2021年高考数学考前解答题专项训练：函数与导数
2021年高考数学考前解答题专项训练：函数与导数
1．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．
解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，
∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.
∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.
(2)由(1)知g (x )＝x 2－2x －3x
－4ln x ＝x －3x －4ln x －2， ∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2
. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.
当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表：
当x ＞3时，g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2＞25－1－22＝9＞0.
又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，
因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点，
故g (x )只有1个零点．
2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值．
(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．
解：(1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，
所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋b ，
因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值，
所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，
又a ＝1，所以b ＝－3，则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x
， 令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1.
f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
所以f (x )的单调递增区间为? ????0，12，(1，＋∞)；单调递减区间为
? ??
??12，1. (2)由(1)知f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x
(x ＞0)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a ，
因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a ≠x 1＝1，
若12a ＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，
令f (1)＝1，解得a ＝－2，当a ＞0时，x 2＝12a ＞0，
若12a ＜1时，f (x )在? ????0，12a ，[1，e]上单调递增，在????
??12a ，1上单调
递减，
所以最大值可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，
而f ? ????12a ＝ln 12a ＋a ? ??
??12a 2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a －1＜0， 所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，
解得a ＝1e －2
， 若1＜12a ＜e 时，f (x )在区间(0,1)，??????12a ，e 上单调递增，在????
??1，12a 上单调递减，
所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得，
而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)＜0，
所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，
解得a ＝1e －2
，与1＜x 2＝12a ＜e 矛盾， 当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递
减，
所以最大值可能在x ＝1处取得，
而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)＜0，矛盾；
综上所述，a ＝1e －2
或a ＝－2. 3．(2021·模拟)已知函数f (x )＝3e x ＋x 2，g (x )＝9x －1.
(1)讨论函数φ(x )＝a ln x －bg (x )(a ∈R ，b ＞0)在(1，＋∞)上的单调性；
(2)比较f (x )与g (x )的大小，并加以证明．
解：(1)φ′(x )＝a x －9b ＝a －9bx x ＝9b ? ??
??a 9b －x x (x ＞1)，
当a 9b ≤1，即a ≤9b 时，φ′(x )＜0，
∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．
当a 9b ＞1，即a ＞9b 时，
令φ′(x )＞0，得x ∈?
????1，a 9b ； 令φ′(x )＜0，得x ∈? ??
??a 9b ，＋∞. 故φ(x )在? ????1，a 9b 上单调递增，在? ??
??a 9b ，＋∞上单调递减．
4．已知函数f (x )＝ln x ，h (x )＝ax (a ∈R )．
(1)若函数f (x )与h (x )的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数m ，使得对任意的x ∈? ??
??12，＋∞，都有函数y ＝f (x )＋m x 的图象在g (x )＝e x x 的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说明理由．
参考数据：ln2≈0.693 1，ln3≈1.098 6，e ≈1.648 7，3e ≈1.395
6.
解：(1)函数f (x )与h (x )的图象无公共点，
等价于方程ln x x ＝a 在(0，＋∞)上无解．
令t (x )＝ln x x (x ＞0)，则t ′(x )＝1－ln x x 2，
令t ′(x )＝0，得x ＝e.
当x 变化时，t ′(x )，t (x )的变化情况如下表：
故t max ＝t (e)＝1e ，
故要使方程ln x x ＝a 在(0，＋∞)上无解，只需a ＞1e ，
故实数a 的取值范围为? ????1e ，＋∞. (2)假设存在实数m 满足题意，
则不等式ln x ＋m x ＜e x
x 对x ∈? ??
??12，＋∞恒成立， 即m ＜e x
－x ln x 对x ∈? ????12，＋∞恒成立． 令r (x )＝e x －x ln x ，则r ′(x )＝e x －ln x －1，
令φ(x )＝e x －ln x －1，则φ′(x )＝e x
－1x ，
5．已知函数f (x )＝a ln x ＋x b (a ≠0)．
(1)当b ＝2时，若函数f (x )恰有一个零点，求实数a 的取值范围；
(2)当a ＋b ＝0，b ＞0时，对任意x 1，x 2∈????
??1e ，e ，有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －2成立，求实数b 的取值范围．
解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．
当b ＝2时，f (x )＝a ln x ＋x 2，
所以f ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x (x ＞0)．
①当a ＞0时，f ′(x )＞0，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
又f (1)＝1，所以f (x 0)·f (1)＜0，
故此时函数f (x )恰有一个零点．
②当a ＜0时，
令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a 2. 当0＜x ＜ －a 2时，f ′(x )＜0，
所以f (x )在?
????0， －a 2上单调递减； 当x ＞ －a 2时，f ′(x )＞0，
所以f (x )在? ???? －a 2，＋∞上单调递增． 要使函数f (x )恰有一个零点，
需f ? ???? －a 2＝a ln －a 2－a 2＝0，
即a ＝－2e.
综上所述，若函数f (x )恰有一个零点，
则a ＝－2e 或a ＞0.
(2)因为对任意x 1，x 2∈????
??1e ，e ， 有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －2成立，
且|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ，
所以f (x )max －f (x )min ≤e －2.
因为a ＋b ＝0，所以a ＝－b ，
所以f (x )＝－b ln x ＋x b (x ＞0)，
所以f ′(x )＝－b x ＋bx b －1＝b (x b －1)x .
当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，当x ＞1时，f ′(x )＞0，
所以函数f (x )在????
??1e ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1，
因为f ? ??
??1e ＝b ＋e －b 与f (e)＝－b ＋e b ， 所以f (x )max ＝max ????
??f ? ????1e ，f (e ). 设g (b )＝f (e)－f ? ??
??1e ＝e b －e －b －2b ， 则当b ＞0时，g ′(b )＝e b ＋e －b －2＞2e b ·e －b －2＝0，
所以g (b )在(0，＋∞)上单调递增，
故g (b )＞g (0)＝0，所以f (e)＞f ? ??
??1e . 从而f (x )max ＝f (e)＝－b ＋e b .
所以－b ＋e b －1≤e －2，即e b －b －e ＋1≤0，
设φ(t )＝e t －t －e ＋1(t ＞0)，则φ′(t )＝e t －1.
当t ＞0时，φ′(t )＞0，所以φ(t )在(0，＋∞)上单调递增． 又φ(1)＝0，所以e b －b －e ＋1≤0，
即φ(b )≤φ(1)，解得b ≤1.
因为b ＞0，所以b 的取值范围为(0,1]．
6．已知函数f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2.
(1)讨论f (x )的单调区间；
(2)若a ＜－17，求证：当x ≥0时，f (x )＜0.
解：(1)因为f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2，
所以f ′(x )＝(ax 2＋4ax ＋2a ＋1)e x ，
令u (x )＝ax 2＋4ax ＋2a ＋1，
①当a ＝0时，u (x )＞0，f ′(x )＞0，
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a ＞0时，Δ＝(4a )2－4a (2a ＋1)＝4a (2a －1)，
(ⅰ)当a ＞12时，Δ＞0，令u (x )＝0，
得x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a
，且x 1＜x 2， 所以当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时，u (x )＞0，f ′(x )＞0， 当x ∈(x 1，x 2)时，u (x )＜0，f ′(x )＜0，
所以f (x )的单调递增区间为
? ????－∞，－2a －2a 2－a a ，? ??
??－2a ＋2a 2－a a ，＋∞，单调递减区间为? ????－2a －2a 2－a a ，－2a ＋2a 2－a a . (ⅱ)当0＜a ≤12时，Δ≤0，所以u (x )≥0，f ′(x )≥0，
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
③当a ＜0时，Δ＞0，令u (x )＝0，
得x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a
，且x 2＜x 1， 所以当x ∈(x 2，x 1)时，u (x )＞0，f ′(x )＞0，
当x ∈(－∞，x 2)∪(x 1，＋∞)时，u (x )＜0，f ′(x )＜0，
所以f (x )的单调递增区间为
? ????－2a ＋2a 2－a a ，－2a －2a 2－a a ，单调递减区间为? ????－∞，－2a ＋2a 2－a a ，? ??
??－2a －2a 2－a a ，＋∞. 综上，当a ＞12时，f (x )的单调递增区间为? ??
??－∞，－2a －2a 2－a a ，? ????－2a ＋2a 2－a a ，＋∞，单调递减区间为? ????－2a －2a 2－a a ，－2a ＋2a 2－a a ； 当0≤a ≤12时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为
? ????－2a ＋2a 2－a a ，－2a －2a 2－a a ，单调递减区间为? ????－∞，－2a ＋2a 2－a a ，? ??
??－2a －2a 2－a a ，＋∞. (2)解法一 由(1)得，
x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a
. ①当a ≤－12时，由(1)知f (x )在(x 1，＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ≤0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减，
所以当x ≥0时，f (x )≤f (0)＝－1＜0.
②当－12＜a ＜－17时，由(1)知f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，
＋∞)上单调递减， 因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ∈(0,1)，x 2＝－2a ＋2a 2－a a ＝－2－2－1a ＜0，
设g (x )＝(x ＋1)e x －x 2－4x －2，
则g ′(x )＝(x ＋2)e x －2x －4＝(x ＋2)(e x －2)，
所以当x ∈(0，ln2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0，ln2)上单调递减， 当x ∈(ln2,1)时，g ′(x )＞0，g (x )在(ln2,1)上单调递增，
因为g (0)＝－1＜0，g (1)＝2e －7＜0，
所以当x ∈(0,1)时，恒有g (x )＜0.
又x 1∈(0,1)，所以g (x 1)＜0，即f (x 1)＜0，
从而当x ≥0时，f (x )≤f (x 1)＜0.
综上，若a ＜－17，则当x ≥0时，f (x )＜0.
解法二 f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2＝a e x (x 2＋2x )＋e x －2.
令φ(a )＝a e x (x 2＋2x )＋e x －2，
显然当x ≥0时，e x (x 2＋2x )≥0，
所以当a ＜－17时，φ(a )＜φ? ??
??－17＝－e x (x 2＋2x )7＋e x －2. 所以要证当x ≥0时，f (x )＜0，
只需证当x ≥0时，－e x (x 2＋2x )7
＋e x －2≤0， 即证当x ≥0时，e x (x 2＋2x －7)＋14≥0.
令g (x )＝e x (x 2＋2x －7)＋14，
则g ′(x )＝e x (x 2＋4x －5)＝(x －1)(x ＋5)e x ，
所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减，
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ≥0时，g (x )≥g (1)＝14－4e ＞0，
从而当x ≥0时，f (x )＜0.
解法三 由(1)得，x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a
. ①当a ≤－12时，由(1)知f (x )在(x 1，＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ≤0，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x ≥0时，f (x )≤f (0)＝－1＜0.
②当－12＜a ＜－17时，由(1)知f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，
＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ∈(0,1)，x 2＝
－2a ＋2a 2－a a ＝－2－2－1a ＜0， 所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，
设g (x )＝x 2＋4x ＋2(x ＋1)e x ，则g ′(x )＝－x (x ＋2)2
(x ＋1)2e x
， 所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减，
又x 1∈(0,1)，所以g (x 1)＞g (1)＝72e ＞1，
从而当x ≥0时，f (x )＜0.
综上，若a ＜－17，则当x ≥0时，f (x )＜0.
解法四 由(1)得，
x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a
. ①当a ≤－12时，由(1)知f (x )在(x 1，＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ≤0，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，
所以当x ≥0时，f (x )≤f (0)＝－1＜0.
②当－12＜a ＜－17时，由(1)知f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，
＋∞)上单调递减，
因为x 1＝－2a －2a 2－a a
＝－2＋2－1a ∈(0,1)，x 2＝－2a ＋2a 2－a a ＝－2－2－1a ＜0， 所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，
所以当x ≥0时，f (x )max ＝f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)e x 1－2，
因为ax 21＋4ax 1＋2a ＋1＝0，
所以ax 21＝－4ax 1－2a －1，且a ＝－1x 21＋4x 1＋2
， 所以f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)e x 1－2＝
－2a (x 1＋1)e x 1－2＝2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋2
·e x 1－2. 所以要证f (x )＜0，只需证2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋2
e x 1－2＜0， 即证e x 1＜x 21＋4x 1＋2x 1＋1
. 设g (x )＝e x －x 2＋4x ＋2x ＋1，则g ′(x )＝e x －1(x ＋1)2
－1，
设φ(x )＝e x
－1(x ＋1)2－1，则φ′(x )＝e x ＋2(x ＋1)3＞0， 所以φ(x )在(0,1)上单调递增，
又φ(0)＝－1＜0，φ(1)＝e －54＞0，
所以φ(0)φ(1)＜0，
所以φ(x )在(0,1)恰有一个零点x 0，
且当x ∈(0，x 0)时，φ(x )＜0，即g ′(x )＜0，
所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，
当x ∈(x 0,1)时，φ(x )＞0，即g ′(x )＞0，
所以g (x )在(x 0,1)上单调递增．
因为g (0)＝－1＜0，g (1)＝e －72＜0，
所以当x ∈(0,1)时，恒有g (x )＜0，
又x 1∈(0,1)，所以g (x 1)＜0，
即e x 1＜x 21＋4x 1＋2x 1＋1
，从而当x ≥0时，f (x )＜0. 综上，若a ＜－17，则当x ≥0时，f (x )＜0.
导数练习题 含答案
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)
高中数学函数的单调性与导数测试题（附答 案） 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案] D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立， ＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2]
C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案] B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案] A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0， 当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
函数与导数解答题训练
函数与导数解答题训练2 1．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间； （2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数． 2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A B =. （1）求集合D （用区间表示）； （2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.
4．已知函数321()3 f x x x ax =++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值. 5．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23 x =-与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间； （2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围. 6．设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2. （1）求,a b 的值； （2）证明：()2 2.f x x ≤-
函数与导数专题试卷(含答案)
高三数学函数与导数专题试卷 说明：1．本卷分第Ⅰ卷(选择题)，第Ⅱ卷(填空题与解答题)，第ⅠⅡ卷的答案写在答题卷的答案纸上，学生只要交答题卷． 第Ⅰ卷 一.选择题（10小题，每小题5分，共50分） (4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2f x x =+，则(7)f =（ ） A ． 3 B ． 3- C ． D ． 1- 2．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝?，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ＜－3 B ．t ≤－3 C ．t ＞3 D ．t ≥3 3.设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a << 4.函数x x f +=11)(的图像大致是( ) 5.已知直线ln y kx y x ==是的切线，则k 的值为（ ） A. e B. e - C. 1e D. 1e - 6．已知条件p ：x 2+x-2＞0，条件q ：a x >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．1≥a B ．1≤a C ．1-≥a D.3-≤a 7.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. [3,)+∞ B. [3,)-+∞ C. (3,)-+∞ D. (,3)-∞- 8. 已知函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)，则使f (x )为减函数的区间是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(1,2) D ．(－3，－1)
导数与函数零点问题解题方法归纳
导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.
2020高考数学(文)总复习《导数与函数的零点》
导数与函数的零点 考点一 判断零点的个数 【例1】 (2020·潍坊检测)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R . (1)证明ln x ≤x －1； (2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数. (1)证明 令g (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则g (1)＝0， g ′(x )＝1 x －1＝1－x x ， 可得x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减. ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1. (2)解 f ′(x )＝1 x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x ，x >0. 令－2x 20＋ax 0＋1＝0，解得 x 0＝a ＋a 2＋8 4 (负值舍去)， 在(0，x 0)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 在(x 0，＋∞)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减. ∴f (x )max ＝f (x 0). 当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1. 当a >1时，f (1)＝a －1>0， f ????12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12 ＝－????12a －122 －14<0， f (2a )＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2 ????a －122 －12 <0. ∴函数f (x )在区间????12a ，1和区间(1，2a )上各有一个零点. 综上可得：当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a >1时，函数f (x )有两个零点. 规律方法 1.利用导数求函数的零点常用方法：
函数与导数练习题(有答案)
函数与导数练习题（高二理科） 1．下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①()f x = ()g x =()f x x = 与()g x =； ③0()f x x =与01 ()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数2 4 ++= x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．12 log (1)y x =+ B ．2 log y =C ．2 1log y x = D ．2 log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1 )(x x f =则当2- 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--< 集合与简易逻辑、函数与导数测试题 1．若集合{ }8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于 （ ）A.{}5 B . { }7,3,1 C .{}8,2 D. {}8,7,6,5,4,3,1 2．函数()2()3log 6f x x x =+-的定义域是（ ） A ．{}|6x x > B ．{}|36x x -<< C ．{}|3x x >- D ．{}|36x x -<≤ 3．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ） A ．p 或q 为真，非q 为假 B ． p 或q 为真，非p 为真 C ．p 且q 为假，非p 为假 D ． p 且q 为假，p 或q 为真 4．下列函数中,既是偶函数又在)0,(-∞上单调递增的是 ( ) A ．3y x = B ．y cos x = C ．y ln x = D ．2 1 y x = 5．对命题” “042,02 00≤+-∈?x x R x 的否定正确的是 （ ） A ．042,02 00>+-∈?x x R x B ．042,2≤+-∈?x x R x C ．042,2>+-∈?x x R x D ．042,2≥+-∈?x x R x 6．为了得到函数x y )3 1(3?=的图象，可以把函数x y )31 (=的图象 A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 7．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是 A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数 B ．在（1,3）上)(x f 是减函数 C ．在（4,5）上)(x f 是增函数 8. 若函数) )(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则a 的值为 （ ） A ．21 B ．32 C ．4 3 D ．1 9.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y =f (x +4)为偶函数，则（ ） O y x 1 2 4 5 －3 3 -2 函数的零点 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例1】已知函数3 ()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x = 的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 ()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则 1234_________. x x x x +++= 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间 []8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知 1212 x x +=-， 344 x x +=． 所以12341248 x x x x +++=-+=-． 6 【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况 【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数 1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个 相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69): 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即： 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例 1】已知函数 f ( x) x33ax 1,a0 求 f ( x) 的单调区间； 若 f (x) 在x 1 处取得极值，直线y=m 与y f (x) 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间 [0,2]上是增函数，若方程 f ( x) m (m 0) 在区间 [ 8 , 8]上有四个不同的根，则 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足，所以，所以,由为奇函数，所以函数图象关于直 线对称且，由知，所以函数是以8 为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间 [-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，．所以． y f(x)=m -8 -6 -4 -2 0 2 4 6x 【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数h( x) f ( f ( x))c的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令f (x) d ，则 h(x) f (d ) c 第一步：先判断 f (d ) c 的零点个数情况 第二步：再判断 f ( x) d 的零点个数情况 【例 2】已知函数 f (x) x33x 设 h(x) f ( f ( x)) c ，其中 c [ 2 ，2] ，求函数 y h(x) 的零点个数 1 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 f ( x) x33ax 29a2 x(a 0) .若方程 f ' ( x) 121nx 6ax 9a2 a 在[l,2]恰好有两 个相异的实根, 求实数 a 的取值范围 ( 注:1n2 ≈: 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（ 1）要求证一个函数存在零点，只须要用“ 函数零点的存在性定理” 即可证明。 即： 如果函数 f ( x) 在区间a， b 上是一条连续不断曲线，并且 f ( a) f (b)0 ，则函数 f (x) 在区间a， b上至少有一个零点。即存在一点x0a， b，使得 f (x0)0 ， 这个 x0也就是方程 f (x)0 的根. （2）要求证一个函数“ 有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“ 函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为： 如果函数 f ( x) 在区间a， b 上是单调函数，并且 f (a) f (b) 0 ，则函数 f ( x) 在区间 a， b 上至多有一个零点。 【例 3】设函数f ( x) x39 x26x a ． 2 （ 1）对于任意实数x，f(x) m 恒成立，求 m 的最大值； （ 2）若方程 f ( x) 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围． 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 导数和函数零点问题 Prepared on 24 November 2020 导数和函数零点 1、已知函数3()31,0f x x a x a =--≠ （1）求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交 点， 求m 的取值范围。 2、设a 为实数，函数a x x x f ++-=3)(3 （1）求)(x f 的极值； （2）若方程0)(=x f 有3个实数根，求a 的取值范围； （3）若0)(=x f 恰有两个实数根，求a 的值。 3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-= （1）讨论)(x f 的单调性； （2）是否存在a 的值，使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根 若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。 4、已知函数a ax x a x x f ---+=232 131)(，x R ∈，其中0>a 。 （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围； 5、已知函数)0()23()(2 3>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示. （1）求c ，d 的值； （2）若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程 在求函数)(x f 的解析式； （3）在（2）的条件下，函数m x x f y x f y ++= =5)(3 1)('与的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围； 6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，)(1ln )(R a ax x x f ∈+-= 函数与导数解答题答案(文科) 1. (2017省一统21)解：(I)当 f‘(x)令f‘ (x)=0计算得出当时，f' (x)函数(II )对 令时f (x), 此时函数 ，此时函数单调递减.时， 单调递减区间为, 恒成立 ? 单调递增; 当, 时, 函数, 的单调递增区间为: , 恒成立?, 则g‘ (x),① 此时函数 时,g‘(x)在R上单调递增 ,,恒成立，满足条件.②时,令g‘ (x)=0计算得出，则时,g‘ (x),此时函数在R上单调递增；时,g‘ (x),此时函数在R上单调递减.当时,函数取得极小值即最小值,则, 计算得出③ 则 时,令 g‘(x)=0计算得出时，g‘ (x) 时,g‘(x),此时函数， 此时函数，在R上单调递增；在R上单调递减.当时，函数取得极小值即最小值, 则综上可得:a 的求值范围是, 计算得出 2.(2017 省二统21)解:(1)根据题意可以知道函数的定义域为 当时,, ①当②当综上 , 或时 5 的单调递增区间为时, 5 ,单调递减. ,单调递增. ,单调递减区间为 (2)由,得, 整理得, , 令,则 令,, 在上递增 得,, 存在唯一的零点 当 在 当时 ,上递减; 时 ,, 在上递增. , 要使对任意恒成立,只需 又 3.解 :(1),且时 ,,的最大值为3. 5 '(x),‘(1)=3,,数在点处的切线方程为，(2)函数在上是增函数，‘(x),在上恒成立, 即,在上恒成立, 令,当且仅当时,取等号, 5 (3) 的取值范围为 5 '(x),①当时，在上单调递减,, 计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在 上单调递增，，计算得出，满足条件；③当，且时，即，在上单调 集合与简易逻辑、函数与导数测试题 时间：100分钟 满分：130分 1．若集合{ }8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于（ ） A.{}5 B . { }7,3,1 C .{}8,2 D. {}8,7,6,5,4,3,1 2．函数()2()3log 6f x x x =+-的定义域是（ ） A ．{}|6x x > B ．{}|36x x -<< C ．{}|3x x >- D ．{}|36x x -<≤ 3．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ） A ．p 或q 为真，非q 为假 B ． p 或q 为真，非p 为真 C ．p 且q 为假，非p 为假 D ． p 且q 为假，p 或q 为真 4．下列函数中,既是偶函数又在)0,(-∞上单调递增的是 ( ) A ．3y x = B ．y cos x = C ．y ln x = D ．21 y x = 5．对命题” “042,02 00≤+-∈?x x R x 的否定正确的是 （ ） A ．042,02 00>+-∈?x x R x B ．042,2≤+-∈?x x R x C ．042,2>+-∈?x x R x D ．042,2≥+-∈?x x R x 6．为了得到函数x y )3 1(3?=的图象，可以把函数x y )31 (=的图象 A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 7．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是 A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数 B ．在（1,3）上)(x f 是减函数 C ．在（4,5）上)(x f 是增函数 8. 若函数) )(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则a 的值为 （ ） A ．21 B ．32 C ．4 3 D ．1 9.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y =f (x +4)为偶 O y x 1 2 4 5 －3 3 -2 第16讲-导数与函数的零点 一、 经典例题 考点一 判断零点的个数 【例1】已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数． 解 (1)∵ f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)由(1)知g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2， ∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2 ，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： X (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) 极大值 极小值 当0 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 《函数与导数》测试题 一、选择题 1.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 解析 ()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 2. 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 ( ) B. 2 C.-1 解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0' 01 |1x x y x a == =+Q 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案 选B 3.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线方程是( ) A.21y x =- B.y x = C.32y x =- D.23y x =-+解析 由2()2(2)88f x f x x x =--+-得几何 2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--， 即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程 12(1)y x -=-，即210x y --=选A 4.存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和215 94 y ax x =+ -都相切，则a 等于 （） A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25 -64 D ．74-或7 解析 设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为 320003()y x x x x -=- 即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或03 2 x =-， (高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩利用导数解决函数零点问题
集合与简易逻辑函数与导数测试题(含答案)
导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)
导数与函数的零点讲义.docx
导数与函数的单调性练习题
导数和函数零点问题
函数与导数解答题答案文科
集合与简易逻辑函数与导数测试题(含答案)
第16讲-导数与函数的零点(解析版)
(完整word)高中数学导数练习题
函数与导数测试题
(word完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法