2020-2021学年浙江七年级数学下第一章《平行线》竞赛题(解析版)

2020-2021学年浙江七年级数学下第一章《平行线》竞赛题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.平面上的三条直线最多可将平面分成的部分为()

A. 3

B. 6

C. 7

D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查直线的相交情况，要注意分情况讨论，要细心，查找时要不重不漏．在平面上任意画三条直线，有四种可能：①三条直线平行；②三条直线相交于一点；③两直线平行被第三条直线所截；④两直线相交，又被第三条直线所截．故可得出答案．

【解答】

解：任意画三条直线，相交的情况有四种可能：

1.三直线平行，将平面分成4部分；

2.三条直线相交同一点，将平面分成6部分；

3.两直线平行被第三直线所截，将平面分成6部分；

4.两直线相交得到一个交点，又被第三直线所截，将平面分成7部分；

故任意三条直线最多把平面分成7个部分．

故选C．

2.如图所示，与∠α构成同位角的角的个数为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的是同位角有关知识，利用同位角的定义进行解答即可．

【解答】

解：与∠α构成同位角的是∠FAE，∠FAC，∠ACD．

故选C．

3.如图，∠1和∠2是同位角的图形是()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】解：A.∠1与∠2是同位角；

B.∠1与∠2不是同位角；

C.∠1与∠2不是同位角；

D.∠1与∠2不是同位角．

故选：A．

根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．

此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．

4.如图，直线AB，AF被BC所截，则∠2的同位角是()

A. ∠1

B. ∠2

C. ∠3

D. ∠4

【答案】D

【解析】解：如果直线AB，AF被BC所截，那么∠2的同位角是∠4，

故选：D．

根据同位角的定义逐个判断即可．

本题考查了同位角、内错角、同旁内角等定义，能熟记同位角的定义是解此题的关键．

5.在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平

行的是()

A. 如图1，展开后测得∠1=∠2

B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4

C. 如图3，测得∠1=∠2

D. 在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°

【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键，属于中档题．

根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．

【解答】

解：A、当∠1=∠2时，a//b；

B、由∠1=∠2且∠3=∠4，可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∴a//b；

C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；

D、由∠1+∠2=180°可知a//b；

故选：C．

6.如图所示，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；

③∠4+∠7=180°；④∠5+∠7=180°.其中能判定a//b的是()

A. ①②③④

B. ①③④

C. ①③

D. ②④

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的判定，解答本题关键是熟练掌握平行线判定的三个定理．

根据平行线的判定定理，结合所给条件进行判断即可．

【解答】

解：①∠1=∠2能判断a//b(同位角相等，两直线平行)；

②∠3=∠6不能判断a//b；

③∠4+∠7=180°能判断a//b(同旁内角互补，两直线平行)；

④∠5+∠7=180°不能能判断a//b．

综上可得①③可判断a//b．

故选：C．

7.某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次

拐弯的角度可能是()

A. 第一次向左拐40°，第二次向右拐40°

B. 第一次向左拐50°，第二次向右拐130°

C. 第一次向左拐70°，第二次向右拐110°

D. 第一次向左拐70°，第二次向左拐110°

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．作出图形，根据邻补角的定义求出∠1，根据题意求出∠2，再根据同位角相等，两直线平行，得出答案，【解答】

解：A、第一次向左拐40°，第二次向右拐40°，行驶方向相同，故本选项错误；

B、第一次向左拐50°，第二次向右拐130°，行驶路线相交，故本选项错误；

C、第一次向左拐70°，第二次向右拐110°，行驶路线相交，故本选项错误；

D、如图，第一次向左拐70°，∠1=180°−70°=110°，第二次向左拐110°，∠2=110°，所以，∠1=∠2，

所以，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反．

故选：D．

8.如图AB//CD，E是AB上一点，EF⊥EG.则下列结论错误的是()

A. ∠α+∠β+∠G=90°

B. ∠α+∠β=∠F

C. ∠α<∠β

D. ∠α+∠γ=∠G+∠F

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．延长GF交AB于H，根据平行线的性质得到∠β=∠EHF，根据三角形的外角的性质得到∠EFG=∠α+∠β，根据垂直的定义得到∠α+∠β+∠G=90°；∠γ+∠α=∠G+∠EFG；即可得到结论．

【解答】

解：延长GF交AB于H，

∵AB//CD，

∴∠β=∠EHF，

∴∠EFG=∠α+∠β，

∵EF⊥EG，

∴∠α+∠β+∠G=90°；

∠γ+∠α=∠G+∠EFG；

故选C．

9.如图1的长方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图

3，则图3中∠CFE度数是()

A. 105°

B. 120°

C. 130°

D. 145°

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°−3∠BFE.解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．由矩形的性质可知AD//BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数；

【解答】

解：∵四边形ABCD为长方形，

∴AD//BC，

∴∠BFE=∠DEF=25°，

由翻折的性质可知：

图2中，∠EFC=180°−∠BFE=155°，∠BFC=∠EFC−∠BFE=130°，

图3中，∠CFE=∠BFC−∠BFE=105°．

故选A．

10.如图，已知AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2=90∘.下列结论正确的有()

 ①AB//CD; ②∠ABE+∠CDF=180∘; ③AC//BD;④若∠ACD=2∠E,则

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是掌握平行线的判定和性质.证明∠BAC+∠ACD=180°，得出AB//CD，可得①正确；由AB//CD，得出∠ABE=∠CDB，∠CDF=∠ABD，∠ABD+∠CDB=180°，可得②正确；由于∠E不一定等于∠ACE，因此AC不一定平行于BD，得出③错误；根据已知条件结合平行线的性质和角平分线定义，可以得出④正确．

【解答】

解：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，

∴∠1=1

2∠BAC，∠2=1

2

∠ACD，

∴∠1+∠2=1

2

(∠BAC+∠ACD)，

∵∠1+∠2=90°，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∴AB//CD，故①正确；

∵AB//CD，

∴∠ABE=∠CDB，∠CDF=∠ABD，∠ABD+∠CDB=180°，∴∠ABE+∠CDF=180°，故②正确；

∵∠2不一定等于∠E，

∴∠E不一定等于∠ACE，

因此AC不一定平行于BD，故③错误；

∵∠ACD=2∠E，∠ACD=2∠ACE，

∴∠E=∠ACE，

∴AC//EF，

∴∠F=∠CAF，

∵∠CAB=2∠CAF，

∴∠CAB=2∠F，故④正确．

因此正确的有3个．

故选C．

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为______个．

【答案】0，1，3，4，5，6

【解析】解：(1)当四条直线平行时，无交点；

(2)当三条平行，另一条与这三条不平行时，有3个交点；

(3)当两两直线平行时，有4个交点；

(4)当有两条直线平行，而另两条不平行且交点不在平行线上时，有5个交点；

(5)当四条直线同交于一点时，只有一个交点；

(6)当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；

(7)当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．

故答案为：0，1，3，4，5，6．

从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．

本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案，本题对学生要求较高．

12.如图所示，与∠A是同旁内角的角共有______个．

【答案】4

【解析】解：与∠A是同旁内角的有：∠ABC、∠ADC、∠ADE，∠AED共4个．

故答案为：4．

同旁内角：两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．

本题主要考查了同旁内角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

13.探究题：

(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有________对，内错角

有________对，同旁内角有________对；

(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有________对，内错角

有________对，同旁内角有________对；

(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，

同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对．(用含n的式子表示)

【答案】(1)4，2，2

(2)12，6，6

(3)2n(n−1)，n(n−1)，n(n−1)

【解析】

【分析】

本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．【解答】

解：(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．

(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．

(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n(n−1)对，内错角有n(n−1)对，同旁内角有n(n−1)对，

故答案为(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n−1)，n(n−1)，n(n−1)．

14.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三

角尺ABC绕顶点A顺时针转动(旋转角不超过180度)，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD=15°时，BC//DE.则∠BAD(0°<∠BAD<180°)其它所有可能符合条件的度数为_____．

【答案】45°，60°，105°，135°

【解析】

【分析】

本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行进行判定即可．

【解答】

解：如下图：

当∠BAD=45°时，∠DAC=45°+90°=135°，则∠D+∠DAC=180°，所以DE//AC；当∠BAD=∠B=60°时，BC//AD；

当∠BAD=105°时，∠BAE=105°−45°=60°=∠B，所以AE//BC；

当∠BAD=135°时，∠BAE=135°−45°=90°=∠E，所以DE//AB．

故答案为45°，60°，105°，135°．

15.如图，直线AB//CD//EF，如果∠A+∠ADF=218°，那么∠F=______．

【答案】38°

【解析】解：延长CD至点H，

∵AB//CD，

∴∠A+∠ADH=180°．

∵∠A+∠ADF=218°，

∴∠HDF=218°−180°=38°．

∵CD//EF，

∴∠F=∠HDF=38°．

故答案为：38°．

延长CD至点H，由平行线的性质得出∠A+∠ADH=180°，故可得出∠HDF的度数，再由CD//EF即可得出结论．

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．

16.18.如图，下列推理是否正确，请写出你认为是正确推理的编号______ ．①因

为AB//DC，所以∠ABC+∠C=180∘②

因为∠1=∠2，所以AD//BC③

因为AD//BC，所以∠3=∠4④

因为∠A+∠ADC=180∘，所以AB//DC．

【答案】①②④

【解析】

【分析】

此题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解本题的关键，在图形中找到同位角、内错角、同旁内角结合平行线的性质和判定直接判断即可．

【解答】

解：①∵AB//DC，∴∠ABC+∠C=180°，此结论正确；

②∵∠1=∠2，∴AD//BC，此结论正确；

③∵AD//BC，∴∠1=∠2，而∠3≠∠4，此结论错误，

④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB//DC，此结论正确．

故答案为①②④．

17.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N

的位置上，若∠EFG=55∘，则∠1=_______，∠2=_______．

【答案】70°110°

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的性质、折叠与对称、矩形的性质的知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠EFG，再根据翻折的性质和平角

的定义列式计算即可求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可求出∠2．【解答】

解：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD//BC，

∴∠3=∠EFG=55°，

由翻折的性质得，∠3=∠MEF，

∴∠1=180°−55°×2=70°，

∵AD//BC，

∴∠2=180°−∠1=180°−70°=110°．

故答案为70°；110°．

18.如图，在一块长为20m、宽为12m的长方形草地上，有两条宽都为1m的纵横相交

的小路，这块草地的绿地面积为___________m2

【答案】209

【解析】

【分析】

此题考查了平移的应用，观察图形特征可以利用平移的思想将不规则图形转化为规则图形，通过平移得到一个边长为19米和11米的长方形，计算长方形面积即可．

【解答】

解：由平移的性质可知道路两旁的草地面积为长(20−1)m，宽(12−1)m的长方形面积，(20−1)×(12−1)=209(m2)，

∴这块草地的绿地面积为209m2，

故答案为209．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）

19.根据图形填空：

(1)若直线ED、BC被直线AB所截，则∠1和______是同位角；

(2)若直线ED、BC被直线AF所截，则∠3和______是内错角；

(3)∠1和∠3是直线AB、AF被直线______所截构成的内错角．

(4)∠2和∠4是直线AB、______被直线BC所截构成的______角．

【答案】∠2∠4ED AF同位

【解析】解：(1)如图：若ED，BC被AB所截，则∠1与∠2是同位角，

(2)若ED，BC被AF所截，则∠3与∠4是内错角，

(3)∠1与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角，

(4)∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角．

故答案是：(1)∠2.(2)∠4.(3)ED.(4)AF；同位．

(1)、(4)根据同位角的定义填空；

(2)、(3)根据内错角的定义填空．

本题主要考查内错角、同位角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．

20.请将下列证明过程补充完整：如图，在△ABC中，DE//BC，GF//AB，∠ABC=∠DEH，

求证：GF//EH．

证明：∵DE//BC(已知)

∴∠DEB=∠EBH(______)

∵∠ABC=∠DEH(已知)

∴∠ABC−∠EBH=∠DEH−∠DEB

即∠ABE=∠BEH

∴______//______(______)

∵GF//AB(已知)

∴GF//EH(______)

【答案】两直线平行，内错角相等AB EH内错角相等，两直线平行两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

【解析】证明：∵DE//BC(已知)

∴∠DEB=∠EBH(两直线平行，内错角相等)

∵∠ABC=∠DEH(已知)

∴∠ABC−∠EBH=∠DEH−∠DEB

即∠ABE=∠BEH

∴AB//EH(内错角相等，两直线平行)

∵GF//AB(已知)

∴GF//EH(两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行)

故答案为：两直线平行，内错角相等；AB，EH，内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．

根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBH，再根据∠ABC=∠DEH，即可得出∠ABE=

∠BEH，进而判定AB//EH，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，即可得出结论．

本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．

21.已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1=∠2，

求证：DE//AC．

【答案】证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，

∴AD//EF.

∴∠1=∠3.

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3．

∴DE//AC．

【解析】先由垂直于同一条直线的两条直线平行，得出∠1=∠3，再用∠1=∠2代换，最后用内错角相等得出结论；

此题是平行线的判定，主要考查了平行线的性质和判定，用判断垂直于同一条直线的两直线平行，解本题的关键是判断出AD//EF．

22.探究题

已知：如图1，AB//CD，CD//EF．

求证：∠B+∠BDF+∠F=360°．

老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

(1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，

小额用到的平行线性质可能是______．

(2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，

然后在平行线间画了一点D，连接BD，DF后，用鼠标拖动点D，分别得到了图

①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和

③中的∠B、∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》

的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．

请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：

①猜想图①中∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明：

②补全图③，真接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系：______．

(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，BA垂直地面AE于A，

CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=______．

【答案】两直线平行同旁内角互补∠F=∠D+∠B120°

【解析】(1)证明：如图1中，

∵AB//EF，CD//EF，

∴CD//EF，

∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°(两直线平行同旁内角互补)，

∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，

∴∠B+∠BDF+∠F=360°，

故答案为：两直线平行同旁内角互补．

(2)解：①结论：∠BDF=∠B+∠F．

理由：如图①中，作DK//AB．

∵AB//DK，AB//EF，

∴DK//EF，

∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，

∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．

②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B.(答案不唯一)．

理由：∵AB//EF，

∴∠1=∠F，

∵∠1+∠DOB=180°，∠B+∠D+∠DOB=180°

∴∠1=∠B+∠D

∴∠F=∠D+∠B．

故答案为∠F=∠D+∠F．

(3)解：如图2中，

∵BA⊥AE，

∴∠BAE=90°，

∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，

∴∠ABC=360°−240°=120°，

故答案为120°．

(1)利用平行线的性质证明即可．

(2)①结论：∠BDF=∠B+∠F.如图①中，作DK//AB.利用平行线的性质证明即可．

②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B.(答案不唯一).利用平行线的性质和三角形内角和证明即可．

(3)利用图1中的结论，计算即可．

本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．

23.已知：直线AC//BD，P是直线BD上不与点B重合的一点，连接AP，∠ABD=120°．

(1)如图1，当点P在射线BD上时，若∠BAM=1

2∠BAP，∠NAC=1

2

∠PAC，则

∠MAN=________；

(2)如图2，当点P在射线BE上时，若∠BAM=1

3∠BAP，∠NAC=1

3

∠PAC，求∠MAN

的度数；

(3)若P是直线BD上不与点B重合的一点，当∠ABD=α，∠BAM=1

n

∠BAP，

∠NAC=1

n

∠PAC时，请直接用含有α，n的代数式表示∠MAN的度数．

【答案】解：(1)30°；

(2)∵AC//BD，∠ABD=120°，

∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−120°=60°

∵∠BAM=1

3∠BAP,∠NAC=1

3

∠PAC，

∴∠PAM=2

3∠PAB,∠PAN=2

3

∠PAC，

∴∠MAN=∠PAN−∠PAM=2

3∠PAC−2

3

∠PAB，

即∠MAN=2

3(∠PAC−∠PAB)=2

3

∠BAC=2

3

×60°=40°．

(3)∵AC//BD，∠ABD=α，

∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−α．

∵∠BAM=1

n ∠BAP，∠NAC=1

n

∠PAC，

∴∠PAM=n−1

n ∠BAP，∠PAN=n−1

n

∠PAC．

根据点P的位置可分为两种情况：

①当点P在点B右侧时，同(1)可知∠MAN=∠PAM+∠PAN=n−1

n ∠BAP+n−1

n

∠PAC=

n−1 n (∠BAP+∠PAC)=n−1

n

∠BAC=n−1

n

(180∘−α)；

②当点P在点B左侧时，同(2)可知∠MAN=∠PAN−∠PAM=n−1

n ∠PAC−n−1

n

∠BAP=

n−1 n (∠PAC−∠BAP)=n−1

n

∠BAC=n−1

n

(180∘−α)．

综上所述，∠MAN=n−1

n

(180∘−α)．

【解析】

【分析】

本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握等分线的定义．根据平行线的性质可求∠CAB=60°；

(1)根据角平分线的定义可求∠MAN；

(2)根据三等分线的定义可求∠MAN；

(3)根据n等分线的定义分两种情况可求∠MAN．

【解答】

解：(1)∵AC//BD，∠ABD=120°，

∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−120°=60°；

∵∠BAM=∠PAM=1

2∠BAP，∠NAC=∠NAP=1

2

∠PAC，

∴∠MAN=∠PAM+∠NAP=1

2∠BAP+1

2

∠PAC=30°，

故答案为30°；

(2)见答案．

(3)见答案．

24.如图，已知AM//BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点(与A不重合)，BC、

BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D.(要有推理过程，不需要写出每一步的理由)

(1)求∠CBD的度数；

(2)试说明：∠APB=2∠ADB；

(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．

【答案】解：

(1)∵AM//BN，

∴∠A+∠ABN=180°，

又∵∠A=60°，

∴∠ABN=120°，

∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=1

2∠ABP，∠PBD=1

2

∠PBN，

∴∠CBD=1

2∠ABP+1

2

∠PBN=1

2

∠ABN=60°．

(2)∵AM//BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵∠PBD=∠DBN，

∴∠APB=2∠DBN，

∴∠APB=2∠ADB．

(3)∵AM//BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD，∴∠DBN=∠ABC，

又∵∠CBD=60°，∠ABN=120°，∴∠ABC=30°．

【解析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

(1)利用平行线的性质，先求出∠ABN=120°，然后证明∠CBD=1

2∠ABP+1

2

∠PBN=

1

2

∠ABN即可解决问题．

(2)利用平行线的性质即可解决问题．

(3)只要证明∠DBN=∠ABC即可解决问题．