立体几何线线垂直专题

立体几何垂直总结

1、线线垂直的判断：

线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：

（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）

BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?

同理，AD BD DE AB AE BE =?

?⊥?=?

又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC

例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

A

E

D

B

C

例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：

AD ⊥面SBC ．

证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC

BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC

例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：

AE ⊥平面PBC .

证明：∵PA ⊥O e 所在平面，BC 是O e 的弦，∴BC PA ⊥. 又∵AB 是O e 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴

BC AC ⊥.

∵,PA AC A PA =?I 平面PAC ，AC ?平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PC BC C =I ,PC ?平面PBC ，BC ?平面PBC . ∴AE ⊥平面PBC .

例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，

所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .

又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ?平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .

S

D

C

B

A

A

C

B

P

E

O g

图2

例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．

求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.

例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A

1B

1

C

1

D

1

中，A

1

C⊥平面BC

1

D

证明：连结AC

BD AC

∵⊥∴ AC为A

1

C在平面AC上的射影

∴⊥

⊥

?

?

?

?⊥

BD A C

A C BC

A C BC D

1

11

11

同理可证

平面

练习；

1、如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD

上.证明：AP⊥BC；

2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝

1

2

AA

1

，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.证明：

11

A1B1

D C

A B

DC 1⊥BC 。

3．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求三棱锥EABD 的侧面积．

.

4、在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11=AA ，求点A 到平面BC A 1的距离。

5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是

AB、PC的中点，PA＝AD.

求证：(1)CD⊥PD；

(2)EF⊥平面PCD.

.

6、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段

CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A

1DE的位置，使A

1

F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A

1

CB.

(2)求证：A

1

F⊥BE.

(3)线段A

1B上是否存在点Q，使A

1

C⊥平面DEQ？说明理由．

立体几何垂直总结

1、线线垂直的判断：

线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：

（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）

BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?

同理，AD BD DE AB AE BE =?

?⊥?=?

又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC

例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

A

E

D

B

C

例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：

AD ⊥面SBC ．

证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC

BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC

例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：

AE ⊥平面PBC .

证明：∵PA ⊥O e 所在平面，BC 是O e 的弦，∴BC PA ⊥. 又∵AB 是O e 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴

BC AC ⊥.

∵,PA AC A PA =?I 平面PAC ，AC ?平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PC BC C =I ,PC ?平面PBC ，BC ?平面PBC . ∴AE ⊥平面PBC .

例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，

所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .

又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ?平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .

S

D

C

B

A

A

C

B

P

E

O g

图2

例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．

求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.

例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A

1B

1

C

1

D

1

中，A

1

C⊥平面BC

1

D

证明：连结AC

BD AC

∵⊥∴ AC为A

1

C在平面AC上的射影

∴⊥

⊥

?

?

?

?⊥

BD A C

A C BC

A C BC D

1

11

11

同理可证

平面

练习；

1、如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD

上.证明：AP⊥BC；

2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝

1

2

AA

1

，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)

证明：DC1⊥BC；

11

A1B1

D C

A B

证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.

又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 2

1，所以DC 1⊥DC .

又DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD . 因为BC ?平面BCD ，所以DC 1⊥BC .

3．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .

(1)求证：AB ⊥DE ；

(2)求三棱锥EABD 的侧面积． (1)证明：在△ABD 中，

∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°， 设F 为AD 边的中点，连接FB ， ∴△ABF 为等边三角形， ∠AFB ＝60°，

又DF ＝BF ＝2，∴△BFD 为等腰三角形． ∴∠FDB ＝30°，故∠ABD ＝90°. ∴AB ⊥BD .又平面EBD ⊥平面ABD ， 平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ?平面ABD ， ∴AB ⊥平面EBD .∵DE ?平面EBD ，∴AB ⊥DE .

(2)【解析】由(1)知AB ⊥BD ，∵CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD . 在Rt △DBE 中，∵DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2，∴S △DBE ＝1

2DB ·DE ＝2 3.

∵AB ⊥平面EBD ，BE ?平面EBD ，∴AB ⊥BE .∵BE ＝BC ＝AD ＝4，

∴S △ABE ＝1

2AB ·BE ＝4.∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABD .而AD ?平面ABD ，

∴ED ⊥AD ，∴S △ADE ＝1

2AD ·DE ＝4.综上，三棱锥EABD 的侧面积S ＝8＋2 3.

4、在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11=AA ，求点A 到平面BC A 1的距离。

6 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、

PC的中点，PA＝AD.

求证：(1)CD⊥PD；

(2)EF⊥平面PCD.

证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.

又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.

(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，

∴GF綊1

2

CD，∴GF綊AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.

∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，

∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD.∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.

∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.

6、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段

CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A

1DE的位置，使A

1

F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A

1

CB.

(2)求证：A

1F⊥BE.(3)线段A

1

B上是否存在点Q，使A

1

C⊥平面DEQ？说明理由．

【规范解答】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥分

又因为DE?平面A

1

CB，

所以DE∥平面分

(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.

所以DE⊥A

1

D，DE⊥CD.

所以DE⊥平面分

又A

1F?平面A

1

DC，

所以DE⊥A

1

F.

又因为A

1

F⊥CD，CD∩DE＝D，

所以A

1

F⊥平面BCDE，

又BE?平面BCDE，所以A

1

F⊥分

(3)线段A

1B上存在点Q，使A

1

C⊥平面DEQ.理由如下：

如图，分别取A

1C，A

1

B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.

由(2)知，DE⊥平面A

1DC，所以DE⊥A

1

C.

又因为P是等腰三角形DA

1C底边A

1

C的中点，

所以A

1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A

1

C⊥平面分

从而A

1

C⊥平面DEQ.

故线段A

1B上存在点Q，使得A

1

C⊥平面分