泛函微分方程手册

各种类型的微分方程及其相应解法教程文件

各种类型的微分方程及其相应解法专业班级：交土01班姓名：高云学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程（1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0）例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----

几类偏泛函微分方程解的动力学行为研究

几类偏泛函微分方程解的动力学行为研究主要运用偏泛函微分方程理论,算子半群理论和无穷维动力系统理论,研究了几类偏泛函微分方程解的动力学行为,包括拉回吸引子的存在性、维数及其上半连续性,平衡解的多项式稳定性和指数稳定性.全文共分六章:第一章介绍了偏泛函微分方程和无穷维动力系统的研究背景和意义,综述了近年来关于偏泛函微分方程与无穷维动力系统的研究现状,并概括了本论文的主要工作.第二章首先运用经典的Faedo-Galerkin逼近方法证明了非自治随机p-Laplace方程弱解的存在唯一性,并利用一致估计和渐近紧性得到了双空间随机吸引子的存在性及其上半连续性;然后结合Galerkin近似和Aubin-Lions紧性证明了时滞p-Laplace 方程弱解的存在唯一性,并运用能量方法得到了拉回吸引子的存在性及其上半连续性.第三章借助泛函微分方程理论证明了无界时滞的Navier-Stokes方程弱解的存在唯一性,运用Lyapunov函数等方法证明了其平衡解的局部稳定性,通过构造合适的Lyapunov泛函得到了该平衡解的渐近稳定性,并在一种特殊的无界时滞的情形下证明了该平衡解具有多项式稳定性;然后使用Ito公式证明了无限时滞的随机Navier-Stokes方程弱解的存在唯一性,通过构造合适的Lyapunov泛函得到了其平衡解的渐近稳定性,并在一种特殊的无界时滞的情形下证明了该平衡解的多项式稳定性.第四章结合能量方法和紧性理论分析了一类时滞不可压缩非Newtonian流体弱解的存在唯一性,并运用一致估计和分解方法证明了拉回吸引子的存在性;然后综合运用Lax-Milgram定理和Schauder不动点定理证明了时滞不可压缩非Newtonian流体平衡解的存在唯一性,最后运用Razumikhin等方法证明了平衡解的指数稳定性.第五章运用算子半群理论证明了无限时滞的分数阶随机反应扩散方程温和解的存在唯一性及其关于初值的连续依赖性,得到了具有有

各种类型的微分方程及其相应解法

微分方程的分类及其数值解法

微分方程的分类及其数值解法微分方程的分类：含有未知函数的导数，如dy/dx=2x 、ds/dt=0.4都是微分方程。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。一、常微分方程的数值解法： 1、Euler 法： 00d (,), (1.1)d (), (1.2) y f x y x y x y ?=???=? 001 (),(,),0,1,,1n n n n y y x y y hf x y n N +=??=+=-? (1.4) 其中0,n b a x x nh h N -=+=. 用(1.4)求解(1.1)的方法称为Euler 方法。后退Euler 公式???+==+++),,(),(111 00n n n n y x hf y y x y y 梯形方法公式 )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 改进的Euler 方法11(,),(,),1().2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+???=+??? 2、Runge-Kutta 方法： p 阶方法： 1()O h -=?总体截断误差局部截断误差二阶Runge-Kutta 方法 ??? ????++==++=+),,(),,(,2212 1211hk y h x f k y x f k k h k h y y n n n n n n

各种类型的微分方程及其相应解法

各种类型的微分方程及其相应解法专业班级：交土 01班姓名：高云学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。一、一阶微分方程的解法1可.分离变量的方程 dy g ( y )dy?f (x )dx ,或 ?f (x )g (y ) dx 其特点是可以把变量 x 和 y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。例 1.求微分方程 dx?xyd?y 2 dx?ydy 的通解 . 解 2 先合并 dx 及 dy 的各项 ,得 y (x 1)dy ( y 1)dx ?? ? 设 2 1 0, 1 0, y dy? 1 dx y ? ? x ? ? 分离变量得 2 x?1 y ?1 两端积分 y dy? 1 dx 得 1 ln | 2 1| ln | 1| ln | | 2 x? 1 y ?1 2 2 2 ( x?1) 2 2 2 ?C ( x?1) 2 . 于是 y ?1 ??C 记 C??C , 则得到题设方程的通解y ?1 1 1 2.齐次方程 dy y （1） ?f ( ) dx x dy （2） ?f (ax?by?c )（a ，b 均不等于 0） dx 例 2 求解微分方程 dx dy . 2 2 ? 2 x ?xy?y 2 y ?xy y 2 y ? ?? dy 2 2? ? 解原方程变形为 2y ?xy ? x x , ? 2 2 ? ? 2 dx x ?xy?y y y ? ? 1? ?? ? x x ? ? y dy du 2 du 2u ?u , 令 u? , 则 ?u?x , 方程化为 u?x ? 2 x dx dx dx 1 ?u?u ?1 ? 1 1 ? 2 1 ? dx 分离变量得 ? ? ? ?? ? ?du? , ?2 ?u?2 u? u?2 u?1? x 两边积分得

二阶线性偏微分方程的分类与小结

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第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结一两个自变量的二阶线性方程１方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中 f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数, 假设它们的一阶偏导数在某平面区域D 内都连续，而且 221211a a a ，，不全为0 。设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=，),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ ＝x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =，),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=,y y y u u u ηξξξ+=

xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高,由变换的可逆性,方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。定理在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为