四种命题与充要条件
四种命题与充要条件 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
常用逻辑用语与充要条件
【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．
1．命题的定义
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p；否命题为若┐p则┐q；逆否命题为若┐q则┐p.
(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．
命题真假判断的方法：
(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．
(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．
(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．
3．充分条件与必要条件的定义
(1)若pq且q p，则p是q的充分非必要条件．
(2)若qp且p q，则p是q的必要非充分条件．
(3)若pq且qp，则p是q的充要条件．
(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若AB，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(2)若BA，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．充分、必要条件的判定方法
(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)传递法．
(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若AB，则p是q的充分条件；②若BA，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．(4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表：
2.
(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有
的”等．
3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
注：
1．逻辑联结词“或”的含义
逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或
x∈B”，是指：x∈A且xB；xA且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”
是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．
2．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系． 3．含一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析 依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B.
2．(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B
解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为
全称量词“任意一个”，故选B 。
2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3 答案 A
解析 从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确．
【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <.”的逆否命题是（）
A ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
B ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数
C ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
D ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数
命题“若
x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是
( )
A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数
B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数
C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数
D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 C
解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.
5．与命题“若a ∈M ，则bM ”等价的命题是( ) A ．若aM ，则bM B ．若bM ，则a ∈M C ．若aM ，则b ∈M
D ．若b ∈M ，则aM 解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D. 答案：D
4．下列命题中为真命题的是
( )
A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题
B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A
解析对于A，其逆命题：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|＝，必有x>y；对于
B，否命题：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题：若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.
2．已知命题p：n∈N,2n＞1000，则┐p为()．
A．n∈N,2n≤1000 B．n∈N,2n＞1000
C．n∈N,2n≤1000 D．n∈N,2n＜1000
解析特称命题的否定是全称命题．即p：x∈M，p(x)，则┐p：x∈M，┐p(x)．故选A.
答案 A
4．(2012·湖北改编)命题“存在x0∈R Q，x∈Q”的否定是
()
A．存在x0D∈/R Q，x∈Q B．存在x0∈R Q，xD∈/Q
C．任意xD∈/R Q，x3∈Q D．任意x∈R Q，x3D∈/Q
答案 D
解析“存在”的否定是“任意”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.
命题“存在x0∈R Q，x∈Q”的否定是“任意x∈R Q，x3D∈/Q”，故应选D.
1．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定
．．是
()
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
答案 D
解析由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．
2．(2012·辽宁改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则┐p是()
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
答案 C
解析┐p：存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
2．(2012·安徽)命题“存在实数x，使x>1”的否定
．．是
()
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析利用特称命题的否定是全称命题求解．
“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.
11．给出以下三个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；
②在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；
③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()
A．①B．②C．③D．②③
答案(1)A(2)B
解析(1)不等式2x2＋x－1>0的解集为，故由x>2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D/x>，故选
A.
(2)在△ABC中，由正弦定理得sin A＝sin Ba＝bA＝B.故选B.
6．下列结论：
①若命题p：存在x∈R，tan x＝1；命题q：对任意x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p且┐q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为________．
答案①③
解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且┐q为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.
5．下列命题中正确命题的序号是________．
①若ac2>bc2，则a>b；
②若sinα＝sinβ，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
答案①③④
解析对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°D/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2A1B2＝A2B1，即－2a＝－4aa＝0且A1C2≠A2C1，所以③对；对于④显然对．
6．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
答案[3,8)
解析因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
以下命题是真命题的序号是________．
(1)“若f(x)是奇函数，则f(－x)也是奇函数”的逆命题；
(2)“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题；
(3)“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；
(4)“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的逆否命题；
【解析】对于(4)，只需证明原命题为真，∵a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)2＝9.
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝9，从而3(a2＋b2＋c2)≥9，∴a2＋b2＋c2≥3成立．
【答案】(1)(3)(4)
2．下列命题中正确的是
()
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件
C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α
D．命题“x∈R,2x>0”的否定是“x0∈R,2x0≤0”
答案 D
解析对A，只有当p，q全是真命题时，p∧q为真；对B，sinα＝α＝2kπ＋或2kπ＋，
k∈Z，故“sinα＝”是“α＝”的必要不充分条件；对C，l⊥β，α⊥βl∥α或lα；对D，全称命题的否定是特称命题，故选D.
15．给出下列四个命题：
①命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”的逆否命题；
②“x0∈R，使得x－x0>0”的否定是：“x∈R，均有x2－x<0”；
③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，p且q为真命题．
其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)
答案①④
解析对①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，
所以其逆否命题亦为真命题，①正确；
对②，命题“x0∈R，使得x－x0>0”的否定应是：
“x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；
对③，因由“x2＝4”得x＝±2，
所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；
对④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确10．给出下列命题：
①x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋log x2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是
()
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
答案 A
解析①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋≥2，得
x>1；③中由a>b>0，得<，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．
12．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；
⑤“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，
由m>1.
故⑤正确．
答案：②③⑤
3．设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手．如图：
x2＋y2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x2＋y2≥9时，x>3且y≥3并不一定成立，当x＝2，y＝3时，x2＋y2≥9，但x>3且y≥3不成立；而x>3且y≥3时，x2
＋y2≥9一定成立，故选B.
一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．
4．“a>0”是“|a|>0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析因为|a|>0a>0或a<0，所以a>0|a|>0，但|a|>0a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件，故选A. 5．0＜x＜5是不等式|x－2|＜4成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析由|x－2|<4，得－2 6．(2012·陕西)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 解析由a＋为纯虚数可知a＝0，b≠0，所以ab＝0.而ab＝0a＝0，且b≠0.故选B项．7．(2012·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的() A．既不充分也不必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．充要条件 解析∵x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数， ∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数． 当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2， ∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立． 反之：x∈[3,4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1,0]， ∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)． ∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数． ∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[0,1]时，f(x)是增函数，故选D. 8．(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 解析因为x≥2且y≥2x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件，故选择A. 9．已知a、b是实数，则3a＜3b是log3a＜log3b的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解析由题知，3a＜3b a＜b，log3a＜log3b0＜a＜b.故3a＜3b是log3a＜log3b的必要不充分条件．故选B. 10．(2012·天津)设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“AB”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析a＝3时A＝{1,3}，显然AB. 但AB时，a＝2或3.所以A正确． 6．(2013·陕西)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的 () A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C 解析由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1. 即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|. (1)已知p：－4 则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)． 因为q是p的充分条件，则有AB， 则所以－1≤a≤6. 13．设p：<0，q：0 __________． 答案(2，＋∞) 解析p：0 8．已知p：x∈R，mx2＋2≤0，q：x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是 () A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 答案 A 解析∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题． 由p：x∈R，mx2＋2≤0为假命题， 由绨p：x∈R，mx2＋2>0为真命题， ∴m≥0. ① 由q：x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题， 得绨q：x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m)2－4≥0m2≥1m≤－1或m≥1. ② 由①和②得m≥1，故选A.