【精选】2020中考数学 数形结合思想专题练习(含答案)

2020中考数学 数形结合思想专题练习

1．已知直线y 1＝2x －1和y 2＝－x －1的图象如图X5－1所示，根据图象填空．

(1)当x ______时，y 1＞y 2；当x ______时，y 1＝y 2；当x ______时，y 1＜y 2；

(2)方程组的解集是____________．

图X5－1 图X5－2

2．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2,4)，B (8,2)(如图X5－2所示)，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是____________．

3．如图X5－3，正三角形ABC 的边长为3 cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x (单位：秒)，y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为( )

图X5－3

A B

C D

4．如图X5－4，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是______．

图X5－4

21,

1y x y x =-??

=--

?

5．某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y(单位：万亩)随着时间x(单位：年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图X5－5.

(1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)；

(2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？

图X5－5

6．某公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是推销费，图X5－6表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：

(1)求y1与y2的函数解析式；

(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？

(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？

图X5－6

7．如图X5－7，抛物线y＝1

2x

2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于

C点，且A(－1,0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

图X5－7

8．如图X5－8，抛物线y＝1

2x

2－

3

2x－9与x轴交于A，B两点，与y轴交于

点C，连接BC，AC.

(1)求AB和OC的长；

(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A，B不重合)，过点E 作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

图X5－8

9．如图X5－9，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

(1)求点B的坐标；

(2)求经过点A，O，B的抛物线的解析式；

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P，O，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

图X5－9

10．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图X5－10放置，点A，C 的坐标分别为(0,3)，(－1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.

(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．

图X5－10

11. 如图所示，已知正比例函数y x =和3y x =，过点()20A ，

作x 轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与B C ，

两点，求三角形OBC 的面积（其中O 为坐标原点）。

12. 如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为12345，

，，，．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ax =，()1y a x =+，()2y a x =+相交，其中0a >，则图中阴影部分的面积是_________．

13. 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC

的解析式为y x =，直线AC 交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．

（1）若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角顶点B 的坐标； （2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为()0180αα?<

（3）在（2）的条件下，判断点'B 是否在过点B 的抛物线23y mx x =+上，并说明理由．

x

x

14. 在平面直角坐标系中，直线162

y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点， ⑴ 直接写出B 、C 两点的坐标；

⑵ 直线y x =与直线1

62

y x =-+交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位

的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP t =）过点P 作PQ x ∥轴交直线BC 于点Q ，①若点P 在线段OA 上运动时（如图），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.

图

2

参考答案 1．(1)x ＞0 x ＝0 x ＜0 (2)???

x ＝0，

y ＝－1

2．x 1＜－2或x ＞8 3.C 4.10

5．解：(1)设函数的解析式为y ＝kx ＋b ，

由图形可知，其经过点(2 009,24)和(2 011,26)， 则??? 2 009k ＋b ＝24，2 011k ＋b ＝26，解得???

k ＝1，b ＝－1 985. ∴y 与x 之间的关系式为y ＝x －1 985.

(2)令x ＝2 012，得y ＝2 012－1 985＝27(万亩)． ∴该市2012年荔技种植面积为27万亩． 6．解：(1)y 1＝20x ，y 2＝10x ＋300.

(2)y 1是不推销产品时，没有推销费，且每推销10件产品得推销费200元，y 2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．

(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y 1的付费方案；否则，选择y 2的付费方案．

7．解：(1)把点A (－1,0)的坐标代入抛物线的解析式 y ＝12x 2＋bx －2，整理后，解得b ＝－32.

所以抛物线的解析式为y ＝12x 2－3

2x －2.

顶点D ? ??

??3

2，－258.

(2)∵AB ＝5，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形．

(3)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0,2)，OC ′＝2.

连接C ′D 交x 轴于点M .根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时，MC ＋MD 的值最小．

设抛物线的对称轴交x 轴于点E . 显然有△C ′OM ∽△DEM . ∴OM EM ＝OC ′ED .∴m 32－m ＝2258.∴m ＝2441.

8．解：(1)在y ＝12x 2－3

2x －9中， 令x ＝0，得y ＝－9，∴C (0，－9)．

令y ＝0，即12x 2－3

2x －9＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6， ∴A (－3,0)，B (6,0)． ∴AB ＝9，OC ＝9.

(2)∵ED ∥BC ，∴△AED ∽△ABC . ∴S △AED S △ABC ＝? ??

??AE AB 2，即s 12

·9·9＝? ????m 92.

∴s ＝1

2m 2(0＜m ＜9)．

9．解：(1)如图D94，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，

图D94

∵OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 位置，∴∠BOC ＝60°，OB ＝4.

∴BC ＝4×sin60°＝2 3，OC ＝4×cos60°＝2. ∵点B 在第三象限，∴点B (－2，－2 3)．

(2) 由函数图象，得抛物线通过(－2，－2 3)，(0,0)，(4,0)三点．设抛物线的解析式为

y ＝ax 2

＋bx ，由待定系数法，得??

?

4a －2b ＝－2 3，

16a ＋4b ＝0，

解得???

??

a ＝－3

6，b ＝2 33.

∴此抛物线的解析式为y ＝－36x 2＋2 3

3x .

(3)存在．理由：如图D ，抛物线的对称轴是x ＝－b

2a ，解得x ＝2.设直线x ＝2与x 轴的交点为D ，设点P (2，y )．

①若OP ＝OB ，则22＋|y |2＝42，解得y ＝±2 3. 即点P 坐标为(2,2 3)或(2，－2 3)．

又点B (－2，－2 3)，∴当点P 为(2,2 3)时，点P ，O ，B 共线，不合题意，舍去．故点P 坐标为(2，－2 3)．

②若BO ＝BP ，则42＋|y ＋2 3|2＝42，解得y ＝－2 3，点P 的坐标为(2，－2 3)．

③若PO ＝PB ，则22＋|y |2＝42＋|y ＋2 3|2，解得y ＝－2 3，点P 坐标为(2，－2 3)．

综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2，－2 3)．

10．解：(1)∵?A ′B ′OC ′由?ABOC 旋转得到，且点A 的坐标为(0,3)，点A ′的坐标为(3,0)．

∴抛物线过点C (－1,0)，A (0,3)，A ′(3,0)． 设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

代入，可得???

a －

b ＋

c ＝0，

c ＝3，

9a ＋3b ＋c ＝0.

解得???

a ＝－1，

b ＝2，

c ＝3.

∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.

(2)∵AB ∥CO ，∴∠OAB ＝∠AOC ＝90°. ∴OB ＝OA 2＋AB 2＝10.

又∠OC ′D ＝∠OCA ＝∠B ，∠C ′OD ＝∠BOA ， ∴△C ′OD ∽△BOA 又OC ′＝OC ＝1. ∴△C ′OD 的周长△BOA 的周长＝OC ′OB ＝110

.

又△ABO 的周长为4＋10，

∴△C ′OD 的周长为4＋1010

＝1＋210

5.

(3)连接OM ，设点M 的坐标为(m ，n )， ∵点M 在抛物线上，∴n ＝－m 2＋2m ＋3. ∴S △AMA ′＝S △AMO ＋S △OMA ′－S △AOA ′ ＝12OA ·m ＋12OA ′·n －12OA ·OA ′ ＝32(m ＋n )－92＝3

2(m ＋n －3)

＝－32(m 2－3m )＝－32(m －32)2＋278.

∵0

4时，△AMA ′的面积有最大值．

∴当点M 的坐标为? ??

??

32，154时，△AMA ′的面积有最大值，且最大值为278.

11. 【解析】由题意，∵20A （，）

，AC x ⊥轴 ∴将2x =分别代入3y x y x ==、得，()()2226B C ，，，

∴624BC =-=

∴114242

2

OBC S BC OA ?=??=??=

【答案】4

12. 【答案】12.5

13. 【答案】（1）在图1中，∵直线AC 交x 轴于点C ， ∴点()20C ，，即()20D ，．过点B 作BE x ⊥轴于点E . ∵OBD ?是等腰直角三角形，直角顶点为B ， ∴45OB BD BDE =∠=?，， ∴1

12

OE ED BE OC ==== ∴()11B ，．

（2）∵直线AC 交y 轴于点A ，

∴0A ?

??

． 在图2中，过点O 作OF AC ⊥于点F . 在Rt AOC ?

中，tan AO ACO OC ∠=， ∴30ACO ∠=?， ∴60FOC ∠=?，1OF =．

在Rt 'B OD ?

中，利用勾股定理，得'OB = 在Rt 'OB F ?

中，cos ''OF B OF OB ∠= ∴'45B OD ∠=?． ∵'45B OD ∠=?， ∴90DOF ∠=?， ∴30COD α∠==?．

（3）∵抛物线23y mx x =+过点()11B ，， ∴2m =-，

∴抛物线的解析式为223y x x =-+． 设点()'B a b ，

，则2

222a b +==．

又点()'B a b ，在直线AC 上，

∴b =

∴2

2233a ?++= ??，

∴a =，

．

将a 223y x x =-+中，

图

2

b ∴=

∵2

23b -?+==??

∴点'B 在过点B 的抛物线223y x x =-+上．

14. 【答案】⑴ ()()12006B C ，，， ⑵ ①∵点P 在y x =上，OP t =

∴点P 坐标为?????，点12Q ??

? ???

∴12PQ OB ON MB PN =--==，

∴23

2

S t =-+，

∴当t =max 12S =．

②若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切，则圆心在y 轴 上，且y 轴垂直平分PQ ，45POC ∠=?, 45QOC ∠=?， ∴

12OB ON QN OM ====

，， ∵COB QNB ∠=∠，∴COB QNB △∽△， ∴12

QN CO NB ==，∴2QN NB NO OB ==+，

122=+，∴t =

∴当t =P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切．