第十一章无穷级数

第三讲常数项级数习题课

教学目的使学生灵活掌握各种正项级数的审敛法和交错级数的莱布尼兹审敛法，解决关于数项级数收敛性判别的具体问题．

教学重点1．一般项趋于零是级数收敛的必要条件，否则级数发散．

2．掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式，并能选择合适的参照级数（如P-级数）．

3．掌握正项级数的比值审敛法和根值审敛法，并能根据题型，合理选择两方法之一．

4．掌握交错级数的莱布尼兹审敛法．

5．熟悉绝对收敛与条件收敛的概念．

教学时数2学时

教学过程

一、知识要求回顾

1.数项级数收敛的基本性质和必要条件.

2.几何级数和级数的收敛与发散的条件.

3.正项级数的比较审敛法及极限形式.

4.正项级数的比值审敛法和根值审敛法.

5.交错级数的莱布尼兹审敛法.

二、练习

1.根据定义，判别级数的敛散性．

分析由于级数的一般项==．根据定义，我们只需判别部分和=是否有极限即可．

解部分和==

故,根据级数的收敛定义知此级数收敛．

2.判别级数的敛散性

分析首先判别级数的一般项是否趋于零．由级数收敛的必要条件知当不趋于零时，级数发散．若有，则再用其它的审敛法判断级数是否收敛．

解由于=

根据上述分析，由级数收敛的必要条件知级数发散．

小结判别是否趋于零，是首先要采用的措施，是判别级数发散性的简单而实用的方法．

3.判别级数的敛散性．

分析一般项=显然趋于零，又知分子sin(n+1)当n时无极限，但

有0，故可用比较审敛法，选择合适的参照级数做比较．解由于，而由P-级数的结论知级数收敛．根据正项级数的比

较审敛法知级数收敛．

4.判别级数的敛散性

分析显然有，考虑到该级数的一般项为n的有理分式函数，

分子的次数为1．分母的次数为3．故取P-级数作为参考级数，取P=3-1=2,即采用为参考级数．

解取级数作为参考级数，由于，且P-级数收敛．根据比较判别法的极限形式知级数级数同样收敛．

小结采用比较判别法（或极限形式）时，应对正项级数的一般项进行分析，作适当的放大或缩小，或者确定的等价无穷小或同阶无穷小的具体形式，通常选择P-级数或几何级数做参照比较．这就需要我们能熟练掌握一些无穷小的等价关系．

(1) 对于通项为n的有理分式函数，可取P-级数做参照级数，其中P=分母的次数减去分子的次数．

(2) 记住下列等价关系，能帮助我们比较容易的找到参照级数．

当时，有

～, ～, ～, , ～, ～

等等

例如利用上述等价关系，我们很容易地知道：

(1) 正项级数收敛，

(2) 正项级数收敛，

(3) 正项级数发散．

其它类似的问题也可根据等价关系得出相应结论．

5.判别级数的敛散性．

分析此级数的中含有因式乘积和阶乘项，故首先应考虑采用比值审敛法．

解

根据比值审敛法知此级数收敛．

6.判别级数的敛散性，

分析由于此级数一般项为的幂指函数形式，用比值审敛法会比较麻烦，故考虑采用根值审敛法．

解

根据根值审敛法知此级数收敛．

小结通过例5，例6说明，对于正项级数，若一般项中含有项，则首先应采用比值审敛法，若为的幂指函数形式时，则应采用根值审敛法．

7.判别级数的敛散性．

分析由于，而调和级数发散，故由比较审敛法知级数发

散，所以下一步需用莱布尼兹审敛法，来确定所给的交错级数是否满足条件收敛的两个条件．

解显然有，下面只需验证级数是否满足即可．

由于故有，即有，根据交错级数的莱布尼兹审敛法，知此级数收敛．且由于非绝对收敛，故此级数为条件收敛．

小结(1) 判别任意项级数条件收敛，必须证明两个方面的问题；

1)1)取绝对值后的正项级数发散（非绝对收敛）

2）任意级数本身收敛．

(2) 当交错级数非绝对收敛时，通常我们用莱布尼兹审敛法来判别其条件收敛．

8.判别下列级数的敛散性．

1）， 2）

分析本题两个级数都是交错级数（或任意项级数），故首先应确定一般项取绝对值

后所得正项级数是否收敛或发散．

解

由比值判别法知，级数收敛，故原级数绝对收敛．

设则有

由比值判别法知，故发散，并且知，因而，所以原级数也发散．

小结如果用比值审敛法或根值审敛法可以判别的收敛或发散，则立刻得知任意

项级数的敛散性，故也是判别任意项级数敛散性的方法之一．

作业习题11-2(206页) 4(4，5)，5(1，2，3，5)．

第十一章无穷级数(已改)

第十一章无穷级数一、常数项级数（A:§11.1,§11.2; B:§10.1,§10.2） Ⅰ、内容要求：（ⅰ）理解无穷级数敛散及和的概念。（ⅱ）记忆无穷级数收敛的必要条件，了解无穷级数的基本性质。（ⅲ）记忆等比级数和p 级数的敛散性。（ⅳ）掌握正项级数的比值审敛法，学会运用正项级数的比较审敛法及其极限形式，了解正项级数收敛的充要条件。（ⅴ）掌握交错级数的莱布尼兹定理，了解一般项级数绝对收敛与条件收敛的概念及关系。 Ⅱ、基本题型：（ⅰ）无穷级数基本性质的客观题。 1．是非题：（每题4分）（1）∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u ，反之亦然。（ ? ）（2）∑∞=1 n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =+1 )(n n n v u 必发散。（√ ）（ⅱ）涉及等比级数和p 级数敛散性的客观题。 2．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) ∑ ∞ =1 1n n (B) )1(1 ∑ ∞ =- n n (C) ∑ ∞ =--1 1 2 )1(n n n (D) ∑ ∞ =1 1n n 3．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∞ =1 3n n （B ）∑ ∞ =+1 3 1n n （C ）∑ ∞ =+1 1 n n n （D ）∑ ∞ =+1 3 1 1n n （ⅲ）运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。 4．判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1）∑ ∞ =+12 1 n n n （2）∑∞ =1 2sin n n π （3）∑∞ =+ 1 )11ln(n n （4）∑∞ =+1 )1 2( n n n n 解：（1）解：11 1 lim 2 =+∞→n n n n ∑ ∞ =1 1n n 发散 ∴ ∑ ∞ =+1 2 1 n n n 发散。

高等数学：第11章无穷级数自测题答案

《高等数学》单元自测题答案第十一章无穷级数一．选择题： 1.B ； 2. D ； 3.A ； 4.B ； 5.B ； 6.B ； 7. C ； 8.C . 二．填空题： 1. () ∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2 k . 三．判断题： 1. 解因为02121lim ≠=+∞ →n n n ，故级数发散. 2. 解因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n 发散，故原级数发散. 3. 解设n n n n u )13( +=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解因为()∑∞=-+1 212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n 收敛. 四．判断题： 1. 解 ()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=?+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛. 2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1 212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，故绝对值级数∑∞=-+-121 1 )1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1 )1(11,01lim 222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，

第十章无穷级数

第10章无穷级数【学习目标】 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。【能力目标】【教学重点】 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式；【教学难点】 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 5、泰勒级数；【教学方法】启发式、引导式【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课 §１第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6 第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课习题课 10. 1 常数项级数的概念和性质一、无穷级数的概念定义10.1 设有无穷序列 123,,, ,, n u u u u ??????, 则由此序列构成的表达式 123 n u u u u +++???++???称为无穷级数, 简称级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 如果(1,2,...)n u n =都为常数，则称该级数为常数项级数，简称数项级数；如果 (1,2,...)n u n =为变量x 的函数()n u x ，则称该级数为函数项级数. 二、数项级数的敛散性概念级数的部分和: 作级数∑∞ =1n n u 的前n 项和

第十一章-无穷级数(习题及解答)

第十一章无穷级数 §11.1 级数的概念、性质一、单项选择题 1. 若级数 1 n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C) 1q <； (D) 1q >．答(D)． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞=，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D)若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞=∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121 ()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B) 11n n ku kS ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞==∑； (D) 1 12 n n n u S v S ∞ ==∑．答(D). 4. 若级数1 n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 11 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D) n ∞ =收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B). 6. 若级数 ∑∞ =1n n a 发散， ∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D) ∑∞ =+1 22)(n n n b a 发散. 答(A).

高等数学第十一讲幂级数

第十一讲幂级数 §11.1 幂级数幂级数的一般概念.型如 ∑∞ =-0 0)(n n n x x a 和 ∑∞ =0 n n n x a 的幂级数.幂级数由系数数列 }{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞ =0 n n n x a 的幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一. 一、知识结构 1、幂级数的收敛域定理1（Abel 定理）若幂级数∑n n x a 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式| | ||x x <的任何x ,幂级数 ∑n n x a 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式 || ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散. 证明 ∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n n n n n n Mr x x x a x a ≤?=|| |||,其中 1 || <=x x r .∑+∞

（ⅰ）+∞<<ρ0时, R ρ 1 = ; （ⅱ）ρ=0时+∞=R ;（ⅲ） ρ=∞+时 0=R . 证明 ∞ →n lim =n n n x a ||∞ →n lim ||||||x x a n n ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的). ? …… 由于∞ →n lim ?=+ | || |1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数∑n n x a 的收敛区间:) , (R R - . 幂级数 ∑n n x a 的收敛域: 一般来说, 收敛区间?收敛域. 幂级数 ∑n n x a 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一. 2、幂级数的一致收敛性定理3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛. 证明 ?] , [b a ?) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈?x ] , [b a , 有 || ||n n n n x a x a ≤, 级数∑n n x a 绝对收敛, 由优级数判别法? 幂级数∑n n x a 在] , [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑n n x a 在区间) , (R R -内闭一致收敛. 定理4 设幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛, 则幂级数 ∑n n x a 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 . 证明 n n n n n R x R a x a ??? ??=. ∑n n R a 收敛, 函数列?? ??????????? ??n R x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数 ∑n n x a 在区间] , 0 [R 上一致收敛. 易见,当幂级数 ∑n n x a 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间

3幂级数展开 (1)

第三章幂级数展开函数有精确表示和近似表示：精确表示（解析表示）表示为初等函数通过四则运算；近似表示：逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算；级数表示 -表示为一个函数级数。

函数级数表示的意义：利用级数计算函数的近似值；级数法求解微分方程；以级数作为函数的定义；奇点附近函数的性态。

§3.1 复数项级数（一）复数项级数的概念 ++++=∑∞ =k k k w w w w 210 k k k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞=+=+=0 k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞ =0 k k w ∑∞ =0k k u ∑∞ =0k k v 这样复级数归结为两个实级数与，实级数的一些性质可移用于复级数。

（二）收敛性问题 1、收敛定义： 2、柯西收敛判据（级数收敛的充分必要条件）：对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时， , 1 ε<∑++=p n n k k w ,0∑==n k k n w S 前n+1项和当n → ∞，有确定的极限，便称级数收敛， S 称为级数和；若极限不存在，则称级数发散。 n n S S ∞ →=lim

3、绝对收敛级数若收敛，则绝对收敛. ∑ ∑ ∞ =∞ =+=1 220 ||k k k k k v u w ∑∞ =0 k k w , ,0 B q A p k k k k ==∑∑∞ =∞ =AB c q p q p n n k l l k k k k k ===?∑∑∑∑∑∞ =∞=∞=∞=∞=0 00 ∑-=n k n k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序，和不变. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积.

第10章无穷级数习题详解

第十章无穷级数习题10-1 3. 判定下列级数的敛散性: （1）∑∞ =- +1)1(n n n ; （2）∑ ∞ =+-1 ) 12)(12(1 n n n ; （3） ++++?+?) 1(13212 11n n ; （4） ++++6 πsin 6 π2sin 6 πsin n ; （5）∑∞ =+ +-+1 )122(n n n n ; （6） ++ + + 4 3 3 1 3 1 3 13 1; （7）2 2 111111()()()323 2 3 2 n n -+-++- + ; （8） ++-+++++1 2129 77 55 33 1n n ; （9）)(1 21 12-∞ =+- ∑n n n a a （0a >）; (10) ++ + ++ + + ++ n n ) 11(1) 311(1) 211(11 1113 2 . 解（1）因为 11)1()34()23()12(-+= - +++- +- +-=n n n S n 当 ∞→n 时，∞→n S ，故级数发散. （2）因为 )1211 21 ( 21 )12)(12(1 +- -= +-n n n n ) 12)(12(1 7 515 313 11 +-+ +?+ ?+?= n n S n )]1 211 21 ( )5 131()3 11[(2 1+- -+- +-=n n ]1 21 1[2 1+- = n , 当∞→n 时，2 1→n S ，故级数收敛. (3) 因为 1 11) 1(1+-= +n n n n ， ) 1(14 313 212 11++ +?+ ?+?= n n S n

第十一章无穷级数

第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质 1、由P189性质2引出的类似问题（考研经常考到这类选择题）：（1） 1 n n u ∞ =∑、 1n n v ∞ =∑都为收敛级数 ① 级数 1()n n n u v ∞ =±∑收敛 ② 级数 1 ()n n n u v ∞ =?∑收敛（2） 1 n n u ∞ =∑收敛， 1 n n v ∞ =∑发散 ① 1()n n n u v ∞ =±∑必发散 ② 1 ()n n n u v ∞ =?∑不一定发散，有可能收敛。例如，当1()2n n u =、1(1)n n v -=-时，级数231 1111 ()()()2222 n n n u ∞ == +++++∑ 必收敛（这是一个等比级数，公比1 112q -<=<），级数11(1)1(1)n n v ∞==+-++-+∑ 发散，但是对于级数1 ()n n n u v ∞=?∑而言，由于 1 1 ||n n n n n u v u ∞ ∞ ==?=∑∑收敛，即1 ()n n n u v ∞ =?∑绝对收敛，那么1 ()n n n u v ∞ =?∑本身也收敛。（关于绝对收敛P201页，你复习了后面的内容后就会理解这个例子了）（3） 1 n n u ∞ =∑、 1n n v ∞ =∑都发散 ① 1 ()n n n u v ∞ =±∑不一定发散，有可能收敛。当n n u v =-，且1 n n u ∞=∑发散时，那么1 n n v ∞ =∑也发散，而 1 ()000n n n u v ∞ =+=++++∑ 必收敛。同样当n n u v =时，且1 n n u ∞ =∑发散时，

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章无穷级数

第十一章无穷级数教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；