中考数学复习(八)：数形结合
数形结合
【知识要点】
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．
所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：Ⅰ、借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；Ⅱ、借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质
【历年考卷形势分析及中考预测】
数形结合思想是历年来中考和竞赛的必考内容，纵观近6年广州市的中考试题，分值分布大约在15分左右，其中简单的题目大约占9分，主要考察不等式组的解法，绝对值的化简，勾股定理的应用等等，其余的6分较难，主要出现在后面的压轴题目中，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度较大，应引起同学们的高度重视。
【考点精析】
考点1. 借助数轴解不等式及根式的化简：
例1．（2010浙江金华）如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ） A ．a ＜1＜－a
B ．a ＜－a ＜1
C ．1＜－a ＜a
D ．－a ＜a ＜1 例2．如果不等式?
?
?<-≥-080
9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数b a ,的有序数对),(b a 有
多少对？
【举一反三】
1.（2010湖北宜昌）如图，数轴上A,B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是（ ）。
A. |a|>|b|
B. a+b>0
C. ab<0
D. |b|=b 0 1
A
(第9题图)
A B 10
-1-2b a
2.如果关于x 的不等式组的解 ?
??>≤≤m x x 2
1有解，求m 的取值范围
考点2. 借助平面直角坐标系解函数问题：
例3．（2010 浙江台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于
向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a
个单
位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b
个单位），则把有序数对{a ，b}叫做
这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b}与“平移量”{c ，d}的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量”
{1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC. ②证明四边形OABC 是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
（第4题）
图1
例4．（2010 山东省德州）某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h 与注水时间t 关系的是
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【举一反三】
1．（2010重庆市潼南县）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）
2．（2010 甘肃）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当0y <时，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．0x <
B ．11x -<<或2x >
C ．1x >-
D ．1x <-或12x <<
考点3. 利用图形理解代数恒等式
例5．（2010辽宁丹东市） 图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ） A ．2
2
()()4m n m n mn +--= B ．2
2
2
()()2m n m n mn +-+= C ．2
2
2
()2m n mn m n -+=+ D ．2
2
()()m n m n m n +-=-
例6．（2010 浙江衢州）如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m
的正方形之后余部分又剪拼
成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A ．2m +3
B ．2m +6
C ．m +3
D ．m +6 例7．（2010广东佛山）新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。
（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？
（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可） （3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则时如何获得的?(用（a+b ）（c+d ）来说明)
【举一反三】
1．（2010四川达州）如图1，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为
A.()2
222a b a ab b -=-+ B.()2
22
2a b a ab b +=++
C.22()()a b a b a b -=+-
D.2()a ab a a b +=+
2．（2010浙江湖州）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的
图 1
数学公式是 ．
考点4.借助直角三角形解三角比问题
例8．(南京·2007中考)如图,A 、B 两地之间有一座山,汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A —C —B
行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:
41.12≈,73.13≈)
考点5.借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题
例9．(上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、
C 三根木柱,使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等,并测得BC 长为240米,A 到BC 的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.
【举一反三】
A
B
C
30
45
3图
例4图2