谈谈一个很重要的思维习惯正向思维和逆向思维的结合

现在孩子老早就上培训班，但我觉得即使是大家心目中的很多牛孩其实隐患也不小。现

在的培训班和学校大多功利色彩太重，只重结果忽视过程。很多小孩学习中埋下了很多隐患。

1计算习惯和意识的缺失。除了特别要求简便计算外毫无意识。很多小孩98乘以52还用竖

式，在去年麓山的考试中还有的小孩1997乘以999用竖式的。遇到数字大的题没有换元和

照抄的意识而是那种不方便算的也去死算结果事倍功半，能算出结果的小孩基本功都还是很

扎实的。2分步算式。这是小升初培训最大的恶果，不管是学校还是培训机构。使得小孩思

维零散，计算复杂。对今后几何的学习很不利。思维的连贯性严重看不得，而很多小孩又慌

不择路的去学初中预科了。结果花费了大量的时间和精力和金钱很可能还搞出反作用。这么

说吧在南雅竞赛班，双语和麓山拓展班，湘1实验班的很多小孩到了初一下期做有理数计算，

去括号稍微复杂点的正确率还不是特别高。不是抄错次数就是搞错符号什么的。这个就是内

功不行。而这些小孩很多也是老早就学了预科的，但现在初一下期了做上册的东西综合度大

的还很成问题，这说明预科学的都是表面的东西，很飘。其实练内功很简单，就是练连贯性

和条理性。比如说有理数计算其实就是3个步骤1找片段2定符号3代数和，但是我可以这

么说即使在名校百分之九十的孩子是没有这个意识的。3逆向思维和目标意识的缺失。很多

培训班动不动就是xy 的解题这个一个是小孩的理解力度不适应方程组还有就是计算太复

杂，即使到了初中你遇到应用题也不愿意设太多未知数吧。其实应用题可以完全从问题入手

向条件靠拢，从条件出发向问题转化，经常一不小心就找到共同点了。这个在今后几何的学

习中用的特别多。特别这个分析法那种绕题根本不难。还有在名词多状态复杂的题中，比如

倒来倒去的浓度问题，这类题很多孩子动笔不了其实很简单就是列表和倒推结合，根据需要

进行选择。很多意识其实四年级就要抓的，一时的成功不说明多少问题很多人为了考个小升

初考试花费大量的精力和财力很可能还搞出一堆的反作用。

这里我就一些经典的题提提逆向思维和正向思维结合例1两件商品总成本500元，分别把第一件商品提价20％，第二件商品提价

30％后，然后均打九折出售，一共获利67元，求两件商品的成本各是多少元?

分析：此题列方程容易但计算习惯很见功力。设第一件成本x 元

0.9[1.2x+1.3(500-x)]=567

很多孩子解方程就一把乘进去了实际上我们分析下正常的次序是最后乘以0.9，我们完全可

以第一步做两边同时除以0.9的逆向思维。同时正向思维可以顺手去掉小括号。1.2x+650-1.3x=630 650-0.1x=630 0.1x=20 x=200 第二件成本就是500-200=300元例2 111255{[()]}234336

x x x x ----=+ 分析我们可以两边同时乘以2去掉大括号再同时去小括号

1115[]3463x x x --+-=523x + 又同时正向思维和逆向思维结合 13110[]23463

x x x -+=+ 再用整体意识倒推得到 11104183

x x +=-- 5/4x=-61/3

X=-122/45

例3学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元。店方表示:如果多购，

可以优惠结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润。求每

套课桌的成本?

分析：很多孩子设成本为x 其实既有加减法又有乘除法的建议加减做到括号里面

60（100-x ）=72(100-3-x) 为何这么说呢我们就可以约去12 500-5x=600-18-6x

X=82

为何说很多小孩计算习惯不好呢 6000-60x=6984-72x 12x=984 x=82 97乘以72还用

竖式就有些严重看不得了。

例4 3[4(5y-1)-8]=6

分析：我们可以先用逆向思维去掉中括号两边同时除以3同时把中括号中的小括号去掉

20y-4-8=2 20y=14 y=0.7此题虽然简单但可以训练思维的意识

例5

分析：我们先加34

同时去掉小括号。逆向思维第一步是常规想法的最后一步 11113[]26462x x x x --+=+ 11313[]26462

x x x -+=+ 111328362x x x --=+ 555836x -= 229

x =-

X=36

例7一种产品按定价80％出售，获利20％，今年买入价降低，按定价75％出售，

获利25％

今年成本/去年成本= ％

分析：商品问题一般设成本为1设去年成本为1

我们先列出商品问题几个关系成本（1+利润率）=售价=定价乘以折扣

=单价乘以数量

这类问题最大的特点名词多关系绕

今年成本÷去年成本

今年售价除以（1+利润率） ÷1

今年定价乘以折扣

去年售价除以折扣

于是列出综合算式(120)807525+÷?÷+÷％％％(1％)1

65345445

???=90％从问题入手往条件靠，从条件入手往结论靠思路就很清晰。如这种很绕的题就变

得简单了。

例8公司购进苹果5.2万千克，每千克成本0.98元，运费1840元，损耗1％，如获利17个百分点。每千克定价多少？

分析：此题可以先算出总成本，然后求出总售价进而求出定价。

0.9852000+1840 1.17520000.99

???（）这是综合算式如果分步开始小括号以及乘法还有最后的除法计算量十分大。列分步式子还有个最大的弊端就是思维的连贯性不行。很多老师说分步可以分

步得分但也是底气不足的表现，综合式子用熟悉了有把握的题还是没问题的。下面谈谈如何算首先列了综合算式乘除的同级运算就有机会约分了。

原式= 0.9852000+1840135200011???（）= 98520+1840400011??= 52000-1040+1840400011

?= 52800400011

?=132/110=1.2元例9容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，

混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙

两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

解由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算

出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：

甲容器乙容器

原有盐水500

盐500×12%＝60水500

第一次把甲中一半倒入乙中后盐水500÷2＝250

盐60÷2＝30盐水500＋250＝750

盐30

第二次把乙中一半倒入甲中后盐水250＋375＝625

盐30＋15＝45盐水750÷2＝375

盐30÷2＝15

第三次使甲乙中

盐水同样多盐水500

盐45－9＝36 盐水500

盐45－36＋15＝24

由以上推算可知，

乙容器中最后盐水的百分比浓度为24÷500＝4.8%

答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。

我们可以列表

甲乙

盐水盐水盐水盐水

60 440 500 0 500 500

30 220 250 30 720 750

45 580 625 15 360 375

36 464 500 24 476 500

浓度为百分之4.8

点评，互相倒的问题把握盐，水，盐水总量不变，还有就是倒出的溶液浓度不变按比例分配。另外由于过程复杂我们列表思路就很清晰。较为复杂的分数百分数，年龄，推理，倒推，枚举问题我们都可以用列表理顺思路。列表的方法有助于训练思维的条理性，把复杂的关系简单化

例10甲乙两个桶，甲桶装了一些水，乙桶装了一些纯农药。按下面方法调配：第一次甲桶倒进乙桶水的数量与乙桶农药数量相同，调匀；第二次乙桶农药溶液倒入甲桶的数量，与甲桶余下水的数量相同；第三次再把甲桶农药溶液倒回乙桶，数量与此时乙桶中农药溶液数量相同，这时两个桶中农药数量相同，求开始时候水与纯农药的比？最后甲桶水与纯农药的比？最后乙桶水与纯农药的比？

分析：浓度问题这种倒来倒去的问题之所以难，主要是过程复杂，过于动态。我们该如何突破这个难点呢？

通过列表把复杂的数量关系变得清晰。至于如何处理动态问题呢？关键在抓不变量。此题不变量是纯农药，水，溶液的总数不变。倒出溶液浓度不变就是纯农药与水的比不变。我们先从溶液入手，题目告诉的是最后的状态，那么我们从后往前列表。

甲乙

开始11/8 5/8

第一次后3/4 5/4

第二次后3/2 1/2

第三次后 1 1

抓住溶液总量不变，利用最后相等量设为1总和为2倒推很容易得到开始水和纯农药的比是11;5

得到了溶液我们又可以顺向思维

甲乙

水纯农药溶液水纯农药溶液

开始11/8 0 11/8 0 5/8 5/8

第一次后3/4 0 3/4 5/8 5/8 5/4

第二次后9/8 3/8 3/2 1/4 1/4 1/2

第三次后3/4 1/4 1 5/8 3/8 1

最后甲水和纯农药的比是3：1, 乙桶水和纯农药比是5：3

例11甲容器有纯酒精340升，乙有水400升。开始甲倒出部分纯酒精到乙，然后乙倒部分溶液到甲后，甲的浓度为百分之70，乙的为百分之二十，求第二次乙溶液倒了多少到甲？分析：我们抓住倒出溶液浓度不变。第二次乙的水不变。为400升且浓度不变水占百分之80，纯酒精为100升。

相当于浓度百分之100的纯酒精240升与多少乙混合浓度为百分之70

100％50％甲乙

纯酒精水溶液纯酒精水溶液70％开始340 0 340 0 400 400

20％30％甲倒乙后240 0 240 100 400 500 所以甲与乙的比是5：3 乙倒甲后

5份是240，3份就是144升

例12两盒糖共100块，从第一盒拿出1/4放入第二盒再拿5/11放第一盒，第二盒是第一盒的3/7求原来各有多少？

第一盒第二盒

开始60 40

一次后45 55

二次后70 30 第二次后明显70与30 从后面状态往前奏容易很多一次后第二盒30除以（1-5/11)=55

第一盒是45继续倒推45除以（1-1/4)=60 100-60=40

例13大班和中班共有男生32人，女生18人。大班男女人数比5:3,中班为2:1,求大班女生人数。设大班男生5x，女生3x人

我们列个表大班中班

男生5x 32-5x

女生3x 18-3x

通过表格关系立刻就理顺了。此时就是2;1这个条件没用32-5x:18-3x=2:1 x=4 女生就是4乘以3=12人

例14甲,乙,丙三个杯中各盛有10克,20克,30克水.把A种浓度的盐水10克倒入甲中,混合后取出10克倒入乙,再混合后又从乙中取出10克倒入丙中,现在丙中的盐水浓度为2%.A种盐水浓度是百分之几？

分析：我们把握盐，水，盐水，倒出溶液浓度不变这几个不变量

甲乙丙

盐，水，盐水盐，水，盐水盐，水，盐水

0，10，10 0，20 ，20 0，30，30

4.8 1

5.2 20 0 ，20 ，20 0，30 ，30

2.4，7.6，10 2.4，27.6 ，30 0，30，30

2.4，7.6，10 1.6，18.4，20 0.8 39.2 40

最后状态丙溶液40，盐为0.8，水39.2，盐水40 ，乙倒出了0.8克盐和10克盐水，乙的浓度百分之8.我们再次倒推知道甲倒出2.4克盐，7.6克水甲的浓度百分之24.所以开始A盐水有4.8克盐浓度为百分之48

例15甲乙各有一些书，甲拿出自己的1/5给乙，然后乙拿出自己的1/3给甲后就一样多了。求甲乙两人开始的书的数目比

分析：很多小孩设开始甲x乙y然后正向思维算出各个状态当然也可以但是过于复杂我们可

以反过来想。此题不变量总数这是显然的。

列表的时候横向列名词，纵向列状态

甲乙

开始11/8 5/8

一次后1/2 3/2

二次后 1 1 乙拿出1/3余下1之前就是1除以（1-1/3）=3/2 抓总量

不变甲就是2-3/2=1/2 再用1/2除以（1-1/5）=5/8

2-5/8=11/8 11/8:5/8=11:5

初中阶段的方程组和不等式组的应用题也可以如此。对于名词多关系绕的题列表能很好的训练思维的条理性，表述简洁思路清晰。基本上是表一填满题目也就出来了。

例16甲、乙两人现在的年龄之和为98岁，当甲的年龄是乙的现在年龄的一半时，乙恰是甲现在的年龄。求甲、乙现在各多少岁？

分析：此题2个状态不变量年龄差不变

列表甲乙

今年x y 抓住年龄差不变

y/2 x x+y=98 y-x=x-y/2 x=42 y=56

遇到绕的题设方便理解的未知数先处理不绕的后处理绕的。

类似的状态复杂的年龄问题都可以采用列表法结合不变量解决

例17瓶内装满一瓶水，倒出全部水的1/2，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的1 /3，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的1/4，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的______％。

分析：每次操作损失的是水。我们反过来想算最后的水就知道酒精的比了。显然总量是不变的。第一次水余下1/2第二次余下余下的2/3再余下余下的3/4

综合算式

1111

1(1)(1)(1)

2344

--?-?-==25％

例18某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：

(1)甲校获一等奖的人数是乙校获得一等奖人数的2倍；

(2)甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为8：5；

(3)甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的30％；

(4)甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的54％；

(5)甲校获二等奖的人数比乙校获二等奖人数多25％。

那么，乙校获三等奖的人数占该校人数的百分数等于________。

分析：此题难度比较大，一个是抽象，二是名词多关系绕。一等奖人数=总获奖人数乘以对应分率。我们把一等奖人数当面积对应分率看为宽，获奖总人数当长面积的比2:1 宽的比8:5 长的比2/8:1/5=5:4 列表横向名词纵向状态甲乙

显然甲或三等奖人数是5乘以54％=2.7份一等奖0.8 0.4 二等奖占9乘以30％=2.7份甲和乙的比5:4所以分别是1.5和1.2份二等奖 1.5 1.2 马上有甲校一等奖的是0.8份乙为0.4份所以乙校三等奖为2.4份三等奖 2.7 2.4 乙校三等奖占2.4÷4=60％总人数 5 4