中考数学二轮复习数学平行四边形的专项培优练习题(及答案

中考数学二轮复习数学平行四边形的专项培优练习题(及答案

一、解答题

1．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．

（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？

（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？

（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度． 2．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，

8BC AD ==．

()1P 为边BC 上一点，将

ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)

①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写

作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；

②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；

()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将

ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点

'D 处，则DQ =______；

3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）． （1）求证：AF ∥CE ；

（2）当t 为何值时，△ADF 32

； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．

4．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由． （2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．

5．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ???

（2）若ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：

（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+

6．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连

BE ，取BE 中点O ．

（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ?∠=；

（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段

DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；

（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且

135PCQ ?∠=，则PC

．（直接写出结果）

7．在正方形中，连接

，为射线

上的一个动点（与点不重合），连接，

的垂直平分线交线段于点，连接

，

.

提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点的两个特殊位置：

①当点与点重合时，如图1所示，____________

②当

时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：

__________；（填“变化”或“不变化”）

（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.

8．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒

3

2

的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒33

2

+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点. (1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.

(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++?的值.

(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.

9．如图，ABCD 中，60ABC ∠=?，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．

（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，

AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=?，求证：3BG GD AG +=．

10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有1

2

CBE ABF ∠=

∠．

（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=?，求证：BE BF =；

（2）如图2，当3

2

b a =

时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；

②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=； ③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ?矩形的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）

112；（2）11

2

或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形 【分析】

（1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形； （2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ 时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；

（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度． 【详解】

（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ， ∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形， 此时有t=22﹣3t ，解得t=112

． ∴当t=

11

2时，四边形ABQP 成为矩形； 故答案为

112

； （2）如图1，当t=

11

2

时，四边形ABQP 成为矩形， 如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形， 则16﹣t=3t ， 解得：t=4，

∴当t=

11

2

或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形；

故答案为11

2

或4；

（3）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：

∵PD∥BQ，

∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．

由PD=BQ，得16﹣t=22﹣3t，

解得：t=3，

当t=3时，PD=BQ=13，BP=22

AB AP

+ =22

8t+=22

83

+=73≠13，

∴四边形PBQD不能成为菱形；

如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，

由题意，得

22

1622

168

t vt

t t

-=-

??

?

-=+

??

，解得

6

2

t

v

=

?

?

=

?

．

故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．

【点睛】

此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．

2．（1）①6；②结论：//P

EC A；（2）为4和16．

【分析】

()1①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作EAB

∠的平分线交BC于点P，点P即为所求.理由勾股定理可得DE．

②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE

⊥，EC BE

⊥即可解决问题．

()2分两种情形分别求解即可解决问题．

【详解】

解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．

在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =，

22221086DE AE AD ∴=-=-=，

故答案为6．

②如图2中，结论：//P EC A ．

理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，

PA ∴垂直平分线段BE ， 即PA BE ⊥，

PB PC PE ==，

90BEC ∠∴=，

EC BE ∴⊥， //EC PA ∴．

()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．

在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=，

22BD'AB AD'6∴=-=，

在Rt BQC 中，

222CQ BC BQ +=，

222(10x)8(x 6)∴-+=+，

x 4∴=， DQ 4∴=．

②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，

DQ //AB ， DQA QAB ∠∠∴=，

DQA AQB ∠∠=，

QAB AQB ∠∠∴=， AB BQ 10∴==，

在Rt BCQ 中，

CQ BQ 6==，

DQ DC CQ 16∴=+=，

综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16． 故答案为4和16． 【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1． 【分析】

（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；

（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN 3＝

3cm ，由三角形的面积公式可求解；

（3）由菱形的性质可得EF ⊥GH ，可证四边形DFEM 是矩形，可得DF ＝ME ，由直角三角形的性质可求AM ＝1，即可求解． 【详解】

证明：（1）∵动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动， ∴DF ＝BE ，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴CF＝AE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AF∥CE；

（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，

∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，

∴∠NAD＝30°，

∴DN＝1

2

AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，

∴S△ADF＝1

2×DF×AN＝

1

2

×

1

2

t×3＝

3

2

，

∴t＝2；

（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，

∵四边形AECF是平行四边形，

∴FA＝CE，

∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，

∴FG＝CH，

∴四边形FGHC是平行四边形，

∴CF∥GH，

∵四边形EHFG为菱形，

∴EF⊥GH，

∴EF⊥CD，

∵AB∥CD，

∴EF⊥AB，

又∵DM⊥AB，

∴四边形DFEM是矩形，∴DF＝ME，

∵∠DAB＝60°，

∴∠ADM＝30°，

∴AM＝1

2

AD＝1cm，∵AM+ME+BE＝AB，

∴1+1

2t+

1

2

t＝2，

∴t＝1．

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

4．（1）四边形AGFP是菱形，理由见解析；（2）四边形AGFP的周长为：2

【分析】

（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；

（2）根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可．

【详解】

解：（1）四边形AGFP是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAP＝90°，

∵PF⊥BD，PA＝PF，

∴∠PBA＝∠PBF，

∵AE⊥BD，

∴∠PBF+∠BGE＝90°，

∵∠BAP＝90°，

∴∠PBA+∠APB＝90°，

∴∠APB＝∠BGE，

∵∠AGP＝∠BGE，

∴∠APB＝∠AGP，

∴AP＝AG，

∵PA＝PF，

∴AG＝PF，

∵AE⊥BD，PF⊥BD，

∴AE∥PF，

∴四边形AGFP是平行四边形，

∵PA＝PF，

∴平行四边形AGFP是菱形；

（2）在Rt △ABP 和Rt △FBP 中， ∵PB ＝PB ，PA ＝PF ， ∴Rt △ABP ≌Rt △FBP （HL ）， ∴AB ＝FB ＝1， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ＝2，

∴BD =

设PA ＝x ，则PF ＝x ，PD ＝2﹣x ，PF 1， 在Rt △DPF 中，DF 2+PF 2＝PD 2，

∴2221)(2)x x +=-

解得：x ，

∴四边形AGFP 的周长为：4x ＝42=． 【点睛】

此题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题．

5．（1）证明见解析；（2）BE =3）证明见解析． 【分析】

（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得1

2

AE DG CG

CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；

（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AD//BC ， ∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ， ∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ， ∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ， ∵//EH AC ，AB//CD ， ∴四边形ACGE 是平行四边形， ∴AE=CG ，

∴△AEF ≌△CGH （AAS ）； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AB=CD ，

∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ， ∵F 是AD 的中点， ∴AF=FD ，

∴△AEF ≌△DGF （AAS ）； 由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH, ∴1

2

AE

DG CG

CD , ∵ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴2422

AB

CD

AD ,

∴22AE =， ∴62BE AB BE =+=； （3）如下图，

∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，

∵ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ， ∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==

2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==， 且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=, ∴22222()AC BD AB BC +=+ 【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键． 6．（1）见解析；（2）222MN BN DM =+，理由见解析；（3）32【分析】

（1）由直角三角形的性质得AO=MO=

1

2

BE=BO=EO ，得∠ABO=∠BAO ，∠OBM=∠OMB ，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；

（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；

（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角形，得

PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出

BE=PE=6，即可得出PC 的长． 【详解】 解：（1）证明：

四边形ABCD 是正方形，

90ABC BAD ∴∠=∠=?，45ABD ADB ∠=∠=?， ME BD ⊥， 90BME ∴∠=?， O 是BE 的中点，

1

2

AO MO BE BO EO ∴====，

ABO BAO ∴∠=∠，OBM OMB ∠=∠，

22290AOM AOE MOE ABO MBO ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=?； （2）222MN BN DM =+，理由如下：

在AD 上方作AF AN ⊥，使AF AN =，连接DF 、MF ，如图2所示： 则90NAF ∠=?，

四边形ABCD 是正方形，

AB AD ∴=，90BAD NAF ∠=∠=?，

BAN DAF ∴∠=∠，

45NAM ∠=?， 45FAM NAM ∴∠=?=∠，

在ABN ?和ADF ?中，AB AD BAN DAF AN AF =??

∠=∠??=?

，

()ABN ADF SAS ∴???，

BN DF ∴=，45DAF ABN ∠=∠=?，

90FDM ADB ADF ∴∠=∠+∠=?， 45NAM ∠=?， 45FAM NAM ∴∠=?=∠，

在NAM ?和FAM ?中，AN AF NAM FAM AM AM =??

∠=∠??=?

，

()NAM FAM SAS ∴???，

MN MF ∴=，

在Rt FDM ?中，222FM DM FD =+， 即222MN BN DM =+；

（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，如图3所示： 则PCQ ECQ ???，135ECQ PCQ ∠=∠=?，9EQ PQ ==， 36090PCE PCQ ECQ ∴∠=?-∠-∠=?，

BCE DCP ∴∠=∠，PCE ?是等腰直角三角形，

2

CE CP ∴==

， 在BCE ?和DCP ?中，BC DC BCE DCP CE CP =??

∠=∠??=?

，

()BCE DCP SAS ∴???，

45CBE CDB CBD ∴∠=∠=∠=?，

90EBQ ∴∠=?，

90PBE ∴∠=?，

2PB =，9PQ =，

7BQ PQ PB ∴=-=，

22229742BE EQ BQ ∴=--=

22222(42)6PE PB BE ∴++， 2

32PC ∴=

=； 故答案为：32

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．

7．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；

（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；

（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得

∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得

∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.

【详解】

解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠APE=45°

②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；

故答案为：45°，不变化.

(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；

故答案为：成立；

(3)证明一：如图所示.

过点作于点，于点.

∵点在的垂直平分线上，

∴.

∵四边形为正方形，

∴平分.

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

证明二：如图所示.

过点作于点，延长交于点，连接.∵点在的垂直平分线上，

∴.

∵四边形为正方形，

∴，

∴.

∴，

.

∴. 又∵， ∴.

又∵，

∴.

∴.

【点睛】

本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点

8．（1）2t =；（2）222=2433PD PE PD PE ++?-； (3)①当06x ≤≤时，

S △PAE (6)(33)x -+②当6x ≥时, S △PAE (6)(33)

x -+

【解析】 【分析】

（1）设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入，求得k ，确定解析式；再设设t 秒后构成平

行四边形，根据题意列出方程，求出t 即可；

（2）过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）得到当t=2时，有C 30），D(33+,3)，再根据AB ∥CD ，求出直线CD 和AB 1的解析式，确定E 的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.

（3）根据（1）可以判断有06x ≤≤和6x ≥两种情况，然后分类讨论即可. 【详解】

（1）解：设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入得：

033k =-+

∴1k = ∴3y

x

由题意得：

设t 秒后构成平行四边形，则

3

333222t t ??+=+ ? ???

解之得：2t =，

（2）如图:过E 作关于x 轴对于点E ',

连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小. 由（1）t=2得：

∴C 30），D(33,3) ∵AB ∥CD

∴设CD 为1y x b =+ 把C 30）代入得 b 1=3

∴CD 为：y x 3=-易得1AB 为：3y x =-+ ∴33y x y x ?=-?

?

=-+??

解之得：33+33

- ∴2

2

2222

33332()32433PD PE PD PE PD PE E D '?-+++?=+==++=- ?

??? (3)①当06x ≤≤时

S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=1

33(6)(33)(6)32x x ?--+--= ??

②当6x ≥时： S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=1

33(6)(33)(6)32x x ?--+--= ??

【点睛】

本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信. 9．（1）32）见详解．

【分析】

（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；

（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果． 【详解】

解：（1）

如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ． ∵60ABC ∠=?，6AB AE == ∴△ABE 为等边三角形， ∴AB=BE=AE=6 即：AN=3

3∵:5:2BC CE = ∴:5:3BC BE = ∵BE=6 ∴BC=10 ∴EC=4 ∴11

3346322

ACE

S

AN EC =

=?=即：ACE △的面积为3． （2）

如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ， ∵AH=AF ， ∴∠AFH=∠AHF 即：∠AFB=∠AHD ， 又∵AF=AH ，BF=DH ， ∴ABF ≌ADH ∴AB=AD

又∵180ABG ADG ∠+∠=?，180ADP ADG ∠+∠=?， ∴∠ABG=∠ADP ∵BG=DP ， ∴ABG ≌ADP △ ∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP ∵∠ABC=60° ∴∠BAD=120° 即：∠GAP=120° ∴∠AGP=∠APG=60°， 又∵AM ⊥GD ∴3， ∵BG=GP

∴BG+GD=GD+DP=GP 即：3．