9.如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN.
(1)证明AC⊥NB;(2)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
【解析】如图,
建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).
(1)∵MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN,∴l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是
思想方法一、函数与方程思想 姓名: 方法1 构造函数关系,利用函数性质解题 班别: 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论,从而使问题得到解决,称为构造函数解题。通过构造函数,利用函数的单调性解题,在解方程和证明不等式中最为广泛,解题思路简洁明快。 例1 (10安徽)设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是( ) ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> (1) 讨论函数()f x 的单调性; (2) 证明:若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量,揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中,对变量的理解要选择更加合适的角度,先选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系,再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ,使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程,求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式,我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是( ) 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????
高中数学七大数学基本思想方法 第一:函数与方程思想 (1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用。 (2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 第二:数形结合思想 (1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面 (2)在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系,形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化。 第三:分类与整合思想 (1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 (2)从具体出发,选取适当的分类标准。 (3)划分只是手段,分类研究才是目的。 (4)有分有合,先分后合,是分类整合思想的本质属性。 (5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究,重点考查学生思维严谨性与周密性。 第四:化归与转化思想 (1)将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决题化归为已解决问题。 (2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 (3)高考重视常用变换方法:一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 第五:特殊与一般思想 (1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识。 (2)由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 (3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反复认识过程。 (4)构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用特殊值、特殊方程。 (5)高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 第六:有限与无限的思想 (1)把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路。 (2)积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 (3)立体几何中求球的表面积与体积,采用分割的方法来解决,实际上是进行有限次分割,再求和求极限,是典型的有限与无限数学思想的应用。 (4)随着高中课程改革,对新增内容考查深入,必将加强对有限与无限的考查。 第七:或然与必然的思想
第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。 4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间,求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析:0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方,其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解,由的图象可知,要使二根都在,之间,只需,(3)0f >, ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立,解得,故, 例2. 解不等式x x +>2 解:法一、常规解法: 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202
高中数学新课标学习心得体会 通过对新课标的学习,本人有一些心得体会,现汇报如下: 一、课程的基本理念 总体目标中提出的数学知识(包括数学事实、数学活动经验)本人认为可以简单的这样表述:数学知识是“数与形以及演绎”的知识。 1、基本的数学思想 基本数学思想可以概括为三个方面:即“符号与变换的思想”、“集全与对应的思想”和“公理化与结构的思想”,这三者构成了数学思想的最高层次。基于这些基本思想,在具体的教学中要注意渗透,从低年级开始渗透,但不必要进行理论概括。而所谓数学方法则与数学思想互为表里、密切相关,两者都以一定的知识为基础,反过来又促进知识的深化及形成能力。 2、重视数学思维方法 高中数学应注重提高学生的数学思维能力。数学思维的特性:概括性、问题性、相似性。数学思维的结构和形式:结构是一个多因素的动态关联系统,可分成四个方面:数学思维的内容(材料与结果)、基本形式、操作手段(即思维方法)以及个性品质(包括智力与非智力因互素的临控等);其基本形式可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种类型。 3、应用数学的意识 增强应用数学的意识主要是指在教与学观念转变的前提下,突出主动学习、主动探究。 4、注重信息技术与数学课程的整合 高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合,整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。在保证笔算训练的全体细致,尽可能的使用科学型计算器、各种数学教育技术平台,加强数学教学与信息技术的结合,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 5、建立合理的科学的评价体系 高中数学课程应建立合理的科学的评价体系,包括评价理念、评价内容、评价形式评价体制等方面。既要关注学生的数学学习的结果,也要关注他们学习的过程;既要关注学生数学学习的水平,也要关注他们在数学活动中表现出来的情感态度的变化,在数学教育中,评价应建立多元化的目标,关注学生个性与潜能的发展。 二、课程设置
“函数思想”在高中数学中的教学及意义 【内容摘要】函数在高中数学的全部体系中,具有极其重要的地位,拥有起承转合的功能,为了给学习更多的函数及导数、极限与积分打下稳固的根基,在高中数学学习中要重点学习函数的奇偶性、单调性还有周期性等性质。此文特别研究“函数思想”的教育与突出意义,希望得到师生的看重。 【关键词】高中数学函数思想意义 一、学习函数的重要性 关于函数的定义,在初中时会学到,但是在高中还会在初中数学的根基下继续拓展新的含义,重点是关于映射的理论,这些新概念需要学生加深对函数理论、思维、含义的掌握,必须明白之中的关联,找出函数思想的真义,才可以在遇到实际问题时灵活多变
地利用函数思想处理难题。“函数思想”体现了认识来源于实践这一哲学认识论,它来源于我们的社会活动,而函数中变量的概念也印证了人类社会在量变和质变统一中的永久性变化,所以,关于量变的一些实际问题能够用“函数思想”来解决。 德国的克莱因和英国的贝利,是函数出现在中学阶段的数学教材的关键人物。克莱因的观点是,函数概念和思想是数学教育的一部分,他说过函数是数学教育的主题,需要将所有的数学教学内容都放置在函数概念四周,综合运用。中学数学教学任务与函数思想紧密连接,在高中数学中灌输函数思想需要一线数学老师的研究,本文章就是浅议函数思想。 在函数思想讲解的初级阶段,老师起初要引出学生对函数思想的兴趣,了解函数的初步含义,调动学生的热情。教师需要分层讲解函数思想的定义,使学
生掌握函数思想的重点,全面认识函数思想的深度含义,接着,教师再概括归纳出逻辑性性强的函数定义。函数关系可以看作是通向两个变量间的路,通过特定的数学关系把两者连接在一起。 对于高中函数思想的教学来说,具有四个关键意义,有函数的知识导向功能、考试导向功能、应用导向功能和教育导向功能。知识导向功能表示的是函数思想作为高中数学的主体,在高中数学中所占份额很大,是打造高中数学全部知识的框架,因此掌握好函数有益于理解其它知识点,提升眼界,锻炼数学思维。函数的应用导向功能是指通过函数思想解决日常生活中的实际问题。函数思想的考试导向是指高考数学卷中有关函数的题型比例大。函数思想的教育导向功能是指学生创设和运用函数模型,来解决生活中的数学的实际问题,提升学生的综合素质,比如思考意识和
高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言
美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法
数形结合思想在高中数学教学中的应用 更新时间:2018-9-25 19:11:00 浏览量:1250 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想,在高中数学教学中,必须要注重对这种思想的应用,培养学生的数形结合意识,从而提高学生的知识能力。针对这种情况,文章对数形结合思想在高中数学教学中的应用进行了相应的分析和探讨。 【关键词】数形结合思想;高中数学教学;应用 数形结合思想在高中数学教学中的应用,有利于提高学生的数学知识能力,培养学生的思维能力和解题能力,提升学生的学习效果。但是在当前高中数学教学过程中,对于数形结合思想的实际教学应用尚有不足,因此需要注重强化数形结合思想在教学中的应用,采取有效的应用措施,从而提升教学质量和效果。 一、高中数学数形结合教学的现状 (一)数形结合教学意识不足 当前在我国高中数学教学过程中,数形结合的教学思想还没有得到充分应用,对于相应思想的教学运用尚有不足。随着我国课程教学改革工作的不断推进,传统的应试教学观念已经逐渐被人们所摒弃,在高中数学教学中越来越注重对学生数学能力和思维能力的培养。但是在实际教学中,大部分教师还停留在传统的教学模式上,只重视对学生数学基础和应试能力的培养,忽视了数形结合教学思想在教学中的应用。在这种教学观念的影响下,
学生的综合素质发展受到了一定的限制,教学过程忽视了对学生的数学思维能力和数形结合意识的培养,使得教学效果受到了一定的影响。并且在教学过程中,由于教师过于注重学生的成绩,导致学生在学习中逐渐出现了高分低能的现象,不利于学生未来的发展。 (二)传统教学模式的制约 传统的教学模式是影响高中数学教学发展的一个重要因素,同时也限制了数形结合思想在高中教学中的应用。在高中数学教学中,传统的教学模式大都采用填鸭式、满堂灌的教学方式,由教师主导整个课堂教学活动,向学生进行知识的灌输。在这种教学模式下,学生只能被动地接受教师的知识灌输。数形结合教学思想分散在教学之中,没有形成一定的教学规模,导致学生的数形结合意识较弱。并且严重忽视了学生的学习主体性以及学生之间的个体差异,导致学生的学习积极性和学习兴趣逐渐下降,甚至会影响到学生的学习质量和效率。 二、数形结合思想在高中数学教学中的应用分析 在高中几何数学中,可以通过观察图形,建立“数”与“形”的对应关系,找到解决问题的方法。也可以通过几何图形将数量的关系形象地展示出来,在图形上分析数量之间的关系,进而解决问题。几何图形和数量關系是相辅相成的,数量可以在图形上展示出来,也可以用数量关系来表达图形联系。例如:在例1的教学中,直接将数量关系转化成式子不容易,但是教师
数形结合 实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知,则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析:判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数,画y a y x x a ==|||log |出两个函数图 象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B )。 例2. 解不等式x x +>2 令,,则不等式的解,就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标, y x 2=如下图,不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由,解得,,,x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习:设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ,则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同 实数解的充要条件是( ) 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>>c ,设P :函数x c y =在R 上单调递减,Q :不等式12>++c x x 的解集为R ,如 果P 与Q 有且仅有一个正确,试求c 的范围。 因为不等式12>++c x x 的几何意义为:在数轴上求一点)(x P ,使P 到)2(),0(c B A 的距离之和的最小值大于1,而P 到AB 二点的最短距离为12>=c AB ,即2 1> c 而P :函数x c y =在R 上单调递减,即1高中数学学习技巧与经验总结 高中数学八大学习技巧 (1)制定计划使学习目的明确,时间安排合理,不慌不忙,稳打稳扎,它是推动我们主动学习和克服困难的内在动力,但计划一定要切实可行,既有长远打算,又有近期安排,执行过程中严格要求自己,磨炼学习意志。(2)课前预习是上好新课、取得较好效果的基础。课前预习不仅能培养自学能力,而且能提高学习新课的兴趣,掌握学习的主动权。预习不是走过场,要讲究质量,力争在课前把教材弄懂,理清哪些内容有疑问或看不明白,分别标识下来,形成期待老师解析的心理定势。这种需求的心理定势必将调动我们的学习热情和高度集中的注意力。上课时就着重听老师所讲的自己疑问和不明白的地方以及老师的解题思路,把握重点,突破难点,尽可能把问题解决在课堂上。(3)上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。学然后知不足,课前预习过的同学上课更能专心听课,他们知道什幺地方该详,什幺地方可以一带而过,该记的地方才记下来,而不是全抄全录,顾此失彼。听讲课是获取知识的最佳捷径。老师传授的是经过历史验证的真理,是老师长期学习和教学实践的精华。因此提高课堂效率尤为重要。那幺课堂效率如何提高呢?a、做好课前准备。精神上的准备十分重要。保持课内精力旺盛、头脑清醒,是学好知识的前提条件。另外,上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小说、下棋、打牌、激烈争论等。以免上课后还喘嘘嘘,或不能平静下来。b、集中注意力。思想开小差会分心等一切都要靠理智强制自己专心听讲,靠意志来排除干扰。c、认真观察、积极思考。不要做一个被动的信息接受者。要充分调动自己的积极性,紧跟老师讲课的思路,对老师讲解积极思考。结论由学生自己的观察分析和推理而得,会比先听现成结论的
高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合,“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合。 实质:将抽象的数学语言与直观图形结合起来;将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化,复杂问题简单化。 应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化: (1)集合的运算及韦恩图; (2)函数及其图象; (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象; (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线. 以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法. 以数助形常用有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想,即根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决. 原则:化整为零,各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤: 1)明确讨论对象,确定对象范围; 2)确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏; 3)逐类讨论,获得阶段性结果; 4)归纳总结,得出结论。 常见的分类情形有:按数分类;按字母的取值范围分类;按事件的可能情况分类;按图形的位置特征分类等.
3.函数与方程思想 函数思想,即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数,结合初等函数的图象与性质,加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题; 方程思想,即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时,要注意函数,方程与不等式之间的相互联系和转化,应做到: (1)深刻理解函数f(x)的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换),熟练掌握基本初等函数的性质。 (2)密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题;掌握二次函数基本性质,二次方程实根分布条件,二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将,问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想。 转化,是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程; 化归,是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的;不等价转化则部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正。 原则:化难为易、化生为熟、化繁为简,尽量是等价转化. 常见的转化有:正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.
高中数学思想方法 ] 高中数学学习思想的培养 高中数学学习思想的培养 简单地说,思想是方法中的方法,方法是思想的具体实现。思想内在地统一各种方法,是方法的萌芽阶段。方法必然受思想的指导。基于思想方法的辩证统一,在这里我将结合 数学基础知识的研习,一并探讨数学思想方法的研习。 前人已为我们总结归纳论述了大量的数学思想方法,现在的问题是如何把这些别人的 思想方法变成自己的思想方法。 一、大量收集整理 大量收集、整理各种各样的数学思想方法,网络上的、书籍上的都要。问题是思想方 法也是无穷无尽的,这个收集整理阶段要到什么时候才能结束?一个判断方法就是,出现 重复,重复到一定程度就可以适可而止了。我们还可以以重复的程度来判断数学思想方法 的普遍性与重要性。 二、初步归类总结 按照一定的标准根据进行初步归纳分类总结,形成一个大致的体系网络框架。下面挂 一漏万地阐述一下。 如按应用领域可划分为:数学研究方法、数学学习方法、数学教学方法。按普遍性程 度可划分为:哲学方法论、一般科学方法论、具体科学方法论。数学方法至少包含上面的 三个领域、三个层次。它们相互联系,表现为相互渗透相互转化。我们就是要通过初步的 归纳分类总结来初步把握揭示它们之间的联系。 如抽象与概括、归纳与演绎、归类与分类、比较与类比、分析与 综合,既可认为是哲学方法论层次的也可认为是一般科学方法论层次的,两者之间只 有一条很细的线,如果你站在哲学的高度来反思论证阐述,那它就是哲学方法论;如果你 着眼于如何在科学上具体运用完善,那它就是一般科学方法论。 抽象与概括在数学上主要表现为理想化与模型化方法;归纳与演绎在数学上主要表现 为数学归纳法与公理化和形式化方法;比较与类比在数学上是一种很重要的数学猜想方法;其实各种数学方法都是各种哲学方法的组合,并不是像上面表现的那样简单化、线性化。 如公理化与形式化方法就主要包含了演绎、抽象;数学模型法也包含了抽象、分类、演绎、还有计算。
高中数学老师工作心得总结 高中数学老师工作心得总结时光匆匆,一个学期就这样过来,又到总结的时候。下面是x给你准备的高中数学老师工作心得总结x,希望能帮助到大家高中数学教师工作总结x一不知不觉这一学期即将过去,通过对教学的实践,对学生学情的掌握,以及对精讲多练教学要求的认识,我逐步适应了这个层次学生的接受能力,学生也慢慢适应了我的这种教学模式。这是对我的一个检验,也使得我对教学有了更深层次的认识,为以后的教学做更充足的准备。以下是我在教学过程中的一些认识和感想 一、根据学生学情教学在教学中,我们常常把自己学习数学的经历作为选择教学方法的一个重要参照,我们每一个人都做过学生,我们每一个人都学过数学,在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐,紧张、痛苦和欢乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪。 但是,在开始的上课过程中,我常常看到学生茫然的眼神,伏案会周公的情形,以及一声声的老师,我听不懂让我的内心觉得非常的不安,我是不是讲的太难了太艰涩难懂了回头想想,发现自己是以以前自身作为学生的情况来考虑教学,并没有更多的考虑现在学生的情况。这时候,我认识到我们已有的数学学习经历还不够给自己提供更多、更有价值、可用作反思的素材。这时候就应该站在学生的角度,从学生的观点出发,参考并制定适合
他们的教学方法,每个学生的情况都未必相同,理应先考虑大多数学生的学习情况,然后可以适当的进行针对性的备课与教学。 二、备课小组组内交流探讨这一年来通过与同事和学生代表交流,一致认为不应该急于求成赶进度,应该将学生的基础夯实,并将初中的部分相关知识点融入到课堂教学中。新课程对教学过程的要求是用生动的课堂过程激发学生的对数学的兴趣,让学生理解所学的基本知识点,把握学生在一节课内的学习成果,加强学生对解题过程的理解,使学生掌握自主探索的能力最后才是让学生对知识点的应用。 通过对教学过程的探讨与交流,我们高一备课组成员达成对精讲多练教学要求的共识,在今后的教学过程中,力争做到精讲多练,更好地提高课堂教学的有效性。 三、认真听取学生对数学课的意见和建议由于在课堂教学过程中,第一周的学生情况不是很好,上课睡觉的学生大有人在,作业完成情况也不乐观,解题格式不清楚,概念混淆等情况时有发生。因此,我经常把他们对数学课的感受以及意见和建议都写在纸条上交上来无记名方式,我在阅读他们的意见和建议的过程中,发现了许多自身的不足和学生的基本情况。 1.讲多练少。这一点在之后的教学过程中已经逐步改善。 2.课堂例题应以课本为主,出题要有针对性,还要从易到难逐步递进。
高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著,它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想:"数学不是别的东西,而只是从定义和公理推导出来的一组结论,而这些定义和命题除了必须不矛盾外,可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之,这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要,重要的是做了什么。这样,数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间;它的意义不存在于形式的抽象中,也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家,这可能是个问题,但却是数学的巨大力量所在--我们称它为,所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣,基于已有的数学背景知识,选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合;函数与方程 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范
高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容.函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,已知3121312,0,0a S S =><. (1)求公差d 的取值范围; (2)指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大,并说明理由. 【分析】 (1)利用公式n a 与n S 建立不等式,容易求解d 的范围;(2)利用n S 是n 的二次函数,将n S 中哪一个值最大,变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】(1) 由3a =12a d +=12,得到1a =12-2d , 所以12S =121a +66d =12(12-2d )+66d =144+42d >0, 13S =131a +78d =13(12-2d )+78d =156+52d <0. 解得:2437 d -<<-. (2)解法一:(函数的思想) n S =21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- =22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <,故212452n d ????-- ???????最小时,n S 最大.
数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石,所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问题利用形来观察,提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决的方法,简言之,就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法,称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1.转换数与形的三条途径: ①通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解。 ②转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。 2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法: ①“由形化数”:就是借助所给的图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含的数量关系,反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”:就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关系,提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”:就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特征,观察图形的形状,分析数与式 的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络的交汇处命题,备受出题者的青睐,求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知:有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P(-1,1),Q(2,2).若直线l∶x+my+m=0
高中数学数形结合思想经典例题 一、选择题 1.已知函数f (x )=???? ?3x ,x≤0,log 2 x ,x>0,下列结论正确的是( ) A .函数f (x )为奇函数 B .f (f (14))=1 9 C .函数f (x )的图象关于直线y =x 对称 D .函数f (x )在R 上是增函数 2.已知二次函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1(a ∈Z ),且函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f (x )>1的解集为( ) A .(-∞,-1)∪(0,+∞) B .(-∞,0)∪(1,+∞) C .(-1,0) D .(0,1) 3.函数f (x )=ln|x +cos x |的图象为( )
4.设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,则不等式f (x )-f (-x ) x <0的解集为( ) A .(-2,0)∩(2,+∞) B .(-∞,-2)∪(0,2) C .(-∞,-2)∪(2,+∞) D .(-2,0)∪(0,2) 5.实数x ,y 满足不等式组???? ?x -y +2≥0,2x -y -5≤0,x +y -4≥0,则z =|x +2y -4|的最大值为( ) A.215 5 B .21 C .20 D .25 6.已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx .若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根, 则实数k 的取值范围是( ) A .(0,1 2) B .(1 2,1) C .(1,2) D .(2,+∞) 7.若实数x ,y 满足|x -3|≤y ≤1,则z =2x +y x +y 的最小值为( ) A.53 B .2 C.35 D.12 8.设方程10x =|lg(-x )|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) A .x 1x 2<0 B .x 1x 2=1 C .x 1x 2>1 D .0高中数学数列教学经验总结 按照传统的教学理念来说,教学设计主要是指有效地运用相应的教学系统,有效地将 教学与学习理论逐渐转变为有效地对教学参考资料和教学活动具体规划实现系统化的整个 过程,其中教学内容、教学方法和教学效果问题在教学设计当中得到有效的解决.也可以说,所谓的教学设计就是将教学具体活动步骤制定成合理的教学方案,同时在教学结束后 对教学过程进行相应的评估与总结,从而使教学效果得到提升,并实现对教学环境的优化 工作. 重点是等差数列以及等比数列这两部分。数列这一部分主要是数列的概念、特点、分 类以及数列的通项公式;等差数列和等比数列这两部分内容主要介绍了两类特殊数列的概念、性质、通项公式以及数列的前 n 项和公式;数列的应用除了渗透在等差与等比数列内 宾的堆放物品总数的计算以及产品规格设计的某些问题外,重点是新理念下研究性学习专题,即数列在分期付款中的应用以及储蓄问题。 数列这一章蕴含着多种数学思想及方法,如函数思想、方程思想,而且在基本概念、 公式的教学本身中也包含着丰富的数学方法,掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解,而且运用数学思想方法解决问题的过程,往往能诱发知识的迁移,使学生产 生举一反三、融会贯通的解决多数列问题。在这一章主要用到了以下几中数学方法: ①不完全归纳法不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观,而且可以帮助学生有效 的解决问题,在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法。 ②倒叙相加法等差数列前n项和公式的推导过程中,就根据等差数列的特点,很好的 应用了倒叙相加法,而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法。 ③错位相减法错位相减法是另一类数列求和的方法,它主要应用于求和的项之间通过 一定的变形可以相互转化,并且是多个数求和的问题。等比数列的前 n 项和公式的推导 就用到了这种思想方法。 ④函数的思想方法数列本身就是一个特殊的函数,而且是离散的函数,因此在解题过 程中,尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时,可以将它们看成一个函数, 进而运用函数的性质和特点来解决问题。 ⑤方程的思想方法数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第 n 项和前 n 项和这些量的数学公式,而公式本身就是一个等式,因此,在求这些数学量的 过程中,可将它们看成相应的已知量和未知数,通过公式建立关于求未知量的方程,可以 使解题变得清晰、明了,而且简化了解题过程。 在课堂教学中,教师若想提高教学效率,则需了解学生学情,然后在此基础上,紧扣 教学内容,采用多种教学方法,以调动学生参与性,使其积极思考,把握科学学习方法, 从而提高学习效率。
中学数学中四种重要思想方法 一、函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想. 1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想; 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤:(1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题;(2)根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题;(3)方程思想:在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程组),通过解方程(或方程组)求出它们,这就是方程思想; 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想. 二、数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数);或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形),这种解决问题的方法称之为数形结合. 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短. 2.恩格斯是这样来定义数学的:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂. 3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质. 4.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查(即用代数方法研究几何问题).而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现. 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领: (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可; (2) 对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点,顶点是关键点),作好知识的迁移与综合运用; (3) 对于以下类型的问题需要注意:可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的. 三、分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答. 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)涉及的数学概念是分类讨论的; (2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;