特殊的平行四边形讲义

特殊的平行四边形讲义知识点归纳

矩

形，

菱形和正方形之间的联系如下表所示：

矩形菱形正方形

性

质

边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等

角四个角都是直角对角相等四个角都是直角

对

角

线

互相平分且相等

互相垂直平分，且每条对

角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定

·有三个角是直角;

·是平行四边形且有

一个角是直角;

·是平行四边形且两

条对角线相等.

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组

邻边相等；

·是平行四边形且两条对

角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形

四边形分类专题汇总

专题一：特殊四边形的判定

【知识点】

1.平行四边形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________

2.矩形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

3.菱形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

4.正方形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

5.等腰梯形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

【练一练】

一．选择题

1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．

A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D

C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD

2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．

A．相邻的角互补B．两组对角分别相等

C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点

3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )

A.一组对边平行，另一组对边相等

B.一组对边平行，一组对角相等

C.一组对边平行，一组邻角互补

D.一组对边相等，一组邻角相等

4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;

B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;

C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;

D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形

5．不能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）

A ．AB=CD ，AD=BC

B ．AB ∥CD ，AB=CD

C ．AB=C

D ，AD ∥BC D ．AB ∥CD ，AD ∥BC

6.四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ） A ．AO=CO ，BO=DO B ．AO=BO=CO=DO

C ．AB=BC ，AO=CO

D ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD 7.四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD

8.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（ ） A 、AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CD B 、AD ∥BC ，∠A ＝∠C C 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 9.在下列命题中，真命题是（ ）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（ ）

A 一组对边平行的四边形是平行四边形

B 有一个角是直角的四边形是矩形

C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形

12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．

的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形

B ．如果90BA

C ∠=o

，那么四边形AEDF 是矩形

C ．如果A

D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

D C B

A

Ａ Ｆ

Ｃ

Ｄ

Ｂ

Ｅ

A 、对角线互相垂直且相等的四边形

B 、一条对角线平分一组对角的矩形

C 、对角线相等的棱形

D 、对角线互相垂直的矩形 14.下列命题中，假命题是（ ）。

A 、四个内角都相等的四边形是矩形

B 、四条边都相等的平行四边形是正方形

C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形

D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 15.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。 A 、BD AC =，

CD

AB //

B 、B

C A

D //，C A ∠=∠

C 、DO CO BO AO ===，B

D AC ⊥ D 、CO AO =，DO BO =，BC AB = 16.下列命题正确的是（ ）

A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形

B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

D ．对角线相等的四边形是等腰梯形

17.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 C 、当∠ABC=90°时，它是矩形 D 、当AC=BD 是，它是正方形 18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ） A.等腰梯形 B.正方形

C.平行四边形

D.矩形

一．矩形

例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A ． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补 例3： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，?H ，求证：?四边形EFGH 是矩形．

二．菱形

例1已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．

A

C

例2、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

例3（中考题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

求线段BE的长．

例4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系并证明你的猜想

例5、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

B

M A

D C

E

D

A B C

O

60

三．正方形

例1、（2011海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

专题二：矩形的有关线段计算

1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0

120AOD ∠=，AB=，则AC 的长为 。

2. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.

3. 如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A ． B ． C ．3

D ．

A

B

C

P

D

E

题2

B F C

A H D E

4. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．3

4

C ．

2

3

D ．2

5. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则

BC 的长为（ ）． A 、3 B 、2 C 、3 D 、32

6. 黄冈)如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_________cm.

7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重的面积是 cm 2．

8. 如图(十二)，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作AEC 的角平分线交AD 于F 点。若AB ＝6，AD ＝16，则FD 的长度为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．8

9. 如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.

10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1重合，则AC ＝ cm ．

专题三：菱形的有关线段计算

1. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm 2 B ． 24cm 2 C ． 48cm 2 D ． 96cm 2

2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ） A 16 B 8 C 4 D 1

3. 如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_________cm.

A ′

G

D

B

C

A

A B C

F

E '

A 题11

（'B ） D A

B

B 1

C

D

E

4. 菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ．

32 B ．33 C ． 34 D ． 3

5. 已知菱形ABCD 的面积是2

12cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是__________cm ；

6. 菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．

7. 已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、163

B 、16

C 、83

D 、8

8. 如图为菱形ABCD 与△ABE 的重迭情形，其中D 在BE 上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何（ ）

A 、8

B 、9

C 、11

D 、12

9. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2．

10. 基本图形:1.等腰三角形地边上的任意一点2.最短距离PA+PB 3.中点四边形 4.动点问题

专题四：正方形的有关线段计算

1. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ;

2. 如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．

3. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN

的长是（ ）

F

A

D

E

B

C

A'

M C

A

D

E

B

C E

A D F

A ．3cm

B ．4cm

C ．5cm

D ．6cm

4. 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，

∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE ≌△DAF ；（2）若∠AGB=30°，求EF 的长.

5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是B

A ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.25 Ｄ．2.5

专题五：有关特殊四边形的角度计算

1. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．

2. 如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度．

3. 如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=o

，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠=________

度．

4. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°

5. 如图19，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．

N M

F

E D

C

B A

题3

A

C

B

D

E

F G

1

4

2

3

B

C

D

A

P

D

A

B C

m

l

α 65°

D

C

B

A

E

P

A D

E

P C

B F

6. 如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，?

>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折

叠，使点B 落在约片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为（ ） B. 3

四边形动点专题：

专题一：证明与计算

与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。

1.如图l ，在四边形A8CD 中，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长,分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则∠BME=∠CNE(不需证明)．

(温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF ，从而∠HFE=∠HEF ，再利用平行线的性质，可证得∠BME=∠CNE ．)

问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论．

问题二：如图3，在△ABC 中，AC>AB ，D 点在AC 上，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ， 若∠EFC=600，连结GD ，判断△AGD 的形状并证

明．

2.在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．

（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合， 求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；

A

C B D

F E N

M O E B C D

H A F

N M 1 2 图1

图2 图3

A

B

C D

F G

E

（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗

3.已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG=CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图

③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论

4.已知：在Rt △ABC 中，AB=BC

，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ． （1

）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；

（2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

图1

A

H

C (M ) D

E

B

F

G (N )

G

图2

A

H

C D

E B

F

N

M A

H

C

D

E

图3

B

F

G M N F

B

D

C

图①

B

D

C

E 图②

B

C

图③

M

D

B

C

E M

D

B A

C

E