选修4-4高考题及答案

1.（2009年辽宁卷（23））（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （3

π

θ-）=1，

M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。

（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。

（23）解：（Ⅰ）由得1)3

cos(=-π

θρ,

1)sin 2

3

cos 21(=+

θθρ 从而C 的直角坐标方程为

)2

,332(3322)0,2(202

312321π

ρπθρθN M y x y x ，所以时，，所以时，即=

=

===+=+

（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为)332

,0( 所以P 点的直角坐标为

),6

,332(),33.

1(π

点的极坐标为则P

所以直线OP 的极坐标方程为),(,+∞-∞∈=ρρ

π

θ

2.（2010年辽宁卷(23)）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（θ

为参数，

πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），

已知P 为半圆C ：

O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为

3

π。

（I ）以O 为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；

（II ）求直线AM 的参数方程。

所以直

线OP 的极坐标

方程为),(,+∞-∞∈=ρρ

πθ

（2011年辽宁（23））（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程

3.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?

??==??sin cos y x （?为参数），曲线C 2的参数方程为

?

??==??sin cos b y a x （0>>b a ，?为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1

，C 2

各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=

2

π时，这两个

交点重合．

（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；

（II ）设当

α

=4

π时，l 与C 1

，C 2

的交点分别为A 1

，B 1

，当α=

4

π

-时，l 与C 1

，C 2

的交点为A 2

，

B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．

23．解：

（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.

当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），

（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.

当2

π

α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），

（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.

（II ）C 1，C 2的普通方程分别为2

2

2

21 1.9

x x y y +=+=和

当4

π

α=时，射线l 与C 1交点A 1

的横坐标为x =

，与C 2

交点B 1的横坐标为

x '=

当4

π

α=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，

B 1关于x 轴对称，因此， 四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2

.25

x x x x ''+-=

(10)

分

（2012辽宁23）. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参

数方程

在直角坐标系xOy 中，圆2

2

1:+=4C x y ，圆()2

2

2

:-2+=4C x y （1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12

,C C 的极坐标方程，并求出圆12

,C C 的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆1C 与圆2

C 的公共弦的参数方程

【命题意图】本题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程，是简单题. 【解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 解=2

=4cos ρρθ

???得=2,=3π

ρθ±，故圆

1

C 与圆

2

C 交点的坐标为

2,,2,-33ππ????

? ?????

……5分

注：极坐标系下点的表示不唯一 （2）（解法一）由=cos =sin x y ρθ

ρθ

??

?，得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为

((

,

故圆

1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1

=x y t

?≤?

? （

或

参

数

方

程写成

=1

=x y y y

?≤≤?? (10)

分

（解法二）

将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ

??

?，得cos =1ρθ，从而1

=cos ρθ

于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1-=tan 3

3x y ππ

θθ?≤≤

??

(2013辽宁，理23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ

，

πcos 4

ρθ??

- ??

?.

(1)求C 1与C 2交点的极坐标；

(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ

的参数方程为33,

12

x t a b y t ?=+??=+??(t ∈R

为参数)，求a ，b 的值．

解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.

解2224,40

x y x y ?+(-)=?+-=?得1

10,

4,x y =??=?222,

2.

x y =??

=? 所以C 1与

C 2交点的极坐标为π4,2?? ???

，π4?? ???

. 注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得122

b ab

y x =

-+. 所以1,2

12,2

b

ab ?=????-+=??

解得a ＝－1，b ＝2.

（2009全国新课标23） 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+?

（t

为参数），

C 2：8cos ,

3sin ,

x y θθ=??

=?（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什

么曲线；

（2）若C 1上的点P 对应的参数为2

t π

=，Q 为C 2上的动点，

求PQ 中点M 到直线

332,

:2x t C y t =+??

=-+?

（t 为参数）距离的最小值。

（Ⅰ）22

2

2

12:(4)(3)1,: 1.649

x y C x y C ++-=+=

1C 为圆心是（4,3)-，半径是

1的圆.

2C 为中心是坐标原点，焦点在

x 轴上，长半轴长是8，

短半轴长是3的椭圆.

（

Ⅱ

）

当

2

t π

=

时，

3

(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2

P Q M θθθθ--++故

3C 为直线35

270,|4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--==

--到的距离 从而当43

cos ,sin 55

θθ=

=-时，85.d 取得最小值

（2010全国二 23）已知直线C 1x 1t cos sin y t α

α=+??

=?（t 为参数），

C 2x cos sin y θ

θ

=??

=?（θ为参数），

（Ⅰ）当α=3

π

时，求C 1与C 2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （Ⅰ）当

3

π

α=

时，1C 的普通方程为3(1)y x =-，2C 的普通方程为

221 x y

+=

。联立方程组

22

1)

1

y x

x y

?=-

?

?

+=

??

，解得

1

C与2C的交点为（1,0

）

1

22

??

-

?

?

??

，。

（Ⅱ）

1

C的普通方程为sin cos sin0

x y

ααα

--=。

A点坐标为()

2

sin cos sin

ααα

-，

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：

()

2

1

sin

2

1

sin cos

2

x

y

α

α

αα

?

=

??

?

?=-

??

为参数

P点轨迹的普通方程为

2

2

11

416

x y

??

-+=

?

??。

故P点轨迹是圆心为10

4

??

?

??

，，半径为

1

4

的圆。

（2010全国一23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程

为

2cos

22sin

x

y

α

α

=

?

?

=+

?

（α为参数）

M是C1上的动点，P点满足2

OP OM

=

uu u v uuu v

,P点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

射线

3

π

θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

解析:（I）设P(x,y),则由条件知M(,

22

x y).由于M点在C

1

上，所以

2cos ,222sin 2x y αα??=????

????

=+????

即 4cos 44sin x y αα=????=+?? 从而2C 的参数方程为

4cos 44sin x y α

α

=??

=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为

8sin ρθ=。

射线3

πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3

π

ρ=，

射线3

πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3

π

ρ=。

所以21||||AB ρρ-==（2012全国一 23）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数???

?

?

?==，

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3

π

（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,

),(2,),(2,)3

636

π

πππ 点,,,A B C D

的直角坐标为1,1)--

（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ?

??

=??=?为参数

2

2

2

2

224440t PA PB PC PD x y =+++=++

25620sin [56,76]?=+∈

(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程为45cos ,

55sin x t y t =+??

=+?

(t

为参数)，以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程

为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

解：(1)将45cos ,

55sin x t y t =+??=+?

消去参数

t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －

5)2

＝25， 即C 1：x 2＋y 2

－8x －10y ＋16＝0.

将cos ,sin x y ρθρθ=??=?

代入

x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2

－2y ＝0.

由2222810160,20x y x y x y y ?+--+=?+-=? 解得1,1x y =??=?或0,2.x y =??=?

所以C 1与C 2

交点的极坐标分别为π4???，π2,2??

???

. (2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标

系与参数方程 已知动点P ，Q 都在曲线

C ：2cos ,2sin x t y t =??=?

(t

为参数)上，对应参数分

别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．

(1)求M 的轨迹的参数方程；

(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹

是否过坐标原点．

解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,

sin sin 2x y αααα

=+??

=+?(α为参数，0＜α＜2π)．

(2)M 点到坐标原点的距离

d ==＜α＜2π)．

当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．