第十三章 全等三角形 回顾与思考-
第十三章全等三角形回顾与思考
第九课时
课时安排
１课时
从容说课
本章的回顾与思考教学，设计四个活动：启发引导学生构建知识框架；谈一谈你如何作几何证明题；全等三角形的应用；对角的平分线的进一步认识．
活动一以问题串形式完毕，然后利用多媒体教学手段与学生共建知识框架，使他们对全等三角形、角平分线性质有更直观和深刻的理解，理清知识与知识的内在联系．活动二要放开让学生谈，在充分交流的基础上，可以充分暴露学生的问题，通过讨论、纠正，最后形成统一认识．活动三是让学生应用全等三角形的判定定理解决有关全等的问题，角相等、线段相等的问题．活动四其实是全等三角形的一个应用，通过全等使学生对角的平分线有了更深刻的认识．
教学重点放在三角形全等的条件及有关三角形全等的证明上．教学难点是教会学生选择恰当的方法来证明三角形的全等问题．
教学目标
（一）教学知识点
1．全等形、全等三角形的概念．
2．判定三角形全等的条件．
3．判断两个直角三角形全等的条件．
4．角的平分线的性质．
（二）能力训练要求
1．使学生理解全等形、全等三角形的定义．
2．通过回顾使学生掌握两个三角形全等的条件，?能应用三角形的全等解决一些实际问题．
3．会用角的平分线的性质，解决一些实际问题．
（三）情感与价值观要求
1．通过回顾与思考，进一步发展学生的逻辑推理能力，?不断积累数学活动的经验． 2．在活动过程中使学生进一步体会数学与现实的密切联系．
教学重点
1．三角形全等：直角三角形全等的条件及其应用．
2．角的平分线性质的应用．
教学难点
正确、恰当选用三角形全等的条件推证有全等、角相等、线段相等的问题．
教学方法
探索─发现─归纳─总结．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]丰富多彩的现实世界中，处处可以发现“全等图形”的奇妙作用．通过本章学习，大家对全等已经有一个较全面的了解，今天我们就来回顾和总结这一章的知识，以求更好地应用．
[活动一]回答下列问题，全面回顾本章知识．
1．举一些全等形的例子，全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？
2．一个三角形有三条边、三个角，从中任选三个来判定两个三角形全等，?哪些是能够判定的？哪些是不能判定的？
3．判定全等三角形的方法有几种？
4．角的平分线的性质是什么？
学生活动：
学生通过回顾、思考、讨论、总结，对本章知识有一个总体的认识．
教师活动：
教师深入到学生的讨论中，发现问题，及时纠正，并帮助有困难的同学建立学习信心，学会复习方法．
活动结果展示：
[生]1．同底板的两张照片是全等形，一本装订整齐的稿纸，?各张都是全等形，总之，能完全重合的两个图形叫全等形．全等三角形的对应边相等，对应角也相等．
2．一个三角形有六个元素，从中任选三个有这样几种情况：三个角、?二角一边（两角及其夹边，两角和其中一角的对边）、一角两边（两边及其夹角，两边及其中一边的对角）、三边．其中，两角一边，两边及其夹角，三边都可以判定两三角形全等．但是三角、两边及其中一边的对角是不能判定三角形全等的．
3．判定全等三角形（包括直角三角形全等的判定）有六种方法：
（1）定义法：两个完全重合的三角形全等．
（2）SSS：三个对应边相等的三角形全等．
（3）SAS：两边及其夹角对应相等的三角形全等．
（4）ASA：两角及其夹边对应相等的三角形全等．
（5）AAS：两角及其中一角的对边对应相等的三角形全等．
（6）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
4．角平分线有两条性质：
（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2）到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
[师]做多媒体演示，构造出本章的知识框架，使学生加深对本章知识的认识．
[活动二]谈一谈你如何做几何证明题．
给学生充分的空间、充分的时间进行探究、讨论、总结、归纳，最后形成基本的思想方法，懂得正确的书写格式．最后用多媒体课件演示三角形全等的证题思路及证线段或角相等的一般方法．
三角形全等的证题思路
如何证明线段相等或角相等．
利用三角形全等是证明线段相等或角相等的最重要的方法之一．
Ⅱ．导入新课
[活动三]应用举例、巩固夯实．
[例1]如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE
于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．
求：BE的长．
分析：观察图形，可以证明△BCE≌△CAD，从而得出
AD=CE，所以BE=CD=CE-DE=AD-DE．证明：
D
B
E
9045()
45ACB CAB CBA AC BC BE CE BE AD DAB ABE AD CE CAD αα∠=???
?∠=∠=?
??=?
??⊥??
??∠=∠??⊥??
??
∠=?-?? 设为
9045()
ACB CAB CBA AC BC BE CE BE AD DAB ABE AD CE α∠=??
??∠=∠=???
=??
?⊥??
??∠=∠??⊥??
????
设为
454590(45)45CAD CBE BCE CAD BCE α
ααα∠=?-?
?
∠=∠?+?∠=?∠?∠???-?+=?-?
∠CAD ∠BCE ． 在△ACD 和△CBE 中
90CAD BCE
BC AC CDA BEC ∠=∠?
?
=???∠=∠=??
△ACD ≌△CBE ? AD=CE ?BE=CD=CE-DE=AD-DE=2.5cm-1.7cm=0.8cm ．
答：BE 的长为0.8cm ．
[例2]如图，为了促进当地旅游发展，?某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
分析：按题中要求，这个问题相当于在△ABC 内找一点P ，使得P 到三角形三边的距离相等．
根据到两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得点P 应该是△ABC?的内角平分线的
交点．?也就是说这个度假村应建在三条路围成的三角形的三内角平分线的交点位置．注：培养学生分析问题和解决问题的能力和化归的思想．
[例3]如图所示，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足．
求证：CF=DF．
分析：证明线段相等，可把它们放在两个三角形中，故连结
AC、AD，要证Rt?△AFC≌Rt△AFD，还缺少一个条件，而由已知
有△ABC≌△AED，则AC=AD，故得证．
证明：连结AC、AD，则在△ABC和△AED中，有
AB AE
B E B
C ED
=
?
?
∠=∠?
?=
?
∴△ABC≌△AED．
∴AC=AD．
又∵AF⊥CD，
∴∠AFC=∠AFD=90°．
又∵在Rt△ACF和Rt△ADF中，有
AC AD AF AF
=
?
?
=
?
∴Rt△ACF≌Rt△ADF．
∴CF=DF．
方法总结：作“辅助线”构造全等三角形，?是几何证明题中不可缺少的方法之一，只是“辅助线”的添加一要规律，二要经验．
Ⅲ．随堂练习
课本P112复习题13─1、2、3题．
Ⅳ．课时小结
这节课，我们主要回顾了三角形全等的条件及其应用，学会证明三角形全等、角相等、线段相等的一般方法，对角的平分线有了更深的认识．
Ⅴ．课后作业
P112复习题13─4、5题．
Ⅵ．活动与探究
[活动四]
如图，△ABC中，AD是它的角平分线，求证S△ABD：S△ACD=AB：AC．（提示：作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F）
活动过程：
求△ABD 和△ACD 的面积，要看以哪个边为底边，因为求证的结论中有AB 、AC ，?所以可以考虑以AB 、AC 为两个三角形的底边．过D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC?于F ．?因为AD 是△ABC 中∠A 的平分线，所以DE=DF ．于是得S △ABD ：S △ACD =（12AB ·DE ）：（12
AC ·DF ）=AB ：AC ．
发散思维：还可考虑分别以BD 、DC 为底边，又因为这两个三角形有相同的高AM ，?所以，S △ABD ：S △ACD =
12（BD ·AM ）：（1
2
DC ·AM ）=BD ：DC ． 结论：S △ABD ：S △ACD =AB ：AC=BD ：DC ．
板书设计 回顾与思考 一、1．问题串 2．知识框架图
二、应用举例 [例1] [例2]
[例3] 三、课堂练习 四、小结
备课资料 一、填空题
1．如图所示，已知OA=OB ，点C 在OA 上，点D 在OB 上，OC=OD ，
AD 与BC 相交于点E ，?那么图中全等的三角形共有________对． 2．如图所示， ED ∥BC
___________BC DE
ACB AC =??
?∠=??=?
? △ABC ≌△FDE
?_______=_______ ?AB ∥DF ． 二、选择题
1．根据下列已知条件，能判断△ABC ≌△A ′B ′C ′的是（ ） A ．AB=A ′B ′ BC=B ′C ′ ∠A=∠A ′ B ．∠A=∠A ′ ∠C=∠C ′ AC=B ′C ′ C ．∠A=∠A ′ ∠B=∠B ′ ∠C=∠C ′
D ．AB=A ′B ′ BC=B ′C ′ △ABC 的周长等于△A ′B ′C ′的周长 2．下列说法错误的是（ ）
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．斜边一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C ．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D ．一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等
3．以下是判断两个直角三角形全等的各种条件：①一锐角和一边对应相等；②两对对应直角边对应相等；③两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
4．在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形中有一个角为100°，那么△ABC 中与这个角对应的角是（ ）
A ．∠A
B ．∠B
C ．∠C
D ．不能确定 5．如图所示，已知AB=AC ，PB=PC ，下列结论正确的是（ ） ①EB=EC ②AD ⊥BC ③A
E 平分∠BEC ④∠PBC=∠PCB ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 三、解答题
1．已知，M 是AB 的中点，MC=MD ，∠1=∠2，若AC=8cm ，求BD 的长度．
2．如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，点E 在AD 上，?找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．
参考答案：
一、1．4 2．∠FED EF ∠A ∠F 二、1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 三、1．解：M 是AB 的中点
12MA MB MC MD ?=?
?
∠=∠???=?
△MAC ≌△MBD ．
8AC BD AC cm ?=?
??=?
BD=8cm ．
2．图中的全等三角形有： △ABD ≌△ACD ． △ABE ≌△ACE ． △BDE ≌△CDE ． 理由： D 是BC 的中点
BD CD AB AC AD AD ?=?
?
=???=?
△ABD ≌△ACD ， AE AE
BAE CAE AB AC =?
?
?∠=∠???=?
△ABE ≌△ACE ，
△ABE ≌△ACE
BE CE BD CD DE DE ?=?
?
=???=?
△BDE ≌△CDE ．
全等三角形知识点讲解经典例题含答案
全等三角形 一、目标认知 学习目标： 1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 重点： 1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。 难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三： 【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？ 【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，。 求证：AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。 思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF， 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应 边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，
新人教版八年级全等三角形教案
11．1全等三角形 教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生 的几何直觉， 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形 的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程： 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？ 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考： 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 “全等”用 表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如
DEF ABC ??和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ??? 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角 思考：如上图，13。1-1DEF ABC ???，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 思考： （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 D A D B D （2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ?，说出你得到的结论，说明理由？ B E （3）如图，,A C D A B E ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠ B A ，求AD C ∠的大小。 B C
全等三角形概念与性质
全等三角形概念与性质 第一部分：知识点回顾 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 2.全等三角形的性质：（1）全等三角形对应边相等（2）全等三角形对应角相等 如上图：△ABC和△A1B1C1是全等三角形，记作△ABC≌△A1B1C1，符号“≌”表示全等，读作“全等于”. 其中，AB=A1 B1、AC=A1C1、BC=B1C1；∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1. 补充：（1）全等三角形面积相等、周长相等； （2）全等三角形对应线段（高、角平分线、中线）相等； （3）翻折、平移、旋转前后的三角形全等 第二部分：例题剖析 例1、如图4，△ABC≌△ADE，∠E和∠C是对应角，AB与AD是对应边，写出另外两组对应边和对应角； 分析：由已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，得点C与点E，点B与 点D为对应点，然后根据全等三角形的性质可得答案。 解：∵△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD， ∴AC=AE，BC=DE； ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D． 点评：本题考查了全等三角形的性质；解题用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等，应注意各对应顶点应在同一位置．根据对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角解题是正确解答本题的关键． 例2、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,则DF长是多少？ 分析：由△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,可求出边AC的长度， 再根据全等三角形对应边相等，求出边DF的长。 解：∵△ABC的周长为20，AB=5，BC=8， ∴AC=20-5-8=7， ∵△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=7．
人教版--全等三角形讲义
人教版--全等三角形 讲义 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
全等三角形 全等三角形性质 图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?表示，读作 ．．．．． “全等于” ．．．．． 全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC? ?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC? ? ?。 F D A B C 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等； ．．．．．．．．．．．．全等三角形的对应角相等。 ．．．．．．．．．．．．1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） A．①②③④ B．①③④C．①②④D．②③④ 2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______． 3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______． 4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________． 5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____． 2题3题4题5题
第十二章全等三角形知识点小结
第十二章全等三角形知识点小结 班级：姓名： 一、本章的基本知识点 知识点1： 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 知识点2： 全等三角形的判定方法： 一般三角形的判定方法：边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS） 直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边（HL）知识点3： 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB． 知识点4： 角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 符号语言： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON） 知识点5 证明文字命题的一般步骤： 证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。
二、本章应注意的问题 1、全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记； ②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。 2、全等三角形的证明思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ?????????????????????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 3、全等三角形证明中常见图形： C A B D C A A E D C B 变形 A B C D E 变形 A B D F E C C B A D 变形 D A C E B 变形
人教版八年级上册12.1全等三角形教案
§12．1 全等三角形 教学目标 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点 全等三角形的性质． 教学难点 找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？ 这两个三角形是完全重合的．
2．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号． 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 要是把两个图形放在一起，能够完全重合，?就可以说明这两个图形的形状、大小相同． 概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．Ⅱ．导入新课 利用投影片演示 将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．
议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 不难得出：△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等． [例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角．
全等三角形(最全面的资料)
1 第三章 全等三角形 专题二、全等三角形的判定 知识点： 三角形全等的条件： 1. 三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS ”） 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB= A ’B ’，BC ＝B ’C ’，AC ＝A ’C ’，可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。 2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）如图： 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB= A ’B ’,∠ABC=∠A ’B ’C ’,BC ＝B ’C ’，可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。 3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”） 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’，BC ＝B ’C ’， ∠C=∠C ’可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。 4.角边角（ASA ）公理推论：有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。（简称为“角边角”或“ASA ”）。 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’， ∠C=∠C ’，AC=A ’C ’。可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL ”） 如图：在Rt △ABC 和Rt △A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’＝90?，AB=A ’B ’，AC=A ’C ’。可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。
2 补充：1、Rt 中30度所对的直角边等于斜边的一般。 2、Rt 斜边上的中线等于斜边的一半。 典型例题： 1.已知两边 ?? ? ??→→→SSS HL SAS 找另一边找直角找夹角 例1.如图所示，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2。试说明△ABD ≌△ACE 。 12 E B C D A 变式练习： 1.如图，已知AF=AE ，AC=AD ，CF 与DE 交于点B 。求证：△ACF ≌△ADE 。 B F A C D E 2.如图，AC=BD ，AB=DC ，求证：∠B=∠C 。
人教版全等三角形教案
11章全等三角形 11.1 全等三角形 教学目标 ①通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等. ②知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质. ③能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. ④通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识. 教学重点与难点 重点：全等三角形的有关概念和性质. 难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系. 教学准备 复写纸、剪刀、半透明的纸、多媒体课件(几个重要片断中使用)等. 教学设计 问题情境 1.展现生活中的大量图片或录像片断. 片断1：图案. 注：丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中. 片断2：一幅漂亮的山水倒影画，一幅用七巧板拼成的美丽图案. 片断3：教科书第90页的3幅图案. 2.学生讨论： (1)从上面的片断中你有什么感受? (2)你能再举出生活中的一些类似例子吗? 注：它反映了现实生活中存在着大量的全等图形. 图片的收集与制作 1.收集学生讨论中的图片. 2.讨论(或介绍)用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等制作类似图形的方法. 注：对学生进行操作技能的培训与指导. 学生分组讨论、思考探究 1.上面这些图形有什么共同的特征? 2.有人用“全等形”一词描述上面的图形，你认为这个词是什么含义? 注：对学生的不同回答，只要合理，就给予认可. 教师明晰。建立模型 1.给出“全等形”、“全等三角形”的定义. 2.列举反例，强调定义的条件. 3.提出问题“你能构造一对全等三角形”吗?你是如何构造的，与同伴交流. 4.全等三角形的对应元素及性质：教师结合手中的教具说明(学生运用自制学具理解)对应元素(顶点、边、角)的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等(教师启发学生根据“重合”来说明道理). 注：通过构图，为学生理解全等三角形的有关概念奠定基础. 解析、应用与拓广 1.学生用半透明的纸描绘教科书91页图13.1－1中的△ABC，然后按“思考题”要求在三个图中依次操作.(或播放相应的课件)体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”.
全等三角形教学设计与反思
全等三角形教学设计与反思 一、教学设计： 1、学习方式： 对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。 2、学习任务分析： 充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础。 3、学生的认知起点分析： 学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。 4、教学目标： (1)学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
(2)掌握三角形全等的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题。 (3)培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。 5、教学的重点与难点： 重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。 从设置情景提出问题，到动手操作，交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。 难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要做出全面、正确得分析，并对各种 情况进行讨论，对初一学生有一定的难度。 根据初一学生年龄、生理及心理特征，还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力，思维受到一定的局限，考虑问题不够全面，因此要充分发挥教师的主导作用，适时点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性、主动性参与到合作探讨中来，使学生在与他人的合作交流中获取新知，并使个性思维得以发展。。 6、教学过程(略) 教学步骤教师活动学生活动教学媒体(资源)和教学方式 7、反思小结 提炼规律 电脑显示，带领学生复习全等三角定义及其性质。 电脑显示，小明画了一个三角形，怎样才能画一个三角形与他的三角形全等?我们知道全等三角形三条边分别对应相等,三个角分别对应相等,那麽,反之这
相似三角形与全等三角形变式拓展题
专题复习————类比、从特殊到一般的数学思想 相似三角形与全等三角形 类比：是对两个或几个相似的对象进行“联想”，把它们中某个较熟悉的性质转移到和它相似的对象上去，从而发现新规律，解决新问题 作用：通过类比推理和类比联想可以开阔思想，启迪思维，起到由此及彼，由表及里，举一反三，能类旁通的作用。 考点分析：三角形全等和相似是中考考查的重要知识点，而证明三角形全等和相似的过程中运作了类比这一思想方法，体现了从特殊到一般的数学思想。 一、例题：1.如图，△ABC ，△DBE 都是等边三角形，（1）△BCE 与△BAD 是否全等？请说明理由。（2）AD 与BC 是否平行？请说明理由（3）若△ABC 和△DBE 是顶角相等的等腰三肴形，以上结论还成立吗？ C B 二.、活动探究： 1.如图，等腰Rt △ABC ，AD=BD ，E 、F 分别是AC 、BC 边上的点， 且∠EDF ＝90°， （1）若DE ⊥AB ，探究DE ，DF 之间的数量关系。 （2)试探究DE ，DF 之间的数量关系。 2.如图，等腰Rt △ABC ，AD=kBD,E 、F 分别是AC 、BC 边上的点，且∠EDF ＝90°探究DE ，DF 之间的数量关系。 3、△ABC 中，AC=k·BC ，∠C=100°，O 为AB 上一点， C E F A E B C D F A E B C D
且满足AO=mBO ， ∠MON=80°请你探索线段OM 、ON 的关系。 4、如果D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的点， 作DE ∥AB ，D ∥BC ，将一块三角板45°角的顶点放 在D 处，其两边分别交直线EF 、AB 于G 、M 两点， 若CD ：BD=n 探究：DG ：DM 的值。 三．巩固练习： 如图2-1，正方形ABCD 和正方形QMNP ， ∠M =∠B ，M 是正方形ABCD 的对称中心,MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ． ⑴求证：ME = MF ． ⑵如图2－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的关系，并加以证明． ⑶如图2-3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = m BC ， 其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的关系，并说明理由 ⑷根据前面的探索和图2－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由． 四、连接中考： B E D G P Q D A F M E C B _ D _ A _ B _ C _P _ Q _ M _ N 2-2 E F _ _ A _C _ B _D E _ B _ P _ Q _ M N _ F 2-3 _ A C _ D _ Q _ _ F _ M _ N _ E
人教版初中数学全等三角形证明题经典50题
人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD? 解析：延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE =∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2 ∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝ 180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平 分∠BAD 所以∠DAC ＝ ∠FAC 又因为AC ＝AC 所以 △ADC ≌△AFC （SAS ） 所以 AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝ AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中， AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接 EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则 ∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所 以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 证明：AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F C D B D C F E A B A C D F 2 1 E 全等三角形的性质（人教版） 试卷简介:本套试卷主要测试学生全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。并和前面学生学过的三角形的内角和定理、三角形外角的性质等内容结合起来，检测学生能否灵活运用全等三角形的性质，有理有据的求边长、求角度。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下面是五个全等的正五边形,请你仔细观察,判断出下面四个图案中与已知图案完全相同的图案是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 本题考查全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 观察已知图形，对比选项验证，A正确，选A． 试题难度：三颗星知识点：全等图形 2.已知图中的两个三角形全等,则∠α的度数是( ) A.72° B.60° C.58° D.50° 答案：D 解题思路：本题考查全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等． 思路分析： ①根据全等三角形对应角相等，求∠α的度数，需找到∠α的对应角； ②根据对应边所对的角是对应角，可先找对应边； ③根据全等三角形对应边相等，结合图中标注，可知∠α所对的边长为b，因为边长为b 的边所对的角为50°，故∠α=50°，选D． 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质 3.如图,△ABD≌△EBC,AB=5,BC=12,则DE长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解题思路：本题考查全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等． 1.思路分析 根据全等三角形对应边相等可得BD=BC，BE=AB，然后根据DE=BD-BE代入数据进行计算即可得解． 2.解题过程 ∵△ABD≌△EBC，AB=5，BC=12， ∴BD=BC=12，BE=AB=5， 《全等三角形及其性质》教学设计 丹凤县月日九年制学校：寇建婷 内容与内容解析： 全等三角形是八年级上册人教版数学教材第十二章第一节的教学内容。本节课是在学生掌握了三角形有关知识的基础上，重点研究了全等形、全等三角形的有关概念、表示方法及对应元素的关系。由于三角形是最基本的几何图形之一，所以理解和掌握全等三角形的有关概念是今后学习全等三角形的判定和应用的预备知识，还是证明角相等、线段相等的主要途径，因此本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。在知识结构上，以后学习的几何图形很多要通过全等三角形来加以解决；在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都可在全等三角形教学中得以启迪和发展。因此，本小节的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的。教学目标解析 知识与技能：掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的概念及表示方法。掌握全等三角形的性质。体会图形的变换思想，初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。 过程与方法：围绕全等三角形的对应元素这一中心，设计一系列问题，给出三组组合图形，让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角，引入本节问题的主题，强化了本课的中心问题-----全等三角形的性质，经历理解性质的过程。体会图形的变换思想，逐步培养学生动态研究几何图形的意识。 情感、态度价值观：学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习，提供学生发现规律的空间，激发学生学习兴趣 教学重、难点 本节课的教学重点是准确地在图形中识别出对应边、对应角以及全等三角形的性质和利用其基本性质进行一些简单的推理和计算。教学过程中利用动画的形式让学生直观的识别抽象的图形和知识点从而突出和掌握重点，本节课的教学难点就是能在全等变换中准确找到对应边和对应角。在对应边、对应角的识别、找寻中通过学生观察动画的演示，动手实践用学具自己摆放图形，学生分组讨论等形式使学生能直观地认识该知识点，化难为易，从而突破本节课的教学难点。 教法： 根据教学内容以“概念、性质、应用”为侧重点，结合学生所具备的逻辑思维能力，本节课采用以启发式、实验法为主，讨论法、的教学方法。有机融合各种教法于一体，做到步步有序，环环相扣，不断引导学生动手、动口、动脑。从以下两个方面着手： 1、教学生观察、归纳的方法 为了适应学生的认识思维发展水平，有序的引导学生观察、分析，得出结论，让学生通过观察——认识——实践——再认识，完成认识上的飞跃。 2、通过设疑，启发学生思考 根据练习情况设疑引导，重在让学生理解全等三角形的概念，展开学生的思维。学法：学生在学习过程中可能难于理解全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。教师要做到教法与指导学习的学法有机统一。通过课件演示，学生用学具操作体会，最终完成学习过程，达到教学目标。学生通过剪一剪、拼一拼、看 全等三角形中的变式训练题 一、基本图形 例：已知如图，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。求证：⑴DE=AC ⑵DE⊥AC 变式一、将上题中的△DBE沿DC方向平移至下图中的各种情况时，还有DE=AC、DE⊥AC 吗？为什么？ 变式二：如图所示，在正方形ABCD中，E是正方形边AD上一点，F是BA延长线上一点，并且AF=AE，已知△ABE≌△ADF。 ⑴在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE与△ADF完全重合； ⑵指出图中线段BE与DF之间的关系。 变式三：已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BE⊥AC，FD=CD，求证：BF=AC 在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. （10分） ⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证: DE＝AD＋BE ⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证: DE＝AD－BE; ⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系. 变式二：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是中线，AF⊥BD于F，过C作AB 垢平行线交AF的延长线于点E，求证：⑴∠ABD=∠FAD ⑵AB=2CE 三、基本图形 例：已知：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，求证：BE=CF 变式：如图，BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°，求证： AD平分∠BAC 在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交AC 、CB 于D 、E 两点，如图1、图2所示。 问PD 与PE 有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图1、图2不同的情形吗？若 存在，请在图3中画出，并选择图2或图3为例加以证明，若不存在请选择图2加以证明。 C E D B C C D 图1 图2 图3 《全等三角形》教学反思 桂平市石龙民族中学吴炯 全等三角形是八年级上册数学教材第十三章第一节的教学内容。本节课是“全等三角形”的开篇，也是进一步学习其它图形的基础之一。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形知识打好基础。因此，在教学过程中，我有意创设诱人的知识情景，增加学生的好奇心、求知欲，产生自觉学习的内在动机，不断提高学生的智慧，发挥其潜力，促进学生的智能发展。并且从央馆资源库，下载了许多有关素材，制作成课件，利用多媒体课件辅助教学，以激发学生课堂的学习兴趣和提高学生的课堂注意力。准备就绪，我和学生们在本学期的公开课中登台亮相。一节课下来感触良多，现在作如下反思： 一、课件辅助，突出重点。 首先，我利用多媒体课件展示教材上的图案以及制作的一些图案，引导学生读图，激发学生兴趣，从图中去发现有形状与大小完全相同的图形。然后我安排学生自己动手随意去做两个形状与大小相同的图形，通过动手实践，合作交流，直观感知全等形和全等三角形的概念。其次，通过阅读法让学生找出全等形和全等三角形的概念。然后，我随即演示一个三角形经平移，翻折，旋转后构成的两个三角形全等。通过课件演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念，并以找朋友的形式练习指出对应顶点、对应边、对应角，加强对对应元素的熟练程度。此时给出全等三角形的表示方法，提示对应顶点，写在对应的位置，然后再给出用全等符号表示全等三角形练习，加强对知识的巩固，再给出练习判断哪一种表示全等三角形的方法正确，通过对图形及文字语言的综合阅读，由此去理解“对应顶点写在对应的位置上”的含义。 此外，多媒体应用上，解决了以前在用重合的方法来证明两个三角形全等的时候，只是静态地呈现书本上的例题，虽然当时也用纸板进行折叠，但是现在这节课，我通过用FLASH动画，动态的呈现两个三角形重合，这种直观、形象地演示，学生们很快就弄明白了重合的方法。 二、巧妙运用，突破难点 全等三角形这一章的说理对学生的要求较高，尤其是学生根据图形和间接条件挖掘三角形全等的条件有一些困难，而且不知道究竟选用什么方法进行说理。有一道几何题图形比较复杂，在教学的过程中，我利用课件把不同的线段用不同的颜色来标注，而相等的线段用相同的颜色来标注。比如：AB线段用蓝色，BC线段用红色，而和AB线段相等的CD线段用同样的蓝色，和BC相等的线段AD用同样的红色。在分析的过程中，引导学生根据颜色来找相等的线段。在这过程中，我发现学生逐渐跟上我的思路，而且也可以根据我的提示来寻找下一组相等的线段。此外对于识图有困难的学生还可以引导学生将图形进行分离。 这两个方法有助于学生理解SAS，ASA定理中夹边和夹角的概念。对提高学生学习几何的兴趣有一定的帮助。 这节课，让我深刻体会到了利用远教资源辅助于课堂教学具有许多优越性，它以直观、立体、生动、形象的特点进一步激发了学生的兴趣，提高了学生的积极性。在今后的教学中，我要加强运用远教资源来教学，不断提高课堂教学质量。 D C B A E C D B A y x B A O Q P 全等三角形小结（1） 【目标导航】 1．掌握全等形、全等三角形的含义及全等三角形的性质； 2．进一步熟悉判定三角形全等的条件，会证明三角形全等． 【预习引领】 1．如图1，△ABC ≌△ADE ，且∠B =∠D ，则其余的对应角是 ， ，对应边是 ， ， ． 2．如图2所示，要证明△ABC ≌△DCB 已具备了条件 ，还需要补充什么条件，请你照样子一一写出来并说明理由： （1） AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB （SAS ）； （2） ， （ ）； （3） ， （ ）； （4） ， （ ）； （5） ， （ ）． （图1） （图2） （图3） 3．如图3所示，甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是______． 4．已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝50°，∠E －∠F ＝40°，则∠B = 度． 5．下列说法错误的有： （填序号）． ①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；②有一角为80°，且腰长相等的两个等腰三角形全等；③有两边对应相等的两个直角三角形全等；④有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等． 6．已知：如图：AB =CD ，AB //CD ，求证：∠B =∠D ． 【要点梳理】 1．全等三角形的性质： （1） ；（2） ． 2． 、 、 前后的图形全等． 3．一般三角形全等的判定方法有 、 、 和 ．要判定直角三角形全等除了上述方法外，还可以用 ． 【问题探究】 例1 《互动课堂》P 9，第16题．（性质+判定） 例2 《互动课堂》P 11，第20题．（解题格式） 例3 《互动课堂》P 7，第7题．（思路、方法） 例4 《互动课堂》P 15，第31题．（第⑴题易错，第⑵题辅助线，第⑶题思路） 【课堂操练】 1．已知在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB =A 1B 1，∠A =∠A 1，要使△ABC ≌△A 1B 1C 1，?还需添加一个条 件，这个条件可以是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(3，2)，BA ⊥x 轴于A ， 若点P 在x 轴负半轴上、Q 在y 轴正半轴上运动，则当P 点的坐标 为 时，△ABO 和△AOQ 全等． 【课外拓展】 已知：如图△ABC 中，AM 是BC 边上的中线． 求证：)(2 1 AC AB AM +< ． 第一节 全等三角形的性质和判定 一、课标导航 二、核心纲要 1.基本概念 (1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形． (2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． (3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/ C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角． 2．表示符号 “≌”；如右图所示，.ABC ABC ??? 注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上． 3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边是对应边． (4)有公共角的，公共角是对应角． (5)有对顶角的，对顶角是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角 是对应边（或对应角）. 4．全等量角形的性质 (1)全等三角形对应边相等． (2)全等三角形对应角相等． (3)全等三角形的周长、面积相等． (4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用） 5．全等三角形的判定 (1) -般三角形全等判定方法 ①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）； ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；． ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）； 全等三角形变式练习 一、热身： 1.判断：（若正确，请写出这是哪种判定方法，并归纳共有哪几种说明三角形全等的方法）（1）若有三组边对应相等，则两个三角形全等（） （2）若有三组角对应相等，则两个三角形全等（） （3）若有两组角对应相等，还有一组边对应相等，则两个三角形全等（） （4）若有两组边对应相等，还有一组角对应相等，则两个三角形全等（） 2. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（），这可以用三角形全等的哪种方法来解释? A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 3. 三角形具有一个特有的性质：稳定性，它可以用三角形全等的哪种方法来解释? 二、例题与变形 例1. 如图，点A、E、B、D在同一直线上，若△ABC≌△DEF，则以下成立的有（）① AC∥DF；②BC=EF；③∠1=∠2；④AE=BD （例1及其2个变形图形一样） 变形_1: 如图，已知AB=DE，∠1=∠2，AC∥DF，试说明BC=EF 变形_2:如图，已知AE=BD，AC∥DF，且AC=DF，试说明∠1=∠2 2 1 C B E A D F 2 1 C B E A D F 例2. 已知△AOB≌△COD，则你可以得到哪些等量等量关系? ①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AB=CD；④AO=CO；⑤BO=DO；⑥AD=CB 变形_1: 已知AB=CD，∠A=∠C，请说明AD=CB吗? 变形_2: 已知△ABC≌△CDA，你能得到△AOB≌△COD吗? 请说明理由. 变形_3: 已知∠1=∠2，，AO=CO，BO=DO，试说明△ABD≌△CDB 变形_4: 已知EB=ED，AB=CD，试说明∠B=∠D O B C A D O B C A D 2 1 O B C A D E O B C A D 《12.1 全等三角形》教学设计 教材分析: 本课是在学生已经学习了三角形、多边形及其相关概念的基础上，进一步研究图形之间的全等关系，全等形、全等三角形及其相关概念，全等三角形的性质． 教学目标： 【知识与能力目标】 理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形． 【过程与方法】 1.了解并体会图形变换的思想，培养动态地研究几何图形的意识． 2.探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题． 【情感态度与价值观】 培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识． 教学重难点： 【教学重点】全等三角形的有关概念和性质． 【教学难点】理解全等三角形边、角之间的对应关系． 课前准备： 多媒体 教学过程： 问题1：(1)观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？ [追问]你能再举出生活中的一些类似例子吗？ (2)操作并交流：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们特征，你有何发现？ [学生活动]先进行剪纸操作活动，然后观察思考，再与同学合作交流. [讨论交流]同学们，像上述这样“一模一样”的例子，生活还有许多，你能再举出一些例子吗？ [学生活动]分组讨论交流. [教师点拨]像这种“一模一样”的两个图形，我们几何上称为全等形，本节课我们就来学习和研究全等形的有关知识. 【设计意图】1.创设情境，激发学生兴趣，引出本节要讨论的内容．丰富的图形和问题容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中. 2.观察出示的图形，寻找形状、大小相同的图形，归纳全等形的概念，进而得出全等三角形的概念. 问题2：(1)请同学用语言归纳出问题1 和问题2 中两个图形有何关系？ [定义1]能够完全重合的两个图形叫做全等形． [定义2]能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． (2)【探究1】如图，△ABC与△DEF完全重合(电脑演示重合过程)． 这时，点A与点D重合．点B与点E重合，我们把这样互相重合的一对点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；△A与△D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC△△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上． (3)[练习]你能找出下列图形中的对应点、对应边和对应角吗？ [师生活动]教师引导学生归纳在全等三角形中找对应元素的方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．全等三角形的性质(人教版)(含答案)
全等三角形及性质
全等三角形变式练习
全等三角形教学反思
全等三角形小结(1)
第一节 全等三角形的性质和判定-学而思培优
全等三角形变式练习
《12.1 全等三角形》(数学人教版九上)