倒立摆拉格朗日建模方法(一)

倒立摆拉格朗日建模

介绍

倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。

方法一：拉格朗日方程

1.第一步：定义坐标系。倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示

摆杆的角度。

2.第二步：确定系统的势能能量。根据重力势能的定义，势能能量

可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。

3.第三步：确定动能能量。动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆

杆的长度。

4.第四步：应用拉格朗日方程。拉格朗日方程可以表示为

d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。

方法二：线性化方法

1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。欧拉-拉格朗日方程可以表示

为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函

数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。

2.第二步：线性化倒立摆方程。在小角度下，可以通过将sinθ近

似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。

3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ -

Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。

方法三：控制方法

1.第一步：设计控制器。倒立摆系统可以用PID控制器来控制。

PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整

各个部分的参数来实现系统的稳定控制。

2.第二步：实施控制。将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过

不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。

3.第三步：闭环控制。通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度

进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控

制。

方法四：倒立摆模拟

1.第一步：选择合适的模拟软件。倒立摆可以使用MATLAB或

Simulink进行模拟。这些软件提供了强大的数学建模和仿真功能。

2.第二步：建立模型。在模拟软件中建立倒立摆的数学模型，包括

系统的动力学方程以及控制器的参数。

3.第三步：运行模拟。通过运行模拟，可以观察倒立摆的运动轨迹、

角度响应等系统行为，并根据需要调整模型和控制器的参数。

总结

倒立摆的拉格朗日建模方法包括使用拉格朗日方程、线性化方法、控制方法和倒立摆模拟。这些方法可以帮助我们理解倒立摆系统的动

力学特性，并设计出合适的控制策略。通过深入研究和实践，倒立摆

问题对于控制系统学习和应用具有重要意义。

方法一：拉格朗日方程

第一步：定义坐标系

倒立摆系统通常使用极坐标系，其中θ表示摆杆的角度。

第二步：确定势能能量

根据重力势能的定义，倒立摆系统的势能能量可以表示为mgL(1

- cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。

第三步：确定动能能量

倒立摆系统的动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆杆长度。

第四步：应用拉格朗日方程

拉格朗日方程可以表示为d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V是系统的总势能。通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。

方法二：线性化方法

第一步：使用欧拉-拉格朗日方程

欧拉-拉格朗日方程可以表示为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。

第二步：线性化倒立摆方程

在小角度下，可以通过将sinθ近似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。

第三步：线性化的拉格朗日方程

线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ - Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。

方法三：控制方法

第一步：设计控制器

倒立摆系统可以用PID控制器来控制。PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整各个部分的参数来实现系统的稳

定控制。

第二步：实施控制

将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过不断调整输入力矩来

控制倒立摆的角度。

第三步：闭环控制

通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度进行比较，并根据误

差调整控制器的输出，以实现系统的精确控制。

方法四：倒立摆模拟

第一步：选择模拟软件

倒立摆可以使用MATLAB或Simulink进行模拟。这些软件提供了

强大的数学建模和仿真功能。

第二步：建立模型

在模拟软件中建立倒立摆的数学模型，包括系统的动力学方程以

及控制器的参数。

第三步：运行模拟

通过运行模拟，可以观察倒立摆的运动轨迹、角度响应等系统行为，并根据需要调整模型和控制器的参数。

总结

倒立摆的拉格朗日建模方法包括拉格朗日方程、线性化方法、控制方法和倒立摆模拟。这些方法可以帮助理解倒立摆系统的动力学特性，并设计出合适的控制策略。倒立摆问题对于控制系统学习和应用具有重要意义。

最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用

题目最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用

目录摘要 (1) 前言 (3) 1倒立摆的研究 (3) 1.1 倒立摆的研究背景 (4) 1.2倒立摆的控制方法 (3) 2 二级倒立摆系统控制机理 (6) 2.1系统描述 (6) 2.2 二级倒立摆系统强迫运动的描述 (8) 2.3 二级倒立摆系统的控制规律 (8) 3直线二级倒立摆的建模 (9) 3．1 建模条件 (10) 3.2 利用力学建模 (11) 3.3利用拉格朗日方程建模 (14) 4 最优控制器的设计与调节 (18) 4.1 最优控制理论概述 (18) 4.2 应用软件MATLAB的简介 (21) 4.3LQR控制器的设计与调节 (22) 4.3.1 LQR控制器的设计 (22) 4.3.2 加入增益的LQR控制器的调节 (27) 4.4连续系统的离散化仿真设计 (28) 5 最优控制法与极点配置法的比较 (31) 5.1 极点配置法的基本原理 (31) 5.2 配置极点并与最优控制法比较 (33) 6总结 (38) 致谢 (39) 参考文献 (40) 附录 (41)

最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用摘要：倒立摆系统以其自身的不稳定性而难以控制, 也因此成为自动控制实验中验证控制策略优劣的极好的实验装置。本文介绍了直线二级倒立摆的控制机理，详细的分析了直线二级倒立摆的建模过程。并且对最优控制理论和MATLAB做了简单的介绍，针对系统设计了最优控制器，并与极点配置法进行了比较。结果表明最优控制器对于二级倒立摆系统有着很好的控制能力。关键词：二级倒立摆；LQR；极点配置；MATLAB The application of Optimal Control on Double Inverted Pendulum Student：QIN Kai-yang Supervisor：Y AN Juan-juan (College of Electrical Engineering &Information Technology, China Three Gorges University) Abstract：Inverted pendulum system is difficult to control because of its instability. It becomes the wonderful experiment device to verify how about the control strategy in automatic control experiment. The text introduced the mechanism of the double inverted pendulum. It simply introduced optimal control theory and the software of Matlab. The double inverted pendulum is modeled and the controller is designed by using optimal control theory. The simulating results show that quadratic optimal control has the ability to control the representative nonlinear instability system. Key words：Double Inverted Pendulum；LQR；MATLAB；Pole Configuration

倒立摆控制方法

倒立摆控制方法介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它在控制理论中具有重要的地位。倒立摆控制方法是指通过对倒立摆系统的动力学特性进行建模和分析，设计出合适的控制策略，以实现倒立摆的平衡控制或轨迹跟踪控制。本文将系统介绍倒立摆的基本原理和控制方法，并深入探讨几种常见的倒立摆控制算法。一、倒立摆的基本原理 1. 倒立摆系统的结构倒立摆由一个挡板和一根连杆组成，挡板可以沿竖直方向进行运动，连杆可以绕某一固定点旋转。倒立摆系统在无控制时，连杆会处于不稳定的倒立状态，因此需要对其进行控制以实现平衡或跟踪任务。 2. 倒立摆系统的动力学模型倒立摆系统的动力学模型可以通过拉格朗日方程建立。对于单摆情况，可以通过连杆的长度、质量、重心位置等参数来描述系统。通过对系统的动能和势能进行求解，可以得到系统的运动方程。二、倒立摆控制方法 1. PID控制器 PID控制器是最简单且常用的控制方法之一。PID控制器通过比较系统的实际输出和期望输出，计算出控制量，并输出给执行器。PID控制器分别对系统的偏差、偏差的变化率和偏差的积分进行加权计算，得到最终的控制量。

2. 模糊控制模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，适用于非线性系统或具有不确定性的系统。模糊控制将系统的输入和输出进行模糊化，通过模糊规则的匹配和推理，得到最终的控制量。对于倒立摆系统，可以根据系统的状态和偏差设计模糊规则集，以实现控制目标。 3. 强化学习强化学习是一种通过与环境的交互来学习最优策略的方法。倒立摆控制可以被看作是一个强化学习的问题，控制器通过与倒立摆系统的交互，不断调整自己的策略以获得最优的控制效果。例如，可以使用深度强化学习方法，如深度Q网络（DQN）来实现倒立摆的控制。 4. 模型预测控制模型预测控制是一种通过建立系统的动态模型，并根据模型进行预测和优化的控制方法。倒立摆系统的动态特性是已知的，可以通过建立模型来预测系统的未来状态，从而进行控制决策。模型预测控制可以考虑系统的约束条件，并通过优化算法求解最优控制策略。三、倒立摆控制方法比较与应用 1. 比较不同控制方法的优缺点 •PID控制器简单易实现，但对系统参数的变化敏感，可能出现较大的稳态误差。 •模糊控制适用于非线性和不确定性系统，但模糊规则的设计和调试较为困难。•强化学习可以学习到最优的控制策略，但需要大量的训练样本和时间。 •模型预测控制考虑了系统的动态特性和约束条件，但对模型的准确性要求较高。 2. 倒立摆控制方法的应用倒立摆控制方法在工业控制、机器人控制等领域具有广泛的应用。例如，可以将倒立摆控制方法应用于自平衡车的控制，通过控制车身的倾斜角度，使其能够平衡行驶。另外，倒立摆控制方法也可以应用于飞行器的控制，通过控制机身的姿态，实现稳定的飞行。倒立摆控制方法还可以应用于机械臂的控制，通过控制机械臂的关节角度，实现准确的运动控制。

倒立摆研究报告(DOC)

基于LQR控制的二级倒立摆系统研究作者：牛娟031210308 王晨琳031210307 王鹤彬031210312 学院：自动化指导老师：王晶、陆宁云

摘要倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。本文采用最优控制的方法设计二级倒立摆系统的控制器。首先简要介绍了倒立摆以及倒立摆的几种常见控制方法，着重介绍了最优控制理论，其次对二级倒立摆系统进行了数学建模，最后对线性二次型最优控制原理进行了分析并使用MATLAB进行了仿真。关键词：二级倒立摆，最优控制

目录一、绪论 (3) 1.1、倒立摆系统简介 (3) 1.2、倒立摆系统的控制算法 (3) 1.3、小结 (4) 二、直线倒立摆的建模 (4) 2.1、直线二级倒立摆的建模 (4) 2.2、直线二级倒立摆的定性分析 (6) 三、基于MATLAB的LQR仿真 (9) 3.1、最优控制（LQR）简介 (9) 3.2、线性二次型最有调节器原理 (9) 3.3、MATLAB仿真 (10) 3.4、SIMULINK仿真 (11) 四、结束语 (13) 4.1、小结 (13) 4.2、未解决问题展望 (13) 五、附录 (13)

一、绪论 1.1、倒立摆系统简介倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。在控制理论发展的过程中，某种控制理论的正确性及可行性需要通过设计一个控制器去控制一个典型的控制对象去加以验证。倒立摆系统正是这样一种比较典型的控制对象。最简单的倒立摆可由一个可在水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链组成。倒立摆的种类繁多，分类方法也多种多样：按结构来分有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆；按级数来分有一级摆，二级摆，三级摆乃至更高级摆；按运动轨道来分有水平轨道倒立摆，倾斜轨道倒立摆；按控制电机数目来分有单电机倒立摆，多电机倒立摆。本文所研究的是直线二级倒立摆系统。正因为倒立摆是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的不稳定的系统，必须采取有效的控制方法才能使其稳定在平衡位置附近。倒立摆的控制过程能有效地反映许多控制中的关键问题，如系统的非线性问题，鲁棒性问题，跟踪问题等等。因此，对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论意义。倒立摆的研究也具有深厚的工程背景。任何重心在上，支点在下的控制问题都可近似化为一种倒立摆模型。例如，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制，飞机着陆时的稳定控制，机器人行走过程中的平衡控制，各类伺服云台的稳定控制等等。因此对倒立摆的研究也具有重要的应用价值。 1.2、倒立摆系统的控制算法从上世纪五十年代起，国外科学家开始了对倒立摆系统的研究。1966 年Schaefer 和cannon 就应用Bang—Bang 控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。此后，各国科学家提出了各种不同的控制方法实现对倒立摆的控制。早期的倒立摆控制大多采用状态反馈，随着智能控制理论的发展，人们逐渐将模糊控制算法、神经网络理论等智能控制理论用于控制倒立摆。目前，倒立摆常见的控制方法有如下几种： (1)经典控制理论的方法一级倒立摆系统的控制对象是一个单输入两输出的非最小相位系统，提供了用经典控制理论解决单输入多输出系统的控制方法。根据对系统的力学分析，用牛顿第二定律，建立倒立摆非线性的运动方程，并进行线性化，拉氏变换，获得传递函数，从而得到零、极点分布情况，使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器。为此，引入适当的反馈，使得闭环系统特征方程的根都位于左平面上。由于经典控制理论本身的局限性，只能用来控制一级倒立摆，于复杂的二级、三级倒立摆却无能为力。 (2)现代理论控制方法用现代控制理论方法的前提是倒立摆在平衡点附近，偏移小，系统可以近似用线性模型来描述。将倒立摆系统的非线性化的模型在系统平衡点附近进行近似线性化处理得到线性化的模型，然后再利用线性系统控制器设计方法得到控制器。用这类控制方法对于一、二级倒立摆进行稳定控制，可以得到较好的效果，但对于三级及三级以上的倒立摆系统，有很大局限性。现代控制的典型方法有：状态反馈控制、LQR控制算法等。

直线一级倒立摆系统建模

直线一级倒立摆系统建模LT

摘要本文主要研究的是一级倒立摆的PID控制问题，并对其PID的参数进行了优化，优化算法是遗传算法。倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。由于在实际中有很多这样的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。本文首先简单的介绍了一下倒立摆以及倒立摆的控制方法，并对其参数优化算法做了分类介绍。然后，介绍了本文选用的优化参数的算法遗传算法的基本理论和操作方法。接着建立了一级倒立摆的数学模型，并求出其状态空间描述。本文着重讲述的是利用遗传算法来对PID的参数进行优化的实现方法。最后，用Simulink 对系统进行了仿真，得出遗传算法在实际控制中是一种较为理想的PID参数优化方法的结论。关键词：PID控制器；一级倒立摆；仿真

目录摘要.................................................................................................错误!未定义书签。第一章前言 ..................................................................................错误!未定义书签。 1.1 设计背景 ....................................................................错误!未定义书签。 1.2 设计意义 ....................................................................错误!未定义书签。第二章被控对象的分析与建模 (1) 第三章设计理论及仿真过程 ......................................................错误!未定义书签。 3.1设计理论及分析方法 .................................................错误!未定义书签。 3.1.1 PID控制器.................................................错误!未定义书签。 3.1.2模糊PID控制器........................................错误!未定义书签。 3.2 双容水箱液位控制系统的仿真过程........................错误!未定义书签。第四章设计总结 . (13) 参考文献 (14)

一阶倒立摆控制系统

一阶直线倒立摆系统姓名：班级：学号：

目录摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16)

摘要：该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。

第一部分单阶倒立摆系统建模（一）对象模型由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为 2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。图1.1 一阶倒立摆的物理模型根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=- （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为

倒立摆拉格朗日建模方法

倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种经典的控制系统问题，用于研究平衡和控制的稳定性。拉格朗日建模方法是描述运动系统的一种常用方法。以下是关于倒立摆拉格朗日建模方法的10条详细描述： 1. 倒立摆是由一根可以旋转的杆（摆杆）和一个可以在摆杆上移动的质点（摆点）组成。我们的目标是使摆点在垂直位置保持平衡。 2. 拉格朗日建模方法利用拉格朗日方程来描述运动系统中的动能和势能之间的关系。这个方法非常适用于复杂的系统，因为它能够自然地引入约束条件和非线性项。 3. 拉格朗日方程可以写成以下形式：L = T - V，其中 L 是拉格朗日函数，T 是系统的动能，V 是系统的势能。 4. 在倒立摆的拉格朗日建模中，我们需要首先确定系统的广义坐标。对于倒立摆，一个广义坐标可以是摆杆的角度θ。 5. 然后，我们需要计算系统的动能和势能。摆杆的动能可以写成 T_1 = (1/2) * m * L^2 * (dθ/dt)^2，其中 m 是摆杆的质量，L 是摆杆的长度，dθ/dt 是摆杆角度的导数。 6. 摆点的动能可以写成 T_2 = (1/2) * M * (dx/dt)^2，其中 M 是摆点的质量，dx/dt 是摆点在摆杆上移动的速度。 7. 摆杆的势能可以写成V_1 = (1/2) * m * g * L * cos(θ)，其中 g 是重力加速度。 8. 摆点的势能可以写成V_2 = M * g * x * cos(θ)，其中 x 是摆点在摆杆上的位置。 9. 将动能和势能代入拉格朗日方程中，我们可以得到系统的拉格朗日函数 L = T - V。 10. 我们可以使用拉格朗日方程描述系统的运动方程，例如：d/dt(∂L/∂(dθ/dt)) - ∂L/∂θ = 0 和 d/dt(∂L/∂(dx/dt)) - ∂L/∂x = 0。通过求解这些方程，我们可以得到倒立摆系统的运动行为和稳定性分析的结果。倒立摆的拉格朗日建模方法是一种用于描述运动系统的常用方法。通过将动能和势能代入拉格朗日方程，我们可以得到系统的拉格朗日函数，并进一步求解运动方程来分析系统的稳定性和动态行为。

基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制

基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制拉格朗日建模是一种经典的用来描述物体运动的数学方法。倒立摆是一个典型的动态系统，在控制领域中有着广泛的应用。通过拉格朗日建模可以描述单级倒立摆的运动方程，进而实现其起摆和稳定控制。单级倒立摆由一个固定在支撑平面上的杆和一个可以沿杆轴旋转的质量小车组成。杆的角度记为θ，小车的位置记为x。首先，通过拉格朗日方程可以得到倒立摆的动力学方程： L = T - U 其中，L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能。对于单级倒立摆，可以将系统的动能和势能表示为： T = 1/2*m*ẋ^2 + 1/2*I*θ̇^2 U = m*g*l*cos(θ) 其中，m为小车的质量，I为杆的转动惯量，g为重力加速度，l为杆的长度。ẋ和θ̇分别表示小车和杆的速度。将动能和势能代入拉格朗日方程，即可得到系统的动力学方程：d/dt(∂L/∂ẋ) - ∂L/∂x = F d/dt(∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ = 0 其中，F为施加在小车上的外力。

经过计算，可以得到如下的方程： m*ẍ - m*l*θ̈*cosθ + m*l*θ̇^2*sinθ = F I*θ̈+ m*l*ẍ*cosθ - m*g*l*sinθ = 0 这就是单级倒立摆的动力学方程，描述了杆的运动以及小车的受力等关系。接下来，可使用控制理论中的各种控制方法，例如线性控制、非线性控制等，来实现单级倒立摆的起摆和稳定控制。通过施加合适的控制输入F，使得杆保持在垂直位置附近，并稳定在指定的位置。总之，基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制，通过分析系统的动能和势能，得到系统的动力学方程，然后使用控制理论中的方法进行控制设计，从而实现摆杆的起摆与稳定控制。

倒立摆拉格朗日建模方法(一)

倒立摆拉格朗日建模方法(一) 倒立摆拉格朗日建模介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。方法一：拉格朗日方程 1.第一步：定义坐标系。倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示摆杆的角度。 2.第二步：确定系统的势能能量。根据重力势能的定义，势能能量可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。 3.第三步：确定动能能量。动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆杆的长度。 4.第四步：应用拉格朗日方程。拉格朗日方程可以表示为 d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。

方法二：线性化方法 1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。欧拉-拉格朗日方程可以表示为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。 2.第二步：线性化倒立摆方程。在小角度下，可以通过将sinθ近似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。 3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ - Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。方法三：控制方法 1.第一步：设计控制器。倒立摆系统可以用PID控制器来控制。 PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整各个部分的参数来实现系统的稳定控制。 2.第二步：实施控制。将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。 3.第三步：闭环控制。通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控制。

直线二级倒立摆的建模和控制

西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号: 班级：指导教师：起止日期：

方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：起止日期：指导教师：方向设计学生日志

直线二级倒立摆的建模与镇定控制摘要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制

Modeling and Balance Control of the Linear Double Inverted Pendulum Abstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment. In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system. Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control

倒立摆拉格朗日方程

倒立摆拉格朗日方程介绍倒立摆是一个经典的动力学系统，在控制理论和机器人控制领域中被广泛研究和应用。拉格朗日方程是描述这种系统动力学的一种常用方法。本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日方程及其应用。倒立摆的定义倒立摆是由一个连杆和一个质量集中在连杆末端的质点组成的系统。连杆固定在一个支点上，可以绕该支点进行旋转。连杆的长度、质点质量以及各种外力（例如重力）都会影响倒立摆的运动行为。摆动方程的推导步骤 1：绘制系统图首先，我们需要绘制出倒立摆的系统图。图中包括连杆、质点以及外力，如图 1 所示。步骤 2：确定系统自由度根据系统图，我们可以确定倒立摆的自由度。在本例中，连杆的旋转角度被选为系统的自由度。步骤 3：写出动能和势能接下来，我们需要写出系统的动能和势能。连杆的动能可以表示为其转动惯量和角速度的乘积的平方的一半，而质点的势能则可以表示为其离支点的高度与重力加速度的乘积。

步骤 4：写出拉格朗日方程拉格朗日方程描述了系统的运动方程。我们将系统的动能和势能相减，并根据连杆的旋转角度对其进行求导，然后运用欧拉-拉格朗日方程得到系统的运动方程。倒立摆的拉格朗日方程根据以上步骤，倒立摆的拉格朗日方程可以表示为： L=T−V 其中，L是系统的拉格朗日函数，T是系统的动能，V是系统的势能。对于倒立摆的拉格朗日方程，我们可以得到如下表达式： d dt ( ∂L ∂q̇ )− ∂L ∂q =Q 其中，q是系统的自由度，q̇是自由度的导数，Q是系统的广义力。这个方程描述了系统运动的动力学。倒立摆的应用倒立摆广泛应用于控制理论和机器人控制中。通过控制倒立摆的力矩或输入力，可以实现倒立摆的平衡或特定轨迹下的运动。具体应用包括： 1.倒立摆控制算法研究：基于拉格朗日方程，可以设计出各种控制算法来控制倒立摆的平衡和运动。例如，模糊控制、PID 控制、最优控制等方法都可以用于倒立摆的控制研究。 2.机器人姿态控制：倒立摆可以用作机器人姿态控制的模型。通过控制倒立摆的角度和角速度，可以实现机器人的姿态调整和稳定控制。 3.教育与演示：倒立摆是一个很好的教学和演示工具，可以帮助学生和公众更好地理解动力学原理和控制系统的工作原理。总结：本文详细介绍了倒立摆的拉格朗日方程及其应用。通过拉格朗日方程，我们可以描述倒立摆的运动规律，并设计出相应的控制算法。倒立摆在控制理论和机器人控制领域中具有重要意义，对于研究动力学和开展控制实验都具有很高的实用价值。

倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)

系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数 1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图 Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system 2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：

图2.2直线一级倒立摆装置 Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。 1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：

图2.3伺服单元IP02的组成 Fig 2.3 Servo unit IP02 parts 编号名称英文 (01)IP02小车IP02 Cart (02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft (03)齿轮导轨Rack (04)小车位移齿轮Cart Position Pinion (05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion (06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft (07)摆杆传动轴Pendulum Axis (08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder (09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder (10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector (11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector (12)电机接口Motor Connector

基于LMI的二级倒立摆的建模与仿真

基于LMI的二级倒立摆系统的 ∞ H鲁棒控制摘要倒立摆系统为典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统, 且存在不确定因素。针对二级倒立摆系统中所受摩擦的不确定性，采用LMI方法, 建立了二级倒立摆模型，设计了 ∞ H鲁棒控制器, 给出了控制器的求解方法。仿真实验结果证明了该控制方法的有效性和可行性，并且具有很好的鲁棒稳定性和响应速度快的优越性，对高阶次不稳定系统具有很好的控制效果。关键词：二级倒立摆；线性矩阵不等式（LMI）; ∞ H鲁棒控制 0 引言现代控制工程所面临的问题极其复杂。实际的工程控制系统中, 总是存在一定的不确定性。倒立摆即是一个包含不确定性的系统, 也是控制理论的一个理想实验平台, 对倒立摆系统的研究具有重要的理论和实际意义。本文采用线性矩阵不等式(LMI)方法，设计了二级倒立摆系统的鲁棒 ∞ H状态反馈控制器，有效地克服了用求解两个联立的里卡迪方程获得 ∞ H控制器时求解过程不容易收敛的困难，并且可降低控制器参数的数量级，使其在实控上易于实现。根据文献[1]中对LMI的处理方法, 对二级倒立摆系统进行了仿真研究，结果表明，这样的控制方法可使二级倒立摆系统具有很好的鲁棒稳定性。 1 二级倒立摆系统建模 1.1 倒立摆系统结构图1是二级倒立摆的系统结构图，它由三部分组成：计算机、电气部分和机械部分。计算机部分有A/D、D/A转换模块，运动控制卡和PC机；电气部分主要有：光电编码器、直流功率放大器、伺服电机和保护电路；机械部分有摆杆、轨道、运动小车和皮带轮等。计算机伺服驱动器运动控制卡伺服电机小车下摆杆上摆杆光电编码器1 光电编码器2 光电编码器3

(完整word版)一级倒立摆的LQR控制器设计(一)

沈阳航空航天大学课程设计（论文) 题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）班级04070202 学号2010040702069 学生姓名杨贺指导教师

目录 0。前言.。。.。。。.。。。.。.。。..。。。.。。。...。..。..。。.。。.。.。.。。..。...。.。。。。...。。。。.。.。。。。..。。。..。........。。。..。...。。.。。.。。.。.。。.。。。....。..。.....。。。.。。。。.。1 0。 1 倒立摆的背景及简介...。。.。。.。...。....。.。.。。.。..。。.。...。.。。。。.。。。.。。。...。.....。....。.。。。。.。。。.。..。。。。.。。。。.。....。。。.。.。.1 0.2 MATLAB简介及应用....。..。。。。。.。..。..。..。。..。.....。。..。..。。。。。.。。。.。.。。.。..。。。..。。。.。。.。..。..。。..。..。。。.。。。...。。。.。.。1 1。一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。...。.。。.。。。。.。.。..。。....。。。.。.。。。.。.。。..。....。。.。。。 (4) 1。 1 一级倒立摆模型基本理论。。..。...。。。。...。。..。。...。.。.。。.。。。。.。...。。。...。.。。。。.。....。..。。。..。。...。。..。。。。.。。。。...。.。。。4 1.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。...。。。.。..。。。...。.。。。.。。..。。。.。。...。。。。.。。.。.。。...。。。。。。......。。。。。..。.。..。。7 2. 方案设计。.......。.。.。。。。。...。.。。.。....。。.。..。......。。....。。。。..。。.。。....。。。。。.。..。。。。。.。.。. ..。。.。.。.。..。。。.。。.。。.。。...。。。。。...。。.....。。。10 3。软件编程。。.。.。。。。。.。.。.。...。..。...。...。..。...。。。。.。.。.。..。。.。.。..。。。。。。。。.。。。.。..。。

一级倒立摆实验(状态反馈)

第1章倒立摆系统介绍 1.1 倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 1.2 倒立摆分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆： 1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。直线倒立摆系列产品如图 1-1 所示。 2) 环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。如图 1-2所示。 3) 平面倒立摆系列

动力学系统的建模与仿真研究

动力学系统的建模与仿真研究动力学系统是指由物理、化学、生物等领域中各种运动的学科所引起的不同类型的系统，它们的运动可以用动力学方程来描述。这些方程在很多领域中有着广泛的应用，比如说天文学、机械工程、地球物理学等等。本文将从动力学系统的建模和仿真角度，介绍动力学系统的研究现状。一、动力学系统的建模建模是动力学系统研究的第一步，它的目的是将复杂的系统简化为可以用数学模型描述的形式。从而我们可以通过分析这些模型，来了解系统运动的规律。 1.物理学中的动力学系统建模物理学中经典的动力学系统建模方法是拉格朗日法和哈密顿原理。拉格朗日法是以作用量为基础来建立系统的动力学方程，常用于描述自由度较少、同时具有完整坐标和简正坐标的系统。哈密顿原理是以哈密顿量为基础来建立系统的动力学方程，常用于描述自由度较多、同时具有广义坐标和广义动量的系统。 2.化学中的动力学系统建模化学中的动力学系统建模主要是通过反应速率常数和反应机理模型来描述化学反应过程。动力学方程的形式可以是常微分方程、偏微分方程或者代数方程等等。化学反应模型的选择需要考虑多方面因素，包括反应物浓度、反应时间、反应温度等等。 3.生物学中的动力学系统建模生物学中的动力学系统建模需要考虑生物体所涉及的多种因素，比如说神经、内分泌、交感、免疫系统等等。建立生物体动力学模型的方式包括微分方程、回归分析、非线性方程等等。

二、动力学系统的仿真研究建立动力学系统数学模型之后，我们可以进行仿真研究。仿真实验可以帮助我们更好地理解动力学系统，了解其运动规律。 1.仿真方法常见的动力学系统仿真方法包括基于块图的仿真方法、基于Matlab/Simulink的仿真方法、虚拟现实仿真方法等等。块图仿真方法是通过图形化拖拉组件进行仿真实验。Matlab/Simulink仿真方法是采用模块化的思想进行模型建立和仿真。虚拟现实仿真方法可以呈现更为真实且具有沉浸感的仿真体验，它通常用于通过建立三维模型来实现仿真。 2.仿真分析仿真分析是通过对仿真数据的分析来推断动力学系统的行为。常用的分析方法包括频谱分析、周期分析、相空间分析等等。对于不同的动力学系统，需要选择不同的分析方法。三、动力学系统的应用动力学系统的应用非常广泛，它可以用于天文学、物理学、机械工程、生物学等等。以下以机械领域为例，来说明动力学系统的应用。 1.机械系统的一般动力学分析机械领域运动学和动力学分析是非常常见的工作，常用的方法包括分析速度、加速度、计算转矩等等。 2.倒立摆控制系统倒立摆控制系统是一种非线性控制系统，由于其非线性特性和难以精确模拟的未知外部干扰，使其成为非常奇特和重要的控制对象。通过动力学系统建模和仿真分析，可以实现倒立摆控制系统的控制。

倒立摆拉格朗日建模方法

倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种常见的动力学系统，具有广泛的应用。倒立摆借助控制算法可以实现平衡控制，因此在工业机器人、机械臂、自行车等控制系统中具有重要的意义。而拉格朗日建模方法是研究动力学系统的常用方法之一，下面将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法。倒立摆的拉格朗日建模方法是基于拉格朗日动力学原理进行的。拉格朗日原理主要包括两部分：拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程。其中，拉格朗日第一方程是关于系统广义力的方程，而拉格朗日第二方程是关于系统的广义力的运动方程。首先，我们需要确定倒立摆的广义坐标。对于倒立摆来说，可以选择摆杆的倾斜角度和摆杆的角速度作为广义坐标。假设摆杆的倾斜角度为 θ，摆杆的角速度为ω，那么可以得到广义坐标集合{θ,ω}。接下来，我们需要确定倒立摆的拉格朗日函数。拉格朗日函数是广义坐标的函数，它描述了系统的动能和势能之间的关系。倒立摆的拉格朗日函数可以表示为L=T-U，其中T表示系统的动能，U表示系统的势能。同时，我们还需要确定系统的动能和势能。对于倒立摆来说，系统的动能可以表示为T = 1/2 * m * l^2 * ω^2，其中m表示摆杆的质量，l 表示摆杆的长度，ω表示摆杆的角速度。系统的势能可以表示为U = m * g * l * (1 - cosθ)，其中g表示重力加速度，θ表示摆杆的倾斜角度。通过上述步骤，我们可以得到倒立摆的拉格朗日函数为L = 1/2 * m * l^2 * ω^2 - m * g * l * (1 - cosθ)。然后，我们可以使用拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程来得到倒立摆的运动方程。拉格朗日第一方程可以表示为∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') =

环形一级倒立摆设计

1 绪论随着计算机技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高劳动生产率做出了重要贡献。倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地检验众多控制方法的有效性。对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。这不仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制理论和方法因而层出不穷。各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。 1.1 倒立摆系统的分类随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展为多种形式。目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面)内摆动的摆。考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型 1）小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统”) 小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。其中，摆杆可以是一级、两级、三级、四级甚至多级。摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度也可能是变化的。控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车在期望的位置上稳定，而摆杆达到竖直向上的动态平衡状态。 2）旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统”) 旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。与小车倒立摆不同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。旋转倒立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定，增加了控制的难度。