平面直角坐标系及性质
第六章
平面直角坐标系
第4课时 平面直角坐标系及性质
从本章知识结构来看，平面直角坐标系是全章的核心内容。由此可见，本节的知识不仅是后面坐标方法的简单应用的基础,也是后继学习函数的图像，函数与方程和不等式的关系等知识的坚实基础。
理解平面直角坐标系的有关概念，会正确地画出直角坐标系，并能在建立的平面直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标，由坐标描出点的位置。
重点是理解平面直角坐标系的有关概念，由点的位置写出坐标，由坐标描出点的位置。 难点是由点的位置写出坐标，并让学生形成数形结合的意识。
点击一：用有序数对表示平面上物体的位置：
物体在平面内的位置需从横向和纵向两个方面来确定，因此可以利用有序数对),(b a 来准确的表示物体的位置。此时一般用a 表示物体的横向位置，用b 来表示物体的纵向位置。如电影票的号码是第8排第6号，我们可以根据一对整数（8，6）便很快找到座位等。
点击二：点的坐标：
（1）点的坐标：平面内的任意一点都可以用一个有序数对来表示，这个有序数对就叫做这个点的坐标。如图1点A 可以用有序数对（3，4）表示，3叫做 点A 的横坐标，4叫做点A 的纵坐标， 有序数对（3，4）叫做点A 的坐标。 反过来，每一个有序数对对应着平面内的 一个点，如有序数对（-3，-4）表示点B 。 （2）由点求其坐标、由坐标定点的方法： 由点求其坐标是：由此点向轴轴y x 、作垂线， 根据垂足的坐标来确定各点的横坐标和纵坐标。
由坐标定点是：先在轴x 上找到表示横坐标的点，再在轴y 上
找到表示纵坐标的点，过这两个点分别作轴轴和y x 的垂线，则垂线的交点就是所要画的点。
点击三：平面直角坐标系的组成：
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。平面直角坐标系将平面分成了以下六个部分：轴轴、y x 、两坐标轴正方向所夹的部分称为第一象限，从第一象限开始沿逆时针方向分别为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。六个部分除了轴
轴和y x
有一公共的交点（原点）以外，其他区域之间均没有公共点。
点击四：坐标平面内点的特征：
1.各象限内点的坐标的符号特征： 第一象限（+，+）； 第二象限（-，+）； 第三象限（-，-）； 第四象限（+，-）；
2.坐标轴上点的坐标的特征：
轴x 的正半轴（+，0）；轴x 的负半轴（-，0）；轴y 的正半轴（0，+）；轴y 的负半轴（0，
-）。
3.坐标原点O 的坐标为（0，0）。 针对练习1:
1．已知坐标平面内点A （m 、n ）在第四象限，那么点B （n 、m ）在（）
A ，第一象限
B ，第二象限
C ，第三象限
D ，第四象限 2．已知点M （1－a ，a +2）在第二象限，则a 的取值范围是()
A ，a ＞－2
B ，－2＜a ＜1
C ，a ＜－2
D ，a ＞1
3．点P （m +3，m +1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点坐标为（）
A ，（0，－2）
B ，（2，0）
C ，（0，2）
D ，（0，－4） 4．若0＜m ＜2，则点P （m －2，m ）在（）
A ，第一象限
B ，第二象限
C ，第三象限
D ，第四象限 5．在直角坐标系xOy 中，已知A （2，－2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）
A ，2个
B ，3个
C ，4个
D ，5个 6．如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
7．在直角坐标系中，A （1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A ’点，则A 与A ’的关系是（ ）
A.关于x 轴对称；
B.关于y 轴对称；
C.关于原点对称；
D.将A 点向x 轴负方向平移一个单位
8．如图6所示的象棋盘上，若帅位于点（1，－2）上，相位于点（3，－2）上，则炮位于点 （ ） A ，（－1，1） B ，（－1，2） C ，（－2，1） D ，（－2，2） 9．若A （a ，6），B （2，a ），C （0，2）三点在同一条直线上，则a 的值为（ ） A ，4或－2 B ，4或－1 C ，－4或1 D ，－4或2
图3
相帅炮图
6
10．点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （－m ，0）在（ ）
A ，x 轴正半轴上
B ，x 轴负半轴上
C ，y 轴正半轴上
D ，y 轴负半轴上 11．点A （4-m ，m 21-）在第三象限，则m 的取值范围是（ ） A.21>
m B.4 1 < 类型之一：体现新课标理念的规律探究型题 例1：一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图1中箭头所示方向运动[即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…]，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ） A ．(40)， B ．(50)， C ．(05)， D ．(55)， 解析：这是一道以平面直角坐标系点的坐标为载体的规律探究型问题. 根据条件“按图 中箭头所示方向运动，且每秒移动一个单位”我们来看质点从内到外移动到每一个长方形的端点时的时间与坐标变化规律： 第3秒时质点所在位置的坐标是（1，0）； 第8（3+5=8）秒时质点所在位置的坐标是（0，2）； 第15（8+7=15）秒时质点所在位置的坐标是（3，0）； 第24（15+9=24）秒时质点所在位置的坐标是（0，4）; 第35（24+11=35）秒时质点所在位置的坐标是（5，0） 解答：选B. 评注：此题若是根据条件硬推则也能得到答案，但就方法显得拙笨.但我们这里根据规律还可知道：第48（35+13=48）秒时质点所在位置的坐标是（0，6）；第63（48+15=63） 秒时质点所在位置的坐标是（7，0）等. 练习：如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．（答案：（14，8）） 类型之二：考查接受新问题能力的新定义概念题 例2：如图3，在平面内，两条直线1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p q ，0 1 2 3 x y 1 2 3 … 图 1 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称()p q ，为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(21)，的点共有 个． 解析：本题情景新颖，考查学生阅读获取新知识、解决问题的能力，同时还考查了学生遇到新问题时是否善于利用从特殊到一般获取解题的思路.因此本题可以有以下不同层次的三种解法. 解法1：由于“距离坐标”不涉及符号，所以可将新问题转化为平面上一点到两条相交直线的距离问题，逐一画出满足条件的点，从而求解，即是“距离坐标”是(21)，的点共有4个. 解法2：将新问题类比为坐标系中点的坐标问题，并注意其差异，利用画平行线的方法，如图4所示，从而得解.即是 “距离坐标”是(21)，的点共有1M 、2M 、3M 、4M 4个. 解法3：将一般问题特殊化，将直线1l 、2l 画成两条互相垂直的直线，使问题简单化，如图5所示.所以“距离坐标”是(21)，的点共有1M 、2M 、3M 、4M 4个. 图4 图5 点评：考查学生获取新知识的能力通常有：（1）定义新概念，考查学生获得新知识并能及时应用的能力，如本例.（2）类比旧知识解决新问题，考查学生的转化能力或者迁移能力. 练习：如图6是中国象棋的一盘残局，如果用(40)，表示红“帅”的位置，用(39)，表示黑“将”的位置，那么黑“炮”的位置应表示为（ ） Ａ．(87)， Ｂ．(78)， Ｃ．(89)， Ｄ．(88)， 图3 2 （答案：A ） 类型之三： 在平面直角坐标系中确定点的位置： 例3：已知点A （0，3），B （-1，1），C （-3，2），D （-2，0），E （-3，-2），F （-1，-1），G （0，-3），H （1，-1），I （3，-2），J （2，0），K （（3，2），L （1，1）. （1）请在如图所示的平面直角坐标系中，分别描出上述各点，并顺次连结； （2）试求（1）中连线围成图形的面积. 解析：第（1）小题，依据点的横、纵坐标的定义，分别描出各点并依次连结；第（2）小题，图形被坐标轴平均分成四部分，故只要查出一个象限中图形围起的小正方形的个数，就可求得答案. 解：（1）如右图所示， （2）∵第一象限中图形围起的小正方形个数为（4-2×21-2×21）+（3-2×2 1 ）=4，∴第一象限中图形围起的小正方形的总面积为12 ×4=4. ∵图形被坐标轴平均分成四部分，∴图形的总面积为4×4=16. 点拨：结合点的坐标与图形中线段长度的意义，合理分割图形、找准小正方形的个数是解答第（2）小题的关键. 类型之四：根据条件判断点所属象限： 例4：已知（a-2）2 +(b+3)2 =0，试判断点M （-a ，-b 1）所在的象限. 分析：由（a-2）2 +(b+3)2 =0，得a=2，b=-3，所以点M （-2，-3 1 ）在第三象限. 解：由（a-2）2 +(b+3)2 =0，得a=2，b=-3，∴-a=-2，-b 1=-31，即点M 的坐标为（-2，-3 1），又∵-2<0，-31<0，∴点M （-a ，-b 1 ）在第三象限. 类型之五：平移在平面直角坐标系中的应用： （图6） 例5：如图，三角形A 1B 1C 1是由三角形ABC 平 移后得到的，三角形ABC 中任意一点M （x 0， y 0）经平移后对应点为M 1（x 0-5，y 0-3），求A 1、 B 1、 C 1、的坐标，并求出三角形A 1B 1C 1的面积. 分析：观察两个三角形的平移过程，由M （x 0，y 0）和M 1（x 0-5，y 0-3）可知：三角形A 1B 1C 1 是由三角形ABC 先向下平移3个单位长度，再左平移5个单位长度，即可求出A 1、B 1、C 1、 的坐标，而三角形A 1B 1C 1的面积可以看做是一 个长方形的面积减去一些小三角形的面积. 解：由M （x 0，y 0）和M 1（x 0-5，y 0-3）可知：三角形A 1B 1C 1是由三角形ABC 先向下平移3个 单位长度，再左平移5个单位长度，相应地，三角形A 1B 1C 1的各个顶点坐标，也是由三角形ABC 各个顶点坐标先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，即三角形A 1B 1C 1的各个顶点坐标分别为：A 1（-2，3）、B 1（-4，-1）、C 1（1，1）.从三角形A 1B 1C 1的各个顶点构造一个长方形B 1DEF ，则三角形A 1B 1C 1的面积=长方形B 1DEF-三角形A 1B 1D 的面积-三角形A 1C 1E 的面积-三角形B 1C 1F 的面积=5×4- 21×2×4-21×2×3-2 1 ×2×5=8. 点拨：用坐标表示平移：①平移规律： ②一个图形进行平移，这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化；反过来，如果图形上的点的坐标发生变化，那么这个图形进行了平移；③平移特征：一个图形平移前后大小、形状完全相同，只是位置不同.同时，还要知道：在坐标系中求一个图形的面积，一般要把它转化为一些能用面积公式表达的图形的和与差来求解，如在本题中所求的三角形面积可以看做一个长方形的面积减去一些小三角形的面积来求解 . 一、填空题 1、 在坐标平面内点的位置与有序实数对是 对应。 2、 点P （a ，b ）在y 轴的正半轴上，则a b 3、 已知点P 在第三象限，且到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标为 。 4、 按下列条件确定点为P （x ，y ）的位置：（1）xy=0，则点P 一定在 （2）若x 2 十y 2=0，则点P 在 5、 若M 点的坐标是（a ，一3）N 点的坐标（2，b ）且点M 与点N 关于x 轴对称则a= b= 6、 已知点A 在x 轴上，且点A 到原点的距离为4个单位，则点A 的坐标是 二选择题 1、点P （一3，4）关于y 轴对称点的坐标是（ ） A ′（x+a ，y ）或（x-a ，y ） B ′（x ，y+b ）或（x ，y-b ） 向右或向左平移 a 个单位 向上或向下平移 b 个单位 点A （x ，y ） A（3，一4 ）B（一3，一4）C（3，4）D（一4，一3） 2、点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，则直线BC与x轴的关系为（） A平行B垂直C斜交D以上都不正确 3、A，B是同一坐标轴上的两个点，A点坐标是（一2，0）A与B的距离是5，则B点的坐标为（） A（3，0）B（一7，0） C（3，0）或（一7，0）D（一3，0）或（7，0） 4、以边长为4的正方形的对角线建立直角坐标系，其中一个顶点位于y轴的负半轴上，则该点坐标为（） A（2，0）B（0，一2） C（0，22）D（0，一22） 5、己知M（a，b）在坐标轴上，则a，b满足（） A、a=0， B、b=0， C、a=0且b=0， D、ab=0 6、直角坐标系中，点P（x，y）在第三象限，且P到x轴，y轴距离分别为3，7。则P点的坐标为（） A（一3，一7），B（一7，一3），C（3，7）D（7，3） 7、已知A、B两点的连线平行于x轴，y轴，则A、B的坐标之间的关系是（） A横坐标相同B纵坐标相同C横坐标的绝对值相同D纵坐标的绝对值相同8、如果P（m十3，2m十4）在y轴上，那么点P的坐标（） A（一2，0）B（0，一2）C（1，0）D（0，1） 三、解答题 1、如图为画在方格纸上的花坛设计简图， （1）请写出图中平行四边形ABCD各个顶点的坐标。在图中A与D，B与C的纵坐标相同吗？为什幺？ （2）A与B，C与D的横坐标相同吗？为什么？ 2、如图三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为（2，4）（6，2）求三角形AOB的面积。 3、 己知矩形ABCD 中AB=4，BC=6这AB//x 轴，若点A 的坐标为（一1，2）求C 点的 坐标。 4、如图菱形ABCD 的中心在直角坐标系的原点，一条边AD 与x 轴平行，己知点A ，D 的 坐标分别是（一4，3）（ 4 9 ，3）求B 、C 的坐标。 （提示：A 、C ；B ，D 关于原点对称） 5.下面是某小区的公共设施图，请你建立适当的直角坐标系，写出各处的坐标。 6.如图△ABC 与△'''C B A 关于y 轴对称，根据图形的位置写出△ABC 与△'''C B A 各顶点的坐标 思考：关于y 轴对称的两个图形的对应顶点的坐标有什么关系？ 参考答案 一、1、一一对应 2、=0，>0 3、（-3,-2） 4、x 轴或y 轴包括原点，原点 5、2，3 6、（4,0）或（-4,0） 二、1、C2、B3、B4、C5、D6、A7、B8、B 三、1、（1）A （-3,4）B （-6,-3）C （4,-3）D （7,4）A 与D ，B 与C 的纵坐标相同（2）不相同因为不平行于y 轴 2、10 3、（3，8）（-5,8） 4、B （3,4 9 -- ）C （4，一3） 5、略 6、A （0.5，0）B （3，2）C （2，4）A’（一0.5，0）B’（一3，2）C’（一2，4）关于y 轴的两个图形的顶点的横坐标互为相反数，纵坐标不变。 一．选择题 1.如图1所示,一方队正沿箭头所指的方向前进,A 的位置为三列 四行,表示为(3,4),那么B 的位置是 ( ) A. (4, 5); B.(5,4); C.(4,2); D.(4,3) 2.如图1所示,B 左侧第二个人的位置是 ( ) A.(2,5); B.(5,2); C.(2,2); D.(5,5) 3.如图1所示,如果队伍向西前进,那么A 北侧第二个人的位置是 ( ) A.(4,1); B.(1,4); C.(1,3); D.(3,1) 4.如图1所示,(4,3)表示的位置是 ( ) A.A B.B C.C D.D 5.如图2所示,点A 的坐标是 ( ) A.(3,2); B.(3,3); C.(3,-3); D.(-3,-3) 6.如图2所示,横坐标和纵坐标都是负数的点是 ( ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点 7.如图2所示,坐标是(-2,2)的点是 ( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 8.若点M 的坐标是(a, b),且a>0,b<0,则点M 在( ) A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限 二．填空题 1.如图2所示,进行“找宝”游戏,如果宝藏藏在(3,3)字母牌的下面, 那么应该在字母______的下面寻找. (1)D C B A 五行 三行 六行六列 五列四列 三列二列一行 一列(1) (2) 2.如图3所示,如果点A 的位置为(3,2),那么点B 的位置为______, 点C 的位置为______,点D 和点E 的位置分别为______,_______. 3.如图4所示,如果点A 的位置为(1,2),那么点B 的位置为_______,点C 的位置为_______. 4.如图2所示,点A 的坐标为_______,点A 关于x 轴的对称点B 的坐标 为______, 点B 关于y 轴的对称点C 的坐标为________. 5.在坐标平面内,已知点A(4,-6),那么点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标 为_____,点A 关于y 轴的对称点A″的坐标为_______. 6.在坐标平面内,已知点A(a, b),那么点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标 为______,点A 关于y 轴的对称点A″的坐标为_____. 7.点A(-3,2)在第_______象限,点D(-3,-2)在第_______象限,点C( 3, 2) 在第______象限,点D(-3,-2)在第_______象限,点E(0,2)在______轴 上, 点F( 2, 0) 在______轴上. 8.已知点M(a, b),当a>0,b>0时,M 在第_______象限;当a____, b______时,M 在第二象限;当a_____, b_______时,M 在第四象限;当a<0,b<0时,M 在第______象限. 三． 1.如图所示,A 的位置为(2,6),小明从A 出发,经 (2,5)→(3,5)→(4,5)→(4,4)→(5,4)→(6,4),小刚也从A 出发,经 (3,6)→(4,6)→(4,7)→(5,7)→(6,7),则此时两人相距几个格? 236541 6 2. 如图所示,从2街4巷到4街2巷,走最短的路线,共有几种走法? (2) (街) (巷)235411 453 2 3. 如图所示,四个正方形组成一个“T”字形,你能用四个这样的图形拼成一个正方形吗? 4. 如果点A 的坐标为(a 2+1,-1-b 2),那么点A 在第几象限?为什么? 5. 如果点A(t-3s,2t+2s),B(14-2t+s,3t+2s-2)关于x 轴对称,求s, t 的值. 6. 如图所示,C,D 两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D 两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B 两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x 轴上有两点M(x 1,0),N(x 2,0)(x 1 7. 如果│3x -13y+16│+│x+3y -2│=0,那么点P(x, y)在第几象限?点Q(x+1,y-1)在坐标平面内的什么位置? 8. 如图4所示,图中的马能走遍棋盘中的任何一个位置吗?若不能,指出哪些位置马 无法走到;若能,请说明原因. 答案： 一．1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 二．1.M 2.(0,1) (1,3) (2,5) (2,1) 3.(0,1) (-1,0)4.(-1,2) (-1,-2) (1,-2) 5. (4,6) (-4,-6) 6.(a,-b) (-a,b) 7. 二四一三y x 8.一<0 >0 >0 <0 三 三．1.3个格. 2.解:如图所示的是最短路线的6种走法. (3) (2) (1) (6) (5) (4) 3.解:如图所示. 4.解:∵a2+1>0,-1-b2<0, ∴点A在第四象限. 5.解:∵关于x轴对称的两个点的横坐标相等,纵坐标互为相反数, ∴ 3142 223220 t s t s t s t s -=-+ ? ? +++-=? 即 3414 542 t s t s -= ? ? += ? ,两式相加得8t=16,t=2. 3×2-4s=14,s=-2. 6.解：(1)MN=x2-x1(2)PQ=y2-y1 7.解:根据题意可得3x-13y+16=0,x+3y-2=0, 由第2个方程可得x=2-3y, ∴第1个方程化为3(2-3y)-13y+16=0, 解得y=1,x=2-3y=-1, ∴点P(x,y),即P(-1,1) 在第二象限,Q(x+1,y-1), 即Q(0,0)在原点上. 8.提示: 马能走遍棋盘中的任何一个位置, 只需说明马能走到相邻的一个格点即可. 1.如图7，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA＝6，OC＝8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF.