2015年中学高级教师职称专业考试数学学科试卷及答案

2015年中学高级教师职称专业考试数学学科试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}

2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B

等于

（ ） A ．R B ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．?

2、函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为 ( )

A 、 f (x )＝1

log 2x

(x ＞0) B 、 f (x )＝log 2(－x )(x ＜0)

C 、f (x )＝－log 2x (x ＞0)

D 、f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 3、若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) A 、

b

a 1

1<. B 、22b a >. C 、1122

+>+c b c a D 、||||c b c a >. 4、“2π

2()3

k k z θπ=±

∈”是“πtan 2cos 2θθ??

=+

???

”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

5、设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）

Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ??，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥

6、设双曲线22221(00)x y a b a b

-=>>，且它的一条准线与抛物线2

4y x

=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）

Ａ．22

11224x y -

= Ｂ．

2214896x y -= Ｃ．22

2133

x y -= Ｄ．22

136

x y -

= 7、设n

n x n a )3(),4,3,2(-=是 的展开式中x 的一项的系数，则1818

3322333a

a a +++ 值

是 （ ）

A ．16

B ．17

C ．18

D ．19

8．设)(,sin cos )(x f x x x f 把-=的图象按向量)0)(0,(>m m 平移后，图象恰好为函 数)('x f y -=的图象，则m 的值可以为 （ ）

A ．

4

π

B ．π4

3

C ．π

D ．

2

π

9．以复数－24+mi （R m ∈）的实部为首项，虚部为公差的等差数列，当且仅当n=10 时，其前n 项和最小，则m 的取值范围是 （ ）

A ．5

12>m B ．

38

512≤

C ．

3

8512<≤m

D ．3

8512<

A ．

114 B ．17 C ．4

11

D ．

2

11

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题纸的指定位置上。 11、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，底边长为2，则这个球的表面积是 .

12、椭圆12

2

=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的

斜率为

b

a

则,23的值为____________________. 13、将

60=∠A 的菱形ABCD ，沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于BD ，则二面角A

—BD —C 的余弦值是 . 14、若函数),(,2)2()(2R b a a bx x a x f ∈++++=

的定义域R ，则3a+b 的取值范围

是 .

三、解答题（本题共4大题，共54分，请将解答过程写在答题纸的指定位置上。） 15．（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角a ，b ，c 为三条边，

2

3

π

π

<

且

.2sin sin 2sin C

A C

b a b -=- （1）判断△ABC 的形状；

（2）若?=+求,2||的取值范围. 16．（本小题满分13分）已知：

n n n n n A A A A A A x A A A 1121212

1

),0,5(),0,1(,,-+=

轴上依次在 ,n =2,3,4,….点B 1,B 2, …,B n ,…,依次在射线)0(≥=x x y 上，且B 1（3，3）.

)3,2(22||||1 =+=-n n n .

（1）用n 表示n n B A 与的坐标；

（2）设直线n n B A 斜率为n K ，求n n K ∞

→lim 的值；

（3）若四边形A n A n +1B n +1B n 面积为S ，求S 的取值范围. 17．（本题满分14分）

已知函数.ln )(x x x f =

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和最小值；

（Ⅱ）当e b

e

b b 1

)1(:,0≥>求证时（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）；

（Ⅲ）若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明

18、（本题满分15分） 数学新课程带来了数学教育观念的变化，其主要变化体现在教学目

标、学生地位、学习方式、教学过程、学生评价等方面。 (Ⅰ)(6分)、根据你的理解将高中解析几何中的““圆及其标准方程””第一课时的“教学目标”写在下列横线上: ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________. （Ⅱ）(9分)、请你就某一节课或一个教学片段（新、旧课程中自选）设计其教学过程并阐述如何体现新课程所倡导的教学方式的变化？.

2015年中学高级教师职称专业考试

数学学科答题卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填在答题纸的指定位置上。 11、____________12、____________13、_________________14、____________________. 三、解答题（本题共4大题，共54分，请将解答过程写在答题纸的指定位置上。） 15．（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角a ，b ，c 为三条边，

2

3

π

π

<

且

.2sin sin 2sin C

A C

b a b -=- （1）判断△ABC 的形状；

（2）若?=+求,2||的取值范围.

16．（本小题满分13分）已知：

n n n n n A A A A A A x A A A 1121212

1

),0,5(),0,1(,,-+=

轴上依次在 ,n =2,3,4,….点B 1,B 2, …,B n ,…,依次在射线)0(≥=x x y 上，且B 1（3，3）.

)3,2(22||||1 =+=-n n n .

（1）用n 表示n n B A 与的坐标；

（2）设直线n n B A 斜率为n K ，求n n K ∞

→lim 的值；

（3）若四边形A n A n +1B n +1B n 面积为S ，求S 的取值范围.

已知函数.ln )(x x x f =

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和最小值；

（Ⅱ）当e b

e

b b 1

)1

(:,0≥>求证时（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）；

（Ⅲ）若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明

数学新课程带来了数学教育观念的变化，其主要变化体现在教学目标、学生地位、学习方式、教学过程、学生评价等方面。

(Ⅰ)(6分)、根据你的理解将高中解析几何中的““圆及其标准方程””一节的“教学目标”写在下列横线上:

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________. （Ⅱ）(9分)、请你就某一节课或一个教学片段（新、旧课程中自选）设计其教学过程并阐述如何体现新课程所倡导的教学方式的变化？.

2015年中学高级教师职称专业考试

数学学科参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、（B ）2、(D )3、(C) 4、（A ）5、（D ）6、（D ）7、（B ）8、（D ）9、（D ）10、（B ） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填在答题纸的指定位置上。

11、20π .12、

2

3

.13、1/3 .14、[)+∞-,6. 三、解答题（本题共4大题，共54分，请将解答过程写在答题纸的指定位置上。）

15．（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角a ，b ，c 为三条边，

2

3

π

π

<

且

.2sin sin 2sin C

A C

b a b -=- （1）判断△ABC 的形状；

（2）若?=+求,2||的取值范围. 15．（1）解：由

C A C

b a b 2sin sin 2sin -=- 由正弦定理：C B 2sin sin =

C B 2=∴或π=+C B 2……………………………(3分)

若2

3

,

2π

π

<

<=C C B

ππ<<∴B 3

2

)(舍π>+C B 为等腰

ABC C A C B ?∴=∴=+∴π2………………………………………(6分)

（2）2||=+

ac c a 222++∴4cos =B

2

2

2cos a a B -=∴………………………………………(9分)

而C B 2cos cos -=

12

1

<<∴

coB 34

12<<∴a

)1,32

(∈?∴………………………………………(12分)

16．（本小题满分13分）已知：

n n n n n A A A A A A x A A A 1121212

1

),0,5(),0,1(,,-+=

轴上依次在 ,n =2,3,4,….点B 1,B 2, …,B n ,…,依次在射线)0(≥=x x y 上，且B 1（3，3）.

)3,2(22||||1 =+=-n n n .

（1）用n 表示n n B A 与的坐标；

（2）设直线n n B A 斜率为n K ，求n n K ∞

→lim 的值；

（3）若四边形A n A n +1B n +1B n 面积为S ，求S 的取值范围. 16、解：设)0,(n n a A 则由n n n n A A A A 112

1

-+=

得2),(21

11≥-=

--+n a a a a n n n n )()21

(1211a a a a n n n -=-∴-+ ①

112

8

--=-∴n n n a a ②

1122

8

=-a a ①+②+……

得12112

8

282+++=--- n n n a a

212112181

-

????

??????

? ??-?

=-n

n n a 2

16

9-=∴

n A ∴坐标为*),0,2169(N n n

∈-

……………………4分 设n n b B (、)n b

n b 2=

22221+=∴-n n b b 21+=-n n b b

12)1(21+=-+=∴n n b b n

n B ∴坐标为*)12,12(N n n n ∈++……………………………………6分

（2）?

?? ?

?

--++=∞→∞

→n n n n n n k 2169121

2lim

lim

12

16

821

2lim

=+-+=∞→n

n n n ………………8分

（3）??

? ??--?+???? ??-?=-=?++?n n OAnBn n OAn n S B S S 21692145sin )32(22892111

n

n n 24

8945sin )12(2-+

=-+ …………………………10分 记n

n n g 2

4

8)(-=

3

)(00

2812lim ,0)(041848324

28)2()(,)3()2()1(),()1(2),1()2(,1246248248)()1(2

82

max 1≤<∴=->>-?≥-=-?==>><∴<+≥>=∴-=--+=

-+→+n g n

n g n g n g g g g n g n g n g g n n

n n n g n g n n

n n 且故又故时时则 ……………12分 则S 的取值范围为(]9,12………………13分

17．（本题满分14分）

已知函数.ln )(x x x f =

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和最小值；

（Ⅱ）当e b

e

b b 1

)1

(:,0≥>求证时（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）；

（Ⅲ）若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明

17．解：（Ⅰ）.ln 1ln ,0)(),0(1ln )(1-=-≥≥'>+='e x x f x x x f 即令 …………1分 ),0(ln ,128718.2+∞=∴>=在x y e 上是单调递增函数.

).,1

[.

1

1+∞∈∴=≥∴-e x e

e x

同理，令].1

,0(0)(e x x f 可得≤'

∴f (x )单调递增区间为),1[+∞e ，单调递减区间为]1

,0(e

.……………………3分

由此可知.1

)1()(min e

e f x f y -===…………………………………………4分

（Ⅱ）由（I ）可知当0>b 时，有e

b b e x f b f 1

ln ,1)()(min -≥∴-=≥，

即c b

e

e b 1

)1ln(1)ln(=-≥.

c b

e

b 1

)1

(≥∴.……………………………………………………………………7分

（Ⅲ）将)()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++变形，得 2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+，

即证明.2ln )()()()(b a b a f a b a f a f +-+≥-++

设函数).0)(()()(>-+=k x k f x f x g ……………………………………10分

.

2

021,0)(,ln

1)ln(1ln )(.

0),ln()(ln )(,

ln )(k x k

x k k x x k x x g x

k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令

∴函数k k x g ,2

[)(在）上单调递增，在]2

,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2

()(k g x g ≥

而,2ln )()2ln (ln 2

ln )2()2()2(k k f k k k

k k k f k f k g -=-==-

+=

,2ln )()(k k f x g -≥∴

即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k +=

.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴

).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴……………………………………14分

18、（本题满分15分） 数学新课程带来了数学教育观念的变化，其主要变化体现在教学目

标、学生地位、学习方式、教学过程、学生评价等方面。

(Ⅰ)(6分)、根据你的理解将高中数学中的“圆及其标准方程”一节的“教学目标”写在下列横线上: 答: 1、知识与技能:理解和掌握直线与圆的位置关系；

2、过程与方法:利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题，会用代数与几何的方法研究直线与圆的位置关系。

3、情感态度与价值观:从数与形的联系，体会辨证统一思想，事物联系观；初步树立数学建模的思想。

[答对1、2、3中的某一条就给2分，两条给4分，全答对给6分]

（Ⅱ）(9分)、请你就某一节课或一个教学片段（新、旧课程中自选）设计其教学过程并阐述如何体现新课程所倡导的教学方式的变化？ 评分提示：教学设计过程中体现如下三点就给满分：

（1）设计中体现学生主体地位，教师只是组织者、引导者、参与者；（3分）； （2）设计中使用探究式教学方法或自主学习方法等（3分）；

（3）突出圆的标准方程的推导过程，让学生体验其知识的生成过程。（3分）