弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题

第六章 弹塑性平面问题

任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题,即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数.但是，当所考察的物体（结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面(二维）问题，即所有的力学量都是两个坐标(如

y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.

由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。

6.1 弹性平面问题的基本方程

由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。 1.1平衡方程

无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为

⎪⎪

⎭⎪

⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x y

xy xy

x σττσ (6。1—1)

1。2几何方程

由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 x

v

y u ，y

v ，x

u

xy y x ∂∂+∂∂=

∂∂=∂∂=

γεε (6.1—2） 由式(6。1—2)可得到平面问题的变形协调方程为

y x x

y xy

y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2

2

222 （6.1—3） 1。3本构关系

两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同,因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.

(1)

平面应力问题

对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有

0==zx yz γγ。因此本构方程为

⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪⎬⎫+=+-=-=-=

xy xy y x z x y y y x x E E

E E

τνγσσν

ενσσενσσε)

1(2)()(1

)(1 (6。

1—4a ） 或

⎪⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪⎬⎫+=+-=+-=

xy

xy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(12

2

（6。1—4b)

(2)

平面应变问题

对于平面应变问题，有0===zx yz z γγε，根据广义虎克定律，必有

)(y x z E

σσν

σ+-

=

和0==zx yz ττ。因此，本构关系为

⎪⎪⎪⎭⎪

⎪⎪

⎬⎫+=---=---=xy

xy x y y y x x E E E τνγσννσνεσνν

σνε)1(2)1(1)1(12

2 （6。1-5a)

或

⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬⎫

+=+=-+-+=-+-+-=

xy

xy y x z x y y y x x E E E λντσσνσεννεννσεν

νενννσ)1(2)

()1()21)(1()1()21)(1()1( （6.1-5b)

将上面两种平面问题的本构方程式进行比较可以看出，只要将平面应力问题本构方程式中的E 换为)1/(2ν-E ，ν换为)1(νν-，就可以得到平面应变问题的本构方程式。 1.3应变协调方程

如果采用应力法求解,还必须将平面问题的应变协调方程（6。1-3）式变换为用应力表示。

(1) 平面应力问题的应变协调方程

对于平面应力问题,将方程（6.1-1）式中的第一式对x 求导，第二式对y 求导，有

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫

∂∂-∂∂-=∂∂∂∂∂-∂∂-=∂∂∂y Y y y x x X x y x y xy x xy

2

2

22

22στστ 将上式相加后,得

)(21)(212

2222y Y x X y

x y x y x xy

∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-=∂∂∂σστ 因

)(1)1(22

2

2222y Y x X y

x E y x E y x y x xy xy

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂∂+=∂∂∂σσντνγ 将式(6。1—3）中耐x ε、y ε用本构关系式（6。1-4a ）入，而y

x xy ∂∂∂γ2用上式代换,

可得

0))(1(2

22222222222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂++∂∂-∂∂+∂∂-∂∂y Y x X y

x x x y y y x x y y x σσνσνσσνσ 化简上式，得

))(1(2

2

222222y Y

x X y x y x y y x x ∂∂+∂∂+-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂νσσσσ

上式可进一步写为

))(1())((2222y Y

x X y x y x ∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂νσσ (6。1—6）

如果不计体力或为常体力，则上式可写为

0))((22

22=+∂∂+∂∂y x y x σσ （6.1-7a)

或用拉普拉斯算符简写为

0)(2=+∇y x σσ (6。1—7b) 式(6。1—6)即为用应力表示的应变协调方程，通常称为纳维方程。 (2) 平面应变问题的应变协调方程

对于平面应变问题，因为平衡方程同样为(6.1-1)式，应力分量x σ、y σ也只是x 、y 的函数，因此应用由平面应力变换到平面应变的对应关系，则平面应变问题的应变协调方程可直接从(6.1—6）中得到，即

)(11))((2222y Y

x X y

x y x ∂∂+∂∂--=+∂∂+∂∂νσσ （6.1—8)

注意到，当在平面应变问题中，如果不计体力或为常体力时，则(6。1-8）式也简化为(6.1—7）式，这时平面应力问题与平面应变问题的应变协调方程相同. 由以上可见,如果讨论的问题为D 域上的调和函数，则)(y x σσ+是在区域D 上直到二阶导数都是连续的连续函数。在这种情况下,平面应力和平面应变问题的应力分量x σ，y σ,xy τ的分布是相同的，是是是说,他们在oxy 平面内应力场一致. 1。4边界条件

平面内周边上的应力边界条件为

⎪⎭

⎪

⎬⎫=+=+Y m l X m l y xy xy x σττσ (6.1—9a)

对于平面应变问题还有

Z z =σ (6。1—

9b ）

对于平面应力问题．由于z 方向无外力作用，又0=z σ，所以该方向的边界条件自动满足.

从以上的讨论中不难发现，方程(6。1-1和(6.1-7）以及边界条件(6。1—9)中

均不含材料常数。由此得出重要结论：对于全部边界为力边界的无(或常）体力的平面问题，无论什么材料,只要它们的几何条件、载荷条件相同,则不论其为平面应力或平面应变问题,他们在平面内的应力分布规律是相同的。这一结论,给实验模型的设计，尤其是光弹性实验提供了理论基础、并具有很大的灵活性。但需特别注意的是，以上两种情况的应力z σ、应变和位移是不相同的.

6。2应力解法与应力函数

由以上讨论可知，当边值问题属于第一类，即面力已知问题，则采用应力法求解时，其基本方程归结为

(1) 当体力为常量时

⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x y

xy xy

x σττσ （6.2-1a ）

0))((22

22=+∂∂+∂∂y x y

x σσ （6。2—1b)

⎪⎭

⎪

⎬⎫=+=+Y m l X m l y xy xy x σττσ （6.2-1c)

(2) 当不计体力时

⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00y x y x y

xy xy x σττσ （6.2—2a)

0))((22

22=+∂∂+∂∂y x y

x σσ (6。2-2b)

⎪⎭

⎪

⎬⎫=+=+Y m l X m l y xy xy x σττσ (6.2-1c)

由数学上可知,方程(6。2-1)是一组线性非齐次偏微分方程，它的解答应该包含两部分：任意一组特解和齐次方程（6.2-2a ）的通解。 非齐次方程（6.2—1a ）的特解可取为

⎪⎭

⎪

⎬⎫

=-=-=0

xy y x Yy Xx τσσ （a ）

或取为

⎪⎭⎪

⎬⎫--===Yx Xy xy y x τσσ0 （b)

或取为

⎪⎭

⎪⎬⎫=--==0

xy y x Yy Xx τσσ （c)

等形式。显然，这些特解都满足（6。2-1a)式。

对于齐次方程式（6。2-2a ），如果引进一个函数),(y x ϕ,使得

⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪⎬⎫∂∂∂-=∂∂=∂∂=y x x y

xy y x ϕτϕσϕσ2

22

2

2 （6。2

—3)

则将(6.2-3）式代人齐次方程(6。2—2a)式，可知恒满足。函数),(y x ϕ称为平面向题的应力函数，是英国天文学家艾里（Airy,G 。.B ）于1862年首先提出的,因此也称它为艾里应力函数。

将（6.2-3)式与式（a)式相叠加,就得到(6。2-1a)式的全解为

⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎪

⎪⎪

⎪

⎬⎫∂∂∂-=-∂∂=-∂∂=y x Yy x Xx y xy y x ϕτϕσϕ

σ2

2222 （6.2—

4)

为使应力表达式同时满足协调方程、则应力函数),(y x ϕ还必须满足一定的条件。将(6。2-4)式代入(6.2-1b),得

0))((22222222=∂∂+∂∂∂∂+∂∂y

x y x ϕ

ϕ 将上式展开为

024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y

y x x ϕ

ϕϕ (6。2—

5a ）

或采用双调和算子简写为

04=∇ϕ (6。2-5b ）

将(6。2-4）式代入(6.2—1c ）式，得到相应的用应力函数表示的静力边界条件为

⎪⎪

⎭⎪

⎪

⎬⎫=-∂∂+∂∂∂-=∂∂∂--∂∂Y m Yy x l y x X m y x l Xx y )()()()(22

2222ϕϕϕϕ （6.2-6) 综上所述，对于常体力下的平面问题，只要求解一个未知函数),(y x ϕ，即在给定边界条件(6.2-6)的情况下，求解方程(6。2-5）式。求出函数),(y x ϕ后，就可通过(6.2—4)式求出应力分量,最后可通过本构方程式求应变，通过几何方程式积分求位移。

对于无体力的平面问题情况,协调方程式不变．静力边界条件利用（6。2-3）式写为

⎪⎪

⎭⎪

⎪

⎬⎫=∂∂+∂∂∂-=∂∂∂-∂∂Y m x l y x X m y x l y )()()()(22

2222ϕϕϕ

ϕ （6。2—7） 相应的应力分量为(6.2-3）式所示。

实际上,直接求解弹性力学问题往住是很困难的，因此有时不得不采用逆解法或半逆解怯等来求解。

当用逆解法时，需先假定满足双调和方程（6.2—5)式的某种形式的应力函数

),(y x ϕ，然后用式（6.2-3)或（6.2—4）求出应力分量x σ,y σ,xy τ等,再根据边界条件式（6。2—6)或（6.2-7）来分析所得应力分量对应于什么样的面力。由此判定所选应力函数),(y x ϕ可以解什么样的问题。

如用半逆解法则针对所要求的问题，假定部分或全部应力分量为某种形式的双调和函数,并引入足够多的待定参数，从而导出应力函数),(y x ϕ，然后分析所得

应力函数是否满足应变协调方程,判断假定的以及由应力函数导出的应力分量是否满足边界条件。如不满足则应重新假定.

应当注意的是，双调和方程是四阶的或低于四阶的多项式都是双调和函数。但必须至少是二次和二次以上,以保证得出非零的应力解。例如，对于不计体力的弹性平问题,如取应力函数y a x a a y x 210),(++=ϕ的一次式，尽管它满足双调和方程式(6。2—5），但将其代入应力分量（6。2—3）式,得

⎪⎪

⎪⎪⎭⎪⎪⎪

⎪⎬⎫

=∂∂∂-==∂∂==∂∂=000

2

2222y x x y

xy y x ϕ

τϕσϕσ

显然,这是一个无应力状态.由此得出，在应力函数中增添或除去x 和y 的一次 式，并不影响应力分量。

不难验证，当应力函数取二次多项式时可得均匀应力状态,取三次多项式时得线性分布的应力场.

６.3 梁的弹性平面弯曲

3.1悬臂梁的弹性平面弯曲

在第五章采用材料力学初等理论介绍了梁的弹塑性纯弯曲,这节首先应用应

力函数法讨论高为h ，宽为b ，跨长为l ,如图6.1所示的悬臂粱在自由端受集中力F 作用，忽略自重时的平面弯曲.

图6.1 悬臂梁 对于图示悬臂梁，其边界条件为

⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪⎬⎫

-====⎰-±=±==2

22/2/00

)(0)(0

)(h h xy h y xy h y y x x F bdy ττσσ （a ） 式（a)所列边界条件表示：悬臂梁自由端没有轴向水平力，顶部和底部没有载荷作用，及自由端的切应力之和应等于F. (a)中第四式的负号是因此处切应力是作用在外法线方向与x 轴反向的平面内,切应力方向又与y 轴同向，根据第2章对切应力的正负号约定应为负。 1）选择应力函数

由材料力学可知，悬臂梁任一截面上由F 产生的弯矩随x 作线性变化,而且截面上任一点的正应力x σ与y 成比例，因此，可假定x σ为

xy A y x 122=∂∂=ϕ

σ （b)

式中1A 为常数。将（b ）式对y 积分两次，得

)()(61

),(2131x f x yf xy A y x ++=ϕ （c ）

式（c)中的)(1x f 和)(2x f 为x 的待定函数。将(c)式代入双调和方程（6。2—5a ）可得

04

2

4414=+dx

f d dx f d y (d) 因1f 和2f 仅为x 的函数,而上式中左边第二项又与y 无关，故要使上式成立时，必有

0,04

2

44

1

4==dx f d dx f d 对上面两式分别积分，得

⎪⎭

⎪

⎬⎫+++=+++=982

73625423321)()(A x A x A x A x f A x A x A x A x f 式中i A 系积分常数.将它们代入式(c ），可得应力函数为

)

()

(6

1

),(98273654233231A x A x A x A A x A x A x A y xy A y x ++++++++=

ϕ (6。3—1)

将式（e ）代入式（6.2—3），可得应力分量xy y ，τσ为

⎪⎪

⎭

⎪

⎪

⎬⎫+++-=∂∂∂-=+++=∂∂=)2321

()(2)(64322212736222A x A x A y A y x A y A x A xy A x xy y ϕτϕ

σ （e ）

2）确定系数i A

根据边界条件式(a ）中的第2式，有

⎪⎪⎭⎪⎪

⎬⎫

=+-++-=+++0)2(2)2(60)2

(2)2(673627362

A h

A x A h A A h A x A h A

上式应对所有的x 都应成立，因而必有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-=-=+=+0

20202027

362736

2A hA A hA A hA A hA

求解此方程组，得

07632====A A A A （f ） 根据边界条件式（a ）中的第3式，并注意到式（e)和（f)，则有

0)8

1

()

(4212

=+-=±

=A h A h y xy τ

由上式可得

2148

1

h A A -=

又依据边界条件式(a ）的第4式，可得

F bdy y h A bdy h h h h xy -=-=⎰⎰--)4

1(212

212222τ 由上式可得

I F bh F A /)/(1231-=-=

式中12

3

bh I =为梁截面对中性轴的惯性矩。

3)应力分量计算

至此，式（b ），（e ）中的所有常数均已确定，于是可得悬臂梁中的各应力分量为

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫--==-=)4(20

22y h I F I

Fxy xy y x τσσ （6.3-2） 式（6。3—2)的结果与材料力学的结果完全一致。由此可得出结沦：如果自由端部的切力按抛物线分布,x σ在固定端是按线性分布，则这一解是精确解。如果不是这样，根据圣维南原理,这一解在梁内远离端部的截面仍是足够精确的，其所影响的范围大约只有截面尺寸大小的长度.

需注意的是，式(6.3-1)中的系数985,,A A A 并未求出，由上节已知,这主要是这3个系数与应力分量无关。因此，这几个系数确定与否无关紧要.

4)变形计算

当应力求得后，变形计算则可根据应变位移几何关系和虎克定律进行.由式（6。3—2)可得

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫--=-+-=+==∂∂+∂∂=-==∂∂-===∂∂)4(2)4()1()1(22222y h GI F y h EI E x v y u EI Fxy E y v EI

Fxy E x u xy xy x y x x ντνγνσνεσε (g ） 将式(g ）中的第1和第2式分别对y x ,积分,有

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+-

=)(2)(21212x v xy EI F v y u y x EI F u ν (h ） 将式(h)分别对x y ,微分,代入式(g)的第3式，并整理后可得

221214)1(2)()2(2)(h EI

F x EI F dx x dv y EI F dy y du νν+-+-=+- 上式两边分别x 与y 的函数,因此等式左、右两边应等于同一常数1a ，即

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫-+-=++=12211214)1(2)()2(2)(a h EI F x EI F dx x dv a y EI F dy y du νν 将上式积分后代入式(h),可得位移v u ,的表达式为

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-+-+=++++-

=3123221324)1(626)2(2a x a x h EI F x EI F xy EI F v a y a y EI F y x EI F u ννν (k ） 式中常数i a 由阻止梁在oxy 面内作刚体运动所必需的三个约束条件来确定。下面分两种情况进行讨论。

（1)固定端处（0,==y l x )的边界条件为：0=∂∂==x

v v u 这一边界条件相当于在固端处梁的轴线的切线保持水平，，即将坐标点(0,==y l x )的水平微线段dx 固定，这与材料力学的处理方法相同。现将该边界条件代入位移表达式（k ），可得

332221304)1(2l EI

F a ，a ，h EI F EI Fl a ==+-=ν 将这些系数代入式(k ），则位移为

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++-=+-+++=

3223232232264)1(6)2()(2l EI F xy EI F x EI Fl x EI F v y h EI F y EI F x l EI Fy u ννν (6.3-3) 由该式可知，v u ,均是y x ,的非线性函数,这说明梁的任一截面变形后不再保持为平面,这与材料力学初等理论所得结果不同。如在固定端（l x =)处,由式(6。3-3)可得

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-=+-=∂∂+-+=∂∂=====GI Fh h EI F y u h EI F y EI F y u y EI

Fl v y l x l x l x 24)1()(4)1(2)2()(2)(220222

νννν 上式表明，由这种固定条件得到铅垂线元有一绕垂直于面oxy 平面的z 轴逆时针方

向的转角)2/(2GI Fh （图6.2）。 梁轴线的铅垂位移由（6。3-3)式可得

EI

Fl EI x Fl EI Fx v y 326)(3220+-== 对于梁自由端（0==y x )处的挠度，

由式(6.3—3)的第2式可得梁

EI

Fl v 3)(3max = 这与材料力学的结果相同。 图6.2 固定端转角示意图

(3) 固定端处（0,==y l x )的边界条件为：0=∂∂==y

u v u 这表示固定端断面在(0,==y l x )处的铅垂微线元dy 固定不能转动，将该边界条件代入式(k),可求得

23322

14)1(302lh EI

F l EI F a ，a ，EI Fl a ν++=== 将这些系数代入式（k ），得到一组与(6.3—3）式不同的梁的位移为

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-++-++=++-=

)])(1(4)(2136[6)2()(222233322x l h x l y l x EI F v y EI F y x l EI F u ννν （6。3—4)

实际上，由式（6.3—4）也得出v u ,均是y x ,的非线性函数.同样可得出在固定端（0,==y l x ）处的水平线元dx 也有一绕垂直于面oxy 平面的z 轴逆时针方向的转角)2/(2GI Fh (如图6。3所示）。

由(6.3-4)式可得梁轴的铅垂位移为

)()1(326)(23220x l h EI

F EI Fl EI x Fl EI Fx v y -+++-==ν 自由端的挠度度为

GI

Flh EI Fl v y x 23)(230+=== 图6.3 固定端转角示意图 显然，上式等号右边第二项是剪力对挠度的影响.而这部分与弯曲的影响之比，为

2232)2()2)(1(43)

3/()2/(l h l h EI Fl GI Flh ≈+=ν 如)2(10h l =，则此比值为100/1.所以当l h <<2时，梁的挠度主要由于弯曲所引起.由此可见，在材料力学中得到的结果，对于细长梁是精确的.但是，必须指出，在高而短的梁中，以及在梁的高频振动和在波的传播问题中，切力效

应是非常重要的。

由以上计算变形可见,在材料力学中，只是笼统地说梁端“固定”，没有规定具体的固定方式。在弹性理论中必须规定固定的方式，根据不同的固定方式，得出不同的位移公式。

3.2简支梁的弹性平面弯曲

现分析如图6.4所示受均布载荷q 作用，不计体力的两端简支梁。

x 图6.4 受均布荷重简支梁

1)选择应力函数

设应力函数为

)

5(),(5

324332221y y x A y A y x A x A y x -+++=ϕ (a ） 将(a)式代入式(6.2-5)知，满足双调和方程.

2）利用边界条件确定常数i A

边界条件为

⎪

⎭

⎪

⎬⎫

==-=±==-=0)(0)(/)(2/2/2/h y xy h y y h y y b q τσσ

（b ） 和在l x ±=处

⎪⎭

⎪

⎬⎫

±==⎰⎰--2/2/2/2//0h h xy h h x b ql dy ydy τσ

(c) 根据式(6。2—3)及边界条件式(b ）、(c ）可得

⎪⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬⎫

=+=-+=+-=+-=++)2/(4/010/04/3)2/(4/2/04/2/3

422424324224212421b q h A h A h A l A A h A A b q h A h A A h A h A A

(d ） 由此可解得系数i A 为

3432321)10(434bh q A ，

bh q

bh ql A ，bh q

A ，b q

A -=-==-=

（e ）

q

将（e)式代入（a)式,得应力函数 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=)5(1)101(434),(5323

32222y y x h h y h l h y x x b q y x ϕ （f) 3）应力分量计算

将式（f ）代入式(6.2-3)，并注意梁的截面惯性矩12/3bh I =,求得应力分量为

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫--=+--=-+-=x y h I q h y h y I q y h y I q y x l I q xy y x )4(2)1243(2)1032(2)(2223232222τσσ (g ） 将式(g)的应力分量与材料力学对该问题的解答相比,可以看出：

1)式（g ）中x σ的表达式包括两项，第一项与材料力学解答相同，而第二项与x 无关，是对材料力学解答的修正。且当l x ±=时，梁的端面有正应力x σ，但端面上没有水平外力，所以x σ的表达式只满足了两端弯矩为零的条件，但未能消除两端的正应力。然而这组附加的水平力，即修正项显然也构成平衡力系。根据圣维南原理,这组附加力的效应是局部的,在远离两端部分可认为材料力学的公式是精确的。因此，通常认为长而低的细长粱此项可忽略不计，但对高梁，即短粗梁这项有显著影响。如梁中间截面处)2/,0(h y x ±==，x σ的最大值为

)151(322

22l

h h l q x +±=σ 上式括号中的第一项为主要应力，第二项反映修正应力.一般认为当h l 52<时，材料力学公式不再适用。

2)材料力学对该问题剪应力的解答与本精确解完全吻合。

3) 材料力学假设梁的纵向纤维之间互不挤压力，因此0=y σ，但本解答表明，除梁截面的下表面处外，其余部位0≠y σ，且x 无关，因此整个梁的纵向纤维之间均存在挤压力.

梁中应力分布如图6.5所示。

图6。5 简支梁截面应力分布示意图

4)位移计算

对于位移计算，其方法和步骤与悬臂梁的位移计算相同,即利用本构方程和 几何方程，并假定梁中间截面的形心)0(==y x 的水平位移等于零，而垂向位移为δ,经积分后可得

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫+-+++-+-++--=+-+-+-=δννν]121852)2061212(128121[2])12431(103231[2422222222422223243

232332x x h x h x l y h y y x y l y h y h y EI q v x h y h y xy h xy y x xy l EI q u (h) 由上面的位移表达式可以看出：

(1）由位移u 的表达式可知，梁的中性层并不在梁截面的中间层。在中间层0=y 处有水平位移

x h EI q u y 12

2)(30ν== (k) 由式（g)知，当0=y 时,12

23

h I q y -=σ,因此沿x 方向引起拉伸应变 122)(3

0h EI q E y

y x νσνε=-==

将上式积分，并注意当0=x 时，0=u ，则得式（k ）。

(2）由位移v 可得梁轴线（0=y ）的挠曲线方程为

)12

852(2)(222220x h h l EI qx v y -++-==νδ (m) 假设在梁中心轴线的两端(l x ±=)处，垂向位移0)(0==y v ，则得

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=24

))(254(531245l h EI ql νδ 上式右端括弧中的第一项所反映的挠度与材料力学根据平面假设而得出的结果相一致，括弧中的第二项反映剪应力的影响。

（3）将式（m)对x 求二阶导致，得挠曲线的曲率方程式

⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∂∂=)254(4)(21)(222022νh x l EI q x

v y

由该式可知，曲率并不与)(2

22x l q -成正比,方括号半的第二项是对材料力学近似曲率公式EI

M =ρ1

的修正. 必须指出的是，应用式(g ）也能解答梁两端固定的问题,为此，须取适当的支座反力矩0M ,并使粱的二端都满足0=∂∂x

v 或0=∂∂y u 的条件. 应注意,用多项式求解仅对低粱适用，对于高梁，两端的平衡力系要影响到跨度中部的应力。因此,须用其他形式的应力函数，例如三角级数的形式。

6。4 用三角级数求解弹性平面问题

前面一节是用代数多项式为应力函数求解弹性梁平面问题，对于一端受集中力悬臂梁的弯曲,用三次多项式为应力函数；对于受连续均布载荷的单跨粱，用五次多项式。增高多项式的幂次，可以求解受载荷更复杂的问题。但是整多项式只限于求解梁上载荷的分布是连续的，而且分布规律能用代数整函数表示的一些简单问题.如果载荷分布不是连续的，而且分布规律不能用代数整函数表示（图6。6），则可以用三角级数求解这类问题。载荷函数可展开为三角级数，应力函数也可以用三角级数表示。下面讨论用三角级数求解弹性平面问题。

图6.6 受非连续分布载荷深梁示意图

4.1应力函数的确级数表达

对于图6。6所示梁，取应力函数为

x y f y x αϕsin )(),(= （a ）

式中l

n πα=，n 是任意整数。将式(a ）代入双调和方程(6.2—5a),得常微分方程 0)()(2)(4"2)4(=+-y f y f y f αα （b) 该常系数线性微分方程的通解为

y yDsh y Cych y Bsh y Ach y f αααα+++=)( (c ） 将（c)式代入(a)式,得应力函数

)(sin ),(y Dysh y Cych y Bsh y Ach x y x αααααϕ+++= (d ） 当不计体力时，由相应的应力分量为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫+++++-=∂∂∂-=+++-=∂∂=+++++=∂∂=)]()([cos )(sin )]2()2([sin 22222222y ych y sh D y ysh y ch C y ch B y sh A x y x y Dysh y Cych y Bsh y Ach x x y ysh y ch D y ych y sh C y sh B y ch A x y xy y x ααααααααααααϕτααααααϕσαααααααααααααϕσ (6.4—1) 由于n 为任意整数，因此可得无穷多个函数ϕ，又因双调和方程(6.2—5a)是线性的，所以无穷多个函数ϕ之和也是双调和方程（6.2—5a)的解，即 )(),(1y ysh D y ych C y sh B y ch A x in s y x n n n n n αααααϕ+++=∑∞

= （6。4-2a) 不难证明，如取应力函数ϕ为

)(cos ),(''''1y ysh D y ych C y sh B y ch A x y x n n n n

n αααααϕ+++=∑∞= （6。4-2b) 也能满足双调和函数.因此，式（e)和（f ）之和也能满足双调和函数，所以应力函数ϕ可表示为如下级数形式

∑∑∞=∞=+++++++=1

''''1

)

(cos )

(),(n n n n n n n n n n y ysh D y ych C y sh B y ch A x y ysh D y ych C y sh B y ch A x in s y x ααααααααααϕ （6。4-2c) 4。2载荷函数

式(6。4-1)中的系数i A ，和'i A 需根据边界条件确定.这时应力边界条件必须展开为无穷级数的形式

x b x a a x q n n n n ααsin cos )(110∑∑∞

=∞=++= (6。4-3） 由数学分析知，将一函数在区域［l l ,-]展开成富里叶(Fourier ）级数(6。4-3）时，其系数(称作富里叶系数）为

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===

⎰⎰⎰---l l n l l n l l dx l x n x q l b dx l x n x q l a dx x q l a ππsin )(1cos )(1)(210 （6。4—4） 如果在梁的[a a ,-］边界上作用有均布载荷0q ，则富里叶系数为 ⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎬⎫========

⎰⎰⎰⎰⎰-----l l a a n l l n l l a a dx l x n l q dx l x n x q l b l a n n q dx l x n x q l a l a q dx l q dx x q l a 0sin sin )(1sin 2cos )(12)(2100000πππππ （6。4-5） 这样，对于该边界有

)cos sin 12(2)(10∑∞=+=n l

x n l a n n l a q x q πππ （6。4-6） 例 6.1 设一简支梁的中部上、下两表面，在a 2范围内对称地作用均布载荷q （如图6.7所示)。如此梁的

厚度为1个单位，不计体力，

试求其应力分量。

解:首先将载荷展开为富

里叶级数，最普遍的情况下，

上部边界(t y -=）和下部边界

（t y =）的载荷分别表示为 图6.7 局部受均布载荷简支粱

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++=++=∑∑∑∑∞===∞=∞

=-=l x n G l x n G G q l x n E l x n E E q n n b n t y d n n n n t y u ππππcos sin )(cos sin )(11'01'10 (d) 注意载荷实际作用区域为

⎭

⎬⎫<<--==<<-<<-==)(,)(,

0a x a q q q l x a ，，x l q q d u d u （e ） 式中00,G E 表示整个梁的均匀分布载荷，式(e)中的全部系数均可(6.4-4）中的富里叶系数的公式求出。

由图6.7可知,所示载荷对称于y 轴，是x 的偶函数，故式（d)的展开式只含