四种命题与充要条件

常用逻辑用语与充要条件

【高考考情解读】1?本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的

命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查 2试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下.

1. 命题的定义

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.

2?四种命题及其关系

(1) 原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若 q则p:否命题为若「 p贝归q;逆否命题为若二q贝归P ?

⑵原命题与它的逆否命题等价：逆命题与它的否命题等价?四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假.

命题真假判断的方法：

⑴对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明.若判断其为假命题只需举出一个反例.

(2) 对于复合命题的真假判断应利用真值表.

(3) 也可以利用互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假.

3. 充分条件与必要条件的定义

(1) 若p? q且q p，则p是q的充分非必要条件.

(2) 若q? p且p―q，则p是q的必要非充分条件.

(3) 若p? q且q? p，则p是q的充要条件.

(4) 若p―q 且 q—p，则 p是q的非充分非必要条件.

设集合A={x|x满足条件p}, B= {x|x满足条件q}，则有

⑴若A? B,则p是q的充分条件，若A B,则p是q的充分不必要条件；

⑵若B? A,则p是q的必要条件，若B A则p是q的必要不充分条件；

⑶若A= B,则p是q的充要条件；

(4) 若A? B,且B? A,则p是q的既不充分也不必要条件.

2 ?充分、必要条件的判定方法

(1)定义法，直接判断若 p则q、若q则p的真假.

⑵传递法.

⑶集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A={x|p(x)} , B= {x|q(x)}, 则①若A? B,则p是q的充分条件；②若B? A则p是q的必要条件；③若A= B,则p是q 的充要条件.

⑷等价命题法：利用 A? B与「B? n A, B? A与「A? n B, A? B 与n B? n A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础.

热点分类突破解斬离考

1. 简单的逻辑联结词

(1) 命题中的“且”、“或“非”凹作逻辑联结词.

(2) 简单复合命题的真值表：

2. 全称量词与存在量词

(1) 常见的全称量词有“任意一个” “一切”“每一个” “任给”“所有的”—

(2) 常见的存在量词有“存在一个”“至少有二个” “有些”“有一个” “某个”“有的”等.

3. 全称命题与特称命题

(1) 含有全称量词的命题叫全称命题.

(2) 含有存在量词的命题叫特称命题.

4. 命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.

（2）p或q的否定：非p且非q； p且q的否定:非p或非q.

注:

1. 逻辑联结词“或”的含义

逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同?如“x€ A或x€ B” , 是指：x € A且x?B; x?A且x€ B； x€ A且x€ B三种情况.再如“ p真或q真”是指：p 真且q假；p 假且q真；p真且q真三种情况.

2. 命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.

3. 含一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

1. （2013皖南八校）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）

A .“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B .“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D .“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数.选 B.

2. （2012湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）

A .任意一个有理数，它的平方是有理数

B .任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D .存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案 B

解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选 B。

2. 已知a, b, c€ R，命题“若a+ b + c= 3,贝U a2+ b2+ c2>3”的否命题是（）

A .若 a+ b + C M 3,贝U a2+ b2+ c2<3

B .若 a+ b + C= 3,则 a2+ b2+ C2<3

C.若 a+ b + C M 3,贝U a2+ b2+ C2> 3

D .若 a2+ b2+ C2》3，贝V a+ b+ C= 3

答案 A

解析从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别.命题的否命

A. 若log a 2 0，则函数

B. 若log a 2 0，则函数

C. 若log a 2 0，则函数

D. 若log a 2 0，则函数f (x) log a x(a 0,a

f (x) lo

g a x(a 0,a

f (x) lo

g a x(a 0,a

f (x) lo

g a x(a 0,a

1）在其定义域内不是减函数

1）在其定义域内不是减函数

1）在其定义域内是减函数

1）在其定义域内是减函数

【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数f（x） log a x（a 0,a 1）在

其定义域内是减函数，则log a 2 0. ”的逆否命题是（

【答寛】A

【解析】先对命题肮逆，然后取否可得攜若1吧2仝贝廊数丁⑴二1%辰Q 0卫疋1）

在其定义域內不是减函数匕遗丄厶

叩题“若x, y都是偶数，则x+ y也是偶数”的逆否命题是（）

A .若x+ y是偶数，则x与y不都是偶数

B .若x+ y是偶数，则x与y都不是偶数

C.若x+ y不是偶数，则x与y不都是偶数

D .若x+ y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案 C

解析由于“x, y都是偶数”的否定表达是“x, y不都是偶数”，“x+ y是偶数”的否定表达是“ x+ y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x + y不是偶数，则x, y不都是偶数”，故选C.

5. 与命题“若a€ M则b?M等价的命题是（）

A.若a?M 则b?M

B.若b?M 则a€ M

C.若a?M 则b€ M

D.若b€ M 则a?M

解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题, 所以只需写出原命题的逆否命题即可.故选 D 答案：D

4.下列命题中为真命题的是( )

A .命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题

B .命题“若x>1，则x2>1 ”的否命题

C.命题“若x= 1,贝U x2+ x- 2= 0”的否命题

D .命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题

答案 A

y y>0

解析对于A ,其逆命题：若x>|y|，贝U x>y,是真命题，这是因为x>|y|= ,必有x>y;

—y y<0

对于B,否命题：若x<1,贝U x2<1，是假命题.如 x=— 5, x2= 25>1;对于C,其否命题：若X M1，贝U x2+ x—2丰0,因为x=— 2时，x2+ x— 2= 0,所以是假命题；对于 D，若x2>0，则 x>0或x<0,不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选 A.

2. 已知命题p： ? n€ N,2n>1 000，则「p 为(

).

A. ? n€ N,2n<1 000

B. ? n€ N,2n>1 000

C. ? n€ N,2n w 1 000

D. ? n€ N,2n v 1 000

解析特称命题的否定是全称命题.即p: ? x € M p(x)，则「p: ? x € Mr p(x).故选A.

答案 A

4. (2012湖北改编)命题“存在X0€ ?R Q, x0 € Q”的否定是()

A .存在 X0D € /?R Q, x0 € Q

B .存在 X0€ ?R Q,X3D€ /Q

C.任意 xD € /?R Q , x3€ Q D .任意 x€ ?R Q , x3D € /Q

答案 D

解析“存在”的否定是“任意”，x3€ Q的否定是x3D € /Q.

命题“存在X0€ ?R Q, x0€ Q”的否定是“任意x€ ?R Q, x3D € /Q ”，故应选D.

1. (2011安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定.是()

A .所有不能被2整除的整数都是偶数

B .所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D .存在一个能被2整除的整数不是偶数

答案 D

解析由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.

2. (2012 辽宁改编)已知命题 p:对任意 X1, x2 € R, (f(X2)— f(x1)) (x2— X1)>0，则r p 是()

A .存在 X1 , X2 € R , (f(X2) — f(X1))(X2— X1)w 0

B .对任意 X1 , X2 € R , (f(X2) — f(X1))(X2— X1) <0

C.存在 X1 , X2 € R , (f(X2) — f(X1))(X2— X1)<0

D .对任意 X1, X2€ R , (f(X2)— f(X1))(X2— X1)<0

答案 C

解析r p：存在 X1, X2€ R, (f(x2) — f(X1))(X2 — X1)<0.

2. (2012安徽)命题“存在实数x,使x>1 ”的否定是()

A .对任意实数x,都有x>1

B. 不存在实数x,使x<1

C. 对任意实数X ,都有X W 1

D. 存在实数x,使x<1 答案 C

解析利用特称命题的否定是全称命题求解.

“存在实数x,使x>1 ”的否定是“对任意实数x,都有X W 1”.故选C.

11. 给出以下三个命题：

①若 ab w 0,贝U a<0 或 b<0;

②在△ ABC 中，若 sin A= sin B,贝U A= B;

③在一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0中，若b2— 4ac<0,则方程有实数根.

其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()

A .① B.② C.③ D .②③

答案(1)A (2)B

、 1 1

解析⑴不等式2x2+ x— 1>0的解集为x x>?或x<— 1 ，故由x>2? 2x2+ x— 1>0 ,但2x2+ x

1

—1>0D? /x>2,故选 A.

⑵在△ ABC中，由正弦定理得 sin A= sin B? a= b? A= B.故选B.

6. 下列结论：

①若命题p：存在x€ R , tan x= 1;命题q：对任意x€ R , x2— x+ 1>0.则命题“ p且「q”是假命题；

a

②已知直线I仁ax+ 3y— 1 = 0, I2： x+ by+ 1= 0,则h丄12的充要条件是￡ =— 3;

③命题“若x2— 3x+ 2= 0,则x = 1”的逆否命题：“若X M1,则x2— 3x+ 2丰0”.

其中正确结论的序号为_________ .

答案①③

解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且「q为假命题，故①正确；

②当b= a= 0时，有11丄|2，故②不正确；③正确.所以正确结论的序号为①③.

5. ___________________________________ 下列命题中正确命题的序号是 .

①若 ac2>bc2，则 a>b;

②若 sin a= sin 3 贝a= B;

③“实数a= 0”是“直线x— 2ay= 1和直线2x— 2ay= 1平行”的充要条件；

④若f(x)= Iog2x,则f(|x|)是偶函数.

答案①③④

解析对于①，ac2>bc2, c2>0, ??? a>b 正确；对于②，sin 30 = sin 150 D° /30 = 150 ° 所以②

错误；对于③，11// |2? A1B2= A2B1,即—2a = — 4a? a = 0且A1C2工A2C1，所以③对；对于④显

然对.

6. _______________________________________________________________________________ 已知p(x) ：x2+ 2x— m>0,如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，贝U实数m的取值范围为____________ .

答案［3,8)

解析因为p(1)是假命题，所以1 + 2 — m W 0,

解得m>3;又因为p(2)是真命题，所以 4+ 4— m>0,

解得m<8.故实数m的取值范围是3 W m<8.

以下命题是真命题的序号是_________ .

(1) “若f(x)是奇函数，则f( — x)也是奇函数”的逆命题；

(2) “若x, y是偶数，则x+ y也是偶数”的否命题；

⑶“正三角形的三个内角均为60 °的否命题；

⑷“若a+ b+ c= 3,贝U a2+ b2+ c2》3”的逆否命题；

【解析】对于(4)，只需证明原命题为真，T a + b + c= 3,「. (a+ b+ c)2= 9.

??? a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2bc+ 2ca= 9,从而 3(a2+ b2+ c2)》9a2+ b2+ c2>3 成立.

【答案】⑴(3)(4)

2. 下列命题中正确的是()

A .若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“ p A q”为真命题

B. “ sin a= 是“ a=n的充分不必要条件

2 6

C. l为直线，a, B为两个不同的平面，若I丄B, a丄则I// a

D .命题“ ？x€ R, 2x>0”的否定是“ ？x o € R,2x o W 0”

答案 D

解析对A，只有当p, q全是真命题时，p A q为真；对B , sin a= ￡? a= 2k n+^-J或 2k n+5n,

2 6 6

k € Z ,故“sin a='”是“ a= n的必要不充分条件；对C, I丄B a丄I // a或l? a；对D ,

2 6

全称命题的否定是特称命题，故选 D.

15.给出下列四个命题：

①命题“若a= B,则cos a= cos B的逆否命题；

②“ ？X0€ R，使得 x2— X0>0” 的否定是：“ ？x€ R，均有 x2— x<0”；

③命题“ x2= 4”是“ x=— 2”的充分不必要条件；

④p: a € {a, b, c} , q: {a}? {a, b, c}, p 且 q 为真命题.

其中真命题的序号是_________ .(填写所有真命题的序号)

答案①④

解析对①，因命题“若a= B,则cos a= cos B'为真命题，

所以其逆否命题亦为真命题，①正确；

对②，命题“？x o€ R，使得x0 — x o>O”的否定应是：

“? x€ R，均有x2— x<0”，故②错；

对③，因由“x2= 4”得x= ±2,

所以“x2= 4”是“x=— 2”的必要不充分条件，故③错；

对④，p, q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确10.给出下列命题：

①？x€ R，不等式x2+ 2x>4x— 3均成立；

②若 Iog2x+ Iog x2>2,贝V x>1 ；

③“若a>b>0且c<0 ,则c>c”的逆否命题；

a b

④若p且q为假命题，则p, q均为假命题.

其中真命题是()

A .①②③ B.①②④ C.①③④ D .②③④

答案 A

解析①中不等式可表示为(x— 1)2+ 2>0,恒成立；②中不等式可变为Iog2x+ — >2，得x>1；

Iog2x

1 i

③中由a>b>0，得-<-,而c<0,所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为

a b

假只能得出p, q中至少有一个为假，④不正确.

12. 给出下列命题：

①原命题为真，它的否命题为假；

②原命题为真，它的逆命题不一定为真；

③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；

④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；

⑤“若m>1,则mf— 2( nu 1) x + 3>0的解集为R'的逆命题.

其中真命题是________ .(把你认为正确命题的序号都填在横线上)

解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，. _ 2

②③正确.又因为不等式mx— 2(mu 1)x+ nu 3>0的解集为 R,

n>0 m>0

由2? ? m>1.

A = 4 mU 1 —4m mU 3 <0 m>1

故⑤正确.

答案：②③⑤

3. 设x, y€ R，则“ x2+ y2>9”是“ x>3 且y》3”的()

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件

答案 B

解析结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手?如图:

X2+ y2>9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当 x2+ 卄9时，x>3且y》3并不一定成立，当x= 2, y= 3时，x2+ y2>9,但x>3且y>3不成立；而x>3且y》3时，x2+ y2>9 一定成立，故选 B.

一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命

题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也

不是单纯的小于?进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进

行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可.

4. a>o”是’ai>o 的（）

A .充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析因为ai>0? a>0或a<0，所以a>0? |a|>0,但|a|>0 a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件，故选

A.

5. 0 V X V 5是不等式x — 2|<4成立的（）

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C.充要条件 D .既不充分也不必要条件

解析由|x— 2|<4，得一2

条件。

6. （201

2陕西）设a, b€ R, i是虚数单位，则“ ab= 0”是“复数a+ b为纯虚数”的（）

A .充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件

解析由a+ b为纯虚数可知a= 0, b丰0,所以ab= 0.而ab= 0「a= 0,且b* 0.故选B项.

i

7. （2012重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“ f（x）为［0,1］上的增函数” 是“ f（x）为［3,4］上的减函数”的（）

A.既不充分也不必要条件

B .充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D .充要条件

解析■/ x€ ［0,1］时，f（x）是增函数，又T y= f（x）是偶函数，

二x€ [ — 1,0]时，f(x)是减函数.

当 x€ [3,4]时，x— 4€ [ — 1,0]，: T= 2,

??? f(x)= f(x— 4) .??? x€ [3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立.

反之：x€ [3,4]时，f(x)是减函数，x— 4€ [ — 1,0],

T = 2 ,? f(x) = f(x— 4).

? x€ [ — 1,0]时，f(x)是减函数.

?/y= f(x)是偶函数，? x€ [0,1]时，f(x)是增函数，故选 D.

& (2011 天津)设 x, y€ R，则“ x>2 且 y》2” 是“ x2+ y2>4” 的()

A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件

解析因为x>2且y》2? x2+ y2>4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x= y= 7满

4

足x2+ y2》4，但不满足X》2且y》2，所以X》2且y》2是x2+ y2》4的充分而不必要条件，故

选择A.

9. 已知a、b是实数，则3a v 3b是Iog3a v log3b 的()

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分也不必要条件

解析由题知，3a v 3b? a v b，log s a v log3b? O v a v b.故 3a<3b是 log s a v log3b 的必要不充分条件.故选B.

1

10. (2012 天津)设 x€ R，则“ x>2” 是“ 2x2+ x— 1>0” 的()

A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3. (2013 福建)已知集合 A= {1，a}，B= {1,2,3}，则“ a = 3” 是“ A? B” 的()

A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案 A

解析 a = 3时A = {1,3}，显然A? B.

但A? B时，a = 2或3?所以A正确.

6. (2013 陕西)设 a，b 为向量，则“ |ab|= |a||b|” 是“ a// b” 的()

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

答案 C

解析由 |a||b||cos〈 a， b>|= |a||b|，则有 cos〈 a， b>= ±1.

即〈a， b>= 0或n所以a // b.由a // b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b> = 0或

n 所以 |a b|=|a||b|.

⑴已知p: - 4

则 A= (2,3), B= (a — 4, a+ 4).

因为q是p的充分条件，则有A? B,

a — 4 w 2,

则所以一1 w a w 6.

a + 4》3,

x

13. 设p：— <0 , q : 0

答案 (2,+^ )

解析 p: 02.

&已知 p: ? x€ R, mx2+ 2W 0, q： ?x€ R, x2— 2mx+ 1>0,若 p V q 为假命题，则实数的取值范围是()

A . [1 ,+s )

B . (— a, —1]

C. ( —^,— 2] D . [ — 1,1]

答案 A

解析T p V q为假命题，??? p和q都是假命题.

由p: ? x€ R, mx2+ 2w 0为假命题，

由綈p： ? x€ R, mx2+ 2>0为真命题，

?m》0. ①

由 q : ? x€ R, x2— 2mx+ 1>0 为假命题，

得綈q： ? x€ R, x2— 2mx+ 1w0为真命题，

?△= (— 2m)2— 4>0? m2>1? m W — 1 或 m》1.

由①和②得m》1,故选A.