
以速度0V 作均速圆周运动，
圆轨道半径为 qB m v R =， 回转周期为 qB
m T π2=，周期T 与v 和R 无关。
102 17 磁场强度矢量 μH =
18 介质中的安培环路定理 ∑??==?=?1
i i L L I d d μ 8.3 解题思路
1、在应用洛仑兹力公式求磁力时，特别要注意各矢量的方向之间的关系，
带电粒子的速度V 是相对参考系的速度；
2、安培力的公式也是矢量公式。要分清d ,,的方向，式中B 是电流元
所在处的外磁场的磁感应强度；
3、利用安培环路定理求恒定电流磁场时，要根据电流分布的对称性分析
出磁场分布的对称性，然后选择适当的环路求解。
8.4 思考题解答
异形密绕长直螺线管，管内磁场是否是均匀磁场？其磁感应强度是否仍可
按nI B μ=计算？
答：异形密绕长直螺线管，管内磁场仍然是均匀磁场，其磁感应强度仍可按
nI B μ=计算。这是因为：异形截面的密绕长直螺线管可以看成是许多截面较小
的具有同样的n 和I 的圆形截面螺线管平行集束形成的。在管内任一点P 处相邻
的圆螺线管的电流方向相反，合电流为零，只有边界上的电流仍然是I 。这样，
这个圆形螺线管束的电流的总的分布和原来异形截面的密绕长直螺线管的电流
分布是一样的，其磁场分布也是一样的。所以其磁感应强度仍可按nI B μ=计算。
8.5 习题精解
8.1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的
半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为： (A) πr 2B ；
. (B) 2
πr 2B ； (C) -πr 2B sin α ；
(D) -πr 2B cos α。 ［ ］
解题思路：根据磁通量的定义，注意其正、负号，进行解题。
解：αcos BS S B =?=Φ，磁通量取弯面向外为正，则通过半球面S 的磁通
量为负，απcos 2r B -=Φ，故选（D ）。
8.2、电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的圆环，再由b 点沿半径方向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如8.2图)．已知直导线上电流强度为I ，∠aOb =30°．若长直导线1、2和圆环中的电流在圆心O 点产生的磁感强度分别用1B 、2B 、3B 表示，则圆心O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0； (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0，但021=+B B ，B 3 = 0；
图 8.2 图 8.1
103
(C) B ≠ 0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B ； (D) B ≠ 0，因为B 3≠ 0，021≠+B B ，所以0321≠++B B B 。 ［ ］
解题思路：根据已知条件，利用载流长直导线和圆环产生磁感强度的一些结
论，将载流导线分为四部分，即：两条通过圆心的半无限长直导线和两个圆弧
acb 和ba 将它们在在圆心O 点产生的磁感强度进行叠加，可得出结论。
解：通过圆心的半无限长直导线在圆心O 点产生的磁感强度为零，即
B 1=B 2=0；而由电阻均匀的导线构成的圆环acb 和ba ，其电阻的大小与它们的长
度成正比，电流的大小它们的长度成反比，它们在圆心O 点产生的磁感强度大
小相等、方向相反。 所以，1B 、2B 、3B 在圆心O 点的磁感强度大小为零，故选（A ）。
8.3、电流由长直导线1沿平行bc 边方向经过a 点流入由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，由b 点流出，经长直导线2沿
cb 延长线方向返回电源(如图)．已知直导线上的电流为I ，三角框的每一边长为l ．若载流导线1、2和三角框中的电流在三角框中心O 点产生的磁感强度分别用1B 、2B 和3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0； (B) B = 0，因为021=+B B ，B 3= 0； (C) B ≠0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0；
(D) B ≠0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B 。 ［ ］
解题思路：根据已知条件，利用载流长直导线产生磁感强度的特性，与上题
同理，可知：三角形载流导线在其中心点O 处所产生的合磁感强度为零，即B 3=0；
而半无限长直导线1和2不是完全地对称，所以021≠+B B ，故选（D ）。
8.4、图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？
(A) Ⅰ区域； (B) Ⅱ区域；
(C) Ⅲ区域；
(D) Ⅳ区域； (E) 最大不止一个。 [ ] 解题思路：根据已知条件，利用载流长直导线产生磁感强度的特性和叠加原
理，可解此题。
解：用右手螺旋法则进行判断，可知Ⅱ区域指向纸内的磁通量最大，
故选（B ）。 8.5、一均匀强磁场，其磁感强度方向垂直于纸面(指向如图
8.4)，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则
(A) 两粒子的电荷必然同号； (B) 粒子的电荷可以同号也可以异号；
(C) 两粒子的动量大小必然不同； (D) 两粒子的运动周期必然不同。 ［ ］
解题思路：带电粒子在均匀强磁场中运动，当其运动方向垂直磁场时，运动
ⅠⅡⅢⅣ
图 8.3 图 8.3
图 8.4
104
轨迹是一个圆。所以，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则粒子的电
荷可以同号也可以异号，随着电荷的不同，其运动方向也不同。故选（B ）。
8.6、两根载流直导线相互正交放置，如图所示．I 1沿y
轴的正方向，I 2沿z 轴负方向．若载流I 1的导线不能动，载流I 2的导线可以自由运动，则载流I 2的导线开始运动的
趋势是 (A) 沿x 方向平动； (B) 绕x 轴转动；
(C) 绕y 轴转动； (D) 无法判断。 ［ ］
解题思路：∵载流I 1的导线不能动，则载流I 2的导线在载流I 1的导线所产生
的磁场中，受到磁场力的作用必然会产生运动。研究载流I 1的导线产生的磁场，
其分布如图8.5中的虚线所示。
∴根据右手螺旋法则，可以判断载流I 2的导线开始运动的趋势是绕x 轴转动，故
选（B ）。
8.7、无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心
O 点的磁感强度大小等于
(A) R I π2
0μ． (B) R
I 40μ． (C) 0． (D) )11(20π-R I μ． (E) )11(40π+R I μ． ［ ］ 解题思路：可将系统分为：载流I 的半径为R 圆线圈和以圆心O 的距离为
R 的无限长直导线的两部分所组成；则系统在圆心O 的磁感强度大小等于它们
所产生的磁感强度的叠加。磁场方向垂直纸面向里，∴B=)11(20π
-R I μ，故选（D ）。 8.8、如图8.7两个半径为R 的相同的金属环在a 、b 两点接
触(ab 连线为环直径)，并相互垂直放置．电流I 沿ab 连线方向由a 端流入，b 端流出，则环中心O 点的磁感强度的大小为 (A) 0； (B) R I 40μ； (C) R
I 420μ； (D) R I 0μ； (E) R
I 820μ。 ［ ］ 解题思路：可将系统分为：载流I 的半径为R 圆线圈a 和b 两部分，电流I
在a 点分为四条支路，每条为I/4，最后汇集于b 点。利用半圆环载流导体所产
生的磁场的叠加，可解此题。
解：同一载流圆环上的电流相等，在其圆心O 处所产生的磁场的大小相等、
方向相反，合磁场强度为零。同理可得：该系统在环中心O 点的磁感强度的大小
为零，故选（A ）。
I I b a 图 8.5 图 8.6 图 8.7
105
8.9、如图8.8所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝．当导线中的电流I 为2.0 A 时，测得铁环内的磁感应强度的大小B 为1.0 T ，则可求得铁环的相对磁导率μr 为(真空磁导率μ 0 =4π×10-7 T ·m ·A -1)
(A) 7.96×102；
(B) 3.98×102；
(C) 1.99×102 ；
(D) 63.3 。 ［ ］ 解题思路：根据载流I 细螺绕环内的磁感应强度公式，可解此题。
解：NI R r NI B r r 0020.102μπμπμμ=∴==， 又Rn N π2=， )/(1098.30
.2101040.12223700A m T nI T RnI R T r ??=???==?=-πμπμπμ，故选（B ）。 8.10、在真空中，电流I 由长直导线1沿垂直bc 边方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，
再由b 点沿平行ac 边方向流出，经长直导线2返回电源(如
图8.9)．三角形框每边长为l ，则在该正三角框中心O 点处磁感强度的大小B =_________。 解题思路：将载流导线1和2看成是半无限长载流直导线，且载流导线1在该正三角框中心O 点处磁感强度的大小B 1 =0；由于对称性，载流正三角框在该正三角框中
心O 点处磁感强度的大小B 三 =0。事实上，只需要计算载流导线2的磁场。
解： l l bO 3
360cos 32=?=， l
I bo I B πμπμ43400==。 8.11、有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的
电流均为I ，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向正相反，则
(1) 在r < R 1处磁感强度大小为:______；
(2) 在r > R 3处磁感强度大小为______________。
解题思路：应用安培环流定理，可解此题。
解：由于圆柱面的轴对称性，在垂直轴的平面内，
做成一个半径为r 的圆，圆周上各点的磁感强度大小相等，
应用安培环流定理：
?∑=?L i i I d 0μ，即r I B I rB i i
i i πμμπ2,200∑∑==， （1）、在r i ==∑ππ， 图 8.8 图 8.9 图 8.11 106 在r 02R rI B πμ=； （2）、在r > R 3处，0=-=∑I I I i i 。磁感强度大小为零。 8.12、带电粒子穿过过饱和蒸汽时，在它走过的路径上，过饱和蒸汽便凝结成小液滴，从而显示出粒子的运动轨迹．这就是云室的原理．今在云室中有磁感强度大小为B = 1 T 的均匀磁场，观测到一个质子的径迹是半径r = 20 cm 的圆弧．已知质子的电荷为q = 1.6×10-19 C ，静止质量m = 1.67×10-27 kg ，则该质子的动能为:____ 。 解∶ 由带电粒子在均匀磁场中作圆周运动，所受的洛仑兹力等于向心力， 即有 r m B q 2 v v = ，可球出其运动的速度 ==m qBr v 1.92×107 m/s ； 质子动能 ==22 1v m E K 3.08×10-13 J 。 8.13、将一个通过电流为I 的闭合回路置于均匀磁场中，回路所围面积的法线方向与磁场方向的夹角为α ．若均匀磁场通过此回路的磁通量为Φ ，则回路所受力矩的大小为______________________________________。 解∶αsin ISB B S I M =?=，αcos SB B S =?=Φ 回路所受力矩的大小为M=I Φ tan α。 8.14、如图8.12所示，一根通电流I 的导线，被折成长 度分别为a 、b ，夹角为 120°的两段，并置于均匀磁场B 中， 若导线的长度为b 的一段与B 平行，则a ，b 两段载流导线所受的合磁力的大小为________________。 解∶b 段载流导线电流与磁场强度的方向相同，其所受的磁力为零；a ，b 两段载流导线所受的合磁力就是a 段载流导线所受的合磁力， αsin ||||aIB Id =?=，其大小为： aIB aIB F 2 360sin =?=。 8.15、有很大的剩余磁化强度的软磁材料不能做成永磁体，这是因为 ____ 、________，如果做成永磁体______________。 8.16、已知均匀磁场，其磁感强度B = 2.0 Wb ·m -2，方 向沿x 轴正向，如图8.13所示．试求： (1) 通过图中abOc 面的磁通量； (2) 通过图中bedO 面的磁通量； (3) 通过图中acde 面的磁通量． 解：匀强磁场B 对平面S 的磁通量为： B 图 8.12 107 θ Φc o s BS S B ==? 设各面向外的法线方向为正 (1) 24.0cos -=π=abO c abO c BS Φ（Wb ） (2) 0)2/cos(=π=bedO bedO BS Φ ， (3) 24.0cos ==θΦacde acde BS （Wb ）。 8.17、假定地球的磁场是由地球中心的载流小环产生的，已知地极附近磁感强度B 为 6.27×10-5 T ，地球半径为R =6.37×106 m ．μ0 =4π×10 -7 H/m ．试用毕奥－萨伐尔定律求该电流环的磁矩大小。 解：毕奥─萨伐尔定律 3 0d 4d r r l I B ??π=μ 如图示，αsin d d ?=B B z ，r a /sin =α (a 为电流环的半径)， r >> a z a z r ≈+=22 30302d 4z IS l z a I B l z π=??π=?μμ 小电流环的磁矩 IS p m = 03/2μz B p z m π= 在极地附近z ≈R ，并可以认为磁感强度的轴向分量B z 就是极地的磁感强度 B ，因而有 03/2μBR p m π=≈8.10×1022 A ·m 2 8.18、如图8.14所示，一半径为R 的均匀带电无限 长直圆筒，面电荷密度为σ．该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度． 解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向 的面电流密度i ， σωσωR R i =ππ=)2/(2 作矩形有向闭合环路如图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab 上各点B 的大小和方向均相同，而且B 的方向平行于ab ，在bc 和fa 上各点B 的方向与线元垂直，在de , cd fe ,上各点0=B ．应用安培环路定理 ∑??=I l B 0d μ 可得 ab i ab B 0μ= ， σωμμR i B 00==， 圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为σωμR B 0=，方向平行于轴线朝右。 x z O d c θ θ 40 cm 30 cm B n 图 8.13 图 8.14 图 8.15 第8章 稳恒磁场 习题及答案 6. 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R 。若通以电流I ，求O 点的磁感应强度。 解：O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB 在O 点产生的磁感应强度为 01 B C B 在O 点产生的磁感应强度大小为 R I B 402 R I R I 123400 ，方向垂直纸面向里 CD 在O 点产生的磁感应强度大小为 )cos (cos 4210 03 r I B )180cos 150(cos 60cos 400 R I )2 31(20 R I ，方向垂直纸面向里 故 )6 231(203210 R I B B B B ，方向垂直纸面向里 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。 解：圆心O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但 A 和 B 在O 点 产生的磁场为零。且 21221R R I I 电阻电阻 1I 产生的磁感应强度大小为 ）（ 241 01R I B ，方向垂直纸面向外 2I 产生的磁感应强度大小为 R I B 4202 ，方向垂直纸面向里 所以， 1) 2(21 21 I I B B 环中心O 的磁感应强度为 0210 B B B 8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，沿长度方向通过均匀电流I ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应强度。 解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。 以P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为x 轴正方向建立坐标系。在载流平板上取dx a I dI ，dI 在P 点产生的磁感应强度大小为 x dI dB 20 dx ax I 20 ，方向垂直纸面向里 P 点的磁感应强度大小为 第四章 恒定磁场 (注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑） 4-1 如题4-1图所示，两条通以电流I 的半 无穷长直导线垂直交于O 点。在两导 线所在平面，以O 点为圆心作半径为R 的圆。求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各点的磁感应强度。 解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流I 的直导线在P 点产生的磁感应强度为 ()αθθπμe B 120cos cos 4--=r I 因此，可得（设参考正方向为指出纸面） R I R R I B A πμπμ422 135cos 180cos 220cos 135cos 400= ???? ? ? ??----= ()R I R I B B πμπμ410cos 90cos 400=--= 用类似的方法可得 R I B C πμ40=， I R B C 021 2μπ-=，R I B D πμ40=，R I B E πμ20=，I R B F 021 2μπ+- = 4-2 xy 平面上有一正n 边形导线回路。回路的中心在原点，n 边形顶点到原点的距离为R 。导线中电流为I 。 1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度； 2）证明当n 趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为R 的圆形载流导线回路产生的磁感应强度相同； 3）计算n 等于3时原点的磁感应强度 。 解 如图4-3中所示为正n 边形导线回路的一个边长，则所对应的圆心角为n π 2， 1）n 条边在圆心产生的磁感应强度为 απe B ?? ? ??=n R tan 20 2）当n ∞→时，圆心处的磁感应强度为 ααμππμe e B R I n R I n n 2tan 2lim 00=??? ??=∞→ 3）当n 等于3时圆心处的磁感应强度为 ααπμππμe e B R I R I 2333tan 2300=?? ? ??= 4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为R 的圆形 导线回路通以电流I 时，在其轴线上产生的矢量磁位。 解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上z 处的矢量磁位为 0d 4220=+=?l R z I l A πμ 4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电流I 在其中垂 线上距线电流1米处的矢量磁位。 解 据76页例4-4，可得 () () 12210cos 1sin cos 1sin ln 4θθθθπμ--=I z e A ， 其中， 451=θ， 1352=θ，则 1212ln 42212222122ln 400-+=???? ??+???? ??+=πμπμI I z z e e A 4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理 由。 1） Ar r e （球坐标系） 2） A x y y x ()e e + 3） )(y x y x A e e - 4） Ar e α（球坐标系） 5） Ar e α（圆柱坐标系） 解 1） 03)(13 2≠== ??A A r r r ??A 2） 0 ==++??z A y A x A z y x ??????A 3） 01-1 ===++ ??z A y A x A z y x ??????A 由于0=??B ，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）~5） 可能是磁感应强度表达式。 4-6 相距为d 的平行无限大平面电流，两平面分别在z d =-/2和z d =/2平行于 xy 平面。面电流密度分别为K x e 和K y e ，求由两无限大平面分割出的三个空 第五章 恒定磁场与磁介质 一、 选择题 1、 关于稳恒磁场的磁场强度H 的下列几种说法中哪个是正确的（） A 、H 仅与传导电流有关。 B 、若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H 为零 C 、若闭合曲线上各点的H 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零 D 、以闭合曲线L 为边缘的任意曲面的H 通量均相等 答案：C 2、磁介质有三种，用相对磁导率r μ表征它们各自的特性时（） A 、顺磁质r μ>0，抗磁质r μ<0，铁磁质r μ》1 B 、顺磁质r μ>1，抗磁质r μ=1，铁磁质r μ》1 C 、顺磁质r μ>1，抗磁质r μ<1，铁磁质r μ》1 D 、顺磁质r μ>0，抗磁质r μ<0，铁磁质r μ>1 答案：C 3、 用细导线均匀密绕成的长为l ，半径为a(l 》a)，总匝数为N 的螺线管通以稳恒电流I ，当管内充满磁导率为r μ的 均匀磁介质后，管中任意一点（） A 、磁感应强度大小为B=r μμ0NI B 、磁感应强度大小为B=r μNI /l C 、磁场强度大小为H=0μNI/l D 、磁场强度大小为H=NI/l 答案：D 4、 顺磁物质的磁导率（） A 、比真空的磁导率略小 B 、比真空的磁导率略大 C 、远小于真空的磁导率 D 、远大于真空中的磁导率 答案：B 5、 通电直长螺线管内的一半空间充满磁介r u ，在螺线管中，介质中与空气中相等的物理量是（） A 、 B 1=B 2 B 、H 1=H 2 C 、M 1=M 2 D 、21 ψψ= 答案：B 6、 图中所示的三条线分别表示三种不同磁介质的B-H 关系，表示顺磁质的是（） A 、第一条 B 、第二条 C 、第三条 D 、无法判断 答案：B 7、 磁铁能吸引铁钉之类的小物体是由于（） A 、小物体是铁磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 B 、小物体是顺磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 C 、小物体是抗磁性的，被磁铁磁化，受到吸引力 D 、磁铁和小物体都是顺磁性物质，相互吸引 答案：A 8、如图所示，一永磁环，环开一很窄的空隙，环内磁化强度矢量为M ，则空隙中P 点处的H 的大小为（） A 、0μM B 、M C 、r μμ0M D 、0 答案：B 9、如图所示，一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为M ，图中所标各点的磁感应强度是（） A 、0,3021 ===B M B B μ B 、M B B M B 032012 1 ,μμ= == 第八章 真空中的稳恒磁场 一、 基本要求 1．掌握磁感应强度的概念。理解毕奥－萨伐尔定律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。 2．理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。 3．理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。 二、 基本内容 1. 基本概念：电流产生磁场，描述磁场的基本物理量——磁感应强度矢量，磁场线，磁通量，磁场对电流的作用。 2. 毕奥－萨伐尔定律 电流元d l I 在空间某点激发的磁感应强度为： 02 4d d r μπ?=l r B I 其中，r 表示从电流元到该点的距离，0r 表示从电流元到该点的单位矢量。 从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零。它是求解磁场的基本规律，它从电流元的磁场出发，可得到计算线电流产生磁场的方法 2 ()() 4L L d d r μ π ?==?? l r B B I 应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长直载流导线在空间任意一点的磁场，圆电流在轴线上各点的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，圆电流在圆心处的磁场。 这些计算公式在求解问题时可以直接使用。 3. 磁场的叠加原理 121 n n i i ==++ +=∑B B B B B 该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和。将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多种电流在空间某点产生的磁场。在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和。对于电流连续分布的载流体，可以选择合适的电流元dI ，用已知公式求出电流元在所求点的磁场d B ，然后根据d B 的分布特点，建立合适的坐标系，求出各个磁场分量，最后求其矢量和。 4. 磁场中的高斯定理 () 0S d ?=?? B S 该定理表明：磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的。 5. 安培环路定理 01 N i L i d I μ=?=∑? B l 该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守力场。应用该定理时，首先应该注意穿过以L 为边界的任意曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感应强度不一定为零。在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L 。 6. 安培定律 电流元在外磁场中受安培力为： d Id =?f l B 其中，d f 的大小?sin IdlB df =，d f 方向由Id ?l B 确定。 该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律。一段载流导线在磁场中受到的安培力为： () () L L d Id ==???f f l B 应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁力的分布特点。如果电流 第五章 稳恒磁场 设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 解：如图所示 令 110A I H e r = 220A I H e r = 由稳恒磁场的边界条件知， 12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H = 所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律 H dl I ?=?? 得 12I H H r π+= (2) 联立(1),(2)两式便解得 2112 0I I H r r μμμμπμμπ=? =?++ 01212 0I I H r r μμμμπμμπ= ? =?++ 故， 01110I B H e r θμμμμμπ== ?+ 02220I B H e r θμμμμμπ== ?+ 212()M a n M M n M =?-=? 2 20 ( )B n H μ=?- 00()0I n e r θμμμμπ-= ???=+ 222()M M M J M H H χχ=??=??=?? 00 00(0,0,)z J Ie z μμμμδμμμμ--=?=?++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势 A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。 解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量，而与φ，z 无关。由2A ?的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ?=- 220A ?= 此即 1 01()A r J r r r μ??=-?? 2 1()0A r r r r ??=?? 通解为 21121 ln 4 A Jr b r b μ=-++ 212ln A c r c =+ §3 磁场的“高斯定理”与安培环路定理 引言： 磁场、电场均是矢量场，但磁场与电场性质不同。在电学中有场方程： ?∑=?S s q s d D 内 0??， ?=?0l d E ? ? 而在磁学中相应的该两方面（通量、环流）又该如何？即 ?=?s s d B ???， ?=??L l d B ? ? 它们均可由毕奥－萨伐尔定律，结合叠加原理导出。 一、磁场的“高斯定理” 1、磁通量 引入磁力线形象化地描述磁场，疏密和切向所代表的含义类同电力线。如图5-17，规定：通过一曲面S 的磁通量为 ? ?=?=ΦS S m dS B S d B θcos ? ? 在SI 制中各物理量的单位为 m Φ：韦伯（Wb ），1韦伯=1特21米? B ρ ： 特斯拉（T ），2111米 韦伯特=，具有磁通密度概念。 2、B ρ 线的闭合性 即磁场的高斯定理：?=?S S d B 0? ?。表明：闭合曲面S 的磁通量为零，自然界 中不存在自由磁荷（磁单极）。因稳恒电流本身是闭合的（? =?S S d j 0? ?） ，故闭合电流与闭合B ? 线相互套链。高斯定理也表明，磁力线是无头无尾的闭合线，磁场是无源场。 图5-17 图5-18 θ B ? d n ds s ? ?= Id l ?θ r d B ? 闭面S 3、高斯定理的证明思路 高斯定理可从毕奥－萨伐尔定律严格证明，这里仅提供思路。如图5-18。 (1) 首先考虑单个电流元l Id ? 之场中 以l Id ?为轴线取一磁力线元管，其上磁场2 04sin r Idl dB πθμ=处处相等；再取任意闭曲面S ，若S 与之交链，则一进一出，0=Φm d ；若S 与之不交链，仍0=Φm d ； 再展扩至整体S 面上，得0=Φm 。 (2) 然后再考虑任意回路之总场是各电流元之场的叠加，因l Id ? 是任一电流 元，故对整体考虑，其结论不变。 二、安培环路定理 1、研究：?=?L l d B ?? ? 2、特点：取积分回路L （称之为安培环路）沿B ?线，因B ?线闭合，且B ? 与l d ?的夹角为零，而有?≠?L l d B 0? ?。 3、内容：∑?=?) (0内L L I l d B μ? ?，其中右侧为穿过闭路L 的电流之代数和，按右 手定则规定，参见图5-19。 图5-19 4、定理证明：该定理可由毕奥－萨伐尔定律证明，下面先看l d B ρ ρ?，再计算??L l d B ρ ρ，最后再用叠加原理。 如图5-20，L －安培环路，L '－载流回路，作一负l d ρ 位移后成L ''。 I I L （正） L （负） 右手定则 → → 第八章 稳恒磁场 磁介质 教学基本要求 1.理解磁感应强度的概念，掌握用毕--萨定律计算磁感应强度的方法． 2.掌握安培环路定理以及用来求解具有对称性磁场的方法． 3.能够用安培定律计算载流导线和回路所受的磁力和磁力矩． 4.掌握洛伦兹力公式，并由此计算带电粒子在均匀电场和均匀磁场中的受力和运动的简单情况． 5.了解顺磁质、抗磁质和铁磁质的特点及磁化机理． 6.掌握磁介质时的安培环路定理，并利用其求解磁介质时具有一定对称性的磁场分布． 教学内容提要 1.基本概念 （1）磁感应强度B max F B qv ⊥ = 其方向为小磁针N 极在此处所指方向． （2）载流线圈的磁矩 m IS =P n 其中n 为载流线圈正法线方向的单位矢量． （3）磁通量 d d Φ=Φ=??B S 2.磁场的产生 (1)运动电荷的磁场 034q r μπ?= ?v r B (2)毕奥——萨伐尔定律 0Id d μπ?= l r B (3)磁感应强度叠加原理 03 4L L Id d r μπ?==?? l r B B 3.稳恒磁场的基本性质 （1）高斯定理 0?=? s B dS （2）安培环路定理 0 i l d I μ?=∑?B l 4.几种典型磁场 （1）无限长载流直导线的磁场 02I B r = μπ （2）圆电流中心的磁场 02I B R μ= （3）长直载流螺线管内的磁场 0B nI μ= （4）载流密绕螺绕环内的磁场 0N B I L μ= （5）圆电流轴线上的磁场 2 02 232 2() IR B R r μ= + 5.磁场力 （1）洛伦兹力 q ?f =υB （2） 安培力公式 d Id ?F =l B L d Id == ??? F F l B （3）载流平面线圈在均匀磁场中受到的合磁力 0=F 合 受到的磁力矩 =?m M P B 6.磁介质的分类 （1）顺磁质. r μ略微大于1的磁介质，磁介质磁化后产生的附加磁场与外磁场方向相同． （2）抗磁质．r μ略微小于1的磁介质，磁介质磁化后产生的附加磁场与外磁场方向相反． （3）铁介质．1r μ>>的磁介质，磁介质磁化后能产生很强的与外磁场同方向的附加磁场． 7.有磁介质时高斯定理和安培环路定理 （1）高斯定理 s d ?? B S =0 第五章 稳恒磁场 引言： 电流通过导体有热效应，通过电解液有化学效应。本章讨论电流的磁效应：电流在其周围空间激发磁场，磁场对电流有磁力作用。 本章重点介绍真空中静磁学知识，建立稳恒磁场之基本方程式。研究方法仍为场论方法，注意与静电场比较和区别。 §1 磁的基本现象和规律 一、磁作用 电与磁常相伴随、相互转化，相互作用综述为图5-1所示几种情况。 图5-1 图5-2 1、磁铁间的相互作用 结合实物演示说明： (1)同种磁极相互排斥、异种磁极相互吸引，参见图5-2； (2)将一磁棒分为两段，N 、S 极并不能相互分离，不存在磁单极； (3)地球本身是一大磁体，其磁性N 极在地理南极，磁性S 极在地理北极。 自由悬挂的条形磁棒或长磁针始终指南北，即是上规律的体现——指南针及应用。 2、电流对磁铁的作用 图5-3 N S N S S N N S N S 电流 磁铁 磁铁 电流 ③ ② ② ③ ① ④ I S N N I N S S I N N S S S 通电导线周围产生磁场，通电螺线管相当于条形磁铁，参见图5-3。 3、磁铁对电流的作用 电流是运动电荷形成，表明磁极对运动电荷也有磁力作用，参见图5-4。 图5-4 右手定则判受力 4、电流对电流的作用 参见图5-5说明。 同向电流：吸引 反向电流：排斥 图5-5 以上均称为磁相互作用，是基本的磁现象。 二、磁场 1、物质磁性的基本来源 螺线管通电后的磁性与磁棒的相似性，启发人们：磁铁与电流是否在本源上一致？ （19 世纪，法国）安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元——磁分子就是环形电流。若这些分子电流定向排列，宏观上即显示N 、S 极。 ●磁分子的“分子电流”等效成图5-6 ●分子环流形成的微观解释：原子、分子内电子的绕核旋转和自转。 综上可见：一切磁效应均来源于电流；一切磁作用都是电流与电流之间的相互作用，或说成运动电荷之间的相互作用。 I N S F N S F 第 8 章 稳恒磁场 习题及答案 6. 如图所示， AB 、 CD 为长直导线， BC 为圆心在 O 点的一段圆弧形导线，其半径为 R 。 若通以电流 I ，求 O 点的磁感应强度。 解： O 点磁场由 AB 、 BC 、 CD 三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB 在 O 点产生的磁感应强度为 B 1 0 BC 在 O 点产生的磁感应强度大小为 B 2 0 I 0 I 3 0 I ，方向垂直纸面向里 4 R 4 R 12R CD 在 O 点产生的磁感应强度大小为 B 3 I (cos 1 cos 2 ) 4 r 0 0 I 4 R cos60 0 (cos150cos180 ) 0 I 3 (1 ) ，方向垂直纸面向里 2 R 2 故 B 0 B 1 B 2 B 3 0 I (1 3 ) ，方向垂直纸面向里 2 2 R 6 A ， B 两点，并在很远处与电源相连。已知 7. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的 圆环的粗细均匀，求环中心 O 的磁感应强度。 解：圆心 O 点磁场由直电流 A 和 B 及两段圆弧上电流 I 1 与 I 2 所产生，但 A 和 B 在 O 点 产生的磁场为零。且 I 1 电阻 R 2 I 2 电阻 R 1 2 I 1 产生的磁感应强度大小为 B 1 0 I 1 2） （ 4 R ，方向垂直纸面向外 I 2 产生的磁感应强度大小为 B 2 0 I 2 ，方向垂直纸面向里 4 R 所以， B 1 I 1 (2 ) 1 B 2 I 2 环中心 O 的磁感应强度为 B 0 B 1 B 2 8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为 a ，沿长度方向通过均匀电流 I ，求与平板共面且距平 板一边为 b 的任意点 P 的磁感应强度。 解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加 原理求解。 以 P 点为坐标原点，垂直载流平板向左为 x 轴正方向建立 坐标系。在载流平板上取 dI I dx ， dI 在 P 点产生的磁感应 a 强度大小为 第四章 恒定磁场 (注意:以下各题中凡就是未标明磁媒质得空间,按真空考虑) 4-1 如题41图所示,两条通以电流得半无 穷长直导线垂直交于O 点。在两导线 所在平面,以O 点为圆心作半径为得 圆。求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各 点得磁感应强度。 解 参考教材71页得例41,可知,图42所示 通有电流得直导线在点产生得磁感应强度 为 因此,可得(设参考正方向为指出纸面) R I R R I B A πμπμ422135cos 180cos 220cos 135cos 400=????? ? ??----=οοοο 用类似得方法可得 ,,,, 4-2 平面上有一正边形导线回路。回路得中心在原点,边形顶点到原点得距离为。导线中电流为。 1)求此载流回路在原点产生得磁感应强度; 2)证明当趋近于无穷大时,所得磁感应强度与半径为得圆形载流导线回路产生得磁感应强度相同; 3)计算等于3时原点得磁感应强度 。 解 如图43中所示为正边形导线回路得一个边长,则所对应得圆心角为,各边在圆()()()()()αααααααππμππμθπμθπμθπμθθπμθθπμe e e e e e e B ?? ? ??=??? ??====---=--=n R I n r I r I r I r I r I r I tan 2sin 2cos 2cos 2cos 24cos cos 4cos cos 4001010101101201 1)n 条边在圆心产生得磁感应强度为 2)当n 时,圆心处得磁感应强度为 3)当等于3时圆心处得磁感应强度为 4-3 设矢量磁位得参考点为无穷远处,计算半径为得圆形导线回路通以电流时,在其轴线上产生得矢量磁位。 解 如图44建立坐标系,可得轴线上处得矢量磁位为 4-4 设矢量磁位得参考点在无穷远处,计算一段长为2米得直线电流在其中垂线上距线电流1米处得矢量磁位。 7章练习题 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线 方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2 B cos α． 2、如图所示，电流I 由长直导线1经a 点流入由电阻均匀的导线构 成的正方形线框，由b 点流出，经长直导线2返回电源(导线1、2的延长线均通过O 点)．设载流导线1、2和正方形线框中的电 流在框中心O 点产生的磁感强度分别用 1B 、2B 、3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0、B 3≠ 0，但 0321=++B B B ． (C) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B ． 3、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 4、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电 流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲 线表示B －x 的关系？ ［ ］ B x O R (D) B x O R (C) B x O R (E) 第8章 恒定磁场 一、填空题 8.1、如图所示，平行的无限长直载流导线A 和B ， Y 电流强度均为I ，垂直纸面向外，两根载流导线 之间相距为a ，则 （1）AB 中点（P 点）的磁感应强度P B = ； （2）磁感应强度B 沿图中环路L 的线积分 ??L l d B = 。 8.2、一个绕有500匝导线的平均周长50cm 的细环，载有0.3A 电流时，铁芯的相对磁导率为600。 （1）铁芯中的磁感应强度B 为 ； （2）铁芯中的磁场强度H 为 。（170104--???=A m T πμ） 8.3、将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有C q 5100.2-?=的电荷通过电流计。若连接电流计的电路总电阻Ω=25R ，则穿过环的磁通的变化 ?Φ= 。 8.4、如图所示，一长直导线中通有电流I ，有一与长直导线共面、垂直于导线的细金 属棒AB ，以速度v 平行于长直导线 作匀速运动。问 （1） 金属棒A 、B 两端的电势A U 和B U 哪 一个较高 ？ （2）若将电流I 反向，A U 和B U 哪一个较高 ？ （3）若将金属棒与导线平行放置，结果又如何 ？ 8.5、真空中一根无限长直导线中流有电流强度为I 的电流，则距导线垂直距离为a 的某点的磁能密度m w = 。 8.6、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为 ∑?==?n i i s q s d D 1 dt d L d E m L /Φ-=?? 0=??s s d B ∑?=Φ+=?n i D i L dt d I L d H 1 / 试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。 （1）变化的磁场一定伴随有电场 ； （2）磁感应线是无头无尾的 ； （3）电荷总伴随有电场 。 8.7、将半径为R 的无限长导线薄壁管（厚度忽略） 沿轴向割去一个宽度为h （h < 第四章 习题一(磁场) 1、一根载有电流I 的无限长直导线，在A 处弯成半径为R 的圆形，由于导线外 有绝缘层，在A 处两导线并不短路，则在圆心处磁感应强度B 的大小为( C ) (A) I (μ0＋1)／(2πR) (B) μ0πI ／(2πR) (C) μ0I(1＋π)／(2πR) (D) μ0I(1＋π)／(4πR) 2、载有电流为I 的无限长导线，弯成如图形状，其中一段是半径为a 的半圆， 则圆心处的磁感应强度B 的大小为( D ) (A) μ0I ／(4a ) + μ0I ／(4πa ) (B))8/(2)4/()4/(a I a I a I o o o πμπμμ++ (C) ∞ (D))4/(2)4/()4/(a I a I a I o o o πμπμ μ+-3、如图，电流I 均匀地自下而上通过宽度为a 的 无限长导体薄平板，求薄平板所在平面上距板的一 边为d 的P 点的磁感应强度。 解：该薄板可以看成是由许多无限长的细直载流 导线组成的，每一条载流线的电流为dI =Idx /a ， 根据无限长直载流线磁场公式，它们在P 点产 生的磁感应强度的大小为 x dx a πI μx πdI μdB 2200= =，B d 的方向? ∴ d a d a πI μx dx a πI μdB B a d d a d d +== =??++ln 2200，B 的方向? P B 4、电流均匀地自下而上通过宽为2a 的无限长导体薄平板，电流为I ，通过板的中线并与板面垂直的平面上有一点P ，P 到板的垂直距离为x ，设板厚可略去不计，求P 点磁感应强度B 。 解：面电流线密度a I j 2/= 在离轴线y 处取一宽为dy 的窄条，其电流为 dy a I jdy dI 2==, 22y x r += P 点B d 的方向如图所示。 r πdI μdB 20= 2 2 0044y x dy a πI μr dy a πI μ+== 2 2 cos sin y x x r x φθ+== =，2 2 sin cos y x y r y φθ+== = 2204cos y x ydy a πI μθdB dB x += =，2 204sin y x xdy a πI μθdB dB y +== 04220=+==??--a a a a x x y x ydy a πI μdB B x a a πI μx y a πI μy x dy a πIx μdB B a a a a a a y y arctan 2arctan 4400220 ==+==---?? y y y x x e x a a πI μe B e B B ??? ??=+=arctan 20 5、求上题当a →∞，但维持a I j 2=(单位宽度上的电流，叫做电流线密度)为一常量时P 点的磁感应强度。 解：y y y a e j μe ππj μe x a a πI μB 2 2arctan 2lim 000==??? ??=∞→ 第五章稳恒电流的磁场 一稳恒电流的磁场教学内容 1．磁的基本现象 （1）磁铁的性质 （2）磁电联系 （3）磁场 （4）磁性起源 2．磁感应强度 （1）磁感应强度矢量 （2）磁感应线 3．毕奥一萨伐尔定律 （1）毕奥一萨伐尔定律 （2）磁感应强度叠加原理 （3）毕奥一萨伐尔定律的应用 4．磁场的高斯定理 （1）磁通量 （2）磁场的高斯定理 5．安培环路定理 （1）安培环路定理 （2）安培环路定理应用 6．磁场对运动电荷的作用 （1）洛仑兹力 （2）带电粒子在磁场中的运动 （3）回旋加速器 （4）汤姆逊实验质谱仪 （5）霍尔效应 7．磁场对载流导线的作用 （1）安培力公式 （2）均匀磁场对平面载流线圈的作用 （3）平行无限长直导线间的相互作用 说明与要求： 1．本章主要研究电流激发磁场和磁场对电流及运动电荷的作用两部分内容。 2．本章重点是2、3、5节，难点是磁感应强度的概念及安培环路定理的物理意义及应用。3．本章研究问题的方法与第一章类似，故在教学中应加强它们的比较。 二、稳恒电流的磁场教学目标 节次内容目标层次 1．基本磁现象1．磁铁的性质 2．磁电联系 3．磁场 4．磁性起源知识： 1．磁铁的性质 2．磁现象与电现象的联系理解： 1．磁场 2．物质磁性的起源 2．磁感应强度磁感应线 1．B 的定义 2．B 线 知识： 1．B 线的定义 2．B 线的特点 3．B 的单位 理解： 1．B 的定义及意义 2．B 的定义与E 的定义的 区别及原因 3．毕奥一萨伐尔定律 1．毕一萨定律 2．B 的叠加原理 3．毕一萨定律的应用 知识： 1．电流元 2．矢量矢积的表示及方向确定 3．0 的数值及单位 理解： 1．毕一萨定律的数学表示式 2．毕一萨定律得到的方法 3．毕一萨定律中各量的意义 4．B 的叠加原理的含义 综合应用： 根据毕一萨定律和磁场叠加原理，通过求积或求和的方法，计算电流产生的磁场 4．磁通量磁场的高斯定理 1．磁通量 2．磁场的高斯定理 知识： 1．B 的单位 2．B 是代数量 理解： 1．B 的定义及意义 2．磁场的高斯定理的内容及意义 3．磁场高斯定理与电场高斯定理的区别 简单应用： 8-2 如图所示，AB 、CD 为很长的直导线，BC 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若导线中通以电流I ，求O 点的磁感强度． 解：如题图所示，O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生．其 中 AB 产生的磁感强度 01=B BC 产生的磁感强度大小R I B 1202μ= ，方向垂直向里 CD 段产生的磁感强度 003(cos150cos180)(1242 I I B R R μμππ??= -= -，方向垂直向里 ∴)6 231(203210π πμ+-= ++=R I B B B B ，方向垂直向里． 8-5 在一半径R =4cm 的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I =20 A 通过，电流 分布均匀.如图所示．试求圆柱轴线任一点P 处的磁感应强度． 解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P 的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如题图所示，取宽为l d 的一无限长直电流 l R I I d d π= ，在轴上P 点产生B d 与R 垂直，大小为 R I R R R I R I B 20002d 2d 2d d πθμ=πθπμ=πμ= R I B B x 2 02d cos cos d d πθ θμ=θ=R I B B y 202d sin )2cos(d d πθθμ-=θ+π = ∴ 5 0022222 cos d [sin sin()] 6.4102222x I I I B R R R π π μμμθθπππππ-- ==--==?? T 0)2d sin (22 20=πθ θμ- =?π π-R I B y ∴ 5 6.410B i -=? T 8-6. 有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2 的平面圆线圈， 习题8-2图 习题8-5图 4-38 解：载流长直导线周围磁场磁感应强度：r I B πμ20= 由题意，m r T B 331010--==， 270/104A N -?=πμ 电流： A B r I 51010 410223730=???==---ππμπ 4-40 解：AF 及CD 段电流对O 处磁场无贡献 由公式：)cos (cos 4210θθπμ-=r I B b I b I B AB πμπμ82)135cos 90(cos 40000=-=，方向垂直纸面向里 b I b I B BC πμπμ82)90cos 45(cos 40000=-=，方向垂直纸面向里 由公式：R I B 220μπθ= a I R I B DEF 8324300μμ==，方向垂直纸面向里 =++=D EF BC AB O B B B B +? b I πμ8220)232(48300a b I a I +=πμμ（T ） 方向垂直纸面向里。 题4-40 题4-42 4-42 解：（1）由r I B πμ20=，两电流在2d 处产生磁场磁感应强度大小相等，方向一致， d I d I B B d πμπμ00222222=?==，方向为⊙ （2）两电流在题目所给矩形面积中的产生的磁通量相等 在x 处，x I B πμ20=，取ldx ds =，穿过ds 的磁通：Bds d m =Φ 121000ln 222211 211r r r Il x dx Il ldx x I d r r r r r r S m m +===Φ=Φ???++πμπμπμ 4.41 只有两段圆弧电流对圆心处的磁场有贡献， 解：圆弧电流在弧心处产生的磁感应强度π θμ220R I B = ACB 段电流在圆心产生磁感应强度πθπμ2)2(2101-= R I B ，方向垂直纸面向上； ADB 段电流在圆心产生磁感应强度π θμ22202R I B =，方向垂直纸面向下； 圆心处磁场：])2([421021θθππμI I R B B B O --=-= 1I 与2I 并联 2211R I R I =∴，电压相等 又：S l R ρ=，则：2211l I l I =，→=-θθπR I R I 21)2(θθπ21)2(I I =- 圆心处磁场：0])2([421021=--= -=θθππμI I R B B B O 4.45 解：如图，取一与电流成右螺旋、半径为r 的同心环路 沿此环路，由安培环路定理： ∑?=?I d L 0 μ 第八章 稳恒磁场 １． 载流线圈如图所示，求圆心O 点处的磁感应强度是多少？ ２． 彼此绝缘的六根无限长载流直导线（电流均为I ），放置如图所示，图中 a 、 b 、 c 、 d 为面积相等的四个正方形，问指向纸面内磁通量最大的区域并说明。 ３． 将半径为R 的单匝载流圆线圈弯成尺寸相同的双匝平面线圈，电流保持 不便，则弯曲后线圈中心的磁感应强度和线圈的磁矩分别是多少？ ４． 载有一定电流的圆线圈在轴线上各点处产生的磁感应强度的大小B 与线 圈的半径和场点线圈中心的距离x 有关。当R 增大时B 将如何变化？ ５． 一磁场的磁感应强度k c j b i a B ++=，则通过磁场中一半径为R ，求开 口向OZ 轴方向的半球壳表面的磁通量。 ６． 将一根无限长导线弯曲成如图所示的形状，通以电流I 后，求圆心处磁 感应强度的大小。 ７．将无限长直导线弯成直角，通电流I =10A，求角平分线上距导线垂直距离为d =0.5m的点处磁感应强度的大小？ ８．直螺线管半径R =0.05m，长L =0.5m，通电流I =5A，在螺线管轴线中点处产生大小为B＝１.23x10-3T的磁场，试求螺线管单位长度有多少匝线圈？ ９．如图所示，三个半径为R，载流为I的彼此绝缘的圆线圈a、b、c处在同一球面上，a、b、c分别在YOZ、XOZ、XOY平面内，求球心O处的磁感应强度的大小和方向（用方向余弦表示）。 10.在半径为r和R的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面螺线圈，通 以电流I，如图所示。求线圈中心O点处的磁感应强度。 11. 半径为R =0.01m的无限长半圆柱形金属薄片，自上而下地通过电流I =5A， 如图所示，试求轴线上任一点P处的磁感应强度。 第四章 稳恒电流的磁场 一、选择题 1．下列关于磁感应强度的说法正确的是： [ ] （A ）放在磁场中的通电导线受力越大的地方，该出的磁感应强度一 定越大； （B ）磁力线的指向就是磁感应强度减小的方向； （C ）磁力线既能表示B 的方向，又能表示其大小。 （D ）磁感应强度的大小和方向，与放在磁场中的通电导线受力的大 小和方向有关； 2．边长为l 的正方形线圈中通有电流i ，则线圈中心处的磁场：[ ] （A ）与l 无关； （B ）正比于l 2 ； （C ）与l 成反比； （D ）与l 成正比。 3、均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为R 的圆面，今以圆周为边 线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 [ ] （A ）B R 22π （B ）B R 2π （C ）0 （D ）无法确定 4、如图1所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ [ ] （A ）Φ增大，B 也增大； （B ）Φ不变，B 也不变； （C ）Φ增大，B 不变； （D ）Φ不变，B 增大。 I 图1 5、在一平面内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流I 的大小相等， 其方向如图2所示，问哪些区域中某些点的磁感应强度B 可能为零？ [ ] （A ）仅在象限Ⅰ （B ）仅在象限Ⅱ （C ）仅在象限Ⅰ、Ⅳ （D ）仅在象限Ⅱ 、 Ⅳ 6、取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面。现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则: [ ] （A ）回路L 内的ΣI 不变，L 上各点的B 不变。 （B ）回路L 内的ΣI 不变，L 上各点的B 改变。 （C ）回路L 内的ΣI 改变，L 上各点的B 不变。 （D ）回路L 内的ΣI 改变，L 上各点的B 改变。 7、在下述情况中，可用安培定理来求磁感应强度的是： [ ] （A ）有限长载流直导线产生的磁场； （B ）圆电流产生的磁场； （C ）有限长载流螺线管产生的磁场； （D ）长直载流螺线管产生的磁场。 8、如图3，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入d 端流出，则磁感 应强度B 沿图中闭合路径L 积分等于 [ ] （A ）I 0μ （B ）I 0μ/3 （C ）I 0μ/4 （D ）2I 0μ/3 9、下列正确的说法有 [ ] （A ）若一段通电直导线在某处不受力，则表明该处 磁感应强度B 为零； 图 2 图 3大学物理第8章稳恒磁场课后习题及答案
第四章恒定磁场题解
电磁学习题库5
大学物理 上册(第五版)重点总结归纳及试题详解第八章 真空中的稳恒磁场
稳恒磁场典型例题
第五章 稳恒磁场3节
稳恒磁场
第五章 稳恒磁场1节
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第四章恒定磁场题解
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第四章磁场部分解答
第八章 稳恒磁场.
08稳恒磁场