12-13高等数理逻辑期末试卷(附答案).docx

2012-2013第一季度期末考试试题

一、填空题(30分，每空3分)

1 ?判断下列命题公式的类型

(1)-i(p T q)人q为—矛盾式一

(2)((〃T g)人〃)T g为重言式

(3)(p T q)八q为___ 可满足式

(4)V%(F(x) v G(X)) t (VxF(x) v VxG(x))为一可满足式一

(5) (VxF(^) v VxG(x)) T Vx(F(^) v G(X))为重言式

2.设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A 上等价关系。如果R是「自反的、反对称的和传递的—,则称R为A上的偏序关系，简称偏序。记做S

3.凡是形式推演性所反映的前提和结论之间的关系，在非形式的推理中都是成立的。因此形式可推演性并不超出非形式推理的范围。这称为一可靠炸一定理。

4.公式A中，原子公式出现的数目为n；zm 出现的总数是m,那么n和

m的关系是m二ml _______ 。

5，h，A,v}, {-"和{「,T}是联结符号完备集，这样看来，好像在联结符

号的完备集中不能缺少否定符号，实际上并非如此。在我们讨论过的8个常用联结符号中，有2 个联结符号单独具有完备性。

6.在第1题的5个公式中，有4 个公式是协调的。

二、计算证明题(70分)

1.构造下面推理的证明。(10分)

刖提：—1(/2 A —1^) , —\C{ v r ,—if

结论：-ip

2?证明厶"的公式的长度不能是2,3,或6,但其他的长度都是可能的。(10分) 3?写出公式(A㈠B)㈠t C) t (B t C)］的合取范式。(10分)

4.证明以下两道题目。(10分)

(1) (A^B)<-^C㈠C) (5 分)

(2) (A T C)V(B T C)(A V B)^C (5 分)

5 ?证明：设工是极大协调集。那么，对于任何A, Z A当且仅当A G Z O (10分)

6.设三w Fonn(L p)。证明存在唯一的真假赋值满足工，当U仅当对于任何A, Z A 和刀「A中恰好有一个成立。(10分)

7设Z.uZ,是不可满足的公式集，其中的纭和工2是不空集。证明存在公式A,

使得乙A, Z2 Ao (10分)

2011-2012第一季度期末考试试题

一、填空题(30分，每空3分)

1.如果是真，q是假，尸是真，贝lj

(a)-1(〃vg v 厂)(-1〃人一?q人一1厂)真值是__ 。

(b)(—1# —> q) T (―v p)的真值是____ o

2.如果个体域为自然数集合，A(x,y)表示= Bgy)表示厂=兀，贝lj

(a) Vx3yA(x, y)的真值是0 。

(b)y)的貢-值是 1 o

3.1和200之间不能被5或6,也不能被8整除的数的个数是一120_ 。

4.设A = ｛0,1,2,3｝, R是A上的关系,且有

R =｛〈0,0〉,〈0,3),〈2,0〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,2)｝,则

(a)R 的自反闭包是尺二｛〈0,0〉,〈0,3〉,〈2,0〉,〈2,2〉,(2,3〉,〈3,2〉〈1,1〉,〈3,3〉｝

(b)R 的对称闭包是只二｛〈0,0〉,〈0,3〉,〈3,0〉〈2,0〉,〈0,2〉

〈2,2〉,〈2,3),〈3,2〉｝

5.讨论问题是在某个语言中进行的，如果所讨论的对象本身是语言，则耍涉及两个不同层次的语言。被讨论的语言称为一对象语言,比如形式语言。讨论问题时所用的语言称为一元语言一，比如自然语言汉语。

6.广中的公式长度不能是(2,3或6),但其他长度是可能的。

二、计算证明题(70分)

1 ?在命题逻辑中，将下列命题符号化，或者写出推理的形式结构。(10分)

(a)只有诚信参加考试，你才能得之坦然。

解：qfp、其中p：诚信参加考试，q：你得之坦然

(b)不经历风雨，不能见彩虹

解：-ip,其屮，p：经历风雨，q：见到彩虹

(C)如果中国队去南非参加世界杯，我就去南非。中国队没去南非参加世界杯, 所以我没去南非。

解：((〃Tg)人T-iq ,其中p：中国队去南非参加世界杯，q：我去南非

2.在一阶逻辑屮，将下列命题符号化，或者写岀推理的形式结构。(10分)

(a)不存在正方形的足球。

解：-i(3%(F(x) A G(X))),其中F (x)： x是足球,G(x):x是正方形的

(b)有重因子的自然数全是正数。

解：Vx(F(x) A G(x) W(x)),其中F(x):x 是自然数,G(x):x 有重因子,H(x):x

是正数

(c)凡人都是要死的。苏格拉底诗人，所以苏格拉底是要死的。

解：X/兀(F(x)TGCr))AF(d)TG(a),其中，F(x):x 是人，G(x):x 是要死的，a：

苏格拉底

3.设|A| = 4, |P(B)| = 32, |P(AuB)| = 128,求

(a) \AnB\ (b) \A-B\ (C)\A?B\

解:因为|P(B)| = 32,所以网=5

因为|P(AuB)| = 128,所以|AuB| = 7

AnB|=|A| + |B|-|AoB| =3+5-7=l

A- B =|/l|-|y4n B =3-1=2 \A? fi|=|AoB|-|AnB| =7-1=6

4.证明｛「，人｝是全功能集。(10分)

证明：根据范式存在定理，在一命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范

式，而范式里面只含有「，人2 ,因此只需证明v可由｛「，人｝定义，就可以证

明｛i,A｝是全功能集了。事实上，pYq = 7WT)。这样就完成了证明。

5.公式A中，原子公式出现的数目为g 今出现的总数是m证明m二n+1.

（注意：同一个原子公式和人等都可以在A中有多次岀现。）（10分）

证明：对公式的生成过程的结构做归纳证明即可。

6?判断并说明，对于怎样的n,含有n个A的公式（???（（/! t A）t小…）t A是重

言式。（10分）

解:n=2ko

7.设工封闭于形式可推演性。证明工是极大可协调的，当且仅当对于任何A, E含并只含A和「A中之一。（10分）

证明：先证充分性。用反证法，假设》不是极人可协调的，那么又分别为两种情况：第一种，工是协调的，但不是极大协调的；第二种，》不是协调的。先说第

一种，存在公式A幺工，使得Su{A}也是协调的。那么-T A G L,这样就有

A并KLu{A} 「人，矛盾。再说第二种，存在公司A,使得丫A并且》-u4,由于刀封闭于形式可推演性，就有工同时含有A和V,矛盾。

再证必要性也用反证法。假设不是对于任何A,工含并且只含A和"中之一，那么又分两种情况：第一种，存在为不含A也不含V；第二种：工同时含

有A和7。先说第一种，因为工是协调的，那么工A和工至少有一个不

成立，不妨设E 不成立，那么Zo{A} A并且没有Xu{A} -v4,从而

也是协调的，这与工是极大协调的相矛盾。第二种，就有工A并且Z 「A,与刀是协调的相矛盾。