华农概率论习题三解答

习题三解答

1：设二维随变量（X，Y）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量（X，Y）的分布列。

解：此二维随机变量（X，Y）的分布列是：

―――――――

2．一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X，Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X，Y）的概率分布。

解：由题意得：（X，Y）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。

则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6

P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12

P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6

P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6

P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6

P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12

P{X=3,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6

而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以P{X=1,Y=1}=0，P{X=3,Y=3}=0。

则（X，Y）的联合分布列为：

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X，Y如下

??

?=品

表示第一次取出的是次品

表示第一次取出的是正1

0X

??

?=品

表示第二次取出的是次品

表示第二次取出的是正1

Y

（2）所求联合概率分布为：

――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――

4.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

),(y x f =?

??>>+-其他,00

,0,)43(y x ke y x

（1）确定常数k ；（2）求（X ，Y ）的分布函数；（3）求P{0＜X ≤1，0＜

Y ≤2}。 解：（1）由概率密度函数的性质知

dxdy ke dxdy y x f y x ?

?

??

+∞

+∞

+-+∞∞-+∞

∞

-=0

)43(),(

=dy e dx e k y x ??+∞

-+∞

-0

40

3

=k *4

131*

=1 即 k=12. (2)由定义，有 dudv v u f y x F y x

??

∞-∞

-=),(),(

当00x y <<或时

(,)(,)00y

x

y

x

F x y f u v dudv dudv -∞-∞

-∞-∞

===??

?

?

当0,0x y >>时

()()(34)0

0034(,)1234121111||34x y

u v x y

x y F x y du e dv

u v e e e e -+--=????-- ???= ??????

?=--??-- 于是

34(1)(1)

0,0

(,)0x y e e y x F x y --?-->>=?

?

其它

（3）{}2

1

(34)0

01,0212x y P X Y dy e dx -+?≤?≤=?? =)1)(1(83----e e

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

5.随机变量（X ，Y ）的分布密度为

222

222((,)0,

C R x y R f x y x y R ?-+≤?=?

+>??

（1）求系数C ；（2）求随机变量（X ，Y ）落在)(222R r r y x <≤+内的概率。 解：（1）由(,)1f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=?

?

（利用极坐标运算）得

(23

2220

03231

3

R

R R d C R rdr CR d C

d C

R π

π

πθθθπ

??=- ???==?

??

?

于是 3

3

C R π=

（2）利用极坐标运算得：

=233r R （1-R

r 32）

――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――

6.求出在D 上服从均匀分布的随机变量(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D 为x 轴，y 轴及直线y=2x+1围成的三角形区域．

解：由于面积Ｓ=1/4，所以（X,Y ）的联合密度函数为

??

?∈=其它0),(4),(D

y x y x f 分布函数分区域讨论

（1） 当1

x y 0, f(x,y)=0 2≤-≤或

从而 y x

y

x

----F(x,y)=f(x,y)dxdy=0dxdy=0∞∞

∞∞

?

?

?

?

（2） 当1

x ≤≤+-或0<

y

x

y x

2y-1--0

2

F(x,y)=f(x,y)dxdy=4dx=4xy+2y-y dy ∞∞

?

?

??

（3） 当1

0,212

x x y -<≤+<

()()y

x

x 2x+1

2

11---0

2

2

F(x,y)=f(x,y)dxdy=4dy=8x+421x

dx dx x ∞∞

-=+?

?

??

?

（4） 当0,01x y <<≤

()y

x

y 0

2

y-1--0

2

F(x,y)=f(x,y)dxdy=4dx=1-1-y dy ∞∞

?

?

??

（5） 当0,1x y << y x

02x+1

1---0

2

F(x,y)=f(x,y)dxdy=4dy=1dx ∞∞

?

?

??

综上可得：

()()22

21

00

21

420,0212

(,)1

210,212

110,0110,1x y xy y y x y x F x y x x x y y x y x y

?

≤-≤??

?-+-<≤<≤+??

=?

+-<≤+

?--<<≤?

<

7. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为

2,01,02

(,)3

0,xy

x x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他

求P ｛X+Y 1≥｝.

解：P ｛X+Y ≥1｝=1–P ｛X+Y<1｝

=1–11200()3

x xy dx x dy -+??=7265

8：设二维随机变量（X ，Y ）要区域D 上服从均匀分布，其中D 是曲线y=2

x 和 y=x 所围成，试求（X ，Y ）的分布密度及边缘分布密度。

解：面积()2

1

1

20

1

16

x

d D

x S dxdy dx dy x x dx ===-=

????? 则 6(,)(,)0x y D

f x y ∈?=??其他

（a ）关于X 的边缘概率密度

当01x ≤≤时,

()2

2()(,)66x

X x f x f x y dy dy x x +∞

-∞

=

==-?

?

当01x x <>或时

()0X f x =

所以

()2

601

()0X x x x f x ?-≤≤?=???

其他

（b ）关于Y 的边缘概率密度 当01y ≤≤时,

)

()(,)6

Y

y

f y f x y dx dx y

+∞

-∞

==

?

当01

y y

<>

或时

()0

Y

f y=

所以

)

601

()

Y

y y

f y

?≤≤

?

=?

??其他

9．（1）第1题中的随机变量X和Y是否相互独立（提示：考虑事件{X=-1，y=1}）

（2）第6题中的随机变量X与Y是否相互独立（提示：考虑事件

?

?

?

?

?

?

>

-

<

2

1

,

4

1

Y

X）

解：（1）{}115

10

12312

P X=-=++=，{}15

100

312

P Y==++=

而{}1

1,1

3

P X Y

=-==

{}{}{}

1,111

P X Y P X P Y

∴=-=≠=-=

根据定义得：X与Y不相互独立。

（2）

10．已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：

6(2),0x1,0y1

(,)

0,

xy x y

f x y

--≤≤≤≤

?

=?

?其它

求边缘概率密度()

X

f x与()

Y

f y；

6

4,(,)

(,)

0,

11

{,}0

42

11111

{}4

42424

11111

{}4

22424

1111

{,}{}{}

4242

Y

x y D

f x y

P X Y

P X

P Y

P X Y P X P Y

X

∈

?

=?

?

<->=

<-=???=

>=???=

∴<->≠<->

∴

由第题得，

其他

而

与不相互独立

（1）

)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y

（2） 问X 和Y 是否相互独立

解：（1）

?

+∞

∞

-=dy y x f x f X ),()(

当0≤x ≤1时，

()1

20

6(2)43X f x xy x y dy x x =--=-?

其它， ,0),(=y x f 所以

()0X f x =

所以关于X 的概率密度为

243,0x 1

()0,X x x f x ?-≤≤=?

?其它 类似地，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞

=?

当0≤y ≤1，

()1

206(2)43Y f y xy x y dx y y =--=-?

其它， 0),(=y x f ()0Y f y = 所以

()243,0y 1

0,Y y y f y ?-≤≤=??其它

（3） 故由条件概率密度的定义可知，

==)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X ??

?

??≤≤≤≤---其它

,01y 0,1x 0,34)

2(6y y x x

==)(),()|(|x f y x f x y f X X Y ???

??≤≤≤≤---其它

,01y 0,1x 0,34)

2(6x y x x

（3）x=1，y=1时，)(x f X ×)(y f Y ＝（4y-32y ）(4x-32x )=1

(,)0f x y =

此时()()(,)X Y f x f y f x y ?≠

所以X 和Y 不相互独立。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

11．（1）如果（X ，Y ）在以原点为中心，边长为2的正方形内服从均匀分布，问X 和Y 是否相互独立（2）如果（X ，Y ）在以原点为中心，R 为半径的圆内服从均匀分布，问X 和Y 是否相互独立

解：（1）因为（X ，Y ）服从均匀分布，故

???

??≤≤-≤≤-=其它

1

1,114

1

),(y x y x f

当x<-1或x>1时，f(x,y)=0

所以

?+∞

∞-==00)(dy x f X

当11≤≤-x 时，

2

141),()(1

1===?

?-+∞

∞-dy dy y x f x f X 于是得关于X 的概率密度为

???

??≤≤-=其它

112

1

)(x x f X

同理可得关于Y 得概率密度为

???

??≤≤-=其它

112

1)(y y f Y

()()(,)X Y f x f y f x y ?=，故X 和Y 是相互独立。

（2）因为（X ，Y ）服从均匀分布，故

???

??≤+=其它

1),(2

222

R y x R y x f π

当x<－R 或x>R 时，

0),(=y x f ，所以 ?+∞

∞-==00)(dy x f X

当R x R ≤≤-时，

?

---==2

222_

22

2221)(x R x R X R

x R dy R x f ππ

即???

??≤≤--=其它

02)(2

22R x R R x R x f X π 同理得：

??

?

??≤≤--==?--其它

021)(2222_2

222R y R R y R dx R y f y R y R Y ππ ()()(,)X Y f x f y f x y ?≠, ,故X 和Y 不相互独立。

12.设X 和Y 相互独立，它们的概率密度分别为

1,01,0,

()()0,0,

0,

y X Y x e y f x f y y -≤≤??>==??

≤??，

其他，

求Z ＝X ＋Y 的概率密度.

解：因为X 和Y 相互独立，所以有

?

+∞∞

--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(

当10≤≤z 时

0()11z

x z z Z f z e dx e --=?=-?

当1≥z 时

1

0()1(1)x z z Z f z e dx e e --=?=-?

??

?

??≥-≤≤-=--,0,1)1(,101)(其他z e e z e z f z z Z

――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――

13.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

e

y x y x f σπσ

2

2

2

2

2

21),(+-

=

，+∞<<-∞+∞<<∞-y x ,

求22Y X Z +=的概率密度。 解：Z 的分布函数为

{}{}22()(,)G

F z P Z z P X Y z f x y dxdy

=<=+<=??

式中，G 是xOy 平面内由不等式22x y z +<所确定的区域，

当z<0时，F(z)=0；求导得()0Z f z = 当z>0时，

()(,)]Z F z f x y dy dx =?

?

再用极坐标来求积分

(

)222

2

2222

2

11

2r r Z F z d e dr e dr πσσθπσ

σ

-

-

=?

=?

?

求导得 ()2

22

12z Z f z e

σσ

-=

所以

()()2

220,010

2z Z Z z f z F z z e σ

σ

-≤??

'==?>??

――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――

14设（X ，Y ）的分布密度为

?????>>=+-其他

,00,0,),()(y x y x f e y x 求Z=2

Y X +的概率密度。

解：Z 的分布函数为

2()(

)(,)2Z x y z

X Y

F z P z f x y dxdy +<+=<=?? 当0z ≤时，()0Z F z =； 当0z >时，

'

22()

220

()12z

z y

x y z z Z F z e

dxdy ze e --+--==--??

所以

z Z Z ze z F z f 2'4)()(-==

综上得

20

0()40

Z z

z f z ze

z -≤?=?>?

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

15．设（X,Y ）的联合分布密度为

,

[0,1],[1,3](,)0kxy x y f x y ∈∈?=?

?，

其他

求k 值。

解：由概率密度),(y x f 的性质(,)(,)1f x y dxdy F +∞

+∞

-∞

-∞

=+∞+∞=??

，

由题意得，

3

3

1

3

321

01

0111

2(,)()2122)4

ky ky f x y dxdy dy kxydx dy dy k k y x +∞+∞

-∞

-∞

======??

?

???（， 所以 k=2

1。

16求15题中X 和Y 的边缘分布。 解 （1）因为当x<0或x>1时，f(x,y)=0,

所以

00)(?+∞

∞-==dy x f X

当01x ≤≤时，

3

231111()(,)|224

X f x f x y dy xydy xy x +∞

-∞====?

?

（2） 因为当y<1或y>3时，f(x,y)=0,

所以

00)(?+∞

∞

-==dx y f Y

当13y ≤≤时，

y y x xydx dx y x f y f Y 4

1|4121),()(1021

0====?

?+∞

∞

- 由上可知

201()0113()4

X Y x

x f x y

y f y ≤≤?=?

??≤≤?=???其它其它