高中物理 数学方法在物理中的应用教学参考素材
热点类型八 数学方法在物理中的应用
数学是所有自然科学，甚至社会科学的工具，所有自然现象、社会现象都可以抽象、概括成一个数学模型，这种特点在物理学中尤为明显，这就要求学生能灵活利用数学知识解决物理问题的能力非常高，所以应用数学工具解决物理问题是《考试大纲》中明确要求的五大能力之一.数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑思维推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计提供有力的工具.
在历年的高考中对利用数学知识解决物理问题的能力考查主要了体现在：（1）利用函数方法解决物体的各种物理量随时变化的问题：如二次函数、三角函数、正比函数、反比函数的应用常；（2）应用坐标图、几何图形，分析物理量的变化及运动情况等，主要是图形的识别、计算、图形的建立，如在光学、电磁学领域解题的关键往往就是对图形的理解与应用；（3）利用数学中的间断点、拐点、区间等分析极法、临界值等；（4）归纳法、数列、无穷等比（差）数列求和法、极限等在解决物理问题时也经常出现。
押题1 如图8-1所示，三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样跳伞.由于作了某种动作，运动员C 质心的加速度为g 54，铅直向下，运动员A 质心的加速度为g 5
6
，与铅直方向30°，加速度均以地球为参考系，求运动员B 的质心加速度.运动员所在高度的重力加速度为g.运动员出舱后很长时间才张伞，
不计空气阻力.
【押题依据】 本题考查学生运用牛顿第二定律的应用，注重了运用数学工具解决物理问题能力的考查，物理情景紧密联系生活实际，同时训练学生的分析、推理能力，解决实际问题的能力.押题指数7.
【解题指导】 以这三名运动员组成的系统为对象，由于不考虑空气阻力，系统所
1
8 图
受合力为mg F 3=合，方向竖直向下，由质点系牛顿第二定律，得：
g m a m a m a m F C B A ρ
ρρρ?3=++=合，即得，g a a a C B A ρρρρ3=++.
取运动员A 质心加速度的水平分量方向和竖直向下分别为X 轴和Y 轴正方向，将上式投影得：
X 轴方向上，有030sin 56=?+g a x B ，即得?-=30sin 5
6
g a X B Y 轴方向上，有g g g a Yx
B 330cos 56=?++，即得g a By )3311(5
1
--=
故 运动员B 的质心加速度大小为：g a a a Y
X B B B 31.12
2=+=，与铅直方向成.3
3113arctan
-=
=Bx
By a a α
【得分锦囊】 因为本题涉及的知识比较复杂，需要运用的知识比较多，尤其对矢量的合成与分解考查，所以解决问题的关键是要弄清物体所受力的情况求加速度，然后利用正交分解法分解加速度.
押题２如图，小船从A 码头出发，沿垂直于河岸的方向渡河，若河宽为d ，渡河速度υ1恒定，河水的流速与到河岸的距离x 成正比，即kx =2υ（2
d
x ≤，k 为常量），要使小船能够到达距A 针对为s 的B 码头，则： （1）船速为多少？（2）渡河时间为多少？ 【押题依据】关于小船过河的问题我们经常遇到水速一致的情景，此题是依据实际情况来命题的，也符合考试大纲中对应用数学知识解决物理问题的能力。押题指数8。 【解题指导】（1）由于kx =2υ，而t x 1υ=，
所以x 与t 成正
比，则υ2与t 成正比 ，则过河时向下游移动的位移为S ，利用图象8-2说明为三
角形的面积为位移S ，则1
2
14221υυkd d kd s =??=，s kd 421=υ
（2）渡河时间为kd
s
d
t 41
=
=
υ 2
8-图
【得分锦囊】解决本题的关键是理解速度与位移的关系来找与时间的关系，明确求位移的方法即
可。注意面积所代表的意义。
押题３ 如图8-3所示，一块足够长的木板放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放有序号为1，2，3，…，n 号的木块，所有木块的质量均为m ，与木板间的动摩擦因数都相同.开始时，木板静止不动，第1，2，3，…，n 号的木块分别以初速度υ0，
2υ0、3υ0…n υ0同时运动，υ0方向向右.设木板的质量与所有木块的总质量相等，最终所有木块与木板以共同的速度匀速前进，试求： （1）所有木块与木板一起匀速运动的速度n υ；
（2）第1号木块与木板刚好相对静止时的速度υ1；（3）第（n-1）号木块在整个运动过程中的最小速度1-n υ.
【押题依据】 本题根据考查动量知识为主题，体现了对数学知识的应用，这也是研究多个物体碰撞时经常应用的方法.押题指数8.
【解题指导】 （1）木块和木板组成的系统受到的合外力为零，系统的总动量守恒.对全过程应用动量守恒定律，有：
00000232υυυυυnm nm m m m =++++Λ
所以4
)1(4)1(2)321(0
00υυυυ+=+=+++=
n n n n n n n Λ.
（2）当木块1的速度变为υ1时，速度减小量为（υ0-υ1）.由于每个木块的质量相同，故其受到的滑块摩擦力相同，每个木块运动的加速度也相同，故速度变化相同，即其他木块的速度减少量也为（υ0-υ1）.n 块木块的动量的减少量nm （υ0-υ1），木板的动量变化为nm υ1，根据动量守恒定律：)(101υυυ-=nm nm 所以2
1υυ=
（3）当第（n-1）号木块与木板具有共同速度时，该木块前面的木块均与木板具有
共同的速度，均
[]{}
10011000)1()1(2------++-=+++n n n n n m nm m n nm m m υυυυυυυυΛ3
8-图
为1-n υ，则 所以n
n n n 4)2)(1(0
1υυ+-=
-.
【得分锦囊】本题考查了自然数列求和在动量守恒中的应用，解决此类题应注意明显是多个物体间的相互作用，应先从第一次、第二次找规律，然后再根据此来类推Ｎ个的情况，利用好数学归纳法，根据规律再利用数学中的等比或等差知识来分析求解。
押题４ 如图8-4所示，小球从长为L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回.若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的4/5，求小球从开始下滑
到最终停止于斜面下端一共通过的过程.
【押题依据】 本题就运动的往复性来命题，本题以等比数列求和数学知识来解决问题，押题指数8.
【解题指导】 小球在斜面上下滑和反弹而回的加速度相等，设为a .小球第一次碰撞前、后速率及反弹路程分别为：
aL 21=υ，115
4
υυ='
，L a L 2211)54(2='=υ
第二次碰撞前、后速率及反弹路程分别为：
12υυ'=，22
5
4
υυ='
， L a L 4222)54(2='=υ 第n 次碰撞前、后速率及反弹路程分别为：
1-'=n
n υυ，n n υυ5
4
='
， L a L n n n 22)54(2='=υ 所以小球最终停止于挡板处时所经历的总路程为：
【得分锦囊】 本题就数学归纳法与等比数列求和在物理解题中的应用，解题
L
L L L L L L L L s 56.4)
5
4(1)54(2)54()54(22222
4221=-?+=???
???+++=+++=ΛΛ4
8-图
的关键是找出速度、位移的关系，同时对数学能力提出较高要求，学生要通过联系加强这方面的能力.
押题５ 如图8-4所示，临界角为45°的液面上有一点光源S ，发出一束光线，垂直入射到水平放置于液体中，且距离液面为d 的平面镜M 上，当平面镜M 绕垂直过中心O 的轴以角速度ω逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，设t=0时平面镜处于水平放置且镜面向上，试确定观察者所观察到的光斑在水面上的掠移速度
υ与时t 间的函数关系式，并求出该光斑的最大掠
移速率为多少？
【押题依据】 对于光学的光路问题是高考的出题点，考查的关键是如何利用几何知识来解决，注意角
度.押题指数7.
【解题指导】 如图8-6所示， 经时间t ，平面镜转过的t ωθ=，光线反射到水平面上的P 点，将光斑速度如图作出⊥分解，可知θ
υυ2cos í
=
，而υ⊥=ι?2ω，而
θ2cos d l =
，所以t
d
d ωωθωυ2cos 22cos 222==.设水的临界角为C ，当C ≥θ2时，光线在水平面发生全反射而不能透过水面，观察者将观察不到光斑，因此，能观察到光斑
的条件是C <θ2，即C t <ω2，故ω
π
ωω82452==<οC t ，从而υ与t 的函数关系式为)8(2cos 22ωπωωυ<=
t t
d ，当C →θ2时，即ωπ
8→t 时，υ趋向于最大速率 d d
m ωω
π
ωωυ4)
82(cos 22=?=
【得分锦囊】 本题考查了反射与全反射问题，注意速度的合成与角度，利用数学知识解决时特别应注意角度，并且要注意光会发生全反射，有
一个极值问题，利用三角函数来分析.
押题６ 如图8-7所示，一质量为500 kg 的木箱放在质量为 2 000 kg
5
8-图6
8-图78-图
的平板车尾，木箱到驾驶室距离为L=1.6m,已知木箱与平板车间的动摩擦因数μ=0.484.平板车在运
动中所受阻力是车和箱总重0.20倍,平板车以υ0=22.0 m/s 恒定速度行驶,突然驾驶员刹车做匀减速运动.为使木箱不撞击驾驶室(g=10 m/s 2)试求:
(1)从刹车开始到平板车完全停止至少多长时间? (2)驾驶员刹车时的制动力不能超过多大?
【押题依据】 在高考中对追及相遇问题中经常涉及不等式的应用，在本题中就此问题进行命制。押题指数8.
【解题指导】 (1)设刹车后,平板车的加速度为0a ,从刹车到车停止经历时间0t ,车
所行驶距离为0s ,则002
2s a =υ,000t a =υ,欲使0t 小,0a 应该大,作用于木箱的滑动摩擦力产生的加速度g m
mg
a μμ==
1
当10a a < 时，木箱相对车底滑动，从刹车到车停木箱向前滑动的路程为1s ，则
11202s a =υ 为使木箱不撞击驾驶室，应有L s s ≤-21
联立以上解得2
202
00/52s m gL
g a =-≤μυυμ，所以s a t 4.4000
==υ （2）设平板车，设制动力为F ，则
0)(Ma mg g M m k F =-++μ
解得N F 7420=.
【得分锦囊】 本题一定理解好位移之间的关系，利用运动学公式求解，解决追及相遇问题，一般应列好两个方程位移关系方程，加速度方程，利用不等式解决. 押题７ 如图8-8所示，在光滑的水平面上沿直线按不同的间距
依次排列着
质量均为m 的滑块1、2、3、……、（n —1）、n.滑块P 的质量也为m ，它在大小为F 的水平恒力作用下向右运动，经时间T 与滑块1碰撞，碰撞后滑块P 便与滑块1粘连在一起，以后每经过时间T 就与下一滑块碰撞一次，每次碰撞后均粘连在一起，
8
8-图
碰撞的时间极短（可不计），每个滑块都可简化为质点，已知在整个过程中力F 始终作用在P 上，求：
（1）第一次碰撞后瞬间的速度及第一次碰撞过程中产生的内能； （2）发生第n 次碰撞后滑块P 的速度；
（3）第（n —1）个滑块与第n 个滑块间的距离；
（4）从第一次碰撞到第n 次碰撞的整个过程中，因碰撞损失的机械能是多少. 【押题依据】 在高考中经常会涉及有关动量守恒的内容与数学知识的紧密结合，本题设计了多个滑块的碰撞，应从中找出规律来求解. 押题指数8. 【解题指导】 (1)滑块P 与滑块1碰撞时动量守恒，得102υυm m =
由动量定理得 0υm FT = 所以得m
FT
21=
υ，产生的内能为 m
T F m m E 422121222
120=?-=?υυ
（2）力F 的总冲量为n 个滑块的总动量，即n m n nFT υ)1(+=得m
n nFT
n )1(+=υ
（3）由（2）可得nm
FT
n n )1(1-=-υ，由牛顿第二定律得nma F =，由运动学公式可得nm
FT n aT T S n n 2)12(212
211
-=+=--υ
（4）由以上可得m FT S 220=，m FT S 4321=，ΛΛ,652
2m
FT S =
，所以到第n 次碰撞的整个过程中力F 做的功为
)21
2654321()(221210n
n m T F S S S S F W n -++++=++++=-ΛΛ
从第一次碰撞到第n 次碰撞的整个过程中因碰撞损失的机械能是
))
1(2212654321(212222
+--+++=-=?n n n n m T F nm W E n Λυ总.
【得分锦囊】 本题关键是理清碰撞情景，尤其在解决最
9
8-图
后一问时，应该知道力F 做的总功减去最后的动能等于碰撞产生的内能，在最后的解题时要注意数学归纳法的应用.
押题８ 如图8-9所示电路四个干电池，每个电池E=1.5 V,r=0.5Ω, R 1=2 Ω, R 2=6 Ω,R 3为变阻器,总电阻为12 Ω,求变阻器触头C 移至什么位置时V 读数最大?电压表读数的最大值是多少伏?
【押题依据】 本题明显的一道极值问题，这是高考考查的一个热点问题，有时高考在最大值、最小值上命题.押题指数8. 【解题指导】 设,x R ac =则3
232
1)
)((44R R x R x R R r E
I +-+++=
电压表的读数为1
)
)(()
)(4(432321+-+++=
=x R x R R R R r E
IR U 并
令3223232)())((R R x R R x x R x R y +-+-=-+=可以看出当y 有极大值时，U 有极大值，由分析可得01<-=a ， 当Ω=-=-=-
=32
6122223R R a b
x 时， 814
)(444223322max
=----=-=R R R R a b ac y
所以得V U 2.31
81
)
126()25.04(5
.14max =++?+??=
.
【得分锦囊】 本题考查的极值问题，解决此类题的方法是利用物理情景规律列出方程，利用函数思想来解决.
押题９ 如图8-10所示,直角坐标系xoy 中,在0 存在沿y 轴负方向的匀强电场,场强大小为E ；在的区域存在一垂直纸面的矩形有界匀强磁场,其左边界 和下边界分别与 10 8-图 ox 、oy 轴重合,磁感应强度大小为B (图中未画出),现有一质量为m 电量为e 的质子 从第二象限的某点P 以初速度m BeL v 60= 沿x 轴正方向开始运动,以02v 的速度经坐标为（0，L ）的Q 点.在经磁场偏转恰好从坐标原点O 沿x 轴的负方向返回电场,不计质子的重力.求: (1)P 点的坐标； (2)矩形磁场的面积 【押题依据】 对电场与磁场的考查经常是相互关联但不复合，本题考查了带电粒子在电场中的偏转与在磁场中的圆周运动，重点在利用数学工具解决物理问题的能力的考查.押题指数9. 【解题指导】 （1）如图8-11 ）.从P 到Q ，质子做类平抛运动.设过Q θ， 则： 2cos v v = θ 所以 ο60=θ 质子在Q 点y 方向的分速度θsin 20v = P 到Q 的时间为t ，则在电场中质子运动的加速度m Ee a = 设质子由at v oy = t v x P 0-= 2 2 1at L y P += 解得：Em eL B x P 24322-= （2）设所加的最小矩形磁场的高和底长分别为1L 2L ，质子在磁场中的做圆周运动的半径为r ，则：r r L =--)90sin()(θο 所以3 L r = 又θcos 1r r L += r L =2 所以6 2 21min L L L S ==. 118-图 【得分锦囊】 解决本题的关键应理解物体运动的情景，应明确在电场中的类平抛，磁场中的圆周运动，注意在磁场中如何利用平面几何知识分析，求半径、求面积，这是分析解决本题好本题的重要 点. 押题１０ 如图8-12所示，光滑且足够长的平行金属导 轨MN 、PQ 固定在同一水平面上，两导轨间距L=2．５m,电阻R=4Ω,导轨 上放一质量m=0.5kg 的金属杆,导轨和金属杆的电阻不计,整个装置处于磁感应强度B=0.80T 的匀强磁场中,磁场方向竖直向下,现用一拉力沿水平方向拉杆, 使之由静止开始运动,绘出回路中电流的平方随时间t 变化的i 2—t 图线8-13,求5s 内(1)金属杆的最大动能;(2)电流的有效值;(3) 拉力做的功. 【押题依据】 对高考近几年经常出情景新颖综合性强的题目,本题就电磁感应知识为依托,重点考查了学生对图象的理解,如何求有效值,强化了对数学知识的应用. 押题指数9. 【 解 题 指 导 】 (1) 由 2 22 22L B R mI E K = 221υm E K =,υBL E =,R E I = ,得 J E K 5.0)5.2()8.0(245.05.02 22 =????= 所以当I 最大时,即s t 5=时,动能最大 (2)由于i 2 —t 图线是直线，得i 2 ＝kt ，根据 图8-14中斜线所画的面 积,由有效值的概念得Rt i Rt I 22 =有即J Rt i Rt I Q 5452 5 .022=??===有 所以A I 5.05 45 =?= 有. (3)由功能关系得拉力做的功为J Q E W K 5.555.0=+=+=. 【得分锦囊】 解决本题的关键是对图象的理 解,明确面积所 12 8-图138-图14 8-图15 8-图 代表的意义,可知利用面积求产生的热量,这是本题的难点,只要突破了此点,本题迎刃解决.注意课本在讲位移时介绍了面积所代表的意义，所以在解决其它问题时希望学生能很好的利用这一思想。 押题1１ 如图8-15所示，坐标空间中有场强为E 的匀强电场和磁感应强度为B 的匀强磁场，y 轴为两种场的分界线，图中虚线为磁场区的右边界，现有一质量为m 、带电量为-q 的带电粒子（不计重力），从电场中P 点以初速度υ0沿x 轴正方向运 动.已知P 点的坐标为)0,(l -，且Eq m l 20υ=.试求： （1）要使带电粒子能穿过磁场区而不再返回到电场中，磁场的宽度d 应满足什么条件？ （2）要使带电粒子恰好不能从右边界穿出磁场区，则带电粒子在磁场中运动的时间为多少？ 【押题依据】 在磁场中考查带电粒子的运动情况时经常会涉及圆周运动知识,本题依此来进行命题的.押题指数7. 【解题指导】（1）研究带电粒子在电场中的运动： 水平方向：t l 0υ=，解得：Eq m l t 0 1υυ== 竖直方向，由动量定量得：y m Eqt υ=1解得：0υυ=y 所以粒子进入磁场时的速度：0220 2υυυυ=+=y ，方向与x 轴成45°角，研究带电粒子在磁场中的运动：当粒子刚好不从磁场右边界穿出时，其轨迹如图8-16所示，由牛顿第二定律得：R m Bq 2 υυ=，得Bq m R υ = 解得：Bq m d 0 )12(υ+= 16 8-图 所以，要使带电粒子在穿过磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d 应满足的条件为：Bq m d 0 )12(υ+< （2）粒子在磁场中运动的周期Bq m R T πυ π22== 运动的时间Bq m T t 232232πππ ==. 【得分锦囊】 本题考查来电偏转与磁偏转问题,电偏转问题应注意应用类平抛知识,对于磁偏转应注意圆周运动确定圆心找半径,关于圆的知识考查的较详细,做题时应注意圆心角、弦切角、弦与角之间的关系. 押题1２ 如图8-17所示，宽为L 的金属导轨置于磁感应强度为B 的匀强磁场中，且B 的方向竖直向下.电源的电动势为E ，内阻为r.不计 其他电阻和一切摩擦，求当开关S 闭合后，金属棒PQ 速度多大时，机械 功率最大？最大值是多少？ 【押题依据】 高考在对利用数学知识解决物理问题的考查是多方面的，这就要求学生能灵活的应用数学知识，平 时做题时应养成这样的 思维.押题指数8. 【解题指导】当开关S 闭合后，电路中的电流为I ，r BL E I υ -=金属棒受到的安培力为 17 8-图18 8-图19 8-图 r BLE r L B r BL E BL BIL F +-=-==υυ22)( 可见，F 与υ是线性关系，作出F —υ图线如图8-18所示，根据直角三角形内接矩形的性质，（证明：在图8-19中，阴影面积为S ，所以θθsin cos CF CD S ?=，由于θ恒定，根据定和求积原理，当AC=BC 时，CD 与CF 的乘积最大，）即当金属棒PQ 的速度BL E 2= υ时，金属棒机械功率最大，最大值为 r E BL E r BLE P m 421212 =???= 【得分锦囊】 在数学中有这样一个结论，在直角三角形中，其内接矩形的面积的最大值是直角三角形面积的一半，其中四个顶点中有两个位于两直角边的中点上，一个位于斜边，另一个为直角对应的点.本题就是利用这一原理解题的，解决此类最值问题应先利用物理知识列出函数表达式，然后利用数学知识分析. 押题1３ 如图8-20所示，理想变压器的原线圈接在电动势为E 、内阻为r 的交变电源上，副线圈接阻值为R 的电阻.当理想变压器原、副线圈的匝数之比为多大时，消耗在电阻上 的电功率最大？最大值为多少？ 【押题依据】 本题就利用换元法 及二次函数求 极值问题来设计，题目对数学知识的要求能力非常高.押题指数8. 【解题指导】根据相应的物理规律可得： r I U E 11+= 221I U I U P == R I U 22= 2 1 1221n n I I U U == 设 x n n =2 1 ，由上述方程消去2121,,,I I U U 参量，可将P 表示为x 的函数为：) ()(2 2 222Rx r E Rx r rE P +++-= 由于P 表示为x 的函数较为复杂，使得通过直接分析其单调性求极值点和极值 20 8-图 不方便，所以还应再次换元简化函数形式.利用2 1Rx r E I += 代入上式得：121EI rI P +-=，所以当r E I 21= ，即当变压器原、副线圈匝数比为R r x = 时，负载上的消耗电功率最大，最大功率为r E P m 42 =. 【得分锦囊】 解决此类求最值问题一定应先利用物理知识列出函数表达式，然后观察利用那些数学知识来分析，可利用图形、极限、判别式等方法求极值，本题就利用换元法及二次函数来求极值的，希望学生在解决最值问题时多动动脑筋，思路还是比较明显的. 普通物理的数学基础 选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。 §1．函数及其图形 本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。 1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，我们就称y是x的函数，并记作 y=f(x），（A．1） 其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系。有时把y=f（x）也记作y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号， 如 （x）、ψ（x）等等。① 常见的函数可以用公式来表达，例如 e x等等。 在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面 切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。 在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量。 当y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值f（x0）。例如： （1）若y=f（x）=3+2x，则当x=-2时y=f（-2）=3+2×（-2）=-1． 一般地说，当x=x0时，y=f（x0）=3+2x0． 1．2函数的图形 在解析几何学和物理学中经常用平面 上的曲线来表示两个变量之间的函数关系， 这种方法对于我们直观地了解一个函数的 特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面 上取一直角坐标系，横轴代表自变量x，纵 轴代表因变量（函数值）y=f（x）．这样一 来，把坐标为（x，y）且满足函数关系y=f （x）的那些点连接起来的轨迹就构成一条 曲线，它描绘出函数的面貌。图A-1便是上 面举的第一个例子y=f（x）=3+2x的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图A-2是第二个例子 各点连接成双曲线的一支。 1．3物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。 （1）匀速直线运动公式 s=s0＋vt，（A．2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数。因此我们记作s=s（t）＝s0＋vt，（A．3） 式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。 复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y - 专题七 数学方法（5） 微元法 【重要方法点津】 在物理学的问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或出于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此研究对象的物理量有的可能是不变的，而更多的则可能是变化的，对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是将全过程分为很多短暂的微小过程或将研究对象的整体分解为很多微小局部，这些微小过程或者是微小的局部常被称为“微元”，而且每个微元所遵行的规律是相同的，取某一微元加以分析，然后在将微元进行必要的数学方法或物理思想处理归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这种方法被称为“微元法”。微元法是物理学研究连续变化量的一种常用方法。 微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典例讲练突破】 【例1】 设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物 体的位移与时间的关系式为2012 x v t at =+，试推导。 【总结】这是我们最早接触的微元法的应用。总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间t ?极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式i i x v t =?，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和， i i x x v t =∑=∑?。 数学物理方法 课程类别校级优秀□省级优质√省级精品□国家精品□项目主持人李高翔 课程建设主要成员陈义成、王恩科、吴少平、刘峰数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。因此，本课程教学质量的优劣，将直接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方法是物理专业师生公认的一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下： 一、师资队伍建设 优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。本课程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有博士学位，均具有高级职称。课程原责任教师汪德新教授以身作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和教学水平。现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队伍。同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。培养学生独立分析问题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的经历，并且在学校教务处和外事处的支持下，吴少平副教授参加了由国家留学基金委员会组织的赴英“双语教学研修项目”，为本课程双语教学的开展打下了良好的基础。 二、教学内容 数学物理方法是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁，本课程的重要任务是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法。本门课程的基本教学内容主要包括复变函数论、数学物理方程两部分。与国内流行的教材和教学内容相比，在讲解数理方程的定解问题时，本门课程教学内容的特色之一是按解法分类而不按方程的类型分类，这样，可以避免同一方法的多次重复介绍；特色之二是把线性常微分方程的级数解法和特殊函数置于复变函数论之后、数学物理方程之前，一方面可将这些内容作为复变函数理论的一个直接应用，使学生进一步巩固已学的相关知识，另一方面可使正交曲线坐标系中分离变量法的叙述更加流畅，并通过与直角坐标系中分 高中物理学习中常用的数学知识专题 1、角度的单位——弧度（rad ） ①定义：在圆中，长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度（1rad ）。 ②定义式：l r θ= 1rad=57.30 ③几个特殊角的弧度值： a. 30 (rad)6 π = o b. 45 (rad)4π = o c. 60 (rad)3 π = o d. 90 (rad)2π=o e. 2120 (rad)3π=o f. 5150 (rad)6 π=o g. 180 (rad)π=o h. 3270 (rad)2 π=o I. 3602 (rad)π=o 2、三角函数知识： ①几种三角函数的定义： 正弦：sin a c θ= 余弦：cos b c θ= 正切：tan a b θ= 余切：cot b a θ= ②关系：2 2 sin cos 1θθ+= sin tan cos θ θθ = cos cot sin θθθ= 1 tan cot θθ = ③诱导公式： sin(-θ)=sin θ cos(-θ)=-cos θ tan(-θ)= -tan θ cot (-θ)= -cot θ sin(900-θ)=cos θ cos(900-θ)=sin θ tan(900-θ)=cot θ cot (900-θ)=tan θ sin(1800-θ)=sin θ cos(1800-θ)=-cos θ tan(1800-θ)= -tan θ cot (1800-θ)= -cot θ ④几个特殊角的三角函数值： θ a b c ⑤二倍角公式：(含万能公式) θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ⑥半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） 2cos 12 sin θθ -± = 2 cos 12sin 2θθ-= 2cos 12cos θθ+±= 2cos 12 cos 2 θθ += 2sin 2cos 12θθ=- 2 cos 2cos 12θθ=+ 2 sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θ θθθθ±=±=± θ θθθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg ⑦和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± 高考物理高考物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题 一、数学物理法 1．质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°)，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块，木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)． (1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）min sin 2F mg θ= （2）1 sin 42 mg θ 【解析】 【分析】 （1）对物块进行受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，在沿斜面和垂直斜面两方向列方程，进行求解． （2）采用整体法，对整体受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，分解为水平和竖直两方向列方程，进行求解． 【详解】 木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin mgcos θμθ＝，即tan μθ＝ (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动，则： Fcos mgsin f αθ＝＋ N Fsin F mgcos αθ＋＝ N f F μ＝ 联立解得：() 2mgsin F cos θ θα= - 则当＝αθ时，F 有最小值，2min F mgsin ＝θ (2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F 的水平分力，即 ()f Fcos αθ='+ 当＝αθ时，1 2242 f mgsin cos mgsin θθθ='= 【点睛】 木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含动摩擦因数的值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，求出外力F 的表达式，讨论F 取最小值的条件． 高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析 一、数学物理法 1．如图所示，ABCD是柱体玻璃棱镜的横截面，其中AE⊥BD，DB⊥CB，∠DAE=30°， ∠BAE=45°，∠DCB=60°，一束单色细光束从AD面入射，在棱镜中的折射光线如图中ab所示，ab与AD面的夹角α=60°．已知玻璃的折射率n=1.5，求：（结果可用反三角函数表示） （1）这束入射光线的入射角多大？ （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角． 【答案】（1）这束入射光线的入射角为48.6°； （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角为48.6° 【解析】 试题分析：（1）设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r，其中r=30°， 根据n=，得： sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75 故i=arcsin0.75=48.6° （2）光路如图所示： ab光线在AB面的入射角为45°，设玻璃的临界角为C，则： sinC===0.67 sin45°＞0.67，因此光线ab在AB面会发生全反射 光线在CD面的入射角r′=r=30° 根据n=，光线在CD面的出射光线与法线的夹角： i′="i=arcsin" 0.75=48.6° 2．一玩具厂家设计了一款玩具，模型如下．游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m＝0.2kg的小弹丸A获得动能，弹丸A再经过半径R0=0.1m的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台，与静止的相同的小弹丸B发生碰撞，并在粘性物质作用下合为一体．然后从平台O点水平抛出，落于水平地面上设定的得分区域．已知压缩弹簧的弹性势能范围为 p 04E ≤≤J ，距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处，小弹丸均看作 质点． (1)要使得分最大，玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少? (2)得分最大时，小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小． (3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，玩家要使得落地点离O 点最远，则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ，1m 【解析】 【分析】 【详解】 (1)根据机械能守恒定律得： 2 1p 012 2E v mg R m = +? A 、B 发生碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律有： mv 1=2mv 2 200122gt R = x =v 2t 0 解得： E p =2J (2)小弹丸A 经过圆弧最高点时，由牛顿第二定律得： 2 1N v F mg m R += 解得： F N =30N 由牛顿第三定律知： F 压=F N =30N (3)根据 2 p 1122 E mv mg R = +? mv 1=2mv 2 2R =1 2gt 2， x =v 2t 竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程 不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） t e y y y -=-'+''32 高中物理学习中常用的数学知识 1、角度的单位——弧度（rad ） ①定义：在圆中，长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度（1rad ）。 ②定义式：l r θ= 1rad=57.30 ③几个特殊角的弧度值： a. 30 (rad)6 π = o b. 45 (rad)4π = o c. 60 (rad)3 π = o d. 90 (rad)2π=o e. 2120 (rad)3π=o f. 5150 (rad)6 π=o g. 180 (rad)π=o h. 3270 (rad)2 π=o I. 3602 (rad)π=o 2、三角函数知识： ①几种三角函数的定义： 正弦：sin a c θ= 余弦：cos b c θ= 正切：tan a b θ= 余切：cot b a θ= ②关系：2 2 sin cos 1θθ+= sin tan cos θ θθ = cos cot sin θθθ= 1 tan cot θθ = ③诱导公式： sin(-θ)=sin θ cos(-θ)=-cos θ tan(-θ)= -tan θ cot (-θ)= -cot θ sin(900-θ)=cos θ cos(900-θ)=sin θ tan(900-θ)=cot θ cot (900-θ)=tan θ sin(1800-θ)=sin θ cos(1800-θ)=-cos θ tan(1800-θ)= -tan θ cot (1800-θ)= -cot θ θ a b c θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ⑥半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） 2cos 12 sin θθ -± = 2cos 12sin 2θθ-= 2cos 12cos θθ+±= 2cos 12 cos 2 θθ += 2sin 2cos 12θθ=- 2 cos 2cos 12θθ=+ 2 sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θ θθθθ±=±=± θ θθθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg ⑦和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ±μ1)( )1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±μ γ βγαβαγ βαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ?-?-?-??-++= ++1)( 其中当A+B+C=π时,有: 数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解： 高中物理力学学习中数学方法的应用策略研究 摘要：物理是学生高中学习中的重点科目，也是一大难点科目，随着物理知识 难度性的增加，学生学习过程中面临着越来越多的困难，一旦没有良好的学习方 法和解题思路，很容易打击学习物理的自信心和积极性，影响学习兴趣，造成学 习效率低下，物理成绩难以提升。数学方法作为一种有效的解题方法在学习高中 物理力学知识中有重要应用作用，能够促进思维发展，降低学习难度。本文阐述 了数学方法在高中物理力学学习中的应用作用，并提出了一些具体的应用策略， 以期为高中生物理力学知识的学习进步提供一点参考意见。 关键词：数学方法；高中物理；力学；应用策略 高中物理力学知识与数学知识之间存在着一定的相通性，我们在学习物理 力学知识以及解题过程中，科学合理的运用数学方法能够加深对物理概念和现象 的理解，全面掌握物理知识点之间的联系，将抽象的知识具体化，复杂的问题简 单化，攻克物理学习中的难关。因此，研究高中物理力学学习中数学方法的应用 策略对高中生的物理学习有重要现实意义。 一、数学方法在高中物理力学学习中的应用作用 （一）加深对物理知识的理解 高中物理力学知识相较于初中物理知识难度性更大，导致我们学生在理解 物理知识时很难深刻掌握，不能熟练的运用物理知识解答物理问题，经常面对物 理力学题目没有解答思路，影响了解题效率和准确性[1]。在学习物理力学知识时，应用数学方法能够获取解题灵感，拓展解题思路，在分析题目过程中，应用数学 思维掌握题目中力学特征，更好的理解各个物理量之间的联系，采取有效的数学 方式简化解题步骤，降低解题难度。 （二）借助数学知识验证结果 在学习物理力学知识时，很多学生反映不能理解教学内容，无法保证解题 答案的准确性。借助数学知识能够有效解决这些问题，由于力学知识和数学知识 有一定的相同性，我们可以利用学习过的数学知识将力学题目模型化，将难以分 析理解的物理难点变成数学知识点，获得题目答案。除此以外，为了保证答案的 准确性，可以利用数学思维和数学方式验证结果，这一过程不仅能够强化对数学 知识的理解和应用，还能够提高解题水平[2]。 （三）应用数学知识推导物理公式 一直以来，物理力学公式的学习和应用都是我们高中物理学习中的难点所在。在攻克这一难关上，我们可以应用数学知识推导出物理公式。比如，在学习“直线运动”这部分物理知识时，可以利用三角法和代数法明确直线运动的轨迹和 规律，借助数学知识中适量运算方式分析直线运动中的速度与位移，总结二者的 分解与合成过程，推导出速度和位移的物理公式。不仅如此，我们还可以将推导 出来的物理公式进行更深层次的关系式推导，利用数学知识降低接受新知识、掌 握新公式的难度，促进对物理公式的吸收消化，让物理公式不再是我们学习中难 以攀登的高山，而是变得简单清晰起来。 二、高中物理力学学习中数学方法的具体应用策略 （一）数形结合方法 我们在数学学习中，为了挖掘出题目中的隐藏条件，提升解题效率经常使 《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。 4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容： 嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1 高中物理中常用的三角函数数学模型 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法.为物理学的数量分析和计算提供有力工具。 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。 一、三角函数的基本应用 在进行力的分解时，我们经常用到三角函数的运算.虽然三角函数学生初中已经学过，但笔者在多年的教学过程中发现，有相当一部分学生经常在这里出问题，还有一部分学生一直到高三都没把这部分搞清楚.为此，本人将自己的一些体会写出来，仅供大家参考. （一）三角函数的定义式 斜边对边正弦= 邻边 对边正切= 斜边邻边余弦= 对边 邻边余切= （二）探寻规律 1．涉及斜边与直角边的关系为“弦”类，涉及两直角边的关系为“切”类； 2．涉及“对边”为“正”类，涉及“邻边”为“余”类； 3．运算符：由直角边求斜边用“除以”，由斜边求直角边用“乘以”，为更具规律性，两直角边之间互求我们都用“乘以”. （三）速写 第一步：判断运算符是用“乘以”还是“除以”； 第二步：判断用“正”还是用“余”； 第三步：判断用“弦”还是用“切”. 即 （边）=（边）（运算符）（正/余）（弦/切） 1、由直角边求斜边 正弦 对边斜边= 余弦邻边斜边= 2、由斜边求直角边 正弦斜边对边?= 余弦斜边邻边?= 3、两直角边互求 正切邻边对边?= 余切对边邻边?= （四）典例分析 经典例题1 如图1所示，质量为m 的小球静止于斜面与竖直挡板之间，斜面倾角为θ，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？ 【解析】小球受到的重力产生的效果是压紧挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图2所示。 θtan 1?=mg F 高中物理解题中涉及的数学知识 物理和数学是联系最密切的两门学科。运用数学工具解决物理问题的能力,是中学物理教学的最基本的要求。高中物理中用到的数学方法有:方程函数的思维方法,不等式法,极限的思维方法,数形结合法,参数的思维方法,统计及近似的思维方法,矢量分析法,比例法,递推归纳法,等等。现就“力学”与“电磁学”中常用数学知识进行归纳。 Ⅰ.力学部分：静力学、运动学、动力学、万有引力、功和能量与几何、代数知识相结合，从而增大题目难度，更注重求极值的方法。 Ⅱ.电磁学部分：电磁学中的平衡、加速、偏转及能量与圆的知识、三角函数，正余弦定理、相似三角形的对应比、扇形面积、二次函数求极值（配方法或公式法）、均值不等式 、正余弦函数、积化和差、和差积化、半角倍角公式、直线方程（斜率，截距）、对称性、)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a a b =?tan 、数学归纳法及数学作图等联系在一起。 第一章 解三角形 三角函数 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则有2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 变形公式： ::sin :sin :sin a b c C =A B ； 2、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 3、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：222 cos 2b c a bc +-A = 4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2 a b +≥ ()2 0,02a b ab a b +??≤>> ??? ； 2 a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值 2 4 s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 1、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= ． 2、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180 π = ． 3、若扇形的圆心角为()α α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=， 2C r l =+，2112 2 S lr r α==． 4、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=；()sin 2tan cos α αα =． 5、函数的诱导公式： 福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z(完整word版)高中物理竞赛的数学基础
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