耦合KdV方程族及其双哈密顿结构

本文从具有两个位势的4×4的矩阵谱问题出发导出两类非线性发展方程,分别给出了这两类方程中的第一个非平凡的方程(其中一个为Hirota-Satsuma

方程)。最后通过迹恒等式我们得出这两类方程具有bi-Hamilton结构,并利用屠规彰文献中的一个定理证明了非线性发展方程族是在Liouville意义下可积的。

7第5章哈密顿原理

第5章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2≠??? ? ? ????k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j == (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数

哈密顿正则变换

正则变换的研究学生xx 红河学院理学院物理学，云南省，中国，661100 摘要：正则变换是由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。是解决正则方程的解而引入的一种重要的变换方法。关键词：正则变换；母函数；广义坐标。 1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》。在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题。而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图都没有。在基础上，逐步发展为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。拉格朗日是用s 个独立变量来描写力学体系的运动，所以和牛顿运动方程一样，是二阶常微分方程组，我们通常把这组方程叫做拉格朗日方程。后来，哈密顿在1834年又提出：如果用坐标和动量作为独立变量，则虽方程式的数目增加了一倍，由s 个变为2s 个，但微分方程式却都由二阶将为一阶。这组方程叫哈密顿正则方程。他在1843年又运用变分法提出了另一个和牛顿定律等价的哈密顿原理，用来描述力学体系的运动。哈密顿正则变换将是求解哈密顿正则方程必不可少的一种计算方法。本节将给出正则变换的目的、条件和变换形式。（一）正则变换的目的和条件哈密顿函数是 ),...,2,1(,p s q =ααα及t 的函数，而哈密顿正则方程则是2s 个一阶微分方程。如果H 中不出现某个q ，例如q i ，则这个不出现q i 就是循环坐标，而我们也将由正则方程式 ),...,2,1(q s H H q p p =??? ? ??? ??- =??=ααα αα …… （1）力学体系的哈密顿函数H 中，有没有循环坐标，与我们所选的坐标系有关，在某种坐标系中没有循环坐标，在另一种坐标系中却可以有一个或几个循环坐标，有心力就是一个最明显的例子，在极坐标中，如质点的质量是m ，则动能)(m 2 122 2θ r r T += 。对平方反比引力问题来讲，势能r m V k 2 - =，故H=T+V.很显然，这里极角θ是一个循环坐标，故对应

由哈密顿正则方程证明拉格朗日方程

由哈密顿正则方程证明拉格朗日方程姓名：谭建学号：222010315210236 学院：物理学院年级：2010级4班一、问题重述已知H q p α? ??=?，H p q α???=-?，H L t t ??=-??(1,2,...,)s ?= 求证拉格朗日方程()0d L L dt q q ???-=?? 二、问题分析及证明 H 是q,p,t 的函数，L 是q,q ?,t 的函数，因此我们要先将H 换成q,q ? ,t 的函数。勒让德变换有 1s H L H p p ααα =?=-+?∑……………………………………..（１） 1(( ))s H H dL dH d p dp p p ααααα =??=-++??∑…………..（２）此处的H 仍是q,p,t 的函数，因此将H 全微分有 1()s H H H dH dp dq dt p q t αααα α=???=++???∑…………….（３）将（３）式带入（２）得 1 (())s H H H dL d p dq dt p q t ααααα=???=--???∑………..（4）再将已知条件H q p α???=?，H p q α???=-?，H L t t ??=-??(1,2,...,)s ?= 代入（4）有1 ()s L dL p d q p dq dt t αααα???=?=++ ?∑………………（5）而L 是q,q ?,t 的函数，即L （q,q ?,t ）。我们将L 全微分 1()s L L L dL dq d q dt q t q ααααα??=???=++???∑ (6)

比较（5）、（6）两式我们可得到如下公式 L p q αα??=?，L p q αα ??=? 所以我们可得到()d L p dt q αα???=?，L p q αα??= ? 所以有()0d L L p p dt q q αα?????-=-=??……………..（7）第七式即为拉格朗日方程。三、参考资料分析力学，勒让德变换，哈密顿正则方程

§1.3哈密顿正则方程

§1.3哈密顿正则方程上一节，我们给出了拉格朗日函数的定义式 L T U =-，并且发现拉格朗日函数L 是广义坐标和广义速度的函数。给出拉格朗日方程的表达式。但拉格朗日方程是二阶常微分方程组。为了使方程降阶，即由二阶变为一阶，我们引入了一个新的量，称为广义动量。一、广义动量设体系的广义坐标为11,, ,s q q q ，对于每一个广义坐标k q ，可以定义一个广义动量： k k L p q ?=? （1）式中L 为拉格朗日函数，k q 为广义速度。大家注意，这里我们定义的广义动量和我们一般所说的动量的含义不一定相同。例如，对于做平面圆周运动的质点，质点的自由度为1，为了研究方便，选方向角θ为广义坐标。则质点的速度为：v r θ=，2221122T mv mr θ==， 2212L T mr θ==，广义动量2L p mr θθθ ?==?相当于通常意义上的动量矩。二、哈密顿正则方程拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数，即(,)L L q q =，它的全微分 11s s k k k k k k L L dL dq dq q q ==??=+??∑∑ （2）由拉格朗日方程()0k k d L L dt q q ??-=??和广义动量的定义式k k L p q ?=?得 k k L p q ?=? （3）将(1)(3)代入(2)中，dL 可写为 11s s k k k k k k dL p dq p dq ===+∑∑ （4）

而上式的第二项可写为 111()s s s k k k k k k k k k p dq d p q q d p ====-∑∑∑ （5）把（5）式代入（4）式得 111()s s s k k k k k k k k k dL p dq d p q q d p ====+-∑∑∑ 即 111()s s s k k k k k k k k k d p q L p dq q d p ===-=-+∑∑∑ （6）定义： 1s k k k H p q L ==-∑ 称作哈密顿函数所以（6）式可写为 11s s k k k k k k dH p dq q d p ===-+∑∑ （7）由上式可以看出H 只是各个k q 和k p 的函数。(,)H H q p =，式中q 及p 代表各个k q 和k p 。对H 取微分可得 11s s k k k k k k H H dH dq d p q p ==??=+??∑∑ （8）（7）和（8）式对比可得 k k k k H p q H q p ??=-??????=??? 形式简单对称，故称为正则方程 1,2,,k s = 将这两个方程称为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程。包括2s 个形式完全相同的一阶微分方程，建立求解这2s 个一阶微分方程，会出现2s 个积分常数，这些积分常数由初始条件决定。若已知体系在某时刻的各个广义坐标及广义动量的数