(级)电磁场期中练习答案

同济大学课程考核试卷（A 卷） 2010— 2011 学年第 Ⅱ 学期

命题教师签名： 审核教师签名：

课号：102045 课名：电磁场与电磁波 考试考查：考试

此卷选为：期中考试(√ )、期终考试( )、重考( )试卷

年级 专业 学号 姓名 得分

一、填空题（共14分）

1. 已知2

xyz F =，矢量z y x e e e r -+=22，则

F ?＝ xyz e xz e yz e z y x 222

++ ；r e ＝ )22(3

1z y x e e e

-+ ；

函数F 在点A （2，-1，1）沿矢量r

方向上的方向导数为 2 ，在A

。

2. 平行板电容器两极板间的电压为U 、间距为d ，则其间介电常数为ε的介质中电

场的能量密度是

2)(2d

U

ε 。

3. 静电场空间中，在不同媒质的交界面上，边界条件为 0)(21=-?E E e n

和 S n D D e ρ=-?)(21

。

4. 焦耳定律的微分形式为 E J

? 。

5. 恒定磁场中矢量磁位的A

定义为 B A =?

? 和 0=??A

。

二、简答题（18分）

1.什么是边值问题？边值问题可分为哪几类？（4分）

对已知场的基本方程及边界条件的问题称为边值问题。边值问题的边界条件分为三类：第一类是整个边界上的物理量，第二类是已知整个边界上的物理量的法向导数，

第三类是一部分边界上物理量已知，而另一部分边界上的物理量的法向导数已知。

2.如何理解亥姆霍兹定理。

任一矢量场都可表示为一无散场和一无旋场之和。

3. 什么是有源场？什么是无源场？静电场和恒定磁场哪一个是有源场？请说明理由。（6分）

散度处处为零的场为无源场，反之，散度不为零的场为有源场。

静电场为有源场。 因ρ=??D

4.是否存在单个的N 极或S 极？为什么？（4分）

没有单个的N 极或S 极。因为磁通是连续的。

三、计算题

1.真空中，在球坐标系中，电荷分布为: b

r b r a a r r

r >≤<≤??

???=02

ρ r 为场点到坐标原点的距离。求空间各处的电场强度及电位。

解答：1）a r <，4

214r dr r r q r

ππ=?=?

εq

S d E S

=

?? 0

1

2

1

4επq r E =? 0

2

14εr E =

b r a <<，)(5

4445

54

2

2

02

2a r a dr r r dr r r q r

a

a

-+=?+?=??ππππ 0

2

2

24επq r E =

?

255

4

24)

(54εr a r a E -+= b r

> )(5

44455

4220

2

3a b a dr r r dr r r q b a

a

-+

=?+?=??ππππ

3

2

34ε

πq r E =

?

255

4

34)

(54εr a b a E -+=

2. 一平行板电容器，极板面积S ＝800cm 2,两板相距d ＝0.5cm ，两板中间的一半厚度为玻璃所占，另一半为空气。已知玻璃的εr ＝7，其击穿电场强度为60kV/cm ，空气

的击穿场强为30kV/cm ，当电容器接到16kV 的电源上，会不会被击穿？为什么？ 解：两介质中电通密度12n n D D =， 可得出217n n E E = 由V

E dl =

?→

，故U d

E d E n n =?+?

2

221 cm kV E n /82= cm kV E n /561= 故空气被击穿

当空气被击穿后，电压直接加在玻璃二端

故

U d

E n =?2

2 cm kV E n /642= 故玻璃也会被击穿

3. 如图所示平行板电容器，其极板面积远大于它们之间的距离d ，在电容器极板之间均匀分布有电荷体密度ρ0 x/2d ，两极板用导线短接并接地。介质的介电常数为0ε，忽略边缘效应。求极板间的电位分布、电场强度、极板上的电荷密度。（14）

解答：

1.极板间电位分布满足拉普拉斯方程

2

ερ

?-

=? d

x

dx d 0022

2ερ?-=

2103

012C x C d

x ++-=ερ?

利用边界条件

0=? 0=x

0=? d x =

解得 00112ερd C = 02=C

x

d d x 0003

01212ερερ?+-=

2.根据?-?=E

，求得

x

d d x E

e )124(00020ερερ-=

1. 对

0=x 的极板 1为介质 2为导体

0101011121100

12

()12

s s x x d

E or

d e D D e D e E

ρρερρε===-

=?-=?=?=-

对d x

=的极板 1为介质2为导体

0202021121106

()()6

s s x x d

d

E or

d e D D e D e E

ρρερρε==-=-

=?-=?=-?=-

4. 一个具有两层介质的平行板电容器，极板面积为A ，极间距离为d 。极板间介质分布见图（1）和图（2），介质的参数为σ1、ε1和σ2、ε2。当外加电压为U 时，分别求：

1） 通过电容器的总电流； 2） 电容器的电阻；

3） 分界面上的电荷密度。（15分）

一、对图（1）有边界条件t t E E 21= 即d

U

E E E ===21

1. )(2

222221221121σσσσ+?=?+?=?+?=A

d U A E A E A J A J I 2. )(221σσ+==A d

I U R

3. 0=S ρ

二、对图（2）有边界条件n n

J J 21= 即J J J ==21

1. 2

22211d J d J U ?+?=σ

σ

)11(22

1σσ+=

d U J )11(221σσ+=

?=d UA

A J I 2. )11(22

1σσ+==A d I U R

3. 112212E E D D n n S

εερ-=-=

)

()

(2)(1221211122εσεσσσσεσε-+=-=d U

J 或假设所加电压为上正下负，

22122112

1

2

1

2112212112()()()

()(()())

2()()

()

S z z z z e D D e E E J

J

e e e U J d ρεεεεσσεεσεσεσσσσ=?-=-?-=-?---=-=-+

5. 两半径均为a ，平行放置的长直圆柱导体，轴线间距离为d （d<2a ）。现将相交部

分挖成一空洞，并且在相交处用绝缘纸隔开。设两导体分别通有面密度为z e J J

01=和

z e J J

)(02-=的电流。求空洞中的磁场强度。（12分）

解答： 对两个圆柱分别建立圆柱坐标系，由安培环路定律

1

c H dl I ?=?

02

1112J

r r H ππ=?

2

11J r H =

10

112

?e H J r =

同理 2

022J r H -=

20

222?e H J r -= H 1 H 2

r 1 r 2

φ1

φ2

)2

(220

210121??e e H H H J r J r -+=+=

将

1

1

11

r z r z r e e e e ?

=?=?

2

2

2

2r z r z r e e e e ?

=?=?

代入表达式中，得

y x z z d J d J J e e e r r e H 2

2)(200210=?=-?=

6．如图，在Y 方向半无限大的导体板构成导体槽，底面保持电位U,其余两面电位为零,试写出其边值问题并求槽内电位的通解。 （12分）

解：槽内电位满足二维拉普拉斯方程，其边值问题

H 1 H 2

r 1 r 2

φ1

φ2

为

),(22222

=??+??=?y x y x ???

1 0),(),0(==y d y ?? 2

)(0),(∞→=y y x ? 3 0)0,(U x =?

由边界条件1 ，2

)sin(),(1

x d

n e

A y x y d

n n n π?π

-

∞

=∑=

由边界条件3

)sin(10x d n A U n n π

∑∞

==，对此式两边同乘)sin(x d

n π，并对

X 从

d →0积分得：

)cos 1(2)sin(

2000ππ

πn n U dx x d n d U A d n -==? ????????=???==6.4.20

5.3.140

n n n U π

则

)sin(14),(5.3.10

x d

n e n U y x y d n n ππ?π-∞

=∑

=