平面解析几何初步(知识点+例题)

海豚教育个性化简案

学生姓名：年级：科目：

授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时

教学目标1. 掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式；

2. 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;

3. 掌握圆的标准方程和一般方程.

重难点导航1. 了解解析几何的基本思想；

2. 了解用坐标法研究几何问题的方法.

教学简案：

一、真题演练

二、个性化教案

三、个性化作业

四、错题汇编

授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象

（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况

（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：

海豚教育个性化教案（真题演练）

1.(2014年河南)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（）

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于

一、

海豚教育个性化教案

平面解析几何初步

知识点一：直线与方程

1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在.

2. 直线的斜率：αtan ),(211

21

2=≠--=

k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

3．直线方程的五种形式

【典型例题】

例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2

3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴

平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．

【举一反三】

1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°

2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3

3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）

A ．7

B ．－

77 C ．77

D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．

例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上

练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：

例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2

3

++x y 的最大值与最小值.

变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么x

y

的最大值为（ ） A.2

1

B.

3

3 C.

2

3 D.3

例4.：已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．

练习：直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点． （1）当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； （2）当MB MA ?取最小值时，求直线l 的方程．

知识点二：直线与直线的位置关系

一：两条直线的平行和垂直：

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有

① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 二：点到直线的距离、直线与直线的距离

1. 点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2

2

00B

A C By Ax d +++=

．

2. 两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2

2

21B

A C C d +-=．

三：两条直线的交角公式

若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则 1．直线l 到l 的角θ满足12tan k k -=

θ．2．直线l 与l 所成的角(简称夹角)θ满足1

2tan k k -=θ．

五：五种常用的直线系方程.

①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).

②与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).

③过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.

④与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).

⑤与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).

【典型例题】

例1：已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,

（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.

练习：若直线l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时，直线l1与l2分别相交？平行？垂直？重合？

例2：已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角

π，求直线l的方程．

为

4

练习：某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220

1.（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α,tanα=

2试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？

例3：直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．

练习：三条直线l 1：x+y+a=0，l 2：x+ay+1=0，l 3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a 的取值范围。

例4：设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点p ，使PB PA +为最小，并求出这个最小值．

练习：已知过点A （1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．

知识点三：圆与方程

1. 圆心为C(a 、b)，半径为r 的圆的标准方程为2

22)()(r b y a x =-+-（0>r ）．

2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F>0)，圆心为)2

,2(E

D --

，半径r ＝F E D r 42

1

22-+=

． 3．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程的充要条件是① 0≠=C A ；

② 0=B ；③ 0422>-+AF E D ．

4. 过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为(x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1)+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(1≠λ)． 例1. 根据下列条件，求圆的方程．

(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上． (2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6．

练习：求过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线x －2y －3=0上的圆的方程．

例2：已知圆x 2+y 2

+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径

练习：已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；

（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程

例3：知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点

（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y 的最大值和最小值； （3）求

1

2

--x y 的最大值和最小值

练习：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-

（1）求y-x 的最大值和最小值；（2）求x 2+y 2的最大值和最小值

例4：设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。

练习：如图，图O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．

O 1

O 2

N M

P

知识点四：线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C 到直线l 的距离为d ，则直线与圆的位置关系满足以下关系：

相切?d ＝r ?△＝0；相交? ? ；相离? ? 2．圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R 和r(R≥r)，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下条件：

外离?d > R ＋r ；外切? ；相交? ；内切? ；内含? 。 3. 圆的切线方程

（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．

（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ． （3）过圆220x y Dx Ey F ++++=上的点),(00y x P 的切线方程为:

0000()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++

++=． (4) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200xx yy r +=

(5) 若P(0x ,0y )是圆2

2

2

()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=

（6）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径， 即r d =，求出k ；或利用0=?，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =． 例1：过⊙：x 2＋y 2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．

（1）求过点P 的圆的切线方程．（2）若切点为P 1、P 2求过切点P 1、P 2的直线方程．

【举一反三】

1. 已知点P(1，2)和圆C ：022

2

2

=++++k y kx y x ，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )

A.k ∈R Ｂ.k ＜

3

3

2Ｃ.23

03

k -

<<2323

33

k -

<< 2. 设集合A={（x,y)|x 2＋y 2≤4},B={(x,y)|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)},当A∩B=B 时，r 的取值范围是 （ ） A ．（0， 2 －1） B ．（0，1] C ．（0，2－ 2 ] D ．（0， 2 ] 3. 若实数x 、y 满足等式(x-2)２

＋ｙ２

＝３，那么

x

y

的最大值为( ) A.

2

1Ｂ.

33 Ｃ.2

3 Ｄ.3 4. 过点M )2

3,3(--且被圆252

2=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 ．

例2：求经过点A(4，－1)，且与圆：x 2＋y 2

＋2x －6y ＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程．

练习：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程．

例3：已知直线l ：y ＝k(x ＋22)(k≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．△AOB 的面积为S ．（1）试将S 表示为k 的函数S(k)，并求出它的定义域．（2）求S(k)的最大值，并求出此时的k 值．

练习：点P 在直线0102=++y x 上，PA 、PB 与圆422=+y x 相切于A 、B 两点，求四边形PAOB 面积的最小值．．

例4：已知圆C 方程为：2224200x y x y +---=，直线l 的方程为：（2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4=0． （1）证明：无论m 取何值，直线l 与圆C 恒有两个公共点。

（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求出此时的m 值．

练习：已知圆系()2222220x y ax a y +-+-+=，其中a ≠1,且a ∈R,则该圆系恒过定点 ．

1. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )

A.63a

B.66a

C.22a

D.12a

1．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）

A ．524=+y x

B ．524=-y x

C ．52=+y x

D ．52=-y x 2．若1(2,3),(3,2),(,)2

A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）

Ａ．

21 Ｂ．2

1

- Ｃ．2- Ｄ．2 3．直线x a y

b

221-=在y 轴上的截距是（ ）

A ．b

B ．2

b - C ．b 2

D ．±b

4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)

C ．(3,1)

D ．(2,1)

5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行

B ．垂直

C ．斜交

D ．与,,a b θ的值有关

6. 方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。

7. 与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 8. 已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为

9. 一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。

10. 直线3

13

y x =-

+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2

P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值。