函数动点问题-教师版

函数有关的动点问题

类型一：动点产生的平行四边形 方法要领：讨论对角线

例如：请在抛物线上找一点P 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP //

（2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC //

例题1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；

(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；

(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ， ∵抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0），

∴16a 4b c 04a 2b c 04c -+=??

++=??=-?

∴抛物线解析式为y=

2

142

x x +- （2）∵点M 的横坐标为m ， ∴点M 的纵坐标为

2

142

m m +- 又∵A （-4，0），∴AO=0-（-4）=4， ∴S=

211

4422

m m ??+-=-（m 2+2m-8）=-m 2-2m+8， ∵S=-（m 2+2m-8）=-（m+1）2+9，点M 为第三象限内抛物线上一动点， ∴当m=-1时，S 有最大值，最大值为S=9；

故答案为：S 关于m 的函数关系式为S=-m 2-2m+8，当m=-1时，S 有最大值9 （3）∵点Q 是直线y=-x 上的动点， ∴设点Q 的坐标为（a ，-a ）， ∵点P 在抛物线上，且PQ ∥y 轴， ∴点P 的坐标为2

1(,4)2

a a a +- ∴PQ=2

1(4)2

a a a --+-= 2

1242

a a -

-+， 又∵OB=0-（-4）=4， 以点P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形， ∴|PQ|=OB ，即2

12442

a a -

-+= ①2

12442

a a -

-+=整理得，a 2+4a=0， 解得a=0（舍去）或a=-4，所以点Q 坐标为（-4，4），

②2

12442

a a -

-+=-时，整理得，24160a a +-= 解得225a =-±，所以Q 点坐标为(225,225)-+-，(225,225)--+ 综上所述，Q 点坐标为（-4，4）或(225,225)-+-或(225,225)--+

练习：如图1，抛物线322

++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．

（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．

①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．

，

类型二：动点产生的梯形问题 方法要领：讨论上下底

例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况

（1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC //

例题2、已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；

（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P

两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．

参考:(1)2

812y x x =-+，顶点P （4，-4）

（2）直线BP ：y = 2x -12，则直线BP ∥直线y = 2x ，要使四边形OPBD 为等腰梯形，，只需满足OP =BD ，设D （m ，2m ）

列等量关系求得：m =2(舍)，或m =

25； ∴D （25，45

） （3）设对折后P 恰好落在x 轴时，M （2，-2），MP = 22 设M （4 - t ，t - 4）则N （42

t

+，t – 4） ①当02t ≤≤时，MN=

3

2t ，2133224

MNP

S S t t t ==??= ②当24t <≤时，由x 轴∥MN ，

得

24AB t MN t -=即24

32AB t t t -= ∴AB =3t - 6∴13

(36)(4)22

S t t t =-+?-

∴2

912124

S t t =-+-

类型三：直角三角形

方法要领：讨论直角的位置或者斜边的位置

例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况

（1）当A ∠为直角时，AB AC ⊥ （2）当B ∠为直角时，BA BC ⊥ （3）当C ∠为直角时，CB CA ⊥

例题3、如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．

①当线段3

4

PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；

②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．

解：∵(x+b/2)2+c-b2/4 与y 轴交于点C （0，－3） ∴c= -3

∵对称轴是直线x=1，则：1+b/2=0 b= -2 抛物线的函数表达式：y=x2-2x-3 （2）0=x2-2x-3 A （-1,0） B （3,0） AB=4 BC 的函数表达式:y=x-3 故D （1，-2） (3)①PQ=0.75AB 时，PQ=3 3/2+1=2.5 故PQF 三点纵坐标：y=2.52-2*2.5-3= -1.75 E 点纵坐标：3-2*1.75= -0.5

即：E （0，-0.5） tan ∠CED =1/[-0.5-(-2)]=2/3

②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形(∠CED 为直角） 时，点P 的坐标(0,-2.5)

练习：如图1，直线43

4

+-

=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．

① 求S 与t 的函数关系式；

② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．

解答：（1）证明：因为4

43

y x =-

+∵当x=0时，y=4；当y=0时，x=3， ∴B （3，0），C （0，4），∵A （-2，0），

由勾股定理得： BC=5∴AB = BC =5 ∴△ABC 是等腰三角形 （2）①∵C （0，4），B （3，0），BC=5 ∴4sin 5

B ∠=

∵12MON

S

OM NH =??， ∴14

225

S t t =-?∴0.42S t t =- ②点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形．理由如下： ∵C （0，4），B （3，0），BC=5，∴4

sin 5

B ∠=

根据题意得：∵S=4， ∴|t-2|×0.4t=4， ∵点M 在线段OB 上运动，OA=2， ∴t-2＞0，即（t-2）×0.4t=4， 即2

t -2t -10=0， 解得111t =+或111t =-（舍）

∴点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t 值是111t =+S 的情形 ③由题意3

cos 5

B ∠=

，分为三种情况： 1°、当∠NOM=90°时，N 在y 轴上，即此时t=5； 2°、当∠NMO=90°时，M 、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t ，解得：t=3.125， 3°、∠MNO 不可能是90°，即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒．

类型四：动点产生的等腰三角形问题

方法要领：讨论顶角的位置或者底边的位置

例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况

（1）当A ∠为顶角时，AB AC = （2）当B ∠为顶角时，BA BC = （3）当C ∠为顶角时，CB CA =

例题4、已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为

5

6

，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．

∴E （0,1）

（2）EF＝2GO成立

∴F（0,3），EF=2

∴Q（2，2）

A

B C

O

P Q

D

y

x

∴Q （1，

73

）

∴Q （

125，75

）

练习：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点B (12，0)和C (0，－6)，对称轴为x ＝2． (1)求该抛物线的解析式．

(2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1

个单位长度的速度匀速运动，

同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．

(3)在(2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解:

∴M（1，-3）

类型五：动点产生的相似三角形问题

方法要领：寻找比例关系以及特殊角；一般分类角对应相等

例题5、如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

O

A

B

y

x

O

A

B

y

x

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，

之后利用相似来列方程求解。

解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x (a y 2+-=

∵抛物线过原点，∴1)20(a 02+-=∴4

1

a -=. 抛物线的解析式为1)2x (41y 2+--=,即x x 4

1

y 2+-=

⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形

时,CD ∥＝OB,

由1)2x (4

1

02+--=得4x ,0x 21==,∴B(4,0),OB ＝4.∴D 点的横坐标为6

将x ＝6代入1)2x (4

1

y 2+--=,得y ＝－3,∴D(6,－3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(－2,－3),

当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A 点,此时D 点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP 的解析式为x 2

1

y -=

由x x 4

1

x 212+-=-,

得6x ,0x 21==.∴P(6,－3)

过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, ∴PB ＝13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,

∴△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似.

练习1、已知抛物线2

y ax bx c =++

经过0P E ?

??

??

及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．

（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形

OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？

解：（1）由已知可得：

33

75040a a c ?+=?

?+=??=??

解之得，2033a b c =-==，，．

因而得，抛物线的解析式为：2233

y x x =-+． （2）存在．

设Q 点的坐标为()m n ，

，则223n m =-

+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△

3m =

223m m

+-=

解之得，12m m ==

当1m =2n =，即为Q

点，所以得Q

要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△

，则有33n -=

223333m m

+-=

解之得，12m m ==

当m =时，即为P 点，

当1m =3n =-，

所以得3)Q -．故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．Q

点的坐标为3)-． （3）在Rt OCP △

中，因为tan 3

CP COP OC ∠=

=．所以30COP ∠=． 当Q

点的坐标为时，30BPQ COP ∠=∠=． 所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠=．

因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形．

又在Rt OAQ △

中，因为tan QA QOA AO ∠=

=30QOA ∠=． 即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠=所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△，又因为

QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠=，所以OQA OQP △≌△．

练习2、如图所示，已知抛物线2

1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标．

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =-

∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-

（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45

∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45

过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形

练习2图

令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +

∵点P 在抛物线2

1y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3∴四边形ACB P 的面积S =

12AB ?O C +12

AB ?P E =11

2123422??+??=

(3)． 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC

∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC

在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A

P= 设M 点的横坐标为m ，则M 2

(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有

AG PA =MG

CA

∵A G=1m --，MG=2

1m -

2=

解得

2 (ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有

AG CA =MG

PA

即 2=

解得：1m =-（舍去） 2m =-∴M (2,3)-

② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时有

AG PA =MG

CA

∵A G=1m +，MG=21m -

∴ 2=

解得11m =-（舍去） 2m = ∴M 47

(,)39

(ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有

AG CA =MG

PA

即 2=

解得：11m =-（舍去） ∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?P CA 相似

M 点的坐标为(2,3)-，47

(,)39

，(4,15)

练习3、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4

BAC ∠=

． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B (13)，，3944

y x =

+ （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由． 解：（1）

点(30)A -，，(10)C ， 4AC ∴=，3

tan 434

BC BAC AC =?=

?=∠，B 点坐标为(13)，

,设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，

由0(3)3k b k b

=?-+??

=+? 得34k =，94b =∴直线AB 的函数表达式为

y =（2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ，

在Rt ABC △和Rt ADB △中，

BAC DAB =∠∠ Rt Rt ABC ADB ∴△∽△，

D ∴点为所求又4

tan tan 3

ADB ABC ==∠∠，

49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷

=∠134OD OC CD ∴=+=，1304D ??∴ ???

， （3）这样的m 存在

在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB =如图1，当PQ BD ∥时，

APQ ABD △∽△ 则13

3413534

m m +-=

+，解得259m = 如图2，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△

则

1334135

34

m

m

+

-=+

，解得12536m =

图1

图2