四种命题与充要条件

常用逻辑用语与充要条件

【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．

1．命题的定义

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p .

(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

命题真假判断的方法：

(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．

(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．

(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．

3．充分条件与必要条件的定义

(1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件．

(2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件．

(3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件．

(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有

(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件；

(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．充分、必要条件的判定方法

(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．

(2)传递法．

(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．

(4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．

(2)简单复合命题的真值表：

p q ┐p ┐q p或

q

p且

q

┐(p或q)

┐(p且

q)

┐p或

┐q

┐p且

┐q

真真假假真真假假假假

真假假真真假假真真假

假真真假真假假真真假

假假真真假假真真真真

2.

(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有

的”等．

3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题．

(2)含有存在量词的命题叫特称命题．

4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.

注：

1．逻辑联结词“或”的含义

逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x?B；x?A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”

是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．

2．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．

3．含一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B.

2． (2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案 B

解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

答案 A

解析从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命

题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确．

【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <.”的逆否命题是（ ）

A ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

B ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

C ．若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

D ．若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

命

题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是

( )

A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数

B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数

C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数

D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 C

解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.

5．与命题“若a ∈M ，则b ?M ”等价的命题是( ) A ．若a ?M ，则b ?M B ．若b ?M ，则a ∈M C ．若a ?M ，则b ∈M

D ．若b ∈M ，则a ?M 解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D. 答案：D

4． 下列命题中为真命题的是

( )

A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题

B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题

C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题

D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题

答案 A

解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝???

?

?

y (y ≥0)－y (y <0)

，必有

x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 2．已知命题p ：?n ∈N,2n

＞1 000，则┐p 为( )． A ．?n ∈N,2n

≤1 000 B ．?n ∈N,2n

＞1 000 C ．?n ∈N,2n ≤1 000

D ．?n ∈N,2n

＜1 000

解析 特称命题的否定是全称命题．即p ：?x ∈M ，p (x )，则┐p ：?x ∈M ，┐p (x )．故选A. 答案 A

4． (2012·湖北改编)命题“存在x 0∈?R Q ，x 30∈Q ”的否定是

( )

A ．存在x 0D ∈/?R Q ，x 30∈Q

B ．存在x 0∈?R Q ，x 3

0D ∈/Q

C ．任意x

D ∈/?R Q ，x 3∈Q D ．任意x ∈?R Q ，x 3D ∈/Q 答案 D

解析 “存在”的否定是“任意”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈/Q .

命题“存在x 0∈?R Q ，x 30∈Q ”的否定是“任意x ∈?R Q ，x 3D ∈/Q ”，故应选D.

1． (2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是

( )

A ．所有不能被2整除的整数都是偶数

B ．所有能被2整除的整数都不是偶数

C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D

解析 由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．

2． (2012·辽宁改编)已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则┐p 是( ) A ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C

解析 ┐p ：存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.

2． (2012·安徽)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．是

( )

A ．对任意实数x ，都有x >1

B ．不存在实数x ，使x ≤1

C ．对任意实数x ，都有x ≤1

D ．存在实数x ，使x ≤1 答案 C

解析 利用特称命题的否定是全称命题求解．

“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；

②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；

③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．①

B ．②

C ．③

D ．②③

答案 (1)A (2)B

解析 (1)不等式2x 2＋x －1>0的解集为????

??x ??

x >12或x <－1，故由x >1

2?2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ?/x >1

2

，故选A.

(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ?a ＝b ?A ＝B .故选B. 6． 下列结论：

①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p 且┐q ”是假命题；

②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a

b ＝－3；

③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________． 答案 ①③

解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且┐q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③. 5． 下列命题中正确命题的序号是________． ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；

③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；

④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 答案 ①③④

解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ?/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2?A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ?a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．

6． 已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 答案 [3,8)

解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 以下命题是真命题的序号是________．

(1)“若f (x )是奇函数，则f (－x )也是奇函数”的逆命题； (2)“若x ，y 是偶数，则x ＋y 也是偶数”的否命题； (3)“正三角形的三个内角均为60°”的否命题； (4)“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的逆否命题；

【解析】 对于(4)，只需证明原命题为真，∵a ＋b ＋c ＝3，∴(a ＋b ＋c )2＝9. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝9，从而3(a 2＋b 2＋c 2)≥9，∴a 2＋b 2＋c 2≥3成立． 【答案】 (1)(3)(4) 2． 下列命题中正确的是

( )

A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题

B ．“sin α＝12”是“α＝π

6

”的充分不必要条件

C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α

D ．命题“?x ∈R,2x >0”的否定是“?x 0∈R,2x 0≤0” 答案 D

解析 对A ，只有当p ，q 全是真命题时，p ∧q 为真；对B ，sin α＝12?α＝2k π＋π

6或2k π＋

5π6，k ∈Z ，故“sin α＝12”是“α＝π

6”的必要不充分条件；对C ，l ⊥β，α⊥β?l ∥α或l ?α；对D ，全称命题的否定是特称命题，故选D. 15．给出下列四个命题：

①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；

②“?x 0∈R ，使得x 20－x 0

>0”的否定是：“?x ∈R ，均有x 2－x <0”；

③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；

④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }?{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号) 答案 ①④

解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确；

对②，命题“?x 0∈R ，使得x 20－x 0

>0”的否定应是： “?x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错； 对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，

所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；

对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确10．给出下列命题： ①?x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；

③“若a >b >0且c <0，则c a >c

b ”的逆否命题；

④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是

( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③④

D ．②③④

答案 A

解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋

1

log 2x

≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1

b ，而

c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p

且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确． 12．给出下列命题：

①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；

⑤“若m >1，则mx 2

－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)

解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2

－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，

由?

??

?? m >0Δ＝4m ＋1

2

－4m m ＋3<0

??

????

m >0

m >1?m >1.

故⑤正确． 答案：②③⑤

3．设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x >3且y ≥3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 B

解析 结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手．如图：

x 2＋y 2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x 2＋y 2≥9时，x >3且y ≥3并不一定成立，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2≥9，但x >3且y ≥3不成立；而x >3且y ≥3时，x 2＋y 2≥9一定成立，故选B.

一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可． 4．“a >0”是“|a |>0”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 因为|a |>0?a >0或a <0，所以a >0?|a |>0，但|a |>0a >0，所以a >0是|a |>0的充分不必

要条件，故选A.

5．0＜x ＜5是不等式|x －2|＜4成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

解析 由|x －2|<4，得－2

6．(2012·陕西)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b

i 为纯虚数”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 由a ＋b

i

为纯虚数可知a ＝0，b ≠0，所以ab ＝0.而ab ＝0

a ＝0，且

b ≠0.故选B 项． 7．(2012·重庆)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”

是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( ) A ．既不充分也不必要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．充要条件

解析 ∵x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数． 当x ∈[3,4]时，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2，

∴f (x )＝f (x －4)．∴x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，充分性成立． 反之：x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，x －4∈[－1,0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)． ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数．

∵y ＝f (x )是偶函数，∴x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，故选D.

8．(2011·天津)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 解析 因为x ≥2且y ≥2?x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝7

4，满

足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件，故选择A.

9．已知a 、b 是实数，则3a ＜3b 是log 3a ＜log 3b 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 由题知，3a ＜3b ?a ＜b ，log 3a ＜log 3b ?0＜a ＜b .故3a ＜3b 是log 3a ＜log 3b 的必要不充分条件．故选B.

10．(2012·天津)设x ∈R ，则“x >1

2”是“2x 2＋x －1>0”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3． (2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ?B ”的

( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ?B . 但A ?B 时，a ＝2或3.所以A 正确．

6． (2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 C

解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.

即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |.

(1)已知p ：－4

【解析】 设q ，p 表示的范围为集合A ，B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ?B ，

则?

????

a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6. 13．设p ：

x

x －2

<0，q ：0

答案 (2，＋∞)

解析 p ：02.

8． 已知p ：?x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：?x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m

的取值范围是

( )

A ．[1，＋∞)

B ．(－∞，－1]

C ．(－∞，－2]

D ．[－1,1]

答案 A

解析 ∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题． 由p ：?x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 由綈p ：?x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题， ∴m ≥0.

①

由q ：?x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题， 得綈q ：?x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0?m 2≥1?m ≤－1或m ≥1.

②

由①和②得m≥1，故选A.