定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用

（A ）

1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2

2

1x y =与822=+y x （两部分都要计算）

2）x

y 1

=与直线x y =及2=x

3）x

e y =，x

e y -=与直线1=x

4）θρcos 2a =

5）t a x 3

cos =，t a y 3

sin =

１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的

面积

２、求对数螺线θ

ρae

=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积

３、求由曲线x y sin =和它在2

π=

x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕

x 轴旋转而成的旋转体的体积

４、由3

x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体

的体积

５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形

的立体体积

６、计算曲线()x y -=33

3

上对应于31≤≤x 的一段弧的长度

７、计算星形线t a x 3

cos =，t a y 3

sin =的全长

８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→

F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）

成正比，即：kS =→

F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功

９、一物体按规律3

ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0

=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功

１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？

１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与

水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力

１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处

有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力

(B)

1、设由抛物线()022

>=p px y 与直线p y x 2

3

=

+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

2、求由抛物线2

x y =及x y =2

所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体

积

3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2

π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋

转所成旋转体的体积

4、求抛物线px y 22

=及其在点??

?

??p p ,2处的法线所围成的图形的面积

5、求曲线422

+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122

-=x y 所围成图形的面

积

6、求由抛物线ax y 42

=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值

7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=

2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a

8、由曲线()1652

2

=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积

9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积

10、计算半立方抛物线()32

132

-=x y 被抛物线3

2x y =截得的一段弧的长度

(C)

1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为

??? ?

?

-=32H R H V π

2、分别讨论函数x y sin =??

?

?

?

≤

≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值

3、求曲线x y =

()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线

x y =所围成的平面图形的面积最小

4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？

第六章 定积分应用 习 题 答 案

（A ）

1、1）342+

π，346-π 2）2ln 23- 3）21

-+e

e 4）2

a π 5）28

3a π

2、2

3a π 3、()

π

π2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，5

64π 6、

3334R 7、3

4

32- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3

7

32

7

27a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒???

?

??+-=2211t a a

Gmu F y 2

2t a a Gmu F x +-=λ

(B)

1、1）?-=???

? ??--=p

p p dy p y y p S 32

2316223 或(

)

??=??

?

??+-++=

20

229

2

31622322p

p p p dx px x p dx px px S

2）??--=???

?

??-???

??-=p

p p p p dy p y dy y p V 3332

22

15272223πππ 2、(

)

?=

-=10

231

dx x x A ()()ππ?=???

??-=102

22

10

3dx x x V

3、()()??-=-+-=

24

4

222

cos sin sin cos π

ππdx x x dx x x A

()()(

)

()()()

??=-+-=

24

2240

2

2

cos sin sin cos π

ππ

ππdx x x dx x x V

4、抛物线在点??

?

??p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122

-=x y 的交点坐标为??

?

??1,23，()2,3- ?-=???

? ??---=1

2249

1224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α

则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan

由()a x y -=αtan ，ax y 42

=得两交点纵坐标为

()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα

所以

()()dy a y yctg a A y y ?

??

????-+=2

1

42αα ()()3

2222csc 3

4csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=

()()3232csc 34csc 4ααa a -=()3

2csc 3

8αa =

因为πα<<0 当2

π

α=时 ()3

csc α取得最小值为1

所以 当2

π

α=

时 过焦点的弦与抛物线ax y 42

=所围成的图形面积

()3

2csc 3

82απa A =??? ??最小

7、1）()()πθθθθπ

ππ4

5cos 321cos 1212232

302=??????++=??d d A

2）()()[]??

-=++=

πππ

πθθθθθ22220

241cos sin 2

1sin 21

a d a d a A 8、(

)()?

?----

--+=

4

4

44

2

2

2

2

165165dx x

dx x

V ππ

()()?-=?

???

??--

--+=4

42

2

22

2160165165π

πdx x

x

9、解法同题8

10、提示：()32

132-=x y ，32

x y = 联立得交点???? ??36,2，???

? ??-36,2 所求弧长()

?

+=2

1

2

'12

dx y s

由()3

2

132-=x y 得()y

x y 2

'1-=

于是()

()()()

()12313

21134

2

2

2

'-=--=???? ?

?-=x x x y x y

于是得()??

?

?????-??? ??=??????-+=?

1259812312

232

1

221dx x S

(C)

1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图2

2

2

R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成

所以()?

?

---==

R

H

R R

H

R dy y R dy x V 2

2

2

ππR H

R R H

R y y

R ---=3

32

π

π

()[]()[]

3

3

23

H R R H R R R ---

--=π

π??? ?

?-=32H R H π

2、解：()?-=

t

dx x t S 11sin sin ()?-=22

sin sin π

t

dx t x S

()()?-=

t

dx x t t S 1

sin sin +()?-2

sin sin π

t

dx t x

=??? ?

?

≤≤-???

?

?-

+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'

=???

?

?

-

=t t t S π，得驻点2

4

21π

π

=

=t t

易知()()00

2''1'

'<>t S t S

122max -=??? ??=∴ππS S ，124min -=??

?

??=πS S

3、解：设()00,y x 为曲线x y =

()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：

()00

021

x x x y y -=

- 即0022x x y y +=

得其与0=x ， 4=x 的交点分别为??? ??2,00y ，???

?

??+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =

所围的平面图形面积为：

3164222004

000-+=???

? ??-+=?x y dx x x x y S

3

16

4200-+

=x x 问题即求316

42-+

=x

x S ()40≤≤x 的最小值 令022

32

1

=+=-

-

x

x

S 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值

所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2

22

2+

=

x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系

易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x

因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面

上提升时，做功微元为

()

()dx x r x r g dW +-=22π

()

()g r dx x r x r g dW W r r r r 4223

4

ππ??--=+-==