高等流体力学笔记第1讲

流体力学 40个学时 研究生 第一讲

一、流体力学

技术基础课，是在水力学及相关的数学课基础的进一步学习课。40学时，为少学时，清华北大力学等专业约在120~140学时，因此只能是基本的内容。三个大部分：绪论、运动学、动力学。共分8个章节分别为：

第一章：流体及其物理性质（绪论）

第二章：流体运动学

第三章：流体动力学的基本方程

第四章：不可压理想流体平面无旋流动

第五章：不可压理想流体三维轴对称流动

第六章：粘性流体层流运动

第七章：粘性流体紊流运动

第八章：边界层理论

二、学习方法：概念+数理学方法?????????场论

矢量张量线性代数复变函数微积分 数理方程

方程及类型+边界条件+求解方法

理论分析+半经验公式+实验研究+数值模拟

三、考查方法：闭倦2~3小时，内容不超过课堂讲述及练习。

四、参考书：没有很适合的教材，主要参考书有清华潘文全主编的《流体力学基础》及清华张兆顺主编《流体力学》。不统一要求，按讲课内容参考学习。要求大家记笔记。 必须预习：书中最后所附附录：1、正交曲线座标系 2、场量 3、张量 4、复便函数

清华张兆顺流体力学P363~372

第一章 流体及其物理性质

§1.1流体与连续介质模型

流体：

流体包括液体和气体，是物质三态中的两中存在形式与状态。

流体同其它物质一样，都是由大量不断运动的分子组成。但由于单位体积内分子数量的悬差与不同物质分子特性的差异、固体、液体和气体的基本特征不同。

固体可承受一定的拉力、压力和剪切力，保持静态的平衡，因此可保持一定的形状，有固定的体积。

液体虽然可承受很大的压力，但在受到微小的拉力或剪切力时，就会发生流动与变形，因此液体虽然有固定的体积但没有固定的形态。

气体既不可承受拉力或剪切力，否则就会发生流动，也不能承受压力，否则就会被压缩。因此气体既没有固定的形状也没有固定的体积。

正是因为液体与气体都表现出在受到微小的拉力或剪切力是易流动和变形的性质，所以都叫作流体。

从力学观点看，固体与流体的主要差别在于可否承受拉力或剪切力；从运动学观点看，

二者区别在于有没有变形运动，固体运动有平动和转动，而流体除平动与转动外还有变形运动即流体的角变形运动与线变形运动。这也正是流体运动的复杂性所在。

流体质点：是能反映流体分子的统计平均特性（即其宏观特性）的特征尺寸内所有流体分子

的总和。

学要注意：流体质点不同与数学中完全抽象的点，而是具有几何特征尺寸的质点；反映流体

分子宏观特性的几何特征尺寸是相对的，视所研究的问题而定，举例。由于1mm 3的液体或气体，在00C 和一个大气压时，分子数分别是8×1019和2.69×1016个，是从反映其宏观特性，因此对于绝大多数方程问题而言，其几何尺寸远大于流体质点的特征尺寸。 连续介质模型假定：从微观上看，流体是由大量运动着的分子组成的，是有空隙的，不连续

的。但是从宏观上看，流体可假定为是由连续分布的流体质点组成的连续介质。

连续介质模型使该流体质点的物理量在时空上被视为是连续分布的并且是无限可微的， 在物理上被视为经典力学和热力学的基本关系，因此可用微积分这一数学工具及力学的基本关系对流体的宏观特性进行分析研究。

§1.2流体的基本物理性质

一、流体的饿惯性与万有引力特性

流体是物质的一种形态，因此其也是具有惯性与万有引力特征。

度量流体惯性与万有引力特性大小的流体物理量为流体的密度和流体的容重。

流体质点的密度的定义为：

ρ=τ

ττ??'?→?M lim (Kg/m 3)

流体质点的容重的定义为：

τγττ??='?→?G lim

(N/m 3)

其中τ'?为流体质点的特征体积，M ?、G ?为微元体τ?内流体的质量和重量。 除流体质点的密度和容重之外，还有与此类似的各种平均密度和容重的定义。

二、流体的粘滞性 流体的粘滞性：流体抵抗剪切变形运动的一种属性。

流体在承受拉力或剪切力时，就会发生变形和流动，在同样的拉力与剪切力作用下，不同的流体剪切变形速度的大小不一样，因此反映出其抵抗剪切的变形能力的大小是不同的，这种属性即流体的粘滞性。 牛顿内摩擦定律：牛顿通过实验发现两平行板之间的静止流体，当其中一块平板固定，另一

块平板运动时，原静止的流体就会运动，并垂直与该方向，存在一个流速梯度。平板上所受的剪切力F 与受力面的面积A 和流速

梯度dy

du 成正比即： dy

du A F ∝ 若取比例系数为μ并令单位面积上的剪应力

为τ，则上式为

dy

du A F μτ==（N/m 2） 这就是著名的牛顿内摩擦定律。由于该式反映了剪切应力和流体变形速度之间的关系，因此从流体粘滞性的定义看，比例系数μ正好反映了流体粘滞性的大小，所以μ被称为流体粘滞系数，是一个非常重要物理性质。其定义可视为：

dy du τ

μ= N ·S/m 2）或（pa/s ）也称为动力粘性系数 令ρ

μγ= （m 2/s ）也称为运动粘性系数 流体的分类：根据流体的粘滞性与剪切变形速度之间的关系流体可分为牛顿流体和非牛顿流

体。

牛顿流体：μ＝C ，dy

du μτ= 非牛顿流体：宾汉体 μ＝C ，dy du μ

ττ+=0 伪塑性流体μ≠C ，随dy

du 增大，μ减小 膨胀性流体μ≠C ，随

dy du 增大，μ减大 各种流体剪切应力随剪切变形速度之

间的关系为图所示。 流体粘滞性的基本性质：

不同的流体其粘滞性是不同的，同

一流体的粘滞系数μ随温度和压力而

变化，但主要随温度而变化；液体μ随

温度的升高而减小；气体随温度的升

高而增大。水运动粘滞行系数可用

Helmholty （海姆霍兹）的经验公式计

算：

20

000221.003368.01t t ++=μμ

式中0μ为水在0o C 时的粘性系数，t 为水的摄氏温度。 流体粘滞性的产生机理：

一般因为这时流体分子动量交换和分子间的吸引力两种机理作用的结果，而且后者是主要的。

粘滞性是流体分子运动的输运性质的一种体现。其分子的动量输运宏观表现为粘性；分子的能量输运宏观表现为热传导；分子的质量输运，宏观表现为扩散。

粘滞性是机械能耗散的原因之一，粘性耗散是不可逆过程。 理想流体和实际流体：

是否考虑粘滞性是区别理想流体（假想流体）和实际流体的关键

μ≠0 为实际流体

μ＝0 为理想流体或假想流体

现实生活中的流体都是具有粘性的实际流体，但在理论分析和工程应用中，有许多小粘性的实际流体，在流体运动的条件下可被视为理想流体，从而是使分析与计算得到简化。

三、流体的可压缩性（流体的弹性） 流体的可压缩性：在外力作用下，流体的体积或密度可改变的特性。

度量流体的可压缩性的物理量为体积压缩系数或弹性模量。 体积压缩系数：

dp

dV V 1-=β （m 2/N ） 或dp

d ρρβ1= （当流体为均质使V m ρ=） 式中的负号是因为dp>0时,ｄV<0,故若定义体积被压缩的β为正就需在式中加一负号。 体积弹性模量：体积压缩系数的导数

β1

=E (N/m 2)

物理意义非常清楚：单位相对体积被压缩时流体所需的压强增量。 可压缩流体和不可压缩流体：

如果流体密度可视为ρ＝常数，则称其为不可压缩流体，否则为可压缩流体。 何时将流体的密度视为常数需根据具体的物理问题的性质确定。

一般的流体力学问题中的流体均可视为不可压缩流体。这是因为液体的可压缩性很小。在常温下水的特性模量E w ＝2.1×109N/m 2，这意味着当压强增加一个工程大气压（9.8×104pa ），其体积的相对变化量还不到万分之一；所以水和一般常见的其它液体在一般的流体力学问题时，均可视为不可压缩流体。对流速变化不大（远小于音速），压强变化较小的空气或其它气体，如大气层空气的流动也可视为不可压缩流体。

当压强变化很大或很迅速时，流体应被视为可压缩流体。如水击问题，水下爆炸问题。此时0,≠≠dt

dp C ρ。 四、 流体的导热性 流体的导热性：因流场存在温度梯度，而产生热量传递的属性。是流体分子能量输运的宏观

体现。

度量流体的热传导性的大小的参数为流体的热传导系数λ。描述单位时间通过单位面积的热

传导量q 与流场中的温度梯度T ?之间关系的定律为傅立叶定律。

傅立叶定律：

T q ?-=λ

λ随温度和压强而变化，不同的流体λ是不同的，反映其导热性能。对于低压气体（p ≤9.8×105pa ），λ主要与温度有关，且随温度的升高而增大，可用下面经验公式计算： n T T )(0

0λλ≈ 式中00,T λ为0o C （273.16k ）是的热传导系数和温度，n 为指数，不同气体的值不同，空气的n=0.81。

对于液体，λ基本与压强无关，随温度的变化也很小。在低于或靠近沸点，λ随温度的变化近乎为线性关系。大部分液体的导热系数λ随温度升高而减小，但是水为例外。

五、流体的扩散性 流体的扩散性：由于流体分子的随机运动引起物质质量传递或交换的属性，是流体分子质量输运的宏观体现。

扩散过程可由浓度梯度、温度梯度或压力梯度引起。但是后二者引起的质量传递远小于前者。

由于浓度梯度引起的扩散物质的分子扩散可用菲克（Fick ）定律描述：

C D m ?-=

其中m 为单位时间，通过单位面积的扩散物质的质量。D 为分子扩散系数单位为m 2/s 。C ?为扩散物质浓度梯度。

六、表面张力特性 表面张力：在液体表面，由于二种液体分界面上的分子引力之间的不对称和不平衡产生的一

种引力，其实液体表面趋于收缩（凸或凹）从而达到与容器的约束力及外力相平衡。 表面张力通常用σ表示，其定义为单位长度上液体表面所受的张力（N/m ），表面张力很小，在一般的流体力学问题中都不与考虑，但对于毛细作用，精细量测及表面波问题时需要考虑。

例如：测压管中表面张力引起的毛细现象：

表面张力引起的现象很普遍，如水面上浮钱币

§1.3作用在流体上的力 作用在流体上的力可按作用性质或作用形式进行划分： 按作用力的性质分为：

惯性力： a m F = 由流体的惯性力引起

重力： g m G = 由流体的万有引力特性引起

粘滞力： dy

du A F μ= 由流体的粘滞性引起 压力： P=Ap 由流体的可压缩性、重力、惯性力引起

表面张力： σ 由流体的表面张力特性引起

静电力： qEV q 点和密度 E 电场强度 按作用力的作用形式划分：质量力和表面力两种

质量力或体积力：与体积元素有关的非接触力，其一般与流体的质量或体积成正比。例如惯性重力，电磁力等。

单位质量力：单位质量流体所受的质量力，其数学定义为：

),,,(l i m 0t z y x f F f =??=→?τ

ρτ 其向量表示为：k f j f i f f z y x ++= 加速度a 和重力加速度g 均为单位质量力：

k a j a i a a z y x ++=

k g j g i g g z y x ++=

上面式子均为正交直角坐标式中表示的。

表面力：由于比邻流体或其它物体所直接施加的表面接触能力。其大小一般与作用面积成正比。例如切应力压力等。 流体的作用面：流体交接面，固壁面，假想的液体分界面。 流体的应力：单位面积上的表面力称为流体的应力，其数学定义为：

A

p p n A n ??=→?0lim (N/m 2) 其中n P ?为流体作用面面积微元A ?上所受的总表面力，下标n 表示作用面A ?的外力法线方西单位的向量，n P 称作用面上微元面积上的一点应力。

关于n P 有两点需注意：

①n P 一般与作用面的外法线方向n 是不重合的，因此n P 是一个矢量，可用 n P 表示。n P 一般可分解垂直于作用面面积的表面应力和平行于作用面的表面应力。前者称为法向应力，一般用nn P 表示，后者称为切向应力，一般用τn P 表示。

②过一点，可作无数个不同方向的作用面。在不同的作用面上，一般情况下，其外法线方向n 与n P 均是不同的。在后面我们将会证明，但一点的应力均有9个分量，且与作用面的法线方向有关。

双下标表示法：对于作用力，一般单下标表示力的作用方向或作用面的外法线方向，如x f 或n P 。双下标表示时，第一个下标表示的是力的作用面的外法线方向，第二个表示的是力的作用方向。例如：nn P ，τn P ，n 表示作用外法线方向，τ表示作用力方向。